数列的概念优秀课件
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数列数列的概念ppt课件
当n＝1时，a1＝4符合上式，所以an＝2n(n＋1)(n∈N*)． (3)由an＋1＝2an＋1，得an＋1＋1＝2(an＋1)． 令bn＝an＋1，所以{bn}是以2为公比的等比数列． 所以bn＝b1·2n－1＝(a1＋1)·2n－1＝2n＋1， 所以an＝bn－1＝2n＋1－1(n∈N*)．
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝n3n2＋1(n≥2)． 当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式， ∴an＝32n2＋n2.
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
第1讲 数列的概念
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
探究二：由 Sn 求 an
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝n3n2＋1(n≥2)． 当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式， ∴an＝32n2＋n2.
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
第1讲 数列的概念
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
探究二：由 Sn 求 an
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
数列ppt课件
等差数列的求和公式
总结词
等差数列的求和公式是用来计算数列 中所有项的和的数学公式。
详细描述
等差数列的求和公式是 S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)，其中 S_n 表示前 n 项的和，a_1 表示首项，d 表示公差， n 表示项数。这个公式可以帮助我们快 速计算出等差数列中所有项的和。
03 等比数列
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意项与它的前一项的比值都相等。
详细描述
等比数列是一种有序的数字排列，其中任意一项与它的前一项的比值都等于同一个常数。这个常数被称为公比， 通常用字母q表示。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示数列中每一项的数学表达式。
04 数列的极限与收敛
数列的极限定义
极限的定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$ 趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个
常数$a$，则称$a$为数列${ a_{n}}$的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性 等性质。
极限的运算性质
极限具有可加性、可乘性、可分离 性等运算性质。
收敛数列的性质
在经济学中的应用
在经济学中，很多问题也可以转化为求和问题，例如计算总收益、总成本等。而求和问题 同样可以转化为数列的极限问题。因此，数列的极限和收敛的概念在经济学中也有着广泛 的应用。
05 数列的级数
级数的定义与分类
要点一
定义
级数是无穷数列的和，可分为数项级数和函数项级数。
要点二
分类
根据项的正负和收敛性，级数可分为正项级数、负项级数 、交错级数等。
正项级数的审敛法
数列(共84张PPT)
Leabharlann 3.2等差数列及其通项公式
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
中职数学课件7.1数列的概念
两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上 研究数学问题．他们在沙滩上用小石子摆成三角形来表示数，再 按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图所示．你能找 出下列点数的规律么？
7.1 数列的概念
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例3 设数列an 的通项公式是an=3n+1，问13是否为该数列的项？ 若是，它数列的是第几项？
分别为
a1=
1 1+1
=
1 2
，a2
=
1 2+1
=
1 3
，a3
=
1 3+1
=
1 4
，a4
=
1 4+1
=
1 5
，a5
=
1 5+1
=
1 6
；
（2）在通项公式中依次取n＝1，2，3，4，5，得到数列的前5项，
分别为
a1=(-1)1+1=(-1)2 =1 ， a2 =(-1)2+1=(-1)3 =-1 ， a3 =(-1)3+1=(-1)4 =1 ， a4 =(-1)4+1=(-1)5 =-1 ， a5 =(-1)5+1=(-1)6 =1．
6.9%，6.7%， 6.0% ，2.2 % ，8.1 % ； （3）
像（1）（2）（3）这样按照一定次序排成的一列数称为数列． 数列中的每一个数为这个数列的项．
7.1 数列的概念
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
数列的一般形式为a1，a2，a3，…，an，…，简记作an ． 其中， a1称为数列的首项， an称为数列的第n项，n称为项数．
例如，某种细菌每经过时间t分裂一次，每次分裂都是1个细菌分裂
《数列数列的概念》PPT课件
ppt课件
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当n＝1时，a1＝4符合上式，所以an＝2n(n＋1)(n∈N*)． (3)由an＋1＝2an＋1，得an＋1＋1＝2(an＋1)． 令bn＝an＋1，所以{bn}是以2为公比的等比数列． 所以bn＝b1·2n－1＝(a1＋1)·2n－1＝2n＋1， 所以an＝bn－1＝2n＋1－1(n∈N*)．
ppt课件
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(4)由已知，an＞0，在递推关系式两边取对数，有 lgan＋1 ＝2lgan＋lg3.
令 bn＝lgan，则 bn＋1＝2bn＋lg3. 所以 bn＋1＋lg3＝2(bn＋lg3)，所以{bn＋lg3}是等比数列． 所以 bn＋lg3＝2n－1·2lg3＝2nlg3. 所以 bn＝2nlg3－lg3＝(2n－1)lg3＝lgan.所以 an＝32n－1.
有最大项为第 9,10 项．
ppt课件
22
变式 (2011·浙江)若数列{n(n＋4)23n}中的最大项是第 k 项，
则 k＝__________.
解析：设数列为
a
n
，则an＋1－an＝(n＋1)(n＋5)
2 3
n＋1－
n(n＋4)23n＝23n23n2＋6n＋5－n2－4n＝32n＋n 1(10－n2)，
A．k＞0 B．k＞－1
C．k＞－2 D．k＞－3
解析：由 an＋1＞an，得(n＋1)2＋k(n＋1)＋2－n2－kn－2＞0， 即 k＞－2n－1，当 n＝1 时，－2n－1 取最大值－3，故 k＞－3， 选 D.
答案：D
ppt课件
25
3．(2013·淄博质检)数列{an}，满足 a1＝1，a2＝12，并且 an(an－
ppt课件
20
数列概念及其表示.ppt
23
易错点：
对于数列{an}，
若第 n 项最大，则aann≥≥aann－＋11，，
而不是an>an－1， an>an＋1.
24
例题讲解
题型四 单调性分析 例 4. 已知 an＝9n·1n0＋n 1(n∈N*)，则数列{an}中有没有最 大项？如果有，求出最大项；如果没有，请说明理由． [错解] 设 an 最大(n≥2)，
1. 已 知 函 数 f (x) log 2 x log x 4, (0 x 1) ， 数 列 {an} 满 足
f (2an ) 2n
(1)求 an； (2)判断数列{an}的单调性。
28
2. 数列{an}满足 an n2 kn 1是增数列，求 k 的取值范围。
3.
数列{an}满足 an
题型三 数列递归公式的应用 例 3. 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由公式 an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前 5 项； (2)通过公式 bn＝aan＋n 1构造一个新数列{bn}，写出数列{bn} 的前 4 项．
17
解：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)且 a1＝1，a2＝2. ∴a3＝a2＋a1＝2＋1＝3， a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. ∴数列{an}的前 5 项依次为 1,2,3,5,8.
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)； (2)a1＝1，an＋1＝a2n＋an2.
20
解：(1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)， ∴a2＝a1＋(2×1－1)＝1， a3＝a2＋(2×2－1)＝4， a4＝a3＋(2×3－1)＝9， a5＝a4＋(2×4－1)＝16， ∴它的前五项为 0,1,4,9,16，此数列又可写成 (1－1)2，(2－1)2，(3－1)2，(4－1)2，(5－1)2，… 故该数列的一个通项公式为 an＝(n－1)2.
易错点：
对于数列{an}，
若第 n 项最大，则aann≥≥aann－＋11，，
而不是an>an－1， an>an＋1.
24
例题讲解
题型四 单调性分析 例 4. 已知 an＝9n·1n0＋n 1(n∈N*)，则数列{an}中有没有最 大项？如果有，求出最大项；如果没有，请说明理由． [错解] 设 an 最大(n≥2)，
1. 已 知 函 数 f (x) log 2 x log x 4, (0 x 1) ， 数 列 {an} 满 足
f (2an ) 2n
(1)求 an； (2)判断数列{an}的单调性。
28
2. 数列{an}满足 an n2 kn 1是增数列，求 k 的取值范围。
3.
数列{an}满足 an
题型三 数列递归公式的应用 例 3. 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由公式 an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前 5 项； (2)通过公式 bn＝aan＋n 1构造一个新数列{bn}，写出数列{bn} 的前 4 项．
17
解：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)且 a1＝1，a2＝2. ∴a3＝a2＋a1＝2＋1＝3， a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. ∴数列{an}的前 5 项依次为 1,2,3,5,8.
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)； (2)a1＝1，an＋1＝a2n＋an2.
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解：(1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)， ∴a2＝a1＋(2×1－1)＝1， a3＝a2＋(2×2－1)＝4， a4＝a3＋(2×3－1)＝9， a5＝a4＋(2×4－1)＝16， ∴它的前五项为 0,1,4,9,16，此数列又可写成 (1－1)2，(2－1)2，(3－1)2，(4－1)2，(5－1)2，… 故该数列的一个通项公式为 an＝(n－1)2.
数列的概念与通项公式PPT课件
S1 Sn-Sn-1
(n=1) (n≥２);
③转化成等差、等比数列.
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感谢您的观看！
第46页/共46页
(2)按照(3)从函数单调性角度考虑分：递增数 列、⑥ 递减数列、常数列、⑦ 摆动数列 .
4.数列通项an与前n项和Sn的关系
(1)Sn=a1+a2+a3+…+an；
(2)an=⑧
S1(n=1) Sn-Sn-1(n≥2. )
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设{an}中第 n 项最大，则aann≥≥aann－＋11 ，
即n＋11110n≥n＋21110n＋1 n＋11110n≥n1110n－1
.
所以 9≤n≤10，故该数列第 9 项或第 10 项最大．
第43页/共46页
第44页/共46页
数列通项公式的求法：
①观察分析法；
②公式法:an=
(1)符号用(－1)n 与(－1)n＋1(或(－1)n－1)来调节，这是因 为 n 和 n＋1 奇偶交错．
(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充 分借助分子、分母的关系．
(3)对于比较复杂的通项公式，要借助等差数列、等比 数列(后面将学到)和其他方法来解决．
(4)此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要 靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转 化为等差或等比数列)等方法．
【解析】当 n＝1 时，S1＝a1＝3＋21＝5， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1. 又 a1＝5 不适合上式，
5 n＝1 故 an＝2n－1 n≥2 .
第17页/共46页
第18页/共46页
一 用观察法写数列的通项公式
4.1数列的概念课件(人教版)
2n2
30n
2(n2
15n)
2 n
15 2
2
225 2
，
因为 n N* ，所以当 n 7 或 n 8 时， Sn 取最小值.
（2）当 n 1 时， a1 S1 2 30 28 .
当 n 2 时， an Sn Sn1 2n2 30n [2(n 1)230(n 1)] 4n 32 .
， Sn1
n ，n
1 2
.
例 6 已知数列an 的前 n 项和公式为 Sn n2 n ，求an 的通项公式.
解：因为 a1 S1 2 ， an Sn Sn1 n2 n [(n 1)2 (n 1)] 2n(n 2) ， 并且当 n 1 时， a1 21 2 依然成立.
所以an 的通项公式是 an 2n .
特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
如果数列{an} 的第 n 项 an 与它的序号 n 之间的对应关系可以用一个式子来 表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.
例 l 根据下列数列{an} 的通项公式，写出数列的前 5 项，并画出它们的图象.
解析：因为 Sn 3n 2 ，所以 Sn1 3n1 2(n 1) ，则 an 3n 3n1 23n1 . 1，n 1
当 n 1 时， a1 S1 3 2 1，不符合上式，所以 an 2 3n1 ，n 2 .
-4 7.数列an 中， a1 1， a2 5 ， an2 an1 an (nN*) ，则a2022 __________.
验证得当 n 1 时， a1 28 满足上式，所以 an 4n 32 .
1.数列的相关概念及分类 2.数列的符号表示 3.从函数角度看数列 4.数列的通项公式 5.数列的递推公式 6.数列的前n项和
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a1，a2， a3，…，an ，…
简记作：
an
数列与 数集有 何异同?
探索、发现
观察下面数列的特点，用适当的数填空。
(1)2,4,( 6 ),8,10, ( 12 ),14… (2)2,4,( 8 ),16,32,( 64 ),128,( 256 )… (3)( 1 ),4,9,16,25,( 36 ),49… (4)1, 2 ,( 3 ),2, 5 ,( 6 ), 7 …
2 23 5 7 4 6 2 2 2 1 2 2 2
你认为国 王能满足 发明者的 要求吗?
263
引言问题中各个格子里的麦粒数按放置的先后排成一列数 :
1，2，22，23，…263. 一八班学生的学号由小到大排成一列数:
1，2，3，4，…67.
-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排成的一列数：
7.
1 1 1 1 ， ， ， , 1 2 2 3 34 45
2 3 4
( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 8. ， ， ， 2 2 2
三.数列的分类: (按项数分) 有穷数列、无穷数列
１.项数有限的数列叫做有穷数列。
例如，数列４，５，６，７，８，９，１０．
2n 1 ( 4) a n 2 n 1
典例剖析.写出下列数列的通项公式
1.1，3，5，7，9，… an＝２n－１ 注意：并非所有 an＝n+3 2. 4，5，6，7，8，9，10… 的数列都有通项 公式，而且有的 数列的通项公式 an＝3n－2 3. 1，4，7，10，… 不唯一。
4.-1，1，-1，1，-1， … 5.1，0.1，0.01，0.001，…;
２.项数无限的数列叫做无穷数列。 例如，数列
1,
1 1 1 1 , , , , 2 3 4 5
概念辨析:
④ 下列说法正确的有______________. ①数列2,3,4与数列4,3,2是同一数列. ②数列1,2,3与数列1,2,3,…是同一数列. ③1,4,2,0.3,不是数列, ④数列若用图象表示,从图象上看是一群孤立 的点. ⑤数列的项数是无限的. ⑥数列的通项公式是唯一的.
实际上，数列的通项公式就是相应函数的解析式．
尝试练习
根据数列｛an｝ 的通项公式，写出它的前5项。
(1)an n
2
(2)an 10n
(3)an 5 (1)
n1
1，4，9，16，25. 10，20，30，40，50. 5，-5，5，-5，5.
7 9 11 3 , , , , 1, 10 17 26 2
6. 2 1 3 1 4 1 5 1 ， ， ， 2 3 4 5
2 2 2 2
an＝（－１）n 1 an 10 n 1
( 1) n an n( n 1)
( 1) n1 1 an 2
( n 1) 2 1 n( n 2) an n1 n1
4.形如a，b，a，b，a，b，…的摆动数列可归 n `1 纳为一公式: a b (1) (a b)
9
an
2
(n N *)
小结：
本节课学习的主要内容有： 1、数列的定义； 2、数列的通项公式； 3、数列通项公式的求法； 4、数列与函数的关系等。
数列 4，5，6，7，8，9，10.的图象 数列 8，4，2，1, 0.5 , …的图象
பைடு நூலகம்
数 列 的 图 象 表 示
10 9 8 7 6 5 4
● ● ● ● ● ● ●
● ●
数列的图象是 一群孤立的点
3 2
1 0 1 2
● ●
●
●
3
4
5
6
7
8
9
10
二.通项公式 如果数列 {an}的第n项an与n之间的关系 可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这 个数列的通项公式。
-1，1，-1，1，-1，1…， 无穷多个2排成的一列数： 2， 2， 2， 2， 2， 2 ， … 某个同学五次考试的数学成绩： 135，138，124，149，146。
请同学们观察上面5 个例子,你能发现它 们有什么共同 的特 点吗?
一.数列的有关概念
1定义:按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列中的各项依次叫做这个数列的 第1项（或首项）用a1 表示， 第2项用 a2表示， …， 第n项用 an 表示， 数列的一般形式可以写成：
(4) 3， 3，15， 21， 3 3， ...
（5）0，1，0，1，0，1，…
找数列的通项公式解题规律为:
1.观察数列中每个数与项数的关系,这些关系包括: 平方(立方)关系,乘积关系,倒数关系,幂的关系,根式 关系等.
2.善于引入符号因式(-1)n或(-1)n-1解决正负关系等; 3.形如a,aa,aaa,aaaa, …,(a∈N*)等数列的通项 a n 可统一写成 an (10 1) ;
例1、 写出下列数列的一个通项公式
3 7 15 31 1、 , , , , 4 8 16 32 3 1 5 1 7 2、 1, , , , , 2 3 4 5 6
解：1、注意分母是 22，23，24，25，… ，分子比分母 n1 少1，故 2 1
an
2
n1
2、由奇数项特征及偶数项特征得
.
思考2:数列项与项数是何关系？
数 列 与 函 数
1. 数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来， 每个序号也都对应着一个数。如数列 项 项数 4 1 5 2 6 3 7 4 8 5 9 6 10 7
这说明：数列的项是序号的函数，序号从1开始依 次增加时，对应的函数值按次序排出就是数列。 2.数列是特殊的函数:数列的项是函数值,序号是自 变量,自变量只能取正整数.
1 ( n 2k 1) n an kN n 1 ( n 2k ) n
思考题
写出下列数列的一个通项公式. 2 4 6 8 （ 1 ）， ， ， ， ... 3 15 35 63 3 5 7 9 ( 2) 1, ， ，， ， ... 2 4 8 16 ( 3)9， 99， 999， 9999， ...