江苏省13市中考数学试题分类解析汇编专题16 操作型问题

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专题16操作型问题(第07期)-2021年中考数学试题分项版解析汇编(解析版)

一、选择题二、填空题1．（2017辽宁省鞍山市）如图，在□ABCD中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，∠B=50°，∠DAC=30°，则∠BAF等于．【解析】考点：1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质．三、解答题2．（2017四川省凉山州）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．（1）画出△ABC关于x对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析，28．【解析】∴=8×10﹣12×6×2﹣12×4×8﹣12×6×10=28．考点：1．作图﹣位似变换；2．作图﹣轴对称变换．（1）将△ABC向下平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；（2）若点M是△ABC内一点，其坐标为（a，b），点M在△A1B1C1内的对应点为M1，则点M1的坐标为；（3）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．【答案】（1）作图见解析；（2）（a，b﹣5）；（3）作图见解析．【解析】考点：1．作图﹣旋转变换；2．作图﹣平移变换．4．（2017江苏省镇江市）【回顾】如图1，△ABC中，∠B=30°，AB=3，BC=4，则△ABC的面积等于．【探究】【应用】在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=75°，BC=6，CD=5，AD=10（如图5）．（1）点E在AD上，设t=BE+CE，求t2的最小值；（2）点F在AB上，将△BCF沿CF翻折，点B落在AD上的点G处，点G是AD的中点吗？说明理由．【答案】【回顾】3；【探究】答案见解析；【应用】（1）86+3；（2）点G不是AD的中点．【解析】﹣a，BC=2b．【回顾】如图1中，作AH⊥BC．在Rt△ABH中，∵∠B=30°，AB=3，∴AH=AB•sin30°=32，∴S△ABC=12•BC•AH=12×4×32=3，故答案为：3．探究：如图3中，由题意可知四边形EFGH是矩形，AB=CD=2a，AH=DH=BF=CF=b，EF=GH=3a﹣b，EH=FG=b﹣a，B C=2b，∵S四边形ABCD=BC•AB•sin75°=2S△ABE+2S△BFC+S矩形EFGH∴2b•2a•sin75°=2×12×a×3a+2×12×b2+（3a﹣b）（b﹣a），∴22ab sin75°=3ab+ab，∴sin75°=624．如图4中，在Rt △DC J 中，J C =CD •sin75°=5(62)4+，∴CH =2C J =5(62)2+，在Rt △BHC 中，BH 2=BC 2+CH 2=36+225(62)4+=86+253，∵EC =EH ，∴EB +EC =EB +EH ，在△EBH 中，BE +EH ≥BH ，∴BE +EC 的最小值为BH ，∴t =BE +CE ，t 2的最小值为BH 2，即为86+253．（2）结论：点G 不是AD 的中点．理由：作C J ⊥AD 于J ，DH ⊥CG 于H ．不妨设AG =GD =5，∵CD =5，∴DC =DG ，∵DH ⊥CG ，∴GH =CH =3，在Rt △CDH 中，DH =22CD CH - =2253-=4，∵S △D GC =12•CG •DH =12•DG •C J ，∴C J =245，∴sin ∠CD J =2425CJ CD =，∵∠CD J =75°，∴与sin75°=624+矛盾，∴假设不成立，∴点G 不是AD 的中点．考点：1．四边形综合题；2．阅读型；3．最值问题；4．操作型；5．探究型；6．压轴题．（1）先将△ABC 竖直向上平移5个单位，再水平向右平移4个单位得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；（2）将△A 1B 1C 1绕B 1点顺时针旋转90°，得△A 2B 1C 2，请画出△A 2B 1C 2；（3）求线段B 1C 1变换到B 1C 2的过程中扫过区域的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）94π．【解析】（3）线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为：2903360π⨯=94π．考点：1．作图﹣旋转变换；2．扇形面积的计算；3．作图﹣平移变换．（1）如图1，顺次连接AB，BC，CA，得△ABC．①点A关于x轴的对称点A1的坐标是，点B关于y轴的对称点B1的坐标是；②画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；③tan∠A2C2B2= ；（2）利用四边形的不稳定性，将第二象限部分由小正方形组成的网格，变化为如图2所示的由小菱形组成的网格，每个小菱形的边长仍为1个单位长度，且较小内角为60°，原来的格点A，B，C分别对应新网格中的格点A′，B′，C′，顺次连接A′B′，B′C′，C′A′，得△A′B′C′，则tan∠A′C′B′=．【答案】（1）①（﹣6，﹣3），（4，1）；②答案见解析；③25；（2）34．【解析】②画图；③根据正切的定义：等于对边比邻边，即tan∠A2B2C2=25；A′DE=60°，A'D=2，∴DE=1，A'E3，∴EC'=5﹣1=4，Rt△A′EC′中，tan∠A'C'B'=''A EEC33考点：1．作图﹣旋转变换；2．作图﹣轴对称变换；3．解直角三角形．7．（2017辽宁省阜新市）如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，2），C（﹣2，2）．（1）平移△ABC，使点B移动到点B1（1，1），画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1，C1的坐标．（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2．（3）线段AA1的长度为．【答案】（1）A1（4，4）C1（3，1）；（2）作图见解析；（3）26．【解析】（3）AA 1=2251 =26．故答案为：26．考点：1．作图﹣旋转变换；2．作图﹣平移变换．8．（2017四川省雅安市）如图，△ABC 中，A （-4，4），B （-4，-2），C （-2，2）．（1）请画出将△ABC 向右平移8个单位长度后的△A 1B l C 1；（2）求出∠A 1B l C 1的余弦值；【答案】（1）作图见解析；（2）255；（3）作图见解析．【解析】（3）如图所示：△A2B2C2，即为所求．考点：1．作图﹣位似变换；2．作图﹣平移变换；3．解直角三角形．。

16年江苏各市中考卷解析及试卷

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 在江苏中考数学试卷中，下列哪个不是函数的性质？（）A. 单调性B. 奇偶性C. 周期性D. 对称性2. 下列哪个是江苏中考物理试卷中常见的简单机械？（）A. 杠杆B. 滑轮C. 轮轴D. 斜面3. 在江苏中考化学试卷中，下列哪个是质量守恒定律的表述？（）A. 反应前后原子总数不变B. 反应前后分子总数不变C. 反应前后物质的质量不变D. 反应前后物质的体积不变4. 下列哪个是江苏中考生物试卷中描述细胞分裂的过程？（）A. 有丝分裂B. 无丝分裂C. 减数分裂D. 质量分裂5. 在江苏中考历史试卷中，下列哪个是南京条约的内容？（）A. 割让香港岛B. 割让澳门C. 割让台湾D. 割让广州二、判断题（每题1分，共5分）1. 江苏中考数学试卷中，一元二次方程的解一定是实数。

（）2. 江苏中考物理试卷中，电流的方向是由正电荷向负电荷流动。

（）3. 江苏中考化学试卷中，燃烧反应都是放热反应。

（）4. 江苏中考生物试卷中，植物细胞具有细胞壁，动物细胞不具有细胞壁。

（）5. 江苏中考地理试卷中，长江是中国的第一长河。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 江苏中考数学试卷中，勾股定理表达式为a²+b²=______。

2. 江苏中考物理试卷中，力的单位是______。

3. 江苏中考化学试卷中，水的化学式为______。

4. 江苏中考生物试卷中，生物体基本单位是______。

5. 江苏中考历史试卷中，秦始皇统一六国的时间是______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简述江苏中考数学试卷中概率的基本性质。

2. 请解释江苏中考物理试卷中能量守恒定律。

3. 简述江苏中考化学试卷中氧化反应的特点。

4. 请说明江苏中考生物试卷中生态系统的组成。

5. 请阐述江苏中考历史试卷中辛亥革命的意义。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 求解江苏中考数学试卷中的一元二次方程x²3x+2=0。

专题13操作性问题--江苏中考数学试题分类汇编.doc

一、选择题1. 【东台实验中学】下列图形中，经过折叠不能围成一个正方体的是（2. 【东台市二模】如图，利川尺规作的角平分线0C,在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（）作法：①以0为圆心，任意长为半径作弧，交OA, 0B 于点D, E.②分别以D, E 为圆心，以大于存的长为半径作弧，两弧在的内交于点C.③作射线0C.则0C 就是ZAOB 的平分线.3. 【宜兴模拟】如过正方体小有公共顶点的三条棱的小点切出一•个平面，形成如图所示的儿何体，其正确展开图为（） 4. 【徐州模拟】如图,将矩形OABC 置于平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0, 4）,点C 在x 轴上，点D （3厉，1）在BC±,将矩形0ABC 沿AD 折證压平，使点B 落在处标平而内，设点B 的对应点为点E.若C. ASAD. AAS)抛物线y =做？一4亦做+10 （a^OHa为常数）的顶点落在Z\ADE的内部，则a的取值范围是（）5. 【启东市二模】图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其屮AABC 内接于OG, AB 是OG 的肓径,AB=6, AC=2.现将制作的儿何探究工具放在平面直角坐标系屮（如图2）,然后点八在射线0X 上由点0开始向右滑动，点B 在射线0Y 上也随之向点0滑动（如图3）,当点1^滑动至与点0重合时运动结束.在整个运动1. 【东台实骑中学】如图，RtAABC 中，ZC 二90。

,以斜边AB 为边向外作正方形ABDE,且正方形对角线交于点0,连接0C,已知AO5, 006血，则另一直角边BC 的氏为 ___________c. 11 3 —<a<- 205 3 13 D. — v a v — 520 过程中，点C 运动的路程是（二•填空题EC B2.【南京高淳区】如图，在矩形ABCD屮，AB二5, BC二6,点E是AD上一点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠, 当点A的对应点人恰落在ZADC的平分线上吋，DA 尸EAn3.【东台市二模】如图，平行于BC的直线DE把3BC分成的两部分而积相等，则矿—5.【宜兴模拟】如图，将矩形纸片ABCD折港，使点A与点C重合，折痕为EF, EF与AC交于点0,分别连接AE、CF.若AB二希，ZDCF=30°,则EF的长为 _______ ・6.【泰州模拟】如图，每个小正方形的边长为1, A、B、C是小正方形的顶点，则sinZABC的值等于7.【秦淮区一模】如图，在中，AB=AC, ZA=36°,以B为圆心，BC为半径作弧，交AC于点D,连接BD,则ZABD二° .8.【泰州模拟】如图，在中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD.若点D与圆心0不重合，ZBAC二25° ,则Z DCA的度数为___________________ 度.三.解答题1.【无锡市梁溪区一模】图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点.(1)在图1屮画出等腰直角三角形MON,使点N在格点上，且ZMON二90。

2021年全国中考数学真题分类汇编 (16)

2021全国中考真题分类汇编（函数）----函数的实际应用一、选择题1. (2021·安徽省)某品牌鞋子的长度y cm 与鞋子的“码”数x 之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm ，44码鞋子的长度为27cm ，则38码鞋子的长度为（） A. 23cmB. 24cmC. 25cmD. 26cm2. （2021•江苏省连云港）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点；乙：函数图像经过第四象限；丙：当0x >时，y 随x 的增大而增大．则这个函数表达式可能是（） A. y x =-B. 1y x=C. 2yx D. 1y x=-3. (2021•四川省自贡市)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流O （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（）A. 函数解析式为13I R=B. 蓄电池的电压是18VC. 当10A I ≤时， 3.6R ≥ΩD. 当6R =Ω时，4A I =4. （2021•江苏省苏州市）如图，线段AB ＝10，点C 、D 在AB 上，以每秒1个单位长度的速度沿着AB 向点D 移动，到达点D 后停止移动．在点P 移动过程中作如下操作：先以点P 为圆心，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面，设点P 的移动时间为t （秒），则S 关于t 的函数图象大致是（）A．B．C．D．5.（2021•江西省）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（）A. B．C．D．6.（2021•山东省聊城市）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图象和反比例函数y＝a b cx++的图象在同一坐标系中大致为（）A. B. C. D.7.（2021•山东省聊城市）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为__________．8.（2021•上海市）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，赚___________元．9.（2021•湖北省恩施州）某物体在力F的作用下，沿力的方向移动的距离为s，力对物体所做的功W与s的对应关系如图所示，则下列结论正确的是（）A ．W ＝sB ．W ＝20sC ．W ＝8sD ．s ＝10. （2021•浙江省杭州）已知y 1和y 2均是以x 为自变量的函数，当x ＝m 时，函数值分别是M 1和M 2，若存在实数m ，使得M 1+M 2＝0，则称函数y 1和y 2具有性质P ．以下函数y 1和y 2具有性质P 的是（） A ．y 1＝x 2+2x 和y 2＝﹣x ﹣1 B ．y 1＝x 2+2x 和y 2＝﹣x +1C ．y 1＝﹣和y 2＝﹣x ﹣1D ．y 1＝﹣和y 2＝﹣x +111. （2021•浙江省丽水市）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F F F F 丁乙甲丙、、、，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若 F F F F <<<甲丁丙乙，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（）A. 甲同学B. 乙同学C. 丙同学D. 丁同学12. （2021•湖南省张家界市）若二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则一次函数b ax y +=与反比例函数xcy -=在同一个坐标系内的大致图象为（）13. （2021•北京市）如图，用绳子围成周长为10m 的矩形，记矩形的一边长为xm ，它的邻边长为ym ，矩形的面积为Sm 2．当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而变化，则y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别是（）O yxO y xAO y Bx O yCxO yDxA ．一次函数关系，二次函数关系B ．反比例函数关系，二次函数关系C ．一次函数关系，反比例函数关系D ．反比例函数关系，一次函数关系14. (2021•内蒙古包头市) 已知二次函数2(0)y ax bx c a =-+≠的图象经过第一象限的点(1,)b -，则一次函数y bx ac =-的图象不经过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限15. （2021•深圳）二次函数21y ax bx =++的图象与一次函数2y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCD16. （2021•湖南省娄底市）用数形结合等思想方法确定二次函数22y x =+的图象与反比例函数2y x=的图象的交点的横坐标0x 所在的范围是（） A. 0104x <≤ B.01142x <≤ C.01324x <≤ D.0314x <≤ 二、填空题1. （2021•江苏省连云港）某快餐店销售A 、B 两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A 种快餐的利润，同时提高每份B 种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．2. （2021•江苏省无锡市）请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称：．3.（2021•襄阳市）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y （单位：m ）与它距离喷头的水平距离x （单位：m ）之间满足函数关系式2-241y x x =++，喷出水珠的最大高度是______m ．三、解答题1. （2021•湖北省黄冈市）红星公司销售一种成本为40元/件产品，若月销售单价不高于50元/件，一个月可售出5万件，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x （单位：元/件），月销售量为y （单位：万件）．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a 元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元2. （2021•湖北省武汉市）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A ，B 两种农作物为原料开发了一种有机产品．A 原料的单价是B 原料单价的1.5倍，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x 元（x 是整数），每天的利润是w 元，求w 关于x 的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a 元（a 是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．3.（2021•怀化市）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：进货批次A型水杯（个）B型水杯（个）总费用（元）一1002008000二20030013000（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？4.（2021•江苏省扬州）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：说明：①汽车数量为整数．．；②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；a>给慈善机构，如果捐款后甲公（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元()0司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．5.（2021•山东省临沂市）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t （单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？6.（2021•河北省）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方．2号机从原点O处沿45°仰角爬升，到4km高的A处便立刻转为水平飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达C（10，3）处．（1）求OA的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；（2）求BC的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；（3）通过计算说明两机距离PQ不超过3km的时长是多少．[注：（1）及（2）中不必写s的取值范围]7.（2021•河北省）如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T1到x轴距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P．（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；（2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；（3）在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE沿x轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能落在边BD（包括端点）上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？[注：（2）中不必写x的取值范围]8. （2021•湖北省随州市）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A 处，另一端固定在离地面高2米的墙体B 处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y （米）与其离墙体A 的水平距离x （米）之间的关系满足216y x bx c =-++，现测得A ，B 两墙体之间的水平距离为6米．（1）直接写出b ，c 的值；（2）求大棚的最高处到地面的距离；（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为3724米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？9. （2021•四川省达州市）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，每天可销售500千克，为增大市场占有率，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元（1）写出工厂每天的利润W 元与降价x 元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？10. （2021•四川省乐山市）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示，当010x ≤<和1020x ≤<时，图象是线段；当2045x ≤≤时，图象是反比例函数的一部分．（1）求点A 对应的指标值；（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．11. （2021•天津市）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km ，陈列馆离学校20km ．李华从学校出发，匀速骑行0.6h 到达书店；在书店停留0.4h 后，匀速骑行0.5h 到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5h 后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离km y 与离开学校的时间h x 之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表离开学校的时间/h 0.1 0.5 0.8 1 3离学校的距离/km 212（Ⅱ）填空：①书店到陈列馆的距离为________km ； ②李华在陈列馆参观学的时间为_______h ；③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为______km/h ； ④当李华离学校的距离为4km 时，他离开学校的时间为_______h ．（Ⅲ）当0 1.5x ≤≤时，请直接写出y 关于x 的函数解析式．12.（2021•浙江省丽水市）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：（1）直接写出工厂离目的地的路程；（2）求s关于t的函数表达式；（3）当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？13.（2021•浙江省宁波市）某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：A方案B方案C方案每月基本费用（元）20 56 266每月免费使用流量（兆）1024 m 无限超出后每兆收费（元）n nA，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示．（1）请直接写出m，n的值．（2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式．（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？14.（2021•浙江省台州）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m，温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝U R；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端电压之和等于总电压．（1）求k，b的值；（2）求R1关于U0的函数解析式；（3）用含U0的代数式表示m；（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．15.（2021•湖北省荆门市）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．x407090y1809030W360045002100（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（m＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．16.（2021•贵州省铜仁市）某品牌汽车销售店销售某种品牌汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每辆售价为22（万元）时，每月可销售4辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降x ）满足价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用1y（万元）与月销售量x（辆）（4某种函数关系的五组对应数据如下表：(1)请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出1y与x的关系式1y=________；(2)每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y=(每辆原售价-1y-进价)x，x x≥为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？请你根据上述条件，求出月销售量()417.（2021•浙江省衢州卷）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD 均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱项部O离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．18.（2021•贵州省贵阳市）为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如表：产品展板宣传册横幅1制作一件产品所需时间（小时）制作一件产品所获利润20310（元）（1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量；（2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作，求制作三种产品总量的最小值．19.（2021•贵州省贵阳市）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m（m ＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．20.（2021•绥化市）小刚和小亮两人沿着直线跑道都从甲地出发，沿着同一方向到达乙地，甲乙两地之间的距离是720米，先到乙地的人原地休息，已知小刚先从甲地出发4秒后，小亮从甲地出发，两人均保持匀速前行．第一次相遇后，保持原速跑一段时间，小刚突然加速，速度比原来增加了2米/秒，并保持这一速度跑到乙地（小刚加速过程忽略不计）．小刚与小亮两人的距离S（米）与小亮出发时间t（秒）之间的函数图象，如图所示．根据所给信息解决以下问题．（1）m=_______，n=______；（2）求CD和EF所在直线的解析式；（3）直接写出t为何值时，两人相距30米．21.（2021•浙江省金华市）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．（1）求雕塑高OA．（2）求落水点C，D之间的距离．（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．22.（2021•浙江省绍兴市）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，且点A，B 关于y轴对称，杯高DO＝8，杯底MN在x轴上．（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）；（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯口直径A′B′∥AB，杯脚高CO不变，求A′B′的长．。

江苏省全省十三市中考数学真题及解析汇编

江苏省全省中考数学真题及解析汇编目录1-江苏省南京市中考数学试卷及解析（28页） (1)2-江苏省镇江市中考数学试卷及解析（34页） (25)3-江苏省常州市中考数学试卷及解析（20页） (54)4-江苏省无锡市中考数学试卷及解析（21页） (74)5-江苏省苏州市中考数学试卷及解析（30页） (93)6-江苏省南通市中考数学试卷及解析（33页） (120)7-江苏省泰州市中考数学试卷及解析（28页） (149)8-江苏省扬州市中考数学试卷及解析（30页） (173)9-江苏省徐州市中考数学试卷及解析（29页） (200)10-江苏省淮安市中考数学试卷及解析（21页） (227)11-江苏省宿迁市中考数学试卷及解析（29页） (245)12-江苏省盐城市中考数学试卷及解析（35页） (270)13-江苏省连云港市中考数学试卷及解析（31页） (301)江苏省南京市中考数学试卷及解析（28页）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．（2分）计算12+（﹣18）÷（﹣6）﹣（﹣3）×2的结果是（）A．7 B．8 C．21 D．362．（2分）计算106×（102）3÷104的结果是（）A．103B．107C．108D．1093．（2分）不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征，甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱，该模型的形状对应的立体图形可能是（）A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥4．（2分）若错误!未找到引用源。

＜a＜错误!未找到引用源。

，则下列结论中正确的是（）A．1＜a＜3 B．1＜a＜4 C．2＜a＜3 D．2＜a＜45．（2分）若方程（x﹣5）2=19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（）A．a是19的算术平方根B．b是19的平方根C．a﹣5是19的算术平方根D．b+5是19的平方根6．（2分）过三点A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐标为（）A．（4，错误!未找到引用源。

江苏省13市中考数学试题分类解析汇编专题19 综合型问题

专题19：综合型问题1. （2015年江苏连云港3分）如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为()34- ，，顶点C 在x 轴的负半轴上，函数()<0ky xx =的图象经过顶点B ，则k 的值为【】A. 12-B. 27-C. 32-D. 36- 【答案】 C ．【考点】菱形的性质；勾股定理；曲线上点的坐标与方程的关系.【分析】根据点A 的坐标以及勾股定理、菱形的性质求出点B 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值：如答图，过点A 作AD CO ⊥于点D ，∵A 的坐标为()34- ，，∴3,4OD AD == . ∴在Rt AOD ∆中，根据勾股定理，得5OA =.∵菱形OABC 的顶点A 的坐标为()34- ，，顶点C 在x 轴的负半轴上，∴点B 的坐标为()84- ，. ∵函数()<0ky x x=的图象经过顶点B ，∴4328k k =⇒=-.故选C ．2. （2015年江苏徐州3分）若函数y kx b =-的图像如图所示，则关于x 的不等式()3>0k x b --的解集为【】A. <2xB. >2xC. <5xD. >5x【答案】C.【考点】直线的平移；不等式的图象解法；数形结合思想的应用.【分析】如答图，将函数y kx b =-的图像向右平移3 个单位得到函数()3y k x b =--的图象，由图象可知，当<5x 时，函数()3y k x b =--的图象在x 轴上方，即()3>0y k x b =--. ∴关于x 的不等式()3>0k x b --的解集为<5x . 故选C.3. （2015年江苏南通3分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，弦AD 平分∠BAC ，交BC 于点E ，AB =6，AD =5，则AE 的长为【】A. 2.5B. 2.8C. 3D. 3.2 【答案】B.【考点】圆周角定理；勾股定理；相似三角形的判定和性质. 【分析】如答图，连接BD 、CD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°.∴BD ==∵弦AD 平分∠BAC ，∴CD =BD ∴∠CBD =∠DAB .在△ABD 和△BED 中，∵∠BAD =∠EBD ，∠ADB =∠BDE ，∴△ABD ∽△BED . ∴DE DBDB AD =115DE =⇒=.∴115 2.85AE AB DE =-=-=．故选B.4. （2015年江苏镇江3分）如图，坐标原点O 为矩形ABCD 的对称中心，顶点A 的坐标为（1，t ），AB ∥x 轴，矩形A B C D ''''与矩形ABCD 是位似图形，点O 为位似中心，点A ′，B ′分别是点A ，B 的对应点，A B k AB''=．已知关于x ，y 的二元一次方程2134mnx y n x y +=+⎧⎨+=⎩（m ，n 是实数）无解，在以m ，n 为坐标（记为（m ，n ））的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A B C D ''''的边上，则k t ⋅的值等于【】A.34 B. 1 C. 43 D. 32【答案】D ．【考点】位似变换；二元一次方程组的解；坐标与图形性质；反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系．【分析】∵坐标原点O 为矩形ABCD 的对称中心，顶点A 的坐标为（1，t ），∴点C 的坐标为()1t -，-.∵矩形A B C D ''''与矩形ABCD 是位似图形，A B k AB''=， ∴点A ′的坐标为()k kt ，，点C ′的坐标为()k kt -，-.∵关于x ，y 的二元一次方程2134mnx y n x y +=+⎧⎨+=⎩（m ，n 是实数）无解，∴由()323mn x n -=-得mn =3，且32n ≠，即3n m =（m ≠2）.∵以m ，n 为坐标（记为（m ，n ））的所有的点中，有且只有一个点落在矩形A B C D ''''的边上， ∴反比例函数3n m=的图象只经过点A ′或C ′. 而根据反比例函数的对称性，反比例函数3n m =的图象同时经过点A ′或C ′，只有在32,2A ⎛⎫' ⎪⎝⎭，32,2C ⎛⎫'-- ⎪⎝⎭ 时反比例函数3n m =的图象只经过点C ′.∴3322kt kt =-⇒=-. 故选D ．1. （2015年江苏苏州3分）如图，四边形ABCD 为矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E ，取BE 的中点F ，连接DF ，DF =4．设AB =x ，AD =y ，则()224x y +-的值为 ▲ ．【答案】16.【考点】代数式的几何意义；矩形的性质；直角三角形斜边上中线的性质；勾股定理. 【分析】∵四边形ABCD 为矩形，AB =x ，AD =y ，∴DC =x ，BC =y .∵在Rt BDE ∆中，点F 是斜边BE 的中点，DF =4，∴BF = DF =4. ∴在Rt DCF ∆中，222DC CF DF +=，即()22244x y +-=. ∴()22416x y +-=.2. （2015年江苏泰州3分）点()1,1y a -、()2,1y a +在反比例函数()0>=k xky 的图像上，若21y y <，则a 的范围是【答案】1<<1a -.【考点】曲线上点的坐标与方程的关系；不等式的性质；分类思想的应用. 【分析】∵点()11,a y -、()21,a y +在反比例函数()0ky k x=>的图像上，∴22,11k k y y a a ==-+ . ∵12y y <，∴()()200111111k k k k ka a a a a a <⇒-<⇒<-+-+-+. ∵0k >，∴1>01<0a a -⎧⎨+⎩或1<01>0a a -⎧⎨+⎩.解1>01<0a a -⎧⎨+⎩得>1<1a a ⎧⎨-⎩，无解；解1<01>0a a -⎧⎨+⎩得<11<<1>1a a a ⎧⇒-⎨-⎩. ∴a 的范围是1<<1a -.3. （2015年江苏扬州3分）如图，已知△ABC 的三边长为a b c 、、，且<<a b c ，若平行于三角形一边的直线l 将△ABC 的周长分成相等的两部分，设图中的小三角形①、②、③的面积分别为123s s s 、、，则123s s s 、、的大小关系是 ▲ （用“<”号连接）.【答案】132<<s s s .【考点】阅读理解型问题；代数几何综合问题；图形的分割；平行的性质；相似三角形的判定和性质；不等式的性质.【分析】设△ABC 的周长为m ，面积为S ，如答图，设,AD x AE y == ，则,BD c x CE b y =-=- . ∵平行于三角形一边的直线l 将△ABC 的周长分成相等的两部分， ∴AD AE BD CE BC +=++，即x y c x b y a +=-+-+. ∴()1122x y a b c m +=++=. ∵DC ∥BC ，∴ADE ABC ∆∆∽.∴21s AD S AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭且()122m AD AE AD AE x y mAB AC AB AC c b b c b c ++=====++++.()2mb c =+.()2m a b =+()2ma c =+. ∵<<abc ，∴()()()0<<<<<222m m ma b a c b c b c a c b c +++⇒⇒+++∴132<<s s s .4. （2015年江苏常州2分）如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB =3，AD =5，∠BAD =60°，点C 为弧BD 的中点，则AC 的长是 ▲ ．. 【考点】全等三角形的判定和性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；方程思想的应用．【分析】如答图，过点C 分别作CE ⊥AB 于点E ，CF ⊥AD 于点F ，则∠E =∠CFD =∠CFA =90°，∵点C 为弧BD 的中点，∴»»BCCD =.∴∠BAC =∠DAC ，BC =CD . ∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE =CF .∵A 、B 、C 、D 四点共圆，∴∠D =∠CBE .在△CBE 和△CDF 中，∵CBE D E CFD CE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CBE ≌△CDF （AAS ）.∴BE =DF .在△AEC 和△AFC 中，∵E AFC EAC FAC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC ≌△AFC （AAS ）.∴AE =AF .设BE =DF =x ，∵AB =3，AD =5，∴AE =AF =x +3，∴5=x +3+x ，解得：x =1，即AE =4. ∵∠BAD =60°，∴∠EAC=30°.∴04cos cos60AE AC EAC ====∠5. （2015年江苏南通3分）关于x 的一元二次方程2310ax x --=的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a 的取值范围是 ▲ ．【答案】9<<24a --.【考点】一元二次方程与二次函数的关系；一元二次方程根的判别式；二次函数的性质；分类思想和数形结合思想的应用.【分析】∵关于x 的一元二次方程2310ax x --=的两个不相等的实数根，∴()()2009>94>341>04a a a a a ≠⎧≠⎧⎪⎪⇒⇒-⎨⎨-∆=--⋅⋅-⎪⎪⎩⎩且0a ≠. 设231y ax x =--∵实数根都在﹣1和0之间， ∴当a ＞0时，如答图1，由图可知，当0x =时，>0y ；但0011y =--=-，矛盾， ∴此种情况不存在. 当a ＜0时，如答图2，由图可知，当1x =-时，<0y ，即31<0<2a a +-⇒-. 综上所述，a 的取值范围是9<<24a --.6. （2015年江苏宿迁3分）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（0，4），直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 长的最小值为 ▲ ．【答案】285. 【考点】单动点问题；直线上点的坐标与方程的关系；垂线段最短的性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质．【分析】根据垂线段最短得出PM ⊥AB 时线段PM 最短，分别求出PB 、OB 、OA 、AB 的长度，利用△PBM ∽△ABO ，即可求出答案如答图，过点P 作PM ⊥AB ，则：∠PMB =90°，当PM ⊥AB 时，P M 最短， ∵直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ， ∴点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，﹣3）.在Rt △AOB 中，∵AO =4，BO =3，∴根据勾股定理，得AB =5. ∵∠BMP =∠AOB =90°，∠ABO =∠PBM ， ∴△PBM ∽△ABO . ∴PB PM AB AO =，即：4354PM+=，解得285PM =. 7. （2015年江苏宿迁3分）当x =m 或x =n （m ≠n ）时，代数式223x x -+的值相等，则x =m +n 时，代数式223x x -+的值为 ▲ ．【答案】3．【考点】二次函数的性质；求代数式的值；整体思想的应用. 【分析】设223y x x =-+，∵当x =m 或x =n （m ≠n ）时，代数式223x x -+的值相等， ∴抛物线223y x x =-+的对称轴2212m nx -+=-=⨯. ∴2m n +=.∴当2x m n =+=时，222322233x x -+=-⨯+=.8. （2015年江苏镇江2分）如图，AB 是⊙O 的直径，OA =1，AC 是⊙O 的弦，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，若1BD ，则∠ACD = ▲ °．【答案】112.5．【考点】切线的性质；勾股定理；等腰直角三角形的判定和性质．.【分析】如答图，连接OC ．∵DC 是⊙O 的切线，∴OC ⊥DC.∵1BD =，OA=OB=OC=1，∴OD =∴1CD ==. ∴OC=CD.∴∠DOC=45°.∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA. ∴∠OCA=12∠DOC=22.5°. ∴∠ACD=∠OCA+∠OCD=22.5°+90°=112.5°．9. （2015年江苏镇江2分）写一个你喜欢的实数m 的值 ▲ ，使得事件“对于二次函数()21132y x m x =--+，当x ＜﹣3时，y 随x 的增大而减小”成为随机事件．【答案】﹣3（答案不唯一）．【考点】开放型；随机事件；二次函数的性质．【分析】二次函数()21132y x m x =--+的对称轴为()11122m y m --=-=-⨯， ∵当x ＜﹣3时，y 随x 的增大而减小，∴1<3m --，解得<2m -. ∴m ＜﹣2的任意实数即可，如m =﹣3（答案不唯一）．1. （2015年江苏连云港10分）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y =-x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，P 是直线AB 上一动点，⊙P 的半径为1．（1）判断原点O 与⊙P 的位置关系，并说明理由；（2）当⊙P 过点B 时，求⊙P 被y 轴所截得的劣弧的长；（3）当⊙P 与x 轴相切时，求出切点的坐标．【答案】解：（1）原点O 在⊙P 外．理由如下：∵直线y =-x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，∴点()(200A B - ，，，. 在Rt △OAB中，∵OA tan OBA OB ∠===， ∴∠OBA =30°，如答图1，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，在Rt △OBH中，OH OB sin OBA =⋅∠1，∴原点O 在⊙P 外.（2）如答图2，当⊙P 过点B 时，点P 在y 轴右侧时，∵PB =PC ，∴∠PCB =∠OBA =30°.∴⊙P 被y 轴所截的劣弧所对的圆心角为：180°﹣30°﹣30°=120°.∴弧长为：120121803ππ⋅⋅=. 同理：当⊙P 过点B 时，点P 在y 轴左侧时，弧长同样为：23π. ∴当⊙P 过点B 时，⊙P 被y 轴所截得的劣弧的长为：23π. （3）如答图3，当⊙P 与x 轴相切时，且位于x 轴下方时，设切点为D ，∵PD ⊥x 轴，∴PD ∥y 轴. ∴∠APD =∠ABO =30°.∴在Rt △DAP 中，130AD DP tan DPA tan =⋅∠=⨯︒=，∴2OD OA AD =-=，∴此时点D 的坐标为：（20）.当⊙P 与x 轴相切时，且位于x 轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为：（2+，0）.综上所述，当⊙P 与x 轴相切时，切点的坐标为：（23-，0）或（23+，0）．【考点】圆和一次函数的的综合题；单动点问题；直线上点的坐标与方程的关系；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；点与圆的位置关系的判定；扇形弧长的计算；直线与圆相切的性质；分类思想的应用．【分析】（1）作辅助线“过点O 作OH ⊥AB 于点H ”，由直线y =-x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，可求得点A 、B 的坐标，从而根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求得∠OBA =30°，进而应用三角函数可求得OH 的长，继而根据点与圆的位置关系的判定求得结论.（2）分点P 在y 轴右侧和点P 在y 轴左侧两种情况讨论：求得⊙P 被y 轴所截的劣弧所对的圆心角，则可求得弧长.（3）分⊙P 位于x 轴下方和⊙P 位于x 轴上方两种情况讨论即可. 2. （2015年江苏苏州8分）如图，已知函数ky x=（x ＞0）的图像经过点A 、B ，点B 的坐标为（2，2）．过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为D ，AC 与BD 交于点F ．一次函数y=ax +b 的图像经过点A 、D ，与x 轴的负半轴交于点E ．（1）若AC =32OD ，求a 、b 的值；（2）若BC ∥AE ，求BC 的长．【答案】解：（1）∵点B （2，2）在函数k y x =（x ＞0）的图象上，∴44,k y x== . ∵BD ⊥y 轴，∴点D 的坐标为（0，2），2OD =． ∵AC ⊥x 轴，32AC OD =，∵3AC =，即点A 的横坐标为3. ∵点A 在函数4y x =（x ＞0）的图象上，∴点A 的坐标为4,33⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵一次函数y=ax +b 的图像经过点A 、D ，∴4332a b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得342a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩. （2）设点A 的坐标为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则点C 的坐标为(),0m .∵BD ∥CE ，且BC ∥DE ，∴四边形BCED 是平行四边形. ∴CE=BD=2. ∵BD ∥CE ，∴∠ADF =∠AEC .∴在Rt AFD ∆中，42tan AF m ADF DF m -∠==；在Rt ACE ∆中，4tan 2AC mAEC EC ∠== ∴4422m m m -=，解得1m =. ∴点C 的坐标为()1,0,BC = 【考点】反比例函数和一次函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；平行四边形的判定和性质；锐角三角函数定义；勾股定理；方程思想的应用.【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，由函数ky x=（x ＞0）的图像经过点A 、B ，求出点A 、D 的坐标，进而由一次函数y=ax +b 的图像经过点A 、D ，求出a 、b 的值.（2）设点A 的坐标为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点C 的坐标为(),0m ，根据∠ADF =∠AEC 和42tan m ADF m -∠=、4tan 2m AEC ∠=，从而4422m m m -=，解之即可求解.3. （2015年江苏苏州10分）如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A 、B 、D 三点，过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连接ED ．（1）求证：ED ∥AC ；（2）若BD =2CD ，设△EBD 的面积为1S ，△ADC 的面积为2S ，且2121640S S -+=，求△ABC 的面积．【答案】解：（1）证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD =∠DAC .∵∠E =∠BAD ，∴∠E =∠DAC .∵BE ∥AD ，∴∠E =∠EDA . ∴∠DAC =∠EDA . ∴ED ∥AC .（2）∵BE ∥AD ，∴∠EBD =∠ADC .∵∠E =∠DAC ，∴△EBD ∽△ADC ，且相似比2BDk DC==. ∴2124S k S ==，即124S S =. ∵2121640S S -+=，∴22241640S S -+=，解得212S =. ∵233ABC S BC BD CD CD S CD CD CD ∆+====，∴2332ABC S S ∆==. 【考点】圆与相似三角形的综合题；平行的判定和性质；圆周角定理；相似三角形的判定和性质；同高三角形面积的性质；解一元二次方程.【分析】（1）一方面，由A D 是△ABC 的角平分线得到∠BAD =∠DAC ，由圆周角定理得到∠E =∠BAD ，从而∠E =∠DAC ；另一方面，由BE ∥AD 得到∠E =∠EDA ，因此∠DAC =∠EDA ，根据内错角相等两直线平行的判定是出结论.（2）由△EBD ∽△ADC 和相似比2BDk DC ==得到124S S =，代入2121640S S -+=求出212S =，根据同高三角形面积的性质求出23ABCS S ∆=，从而得出结果. 4. （2015年江苏泰州10分）如图，△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，与CA 的延长线相交于点E ，过点D 作DF ⊥AC 于点F . （1）试说明DF 是⊙O 的切线；（2）若 AC =3AE ，求C tan .【答案】解：（1）如答图，连接OD ，∵AB =AC ，OB =OD ，∴,B C ODB B ∠=∠∠=∠ . ∴ODB C ∠=∠.∴OD ∥AC . ∵DF ⊥AC ，∴DF ⊥OD . ∴DF 是⊙O 的切线. （2）如答图，连接,AD ED ，∵,E B B C ∠=∠∠=∠ ，∴E C ∠=∠.∴CD DE =. ∵DF ⊥AC ，∴CE CF =.∵AC =3AE ，∴可设AE k =，则3AC k =.∴4,2,CE k CF EF k AF k ==== . ∵AB 为⊙O 的直径，∴AD ⊥BC .又∵DF ⊥AC ，∴223AD AF AC k =⋅=.∴AD =.∴CD .∴tan AD C CD ===【考点】等腰三角形的性质；平行的判定和性质；切线的判定；圆周角定理；射影定理；勾股定理；锐角三角函数定义.【分析】（1）作辅助线“连接OD ”，构造等腰三角形和平行线，由等腰三角形等边对等角的性质，平行的判定和性质证明DF ⊥OD 即可得出结论.（2）作辅助线“连接,AD ED ”，构造直角三角形，设AE k =，在Rt ADC ∆中应用射影定理求得AD =（没学射影定理的用相似可得），应用勾股定理求得CD =，从而根据正切函数定义求解即可.5. （2015年江苏无锡8分）（1）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人．求第二次传球后球回到甲手里的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）（2）如果甲跟另外n （n ≥2）个人做（1）中同样的游戏，那么，第三次传球后球回到甲手里的概率是 ▲ （请直接写出结果）．【答案】解：（1）画树状图如下：∵共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种， ∴P （第2次传球后球回到甲手里）=3193=．（2）21n n - 【考点】列表法或树状图法；概率；探索规律题（数字的变化类）．.【分析】（1）画树状图或列表，根据图表，可得总结果与传到甲手里的情况，根据传到甲手里的情况比上总结果，可得答案.（2）根据第一步传的总结果是n ，第二步传的总结果是2n ，第三步传的总结果是3n ，传给甲的结果是()1n n -，根据概率的意义，第三次传球后球回到甲手里的概率是()2211n n n n n--=. 6. （2015年江苏无锡10分）已知：平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点分别为O (0，0)、A （5，0）、B (m ，2)、C (m －5，2)．（1）问：是否存在这样的m ，使得在边BC 上总存在点P ，使∠OPA ＝90º？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由；（2）当∠AOC 与∠OAB 的平分线的交点Q 在边BC 上时，求m 的值．【答案】解：（1）存在．∵()()()()0050252O A B m C m - ，、，、，、，，∴OA =BC =5，BC ∥OA .如答图1，以OA 为直径作⊙D ，与直线BC 分别交于点E 、F ，则∠OEA =∠OFA =90°，过点D 作DG ⊥EF 于G ，连接DE ，则DE =OD =2.5，DG =2，EG =GF ，∴ 1.5EG =.∴E （1，2），F （4，2）. 由541m m -≤⎧⎨≥⎩解得，19m ≤≤，∴当19m ≤≤时，边BC 上总存在这样的点P ，使∠OPA =90°.（2）如答图2，∵BC =OA =5，BC ∥OA ，∴四边形OABC 是平行四边形. ∴OC ∥AB . ∴∠AOC +∠OAB =180°.∵OQ 平分∠AOC ，AQ 平分∠OAB ， ∴∠AOQ =12∠AOC ，∠OAQ =12∠OAB . ∴∠AOQ +∠OAQ =90°. ∴∠AQO =90°.以OA 为直径作⊙D ，与直线BC 分别交于点E 、F ，则∠OEA =∠OFA =90°， ∴点Q 只能是点E 或点F . 当Q 在F 点时，∵OF 、AF 分别是∠AOC 与∠OAB 的平分线，BC ∥OA ，∴∠CFO =∠FOA =∠FOC ，∠BFA =∠FAO =∠FAB . ∴CF =OC ，BF =AB . 而OC =AB ，∴CF =BF ，即F 是BC 的中点．而F 点为（4，2），∴此时m 的值为6.5. 当Q 在E 点时，同理可求得此时m 的值为3.5. 综上所述，m 的值为3.5或6.5．【考点】圆的综合题；垂径定理；圆周角定理；平行四边形的判定和性质；坐标与图形性质；勾股定理；分类思想的应用.【分析】（1）由四边形四个点的坐标易得OA =BC =5，BC ∥OA ，以OA 为直径作⊙D ，与直线BC 分别交于点E 、F ，根据圆周角定理得∠OEA =∠OFA =90°，如图1，作DG ⊥EF 于G ，连DE ，则DE =OD =2.5，DG =2，根据垂径定理得EG =GF ，利用勾股定理可计算出EG =1.5，于是得到E （1，2），F （4，2），即点P 在E 点和F 点时，满足条件，此时541m m -≤⎧⎨≥⎩，即1≤m ≤9时，边BC 上总存在这样的点P ，使∠OPA =90°；（2）如图2，先判断四边形OABC 是平行四边形，再利用平行线的性质和角平分线定义可得到∠AQO =90°，以OA 为直径作⊙D ，与直线BC 分别交于点E 、F ，则∠OEA =∠OFA =90°，于是得到点Q 只能是点E 或点F ，当Q 在F 点时，证明F 是BC 的中点．而F 点为（4，2），得到m 的值为6.5；当Q 在E 点时，同理可求得m 的值为3.5．7. （2015年江苏徐州8分）如图，在矩形OABC 中，OA =3，OC =5,分别以OA 、OC 所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，D 是边CB 上的一个动点（不与C 、B 重合），反比例函数()>0ky k x=的图像经过点D 且与边BA 交于点E ，连接DE .（1）连接OE ，若△EOA 的面积为2，则k = ▲ ；（2）连接CA 、DE 与CA 是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D ，使得点B 关于DE 的对称点在OC 上？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）4.（2）平行，理由如下：如答图1，连接AC ，设()(),5,3,D a E b ，∵()(),5,3,D a E b 在()>0ky k x=上， ∴5533k k a a k k b b ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩.∵BC =OA =3，AB =O C =5，∴BD =3－5k ，BE =5－3k. ∴3335,5553kBC BD k AB BE -===- .∴BC BD AB BE =，即BC AB BD BE =. ∴DE ∥AC ．（3）存在.假设存在点D 满足条件．设,5,3,53k k D E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则CD =5k ，BD =3－5k ，AE =3k ，BE =5－3k．如答图2，过点E 作EF ⊥OC ，垂足为F ，易证△B 'CD ∽△EFB '，∴'''B E B F B D CD =，即5'3355k B F k k -=-.∴'3k B F =. ∴2'''55333k k kCB OC B F OF OC B F AE =--=--=--=-. 在Rt △B 'CD 中，CB '= 253k -，CD =5k ，B 'D =BD =3－5k，由勾股定理得，CB '²＋CD ²= B 'D ²，∴222253355k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得2101233600k k -+=.解得，122415,52k k == （不合题意，舍去）.∴24,525D ⎛⎫⎪⎝⎭. ∴满足条件的点D 存在，D 的坐标为24,525⎛⎫⎪⎝⎭．【考点】反比例函数综合题；单动和轴对称问题；曲线上点的坐标与方程的关系；平行的判定；相似三角形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用.【分析】（1）设3,3k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则OA =3， AE =3k ． ∵△EOA 的面积为2，∴132423kk ⋅⋅=⇒=. （2）设()(),5,3,D a E b ，由()(),5,3,D a E b 在k y x =上，得到,5,3,53k k D E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而求得BC BD AB BE =，即BC ABBD BE=，进而证得DE ∥AC ．（3）设,5,3,53k k D E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，作辅助线“过点E 作EF ⊥OC ，垂足为F ”，由△B 'CD ∽△EFB '得到'''B E B F B D CD =而求得'3kB F =，从而在Rt △B 'CD 中，应用勾股定理列方程求解即可. 8. （2015年江苏盐城10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数34y x =与一次函数7y x =-+的图像交于点A . （1）求点A 的坐标；（2）设x 轴上一点P （a ，0），过点P 作x 轴的垂线（垂线位于点A 的右侧），分别交34y x =和7y x =-+的图像于点B 、C ，连接OC ，若BC =75OA ，求△OBC 的面积.【答案】解：（1）根据题意，得347y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩， ∴点A 的坐标为（4，3）.（2）如答图，过A 点作AD ⊥x 轴于点D ，∵点A 的坐标为（4，3）， ∴根据勾股定理，得OA=5.∵BC ⊥x 轴，P （a ，0），BC 交34y x =和7y x =-+的图像于点B 、C ， ∴()3,,74B a a C a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 、.∵BC 位于点A 的右侧，∴()374BC a a =--+. 又∵BC =75OA =7，∴()3774a a --+=，解得，8a =. ∴11872822OBCS BC OP ∆=⋅=⨯⨯=. 【考点】一次函数综合题；直线上点的坐标与方程关系；勾股定理；方程思想的应用. 【分析】（1）根据点在直线上点的坐标满足方程的关系；联立34y x =和7y x =-+即可求得点A 的坐标. （2）一方面，作辅助线“过A 点作AD ⊥x 轴于点D ”构造直角三角形，应用勾股定理求出OA =5，从而由BC =75OA 求出的BC 长；另一方面，由B 、C 的纵坐标之差列关于a 的方程()3774a a --+=，解之即得BC 边上的高OP 的长，进而根据三角形面积公式求得△OBC 的面积.9. （2015年江苏扬州10分）平面直角坐标系中，点(),P x y 的横坐标x 的绝对值表示为x ，纵坐标y 的绝对值表示为y ，我们把点),(y x P 的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点(),P x y 的勾股值，记为：P ⎡⎦，即P x y ⎡⎦=+.（其中的“+”是四则运算中的加法）（1）求点()1,3A - ,)2,2B的勾股值A ⎡⎦、B ⎡⎦；（2）点M 在反比例函数3y x=的图像上，且4M ⎡⎦=，求点M 的坐标；（3）求满足条件3N ⎡⎦=的所有点N 围成的图形的面积.【答案】解：（1）∵()1,3A - ,)2,2B，∴134A ⎡⎦=-+=，22224B ⎡⎦==+=.（2）∵点M 在反比例函数3y x =的图像上，∴可设3,M m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ .∵4M ⎡⎦=，∴34m m+=. 若0m >，则34m m +=，解得121.3m m == .∴()1,3M 或()3,1M . 若0m <，则34m m--=，解得121.3m m =-=- .∴()1,3M - -或()3,1M - -.综上所述，点M 的坐标为()1,3 或()3,1 或()1,3- -或()3,1- -. （3）设(),N x y ，∵3N ⎡⎦=，∴3x y +=.若0,0x y ≥≥ ，则3x y +=，即3y x =-+. 若0,0x y ≥< ，则3x y -=，即3y x =-. 若0,0x y <≥ ，则3x y -+=，即3y x =+. 若0,0x y << ，则3x y --=，即3y x =--.∴满足条件3N ⎡⎦=的所有点N 围成的图形是正方形，如答图. ∴满足条件3N ⎡⎦=的所有点N 围成的图形的面积为18.【考点】新定义和阅读理解型问题；点的坐标；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想和数形结合思想的应用.【分析】（1）直接根据定义求解即可.（2）设3,M m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据4M ⎡⎦=得到34m m +=，分0m >和0m <求解即可. （3）设(),N x y ，根据3N ⎡⎦=得到3x y +=，由,x y 负分类即可求解.10. （2015年江苏常州10分）如图，反比例函数k y x =的图象与一次函数14y x =的图象交于点A 、B ，点B 的横坐标是4．点P 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB 的上方．（1）若点P 的坐标是（1，4），直接写出k 的值和△PAB 的面积；（2）设直线PA 、PB 与x 轴分别交于点M 、N ，求证：△PMN 是等腰三角形；（3）设点Q 是反比例函数图象上位于P 、B 之间的动点（与点P 、B 不重合），连接AQ 、BQ ，比较∠PAQ 与∠PBQ 的大小，并说明理由．【答案】解：（1）415PAB k S ==V ，．（2）证明：如答图2，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，设直线PB 的解析式为y ax b =+，把点P （1，4）、B （4，1）代入y ax b =+，得441a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：15a b =-⎧⎨=⎩， ∴直线P B 的解析式为5y x =-+．当y =0时，50x -+=，∴x =5，点N （5，0）．同理可得M （﹣3，0），∴()134514MH NH =--==-=，. ∴MH =NH . ∴PH 垂直平分MN . ∴PM =PN . ∴△PMN 是等腰三角形.（3）∠PAQ =∠P BQ ．理由如下：如答图3，过点Q 作QT ⊥x 轴于T ，设AQ 交x 轴于D ，QB 的延长线交x 轴于E ，可设点4Q c c ⎛⎫⎪⎝⎭，，直线AQ 的解析式为y px q =+，则414p q cp q c -+=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：141p cq c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线AQ 的解析式为141y x c c=+-．当y =0时，1410x c c+-=，解得：4x c =-， ∴D （4c -，0）．同理可得E （4c +，0），∴()4444DT c c ET c c =--==+-=，.∴DT =ET . ∴QT 垂直平分DE ，∴QD =QE . ∴∠QDE =∠QED ． ∵∠MDA =∠QDE ，∴∠MDA =∠QED ． ∵PM =PN ，∴∠PMN =∠PNM ．∵∠PAQ =∠PMN ﹣∠MDA ，∠PBQ =∠NBE =∠PNM ﹣∠QED ， ∴∠PAQ =∠PBQ ．【考点】反比例函数和一次函数综合题；单动点问题；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定和性质．【分析】（1）如答图1，过点A 作AR ⊥y 轴于R ，过点P 作PS ⊥y 轴于S ，连接PO ，设A P 与y 轴交于点C ，把x =4代入14y x =，得到点B 的坐标为（4，1），把点B （4，1）代入ky x=，得k =4．解方程组144y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得到点A 的坐标为（﹣4，﹣1），则点A 与点B 关于原点对称，∴OA =OB . ∴AOP BOP S S =V V . ∴2PAB AOP S S =V V ．设直线AP 的解析式为y mx n =+，把点A （﹣4，﹣1）、P （1，4）代入y mx n =+，求得直线AP 的解析式为3y x =+，则点C 的坐标（0，3），OC =3，∴111115343122222AOP AOC POC S S S OC AR OC PS =+=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=V V V . ∴215PAB AOP S S ==V V .（2）作辅助线“过点P 作P H ⊥x 轴于点H ”，用待定系数法求出直线PB 的解析式，从而得到点N 的坐标，同理可得到点M 的坐标，进而得到MH =NH ，根据垂直平分线的性质可得PM =PN ，即△PMN 是等腰三角形；（3）作辅助线“过点Q 作QT ⊥x 轴于T ，设AQ 交x 轴于D ，QB 的延长线交x 轴于E ”，设点Q 为4c c ⎛⎫⎪⎝⎭，，运用待定系数法求出直线AQ 的解析式，即可得到点D 的坐标为（4c -，0），同理可得E （4c +，0），从而得到DT =ET ，根据垂直平分线的性质可得QD =QE ，则有∠QDE =∠QED ．然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到∠PAQ =∠PBQ ．11. （2015年江苏南通13分）已知抛物线2221y x mx m m =-++-（m 是常数）的顶点为P ，直线1l y x =-：. （1）求证：点P 在直线l 上；（2）当m =﹣3时，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，与直线l 的另一个交点为Q ，M 是x 轴下方抛物线上的一点，∠ACM =∠PAQ （如图），求点M 的坐标；（3）若以抛物线和直线l 的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m 的值．【答案】解：（1）证明：∵()222211y x mx m m x m m =-++-=-+-，∴点P 的坐标为（m ，m ﹣1）， ∵当x =m 时，y =x ﹣1=m ﹣1， ∴点P 在直线l 上.（2）当m =﹣3时，抛物线解析式为265y x x =++，当y =0时，2650x x ++=，解得x 1=﹣1，x 2=﹣5，则A （﹣5，0）. 当x =0时，2655y x x =++=，则C （0，5）.联立方程组2165y x y x x =-⎧⎨=++⎩，解得34x y =-⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=-⎩， ∴P （﹣3，﹣4），Q （﹣2，﹣3）.如答图，过点M 作ME ⊥y 轴于E ，过点P 作PF ⊥x 轴于F ，过点Q 作QG ⊥x 轴于G ， ∵OA =OC =5，∴△OAC 为等腰直角三角形.∴∠ACO =45°. ∴∠MCE =45°﹣∠ACM . ∵QG =3，OG =2，∴AG =OA ﹣OG =3=QG . ∴△AQG 为等腰直角三角形. ∴∠QAG =45°. ∴()90904545APF PAF PAQ PAQ ∠=︒-∠=︒-∠+︒=︒-∠. ∵∠ACM =∠PAQ ，∴∠APF =∠MCE . ∴Rt △CME ∽Rt △PAF . ∴ME CE AF PF=. 设()265M x x x ++，，则()225656ME x CE x x x x =-=-++=--，.∴2624x x x ---=，整理得240x x +=，解得x 1=0（舍去），x 2=﹣4， ∴点M 的坐标为（﹣4，﹣3）.（3）m 的值为0 【考点】二次函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；等腰直角三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质；勾股定理；分类思想和方程思想的应用．.【分析】（1）利用配方法求得点P 的坐标，然后根据一次函数图象上点的坐标特征判断点P 在直线l 上.（2）当m =﹣3时，抛物线解析式为265y x x =++，根据抛物线与x 轴的交点问题求出A （﹣5，0），易得C （0，5），通过解方程组2165y x y x x =-⎧⎨=++⎩得P （﹣3，﹣4），Q （﹣2，﹣3），如图，作ME ⊥y 轴于E ，PF⊥x 轴于F ，QG ⊥x 轴于G ，证明Rt △CME ∽Rt △PAF ，利用相似得ME CEAF PF=，设()265M x x x ++，，则2624x x x---=，解之即可求得点M 的坐标. （3）解方程组22121y x y x mx m m =-⎧⎨=-++-⎩得1x m y m =⎧⎨=-⎩或1x m y m =+⎧⎨=⎩， ∴P （m ，m ﹣1），Q （m +1，m ）.∴()()222112PQ m m m m =+-+-+=，()22221221OQ m m m m =++=++，()22221221OP m m m m =+-=-+.当PQ =OQ 时，22212m m ++=，解得12m m ==当PQ =OP 时，22212m m -+=，解得12m m ==；当OP =OQ 时，22221221m m m m ++=-+，解得m =0.综上所述，m 的值为0 12. （2015年江苏宿迁10分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为2a ，2b ，点A ，D ，G 在y 轴上，坐标原点O 为AD 的中点，抛物线2y mx =过C ，F 两点，连接FD 并延长交抛物线于点M ．（1）若a =1，求m 和b 的值；（2）求ba的值；（3）判断以FM 为直径的圆与AB 所在直线的位置关系，并说明理由．【答案】解：（1）∵a =1，∴正方形ABCD 的边长为2，∵坐标原点O 为AD 的中点，∴C （2，1）． ∵抛物线2y mx =过C 点，∴1=4m ，解得14m =. ∴抛物线解析式为214y x =，将F （2b ，2b +1）代入214y x =，得()212124b b +=，解得1b =．∴14m =，1b =（2）∵正方形ABCD 的边长为2a ，坐标原点O 为AD 的中点，∴C （2a ，a ）．∵抛物线2y mx =过C 点，∴24a m a =⋅，解得14m a=.∴抛物线解析式为214y x a=. 将F （2b ，2b +1）代入214y x a =，得()212124b b a+=，解得(1b a =±（负值舍去）．∴1ba=+. （3）以FM 为直径的圆与AB 所在直线相切．理由如下：∵D （0，a ），∴可设直线FD 的解析式为y kx a =+. 由（2）1ba=得()23F a a ，，代入y kx a =+得k =1.∴直线FD 的解析式为y x a =+．联立214y x a y x a =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得23x a y a ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩或23x a y a ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩.∴M点坐标为()23a a ，． ∴以FM 为直径的圆的圆心O '的坐标为（2a ，3a ）. 如答图，过点O '作O H AB '⊥于点H ，∴O '到直线AB （y a =-）的距离34O H a a a '=--=（）. ∵以FM 为直径的圆的半径4r O F a ='==.∴O H r '=.∴以FM 为直径的圆与AB 所在直线相切．【考点】二次函数综合题；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；正方形的性质；直线与圆满的位置关系的判定；勾股定理；数形结合思想和方程思想的应用．【分析】（1）由a =1，根据正方形的性质及已知条件得出C （2，1）．将C 点坐标代入2y mx =，求出14m =，则抛物线解析式为214y x =，再将F （2b ，2b +1）代入214y x =，即可求出b 的值.（2）由正方形ABCD 的边长为2a ，坐标原点O 为AD 的中点，得出C （2a ，a ）．将C 点坐标代入2y mx =，求出14m a =，则抛物线解析式为214y x a =，再将F （2b ，2b +a ）代入214y x a=，整理，把a 看作常数，利用求根公式得出(1b a =±（负值舍去），从而得到1ba=.（3）先利用待定系数法求出直线FD 的解析式为y x a =+，再求出M ()23a a ，，又()23F a a ，，利用中点坐标公式得到以FM 为直径的圆的圆心O ′的坐标为（2a ，3a ），再求出O ′到直线AB （y a =-）的距离O H '的值，以FM 为直径的圆的半径r 的值，由O H '=r ，根据直线与圆的位置关系可得以FM 为直径的圆与AB 所在直线相切．13. （2015年江苏镇江6分）如图，点()3M m -，是一次函数1y x =+与反比例函数()0ky k x=≠的图象的一个交点．（1）求反比例函数表达式；（2）点P 是x 轴正半轴上的一个动点，设OP =a （a ≠2），过点P 作垂直于x 轴的直线，分别交一次函数，反比例函数的图象于点A ，B ，过OP 的中点Q 作x 轴的垂线，交反比例函数的图象于点C ，△ABC ′与△ABC 关于直线AB 对称．①当a =4时，求△ABC ′的面积；②当a 的值为 ▲ 时，△AMC 与△AMC ′的面积相等．【答案】解：（1）把()3M m -，代入1y x =+，则2m =-，∴()32M --，．把()32M --，代入ky x=，得k =6， ∴反比例函数解析式是：6y x =.（2）①如答图1，连接CC ′交AB 于点D ，则AB 垂直平分CC ′．当a =4时，A （4，5），B （4，1.5），则AB =3.5． ∵点Q 为OP 的中点，∴Q （2，0）. ∴C （2，3），则D （4，3）.∴CD =2. ∴113.52 3.522ABC S AB CD =⋅=⨯⨯=V . ②3．【考点】反比例函数和一次函数综合题；单动点和轴对称问题；曲线上点的坐标与方程的关系；轴对称的性质；全等三角形的判定和性质；数形结合思想和方程思想的应用．.【分析】（1）由一次函数解析式可得点M 的坐标为（﹣3，﹣2），然后把点M 的坐标代入反比例函数解析式，求得k 的值，可得反比例函数表达式.（2）①作辅助线“连接C C ′交AB 于点D ”，由轴对称的性质，可知AB 垂直平分OC ′，当a =4时，利用函数解析式可分别求出点A 、B 、C 、D 的坐标，于是可得AB 和CD 的长度，即可求得△ABC 的面积.②如答图2，分别过点C 、C ′作1y x =+的垂线垂足分别为点E 、F ， ∵△AMC 与△AMC ′的面积相等，∴CE = C ′F .又∵AC = AC ′，∴△AEC 与△AFC ′（HL ）.∴CAE C AF ∠=∠'. ∵E 、A 、F 共线，∴C 、A 、C ′共线.∵OP =a ，点A 在1y x =+上，∴(),1A a a + . ∴,12a C a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.∵点C 在6y x=上，∴612a a +=，整理，得2120a a +-=，解得3a =或4a =-（舍去）.∴3a =.14. （2015年江苏镇江10分）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过点（0，3），且当x =1时，y 有最小值2．（1）求a ，b ，c 的值；（2）设二次函数()()222y k x ax bx c =+-++（k 为实数），它的图象的顶点为D ． ①当k =1时，求二次函数()()222y k x ax bx c =+-++的图象与x 轴的交点坐标；②请在二次函数2y ax bx c =++与()()222y k x ax bx c =+-++的图象上各找出一个点M ，N ，不论k 取何值，这两个点始终关于x 轴对称，直接写出点M ，N 的坐标（点M 在点N 的上方）；③过点M 的一次函数34y x t =-+的图象与二次函数2y ax bx c =++的图象交于另一点P ，当k 为何值时，点D 在∠NMP 的平分线上？④当k 取﹣2，﹣1，0，1，2时，通过计算，得到对应的抛物线()()222y k x ax bx c =+-++的顶点分别为（﹣1，﹣6，），（0，﹣5），（1，﹣2），（2，3），（3，10），请问：顶点的横、纵坐标是变量吗？纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的？。

卷16中考数学试卷(江苏泰州专用)(解析版)

(江苏泰州专用)2021泰州中考全真模拟卷十六数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共计18分)1．（2020·辽宁锦州市·中考真题）﹣6的倒数是（）A．﹣16B．16C．﹣6D．6【解析】﹣6的倒数是﹣16．故选A．2．（2020·广东深圳市·中考真题）下列哪个图形，主视图、左视图和俯视图相同的是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱柱D．正方体【解析】圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，而俯视图是圆，因此选项A不符合题意；圆柱体的主视图、左视图都是矩形，而俯视图是圆形，因此选项B不符合题意；三棱柱主视图、左视图都是矩形，而俯视图是三角形，因此选项C不符合题意；正方体的三视图都是形状、大小相同的正方形，因此选项D符合题意；故选：D．3．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）下列计算正确的是（）A．a2+a3=a5B．1=C．（x2）3=x5D．m5÷m3=m2【解析】A、a2与a3不是同类项，无法计算，故此选项错误；B、C、（x2）3=x6，故此选项错误；D、m5÷m3=m2，正确．故选D．4．（2020·云南中考真题）下列说法正确的是（）A．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查B．任意画一个三角形，其内角和是360︒是必然事件C ．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为x 甲、x 乙，方差分别为2S 甲、2乙S ．若=x x 甲乙，2=0.4S 甲，2=2S 乙，则甲的成绩比乙的稳定D ．一个抽奖活动中，中奖概率为120，表示抽奖20次就有1次中奖【解析】A.为了解三名学生的视力情况，采用全面调查，故错误； B.在平面内，任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，故错误；C.甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为x 甲、x 乙，方差分别为2S 甲、2乙S ．若=x x 甲乙，2=0.4S 甲，2=2S 乙，则甲的成绩比乙的稳定，正确；D.一个抽奖活动中，中奖概率为120，不能表示抽奖20次就有1次中奖，故错误；故选C ． 5．（2020·重庆中考真题）已知a +b =4，则代数式122a b++的值为（）A ．3B ．1C ．0D ．-1【解析】由题意，得411132222a b a b +++=+=+=故选：A. 6．（2020·贵州毕节市·中考真题）已知点C 、D 是以AB 为直径的半圆的三等分点，弧CD 的长为1π3，则图中阴影部分的面积为( )A ．1π6B ．3π16C ．1π24D ．13π124+【解析】连接CO DO 、和CD ，如下图所示，C D ，是以AB 为直径的半圆上的三等分点，弧CD 的长为1π3， 60COD ∴∠=︒，圆的半周长13ππ3r π==⨯=， 1r ∴=，ACD 的面积等于OCD 的面积，∴S 阴影=S 扇形OCD 260π1π3606⨯==．故选A ．二、填空题7．（2020·山东滨州市·x 的取值范围是_________．【解析】∴x−5∴0，解得x∴5.故答案为x≥5.8．（2020·浙江台州市·中考真题）因式分a 2-9=_____________．【解析】a 2-9=（a+3）（a-3）．9．（2020·黑龙江鹤岗市·中考真题）5G 信号的传播速度为300000000m/s ，将300000000用科学记数法表示为__________．【解析】300000000=3×108，故答案为3×108．10．（2020·江苏南通市·中考真题）若x 1，x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x 12﹣2x 1+2x 2的值等于_____．【解析】∴x 1，x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝4，x 12﹣4x 1﹣2020＝0，即x 12﹣4x 1＝2020，则原式＝x 12﹣4x 1+2x 1+2x 2 ＝x 12﹣4x 1+2（x 1+x 2）＝2020+2×4 ＝2020+8 ＝2028，故答案为：2028．11．（2020·浙江衢州市·中考真题）某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x ，6，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是_____．【解析】∴某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x ，6，已知这组数据的平均数是5， ∴x =5×5﹣4﹣4﹣5﹣6=6，∴这一组数从小到大排列为：4，4，5，6，6， ∴这组数据的中位数是5．故答案为：5．12．（2020·广东广州市·中考真题）如图，正方形ABCD 中，ABC ∆绕点A 逆时针旋转到AB C ''∆，AB '，AC '分别交对角线BD 于点,E F ，若4AE =，则EF ED ⋅的值为_______．【解析】在正方形ABCD 中，BAC=ADB 45∠∠=︒， ∴ABC ∆绕点A 逆时针旋转到AB C ''∆， ∴B AC =BAC 45''∠∠=︒， ∴EAF=ADE 45∠∠=︒， ∴AEF=AED ∠∠， ∴AEF DEA ~， ∴AE EFDE AE=， ∴22EF ED AE 416•===．故答案为：16．13．（2020·江苏连云港市·中考真题）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M 、N 的坐标分别为(3,9)、(12,9)，则顶点A 的坐标为________．【解析】设正方形的边长为a ，则由题设条件可知：3123a =- 解得：3a =∴点A 的横坐标为：12315+=，点A 的纵坐标为：9323-⨯=故点A 的坐标为(15,3)．故答案为：(15,3)．14．（2020·浙江杭州市·中考真题）如图，已知AB 是∴O 的直径，BC 与∴O 相切于点B ，连接AC ，OC ．若sin∴BAC ＝13，则tan∴BOC ＝_____．【解析】∴AB 是∴O 的直径，BC 与∴O 相切于点B ， ∴AB ∴BC ， ∴∴ABC ＝90°， ∴sin∴BAC ＝BCAC ＝13， ∴设BC ＝x ，AC ＝3x ， ∴AB ＝22AC BC -＝22(3)x x -＝22x ，∴OB ＝12AB ＝2x ， ∴tan∴BOC ＝2BC OB x =＝22，故答案为：2． 15．（2020·青海中考真题）在ABC 中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，则ABC 的内切圆的半径为__________．【解析】如图，设∴ABC 的内切圆与各边相切于D ，E ，F ，连接OD ，OE ，OF ，则OE∴BC ，OF∴AB ，OD∴AC ，设半径为r ，CD=r ， ∴∴C=90°，BC=4，AC=3， ∴AB=5，∴BE=BF=4-r ，AF=AD=3-r ， ∴4-r+3-r=5， ∴r=1．∴∴ABC 的内切圆的半径为 1．16．（2020·浙江中考真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt∴OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝kx（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结CD．若∴ACD的面积是2，则k的值是_____．【解析】连接OD，过C作CE∴AB，交x轴于E，∴∴ABO＝90°，反比例函数y＝kx（x＞0）的图象经过OA的中点C，∴S∴COE＝S∴BOD＝12k，S∴ACD＝S∴OCD＝2，∴CE∴AB，∴∴OCE∴∴OAB，∴14OCESS=△△OAB，∴4S∴OCE＝S∴OAB，∴4×12k＝2+2+12k，∴k＝83，故答案为：83．三、解答题17．（2020·四川成都市·中考真题）（1）计算：212sin602392-⎛⎫︒++--⎪⎝⎭．（2）解不等式组：4(1)22113x xxx-≥+⎧⎪+⎨>-⎪⎩【解析】（1）原式=324233⨯++--=3633+--=3；（2）解不等式4(1)2x x -≥+可得：2x ≥，解不等式2113x x +>-可得：4x <， ∴原不等式组的解集为24x ≤<．18．（2020·江西中考真题）为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学，该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评，根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1）复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：根据以上图表信息，完成下列问题：（1）m = ；（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；（3）某同学第二次测试数学成绩为78分，这次测试中，分数高于78分的至少有人，至多有人；（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．【解析】（1）由图1可知总人数为：2+8+10+15+10+4+1=50人，所以m=50－1－3－3－8－15－6=14人；（2）如图：通过第一次和第二次测试情况发现，复学初线上学习的成绩大部分在70分以下，复学后线下学习的成绩大部分在70分以上，说明线下上课的情况比线上好；（3）由统计表可知，至少14+6=20人，至多15+14+6－1=34人；（4）800×14+6=3202+8+10+15+10+4+1（人）答：复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数为320人．19．（2020·柳州市柳林中学中考真题）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是；（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）【解析】（1）∴有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是14，故答案为：14；（2）画树状图如图：共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2， ∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率=21126=． 20．（2020·山东滨州市·中考真题）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元? （3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？【解析】()1当售价为55元/千克时，每月销售量为()50010555050050450-⨯-=-=千克.()2设每千克水果售价为x 元，由题意，得()()4050010508750,x x ⎡⎤=⎦-⎣--即2101400400008750,x x -+-= 整理，得21404875,x x -=- 配方，得()27049004875,x -=- 解得1265,75.x x ==∴当月销售利润为元8750时，每千克水果售价为65元或75元()3设月销售利润为y 元，每千克水果售价为x 元，由题意，得()()405001050,y x x ⎡⎤=---⎣⎦ 即210140040(00040)100,y x x x =-+-≤≤ 配方，得()210709000,y x =--+100-<，∴当70x =时，y 有最大值∴当该优质水果每千克售价为70元时，获得的月利润最大．21．（2020·江苏连云港市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)my x x=>的图像经过点34,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点B 在y 轴的负半轴上，AB 交x 轴于点C ，C 为线段AB 的中点．（1）m =________，点C 的坐标为________；（2）若点D 为线段AB 上的一个动点，过点D 作//DE y 轴，交反比例函数图像于点E ，求ODE 面积的最大值．【解析】（1）把点34,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入反比例函数(0)m y x x=>，得：324m =，解得：m=6，∴A 点横坐标为：4，B 点横坐标为0，故C 点横坐标为：4022+=，故答案为：6，(2,0)；（2）设直线AB 对应的函数表达式为y kx b =+．将34,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,0)C 代入得34220k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得3432k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．所以直线AB 对应的函数表达式为3342y x =-．因为点D 在线段AB 上，可设33,(04)42D a a a ⎛⎫-<≤ ⎪⎝⎭，因为//DE y 轴，交反比例函数图像于点E ．所以6,E a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．所以221633333273(1)2428488ODESa a a a a a ⎛⎫=⋅⋅-+=-++=--+ ⎪⎝⎭．所以当a =1时，ODE 面积的最大值为278． 22．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图，点E 与树AB 的根部点A 、建筑物CD 的底部点C在一条直线上，AC ＝10m ．小明站在点E 处观测树顶B 的仰角为30°，他从点E 出发沿EC 方向前进6m 到点G 时，观测树顶B 的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD 的顶部D （H 、B 、D 三点在一条直线上）．已知小明的眼睛离地面1.6m ，求建筑物CD 的高度（结果精确到0.1m ）．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73．）【解析】如图，延长FH ，交CD 于点M ，交AB 于点N ， ∴ ∴BHN ＝45°，BA ∴MH ，则BN ＝NH ，设BN ＝NH ＝x ，∴ HF ＝6，∴BFN ＝30°，且tan∴BFN ＝BNNF ＝BN NH HF+， ∴tan30°＝6xx +，解得x ≈8.22，根据题意可知： DM ＝MH ＝MN +NH ， ∴ MN ＝AC ＝10，则DM ＝10+8.22＝18.22，∴ CD ＝DM +MC ＝DM +EF ＝18.22+1.6＝19.82≈19.8（m ）．答：建筑物CD 的高度约为19.8m ．23．（2020·湖南永州市·中考真题）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD 时，求证：四边形ABCD 是菱形．（3）设平移的距离为cm(0662)x x <≤+，两张纸条重叠部分的面积为2cm s ．求s 与x 的函数关系式，并求s 的最大值．【解析】（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，四边形（梯形、菱形），五边形；（2）证明：分别过点B 、D 作BE CD ⊥于点E 、DF CB ⊥于点F ， ∴90BEC DFC ∠=∠=︒ ∴两张纸条等宽， ∴6BE DF ==．在BCE 和DCF 中45BCE DCF ∠=∠=︒， ∴2266=62BC DC ==+， ∴两张纸条都是矩形，， ∴//AB CB //BC AD ． ∴四边形ABCD 是平行四边形，又∴BC DC =， ∴四边形ABCD 是菱形；（3）∴、如图：当06x <≤时，重叠部分为三角形，如图所示， ∴212S x =， ∴018S <．最大值为218cm ．∴、如图：当662x <时，重叠部分为梯形，如图所示，梯形的下底为cm x ，上底为(6)cm x -， ∴()1666182S x x x =+-⋅=-，当62x =时，s 取最大值2(36218)cm -．∴、当62662x <<+时，重叠部分为五边形，2211=6(6)[(622S S S x x -=-+=--++五边形菱形三角形此时18S <<五边形．∴、当6x =+∴2S =菱形．∴221(06)2618(662)1[(6626x x x x s x x x ⎧<⎪⎪-<⎪=⎨⎪--++<<+⎪⎪=-⎩∴s的最大值为2．24．（2020·江苏常州市·中考真题）如图1，点B 在线段CE 上，Rt∴ABC ∴Rt∴CEF ，90ABC CEF ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =．（1）点F 到直线CA 的距离是_________；（2）固定∴ABC ，将∴CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转． ①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________；②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE OB =时，求OF 的长．【解析】（1）∴30BAC ∠=︒，90ABC ∠=︒，∴∴ACB =60°， ∴Rt∴ABC ∴Rt∴CEF ， ∴∴ECF =∴BAC =30°，EF =BC =1， ∴∴ACF =30°，∴∴ACF =∴ECF =30°， ∴CF 是∴ACB 的平分线， ∴点F 到直线CA 的距离=EF =1；故答案为：1；（2）①线段EF 经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：在Rt∴CEF 中，∴∴ECF =30°，EF =1， ∴CF =2，CE=3，由旋转的性质可得：CF=CA =2，CE=CG =3，∴ACG =∴ECF =30°， ∴S 阴影=（S ∴CEF +S 扇形ACF ）－（S ∴ACG +S 扇形CEG ）=S 扇形ACF －S 扇形CEG =()2230330236036012πππ⨯⨯-=；故答案为：12π；②作EH ∴CF 于点H ，如图4，在Rt∴EFH 中，∴∴F =60°，EF =1，∴13,22FH EH ==， ∴CH =13222-=，设OH=x ，则32OC x =-，222222334OE EH OH x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴OB=OE ，∴2234OB x =+，在Rt∴BOC 中，∴222OB BC OC +=，∴2233142x x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，解得：16x =， ∴112263OF =+=．25．（2020·河南中考真题）将正方形ABCD 的边AB 绕点A 逆时针旋转至AB ' ，记旋转角为α．连接BB '，过点D 作DE 垂直于直线BB '，垂足为点E ，连接,DB CE '，()1如图1，当60α=︒时，DEB '∆的形状为，连接BD ，可求出BB CE'的值为；()2当0360α︒<<︒且90α≠︒时，①()1中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点,,,B E C D '为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出'BEB E的值．【解析】（1）由题知60BAB '∠=°，90BAD ∠=°，AB AD AB '== ∴30B AD '∠=°，且ABB '为等边三角形 ∴60AB B '∠=°，1(18030)752AB D ︒︒︒'∠=-=∴180607545DB E ︒︒︒︒'∠=--= ∴DE BB '⊥ ∴90DEB '∠=° ∴45B DE '∠=°∴DEB '△为等腰直角三角形连接BD ，如图所示∴45BDC B DE '∠=∠=°∴BDC B DC B DE B DC '''∠-∠=∠-∠即BDB CDE '∠=∠ ∴22CD DE BD DB ==' ∴BDB CDE '△△∴==22BB BD CE CD '= 故答案为：等腰直角三角形，2 （2）①两个结论仍然成立连接BD ，如图所示： ∴AB AB '=，BAB α'∠= ∴902ABB α︒'∠=-∴90,B AD AD AB α︒''∠=-= ∴1352AB D α︒'∠=-∴45EB D AB D AB B ︒'''∠=∠-∠= ∴DE BB '⊥∴45EDB EB D ︒''∠=∠= ∴DEB '△是等腰直角三角形 ∴2DB DE'= ∴四边形ABCD 为正方形∴2,45BDBDC CD︒=∠= ∴BD DB CD DE'= ∴EDB BDC '∠=∠ ∴B DB EDC '∠=∠ ∴B DB EDC '△△ ∴2BB BDCE CD'== ∴结论不变，依然成立②若以点,,,B E C D '为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论第一种：以CD 为边时，则//CD B E '，此时点B '在线段BA 的延长线上，如图所示：此时点E 与点A 重合， ∴BE CE B E '==，得1BEB E='； ②当以CD 为对角线时，如图所示：此时点F 为CD 中点， ∴DE BB '⊥∴CB BB ''⊥ ∴90BCD ︒∠=∴BCF CB F BB C ''△△△ ∴2BC CB BB CF B F CB''===''∴4BB B F ''=∴6,2BE B F B E B F '''==∴3BEB E=' 综上：BE B E'的值为3或1．26．（2020·广东中考真题）如图，抛物线236y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，点A ，B 分别位于原点的左、右两侧，33BO AO ==，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C ，D，BC =．（1）求b ，c 的值；（2）求直线BD 的函数解析式；（3）点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方，点Q 在射线BA 上，当ABD ∆与BPQ ∆相似时，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标．【解析】（1）∴33BD AO ==，∴(10)A -，，(30)B ，， ∴将A ，B代入236y x bx c =++得3030b c b b c ⎧-+=⎪⎪++=，解得132b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴1b =-32c =-；（2）∴二次函数是2312y x x ⎛=-+- ⎝⎭BC =，(3,0)B ， ∴D的横坐标为代入抛物线解析式得3312y ⎛=+ ⎝⎭312=1∴(1)D ，设BD 得解析式为：y kx b =+ 将B ，D代入得103bk b=+=+⎪⎩，解得3k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BD的解析式为=+y x （3）由题意得tan∴ADB=1，由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x 轴交点为M ，P （1，n ）且n<0，Q （x ，0）且x<3， ①当∴PBQ∴∴ABD 时，tan∴PBQ=tan∴ABD 即2n -解得n=3-，tan∴PQB=tan∴ADB 即11nx-=-，解得此时Q 的坐标为（1-3，0）； ②当∴PQB∴∴ABD 时，tan∴PBQ=tan∴ADB 即2n-=1，解得n=-2，tan∴QPB=tan∴ABD 即1n x --x=1-此时Q 的坐标为（1-0）；③当∴PQB∴∴DAB 时，tan∴PBQ=tan∴ABD 即2n -tan∴PQB=tan∴DAB 即1n x -=-，解得，此时Q ，0）； ④当∴PQB∴∴ABD 时，tan∴PBQ=tan∴ABD 即2n-=1，解得n=-2，tan∴PQB=tan∴DAB 即1n x -=-，解得x=5-Q 的坐标为（5-0）；综上：Q 的坐标可能为13⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(1-，1,03⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，(5-．。

江苏省13市中考试题分类汇编专题17阅读理解型问题

江苏省13市中考数学试题分类解析汇编（20专题）专题17：阅读理解型问题江苏泰州锦元数学工作室编辑1. （江苏泰州3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是【】A ．1，2，3B ．112 ，，C ．113 ，，D ．123 ，， 2. （江苏南通3分）如图，一个半径为r 的圆形纸片在边长为a （a 23r ≥）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是【】A. 2r 3π B. ()233r 3π- C. ()233r π D. 2r π【答案】C ．1. （江苏镇江2分）读取表格中的信息，解决问题.n=1 1a 223=+1b 32=+1c 122=+n=2 a 2=b 1+2c 1 b 2=c 1+2a 1 c 2=a 1+2b 1 n=3 a 3=b 2+2c 2b 3=c 2+2a 2c=a 2+2b 2 …………满足()n n na b c 201432132++≥⨯-++的n 可以取得的最小整数是 ▲ ．【答案】7．【考点】1.探索规律题（数字的变化类）；2. 二次根式化简；3.不等式的应用．【分析】由)111a b c 223321223321++=++，)2222a b c 3321++=， )3333a b c 3321++=，…2.（江苏连云港3分）若函数m1yx-=的图象在同一象限内，y随x的增大而增大，则m的值可以是▲ (写出一个即可)3. （江苏淮安3分）若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为▲ （只需填一个整数）【答案】4（答案不唯一）.【考点】1.开放型；2. 三角形三边关系．【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得：3﹣2＜x＜3+2，即：1＜x＜5.∴x的值可以为2，3，4（答案不唯一）.4. （江苏淮安3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使得四边形ABCD是平行四边形，应添加的条件是▲ （只填写一个条件，不使用图形以外的字母和线段）．1. （江苏镇江6分）在一只不透明的布袋中装有红球、黄球各若干个，这些球除颜色外都相同，均匀摇匀.（1）若布袋中有3个红球，1个黄球．从布袋中一次摸出2个球，计算“摸出的球恰是一红一黄”的概率（用“画树状图”或“列表”的方法写出计算过程）；（2）若布袋中有3个红球，x个黄球．请写出一个x的值▲ ，使得事件“从布袋中一次摸出4个球，都是黄球”是不可能的事件；（3）若布袋中有3个红球，4个黄球．我们知道：“从袋中一次摸出4个球，至少有一个黄球”为必然事件．请你仿照这个表述，设计一个必然事件：▲ ．【答案】解：（1）设三个红球分别是123，黄球为4，列表得：1 2 3 41 （1，2）（1，3）（1，4）2 （2，1）（2，3）（2，4）3 （3，1）（3，2）（3，4）4 （4，1）（4，2）（4，3）∵共有12种等可能结果，摸出的球恰是一红一黄”情况有6种，∴摸出的球恰是一红一黄”的概率P=61 122=.（2）1（答案不唯一）.2. （江苏扬州10分）对x，y定义一种新运算T，规定：ax byT(x,y)2x y+=+（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：a0b1T(0,1)b201⨯+⨯==⨯+.（1）已知T(1,1)2,T(4,2)1-=-=①求a，b的值；②若关于m的不等式组()()T2m,54m4T m,32m>p⎧-≤⎪⎨-⎪⎩恰好有3个整数解，求实数p的取值范围；（2）若T(x,y)T(y,x)=对任意实数x，y都成立（这里T(x,y)，T(y,x)都有意义），则a，b应满足怎样的关系式？3. （江苏徐州8分）几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元购买门票．下面是两个小伙伴的对话：根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．4. （江苏无锡8分）（1）如图1，Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=2BC ，现以C 为圆心、CB 长为半径画弧交边AC 于D ，再以A 为圆心、AD 为半径画弧交边AB 于E ．求证：AE 51AB -=51-叫做AE 与AB 的黄金比．）（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB 为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC ．（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）．【考点】1.新定义；2.作图（应用与设计作图）；3.勾股定理；4.等腰三角形的性质；5.待定系数法的应用．【分析】（1）利用位置数表示出AB，AC，BC的长，进而得出AE的长，进而得出答案.（2）根据底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，画图即可．5. （江苏连云港10分）如图1，在一个不透明的袋子中装有四个球，分别标有字母A、B、C、D，这些球除了字母外完全相同，此外，有一面白色、另一面黑色、大小相同的四张正方形卡片，每张卡片两面的字母相同，分别标有字母A、B、C、D. 最初，摆成如图2的样子，A、D是黑色，B、C是白色.操作：①从袋中任意取一个球；②将与取出的小球字母相同的卡片反过来；③将取出的球放回袋中.两次操作后观察卡片的颜色.（如：第一次取出A、第二次取出B，此时卡片的颜色变成）（1）取四张卡片变成相同颜色的概率；（2）求四张卡片变成两黑两白、并恰好形成各自颜色的矩形的概率.【答案】解：（1）画树状图得：6. （江苏连云港10分）在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达雪描实验.如图，表盘是△ABC ，其中AB=AC ，∠BAC=120°，在点A 处有一束红外光线AP ，从AB 开始，绕点A 逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15°，到达AC 后立即以相同的旋转速度返回A 、B ，到达后立即重复上述旋转过程.小明通过实验发现，光线从AB 处开始旋转计时，旋转1秒，时光线AP 交BC 于点M ，BM 的长为（20320 ）cm. （1）求AB 的长；（2）从AB 处旋转开始计时，若旋转6秒，此时AP 与BC 边交点在什么位置？若旋转秒，此时AP 与BC 边交点在什么位置？并说明理由.旋转14s的过程是B→C：8s，C→Q：6s，因此803 3∵AB=AC，∠BAC=120°，∴3BC2ABcos302403 =︒=⨯=∴8040BQ BC CQ4033333=-=.∴光线AP旋转秒后，与BC的交点Q 4033处．7. （江苏常州6分）我们用[]a 表示不大于a 的最大整数，例如：[]2.52=，[]33=，[]2.53-=-；用a 表示大于a 的最小整数，例如：2.53=，45=， 1.51-=-.解决下列问题：（1）[]4.5-= ▲ ,，3.5= ▲ ；（2）若[]x =2，则x 的取值范围是 ▲ ；若y =－1，则y 的取值范围是▲ ；（3）已知x ，y 满足方程组[][]3x 2y 33x y 6⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，求x ，y 的取值范围.。

江苏省中考试题分类汇编专题16操作型问题(解析版)

江苏省13市2014年中考数学试题分类解析汇编（20专题）专题16：操作型问题江苏泰州锦元数学工作室编辑1. （2014年江苏无锡3分）已知△ABC 的三条边长分别为3，4，6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画【】A. 6条B. 7条C. 8条D. 9条2. （2014年江苏南通3分）如图，一个半径为r 的圆形纸片在边长为a （a 23r ≥）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是【】A. 2r 3πB. ()233r 3πC. ()233r π D. 2r π 【答案】C ．【考点】1.面动问题；2. 等边三角形的性质；3. 切线的性质；4.扇形和三角形面积的计算；5.转换思想的应用.1. （2014年江苏扬州3分）如图，ABC ∆的中位线DE 5cm =，把ABC ∆沿DE 折叠，使点A 落在边BC 上的点F 处，若A 、F 两点间的距离是8cm ，则ABC ∆的面积为 ▲ 2cm .2.（2014年江苏南京2分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，得到一个扇形，若圆锥底面圆半径r=2cm ，扇形圆心角120θ=︒，则该圆锥母线长l 为 ▲ cm.3. （2014年江苏连云港3分）如图1，将正方形纸片ABCD 对折，使AB 与CD 重合，折痕为EF ，如图2，展开再折叠一次，使点C 与点E 重合，折痕为GH ，点B 的对应点为M ，EM 交AB 于N ，则tan ∠ANE= ▲ .【答案】34. 【考点】1. 翻折变换（折叠问题）；2.正方形的性质；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义；5.方程思想、转换思想和特殊元素法的应用．【分析】设正方形的边长为2，DH=x ，则CH=2x -，由翻折的性质，11DE AD 2122==⨯=，EH CH 2x ==-，在Rt △DEH 中，DE 2+DH 2=EH 2，即()2221x 2x +=-，解得x=34. ∵∠MEH=∠C=90°，∴∠AEN+∠DEH=90°.∵∠ANE+∠AEN=90°，∴∠ANE=∠DEH.∴tan∠ANE=tan∠DEH=3DH34DE14==．1. （2014年江苏镇江10分）我们知道平行四边形有很多性质.现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论. 【发现与证明】Y ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D.结论1：B′D∥AC；结论2：△AB′C与Y ABCD重叠部分的图形是等腰三角形.……请利用图1证明结论1或结论2（只需证明一个结论）.【应用与探究】在Y ABCD中，已知∠B=30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D.（1）如图1，若0AB DB,5A73'=∠，则∠ACB= ▲ °，BC= ▲ ；（2）如图2，AB23=BC=1，AB′与边CD相交于点E，求△AEC的面积；（3）已知AB23=BC长为多少时，是△AB′D直角三角形？∴B′F=DF.∴0180B'FD CB'D B'DA 2-∠∠=∠=. ∵∠AFC=∠B′FD，∴ACB'CB'D ∠=∠.∴B′D∥AC.【应用与探究】（1）45，332+. （2）如答图2，过C 点分别作CG ⊥AB ，CH ⊥A B′，垂足分别为G 、H.∴CG=CH.在Rt △BCG 中，∠BGC=90°，BC=1，∠B=30°，∴13CG ,BG 2== . ∵AB 23=，∴33AC =.∵△AGC≌△AHC,∴133 CH CG,AH AG2====.设AE=CE=x,【考点】1. 翻折问题；2.平行四边形的性质；3. 翻折对称的性质；4.全等三角形的判定和性质；5.三角形内角和定理；6.等腰三角形的判定和性质；7.勾股定理；8. 含30度直角三角形的性质；9.分类思想的应用.【分析】【发现与证明】根据翻折对称的性质,平行四边形的性质和三角形内角和定理可得证.【应用与探究】(1)∵△ABC沿AC翻折至△AB′C，∠B=30°，∴∠AB′C=∠B=30°.∵0AB D 75∠'=，∴∠C B′D=45°.由【发现与证明】的结论, B′D∥AC,∴∠ACB=∠ACB′=∠C B′D=45°.如答图7,过A 点作AP ⊥BC 于点P,∵∠B=30°，AB 3=, ∴33BP ,AP 2== . ∵∠ACB=45°,∴3CP AP ==. ∴33BC BP CP 22=+=+. (2)过C 点分别作CG ⊥AB ，CH ⊥A B′，垂足分别为G 、H,应用含30度直角三角形的性质和勾股定理AE 和CH 的长即可求出△AEC 的面积.(3)分∠B′AD=90°, ∠AB′D=90°和∠ADB′=90°三种情况讨论即可.2. （2014年江苏盐城12分）【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点P 为边BC 上的任一点，过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．求证：PD+PE=CF ．小军的证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD+PE=CF ．小俊的证明思路是：如图2，过点P 作PG ⊥CF ，垂足为G ，可以证得：PD=GF ，PE=CG ，则PD+PE=CF ．【变式探究】如图3，当点P 在BC 延长线上时，其余条件不变，求证：PD ﹣PE=CF ；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：【结论运用】如图4，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C′处，点P 为折痕EF 上的任一点，过点P 作PG ⊥BE 、PH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE=DE•BC，AB=213dm，AD=3dm，BD=37dm．M、N 分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．【迁移拓展】如答图3，延长AD、BC交于点F，作BH⊥AF，垂足为H，∵AD•CE=DE•BC，∴AD BC DE EC．∵ED⊥AD，EC⊥CB，∴∠ADE=∠BCE=90°．∴△ADE∽△BCE．∴∠A=∠CBE．∴FA=FB．3. （2014年江苏宿迁6分）如图是两个全等的含30°角的直角三角形．（1）将其相等边拼在一起，组成一个没有重叠部分的平面图形，请你画出所有不同的拼接平面图形的示意图；（2）若将（1）中平面图形分别印制在质地、形状、大小完全相同的卡片上，洗匀后从中随机抽取一张，求抽取的卡片上平面图形为轴对称图形的概率．4. （2014年江苏无锡8分）（1）如图1，Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=2BC ，现以C 为圆心、CB 长为半径画弧交边AC 于D ，再以A 为圆心、AD 为半径画弧交边AB 于E ．求证：AE 51AB -=51-叫做AE 与AB 的黄金比．）（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB 为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC ．（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）【答案】解：（1）证明：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，5. （2014年江苏南京11分）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据▲ ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC 和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若▲ ，则△ABC≌△DEF．（4）∠B≥∠A．6. （2014年江苏常州7分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知Rt△DOE，∠DOE=90°，OD=3，点D在y轴上，点E在x轴上，在△ABC中，点A，C在x轴上，AC=5．∠ACB+∠ODE=180°，∠ABC=∠OED，BC=DE．按下列要求画图（保留作图痕迹）：（1）将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN（其中点D的对应点为点M，点E的对应点为点N），画出△OMN；（2）将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′（其中点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′），使得B′C′与（1）中的△OMN的边NM重合；（3）求OE的长．交于点N，连接MN即可.（2）以M为圆心，以AC长为半径画弧与x轴负半轴相交于点A′，B′与N重合，C′与M重合，然后顺次连接即可.（3）设OE=x，则ON=x，作MF⊥A′B′于点F，判断出B′C′平分∠A′B′O，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等和角平分线的对称性可得B′F=B′O=OE=x，F C′=O C′=OD=3，利用勾股定理列式求出A′F，然后表示出A′B′、A′O，在Rt△A′B′O中，利用勾股定理列出方程求解即可．。

江苏各地5年数学中考题(2016-2020)分类汇编专题16多边形与平行四边形逐题详解

五年（2016-2020）中考数学真题+1年模拟新题分项汇编（江苏专用）专题16多边形与平行四边形【真题42道模拟50道】一．选择题（共8小题）1．（2020•无锡）正十边形的每一个外角的度数为（）A．36°B．30°C．144°D．150°2．（2020•扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A．100米B．80米C．60米D．40米3．（2020•淮安）六边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．1080°4．（2018•南通）若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为（）A．4B．5C．6D．75．（2018•无锡）若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形6．（2017•苏州）如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，则∠ABE的度数为（）五年中考真题A．30°B．36°C．54°D．72°7．（2016•南通）若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形8．（2017•常州）如图，已知▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，连接AC．若EF＝2，FG＝GC＝5，则AC的长是（）A．12B．13C．6√5D．8√3二．填空题（共19小题）9．（2020•扬州）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF=14DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为．10．（2019•南通）如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+√32PD 的最小值等于．11．（2019•徐州）如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD＝．12．（2019•淮安）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数是．13．（2019•泰州）八边形的内角和为°．14．（2018•南京）如图，五边形ABCDE是正五边形．若l1∥l2，则∠1﹣∠2＝°．15．（2018•徐州）五边形的内角和是°．16．（2018•宿迁）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是．17．（2017•徐州）正六边形的每个内角等于°．18．（2017•南京）如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1＝65°，则∠A+∠B+∠C+∠D＝°．19．（2016•连云港）如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝．20．（2016•常州）一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为．21．（2016•镇江）正五边形每个外角的度数是．22．（2018•常州）如图，在▱ABCD中，∠A＝70°，DC＝DB，则∠CDB＝．23．（2018•泰州）如图，▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC+BD＝16，则△BOC的周长为．24．（2017•连云港）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF＝56°，则∠B＝°．25．（2017•扬州）在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝200°，则∠A＝．26．（2016•无锡）如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为．27．（2018•无锡）如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC 为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD ∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD＝a，OE＝b，则a+2b的取值范围是．三．解答题（共15小题）28．（2020•扬州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．（1）若OE=32，求EF的长；（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．29．（2019•无锡）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且DE＝BF，直线EF与BA、DC 的延长线分别交于点G，H．求证：（1）△DEH≌△BFG；（2）AG＝CH．30．（2019•淮安）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点．求证：BE＝DF．31．（2019•扬州）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10．（1）求证：∠BEC＝90°；（2）求cos∠DAE．32．（2018•淮安）已知：如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F．求证：AE＝CF．33．（2018•无锡）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF＝∠CDE．34．（2018•宿迁）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB、CD交于点G、H．求证：AG＝CH．35．（2017•无锡）已知，如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连DE并延长交AB的延长线于点F，求证：AB＝BF．36．（2017•南京）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF，EF、BD相交于点O，求证：OE＝OF．37．（2017•淮安）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：△ADE≌△CBF．38．（2016•徐州）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，△ACD是等边三角形，E是AC的中点，连接BE并延长，交DC于点F，求证：（1）△ABE≌△CFE；（2）四边形ABFD是平行四边形．39．（2020•淮安）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．（1）求证：△AOF≌△COE；（2）连接AE、CF，则四边形AECF（填“是”或“不是”）平行四边形．40．（2017•无锡）如图，已知点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC，BE＝CF．求证：BD是△ABC的角平分线．41．（2017•镇江）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠1＝∠2．（1）求证：四边形BCED是平行四边形；（2）已知DE＝2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．42．（2016•宿迁）如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE＝CF．一．选择题（共12小题）1．（2020•滨海县二模）如图，正六边形ABCDEF的一个内角的度数是（）A．60°B．120°C．135°D．150°2．（2020•广陵区二模）已知正多边形的一个内角是140°，则这个正多边形的边数是（）A．九B．八C．七D．六3．（2020•海安市一模）如图，M是正五边形ABCDE的边CD延长线上一点．连接AD，则∠ADM的度数是（）A．108°B．120°C．144°D．150°4．（2020•梁溪区模拟）如图，点E在四边形ABCD的CD边的延长线上，若∠ADE＝120°，则∠A+∠B+∠C的度数为（）A．240°B．260°C．300°D．320°5．已知一个多边形的外角和比它的内角和少540°，则该多边形的边数为（）一年模拟新题A．7B．8C．9D．106．（2020•邗江区校级一模）平行四边形的一边长为6cm，则它的两条对角线长可以是（）A．4cm，6cm B．5cm，6cm C．4cm，8cm D．2cm，12cm7．（2020•工业园区一模）如图，平行四边形ABCD的周长为36cm，对角线AC，BD相交于点O，AC＝12cm．若点E是AB的中点，则△AOE的周长为（）A．10cm B．15cm C．20cm D．30cm8．（2020•江苏模拟）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，则△ODE与△AOB的面积比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：59．（2020•天宁区校级模拟）下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠C，∠B＝∠DC．AB∥CD，AD∥BC D．AB＝CD，AD＝BC10．（2020•惠山区一模）六边形的外角和为（）A．180°B．720°C．360°D．1080°11．（2020•海门市校级模拟）已知一个正多边形的一个内角为150度，则它的边数为（）A．12B．8C．9D．712．（2020•海淀区校级模拟）一个多边形的每一个外角都是72°，这个多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°二．填空题（共19小题）13．（2020•邗江区一模）在平面直角坐标系中，▱OABC的三个顶点O（0，0）、A（3，0）、B（5，3），则其第四个顶点C的坐标是．14．（2020•灌南县一模）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝70°，则∠B的度数为．15．（2020•宜兴市一模）已知平面直角坐标系xoy中，O（0，0），A（﹣6，8），B（m，−43m﹣4），则平行四边形OABD的面积是．16．（2020•昆山市一模）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点M是AC边上任意一点，连接MB，以MB、MC为邻边作▱MCNB，连接MN，则MN的最小值为．17．（2020•新吴区一模）定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的逆定理是．18．（2020•邗江区二模）若一个多边形的内角和比外角和大180°，则这个多边形的边数为．19．（2020•徐州模拟）若一个正多边形的外角与它的内角相等，则这个多边形为．20．（2020•南京一模）如图，将正六边形ABCDEF绕点D逆时针旋转27°得正六边形A′B′C′DE′F′，则∠1＝°．21．（2020•宝应县一模）如图，1角硬币边缘镌刻的是正九边形，则这个正九边形每个内角的度数是°．22．（2020•兴化市模拟）任意多边形的外角和等于．23．（2020•江阴市模拟）正十边形的外角和为．24．（2020•泰兴市一模）如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于度．25．（2020•海门市校级模拟）若一个多边形的内角和为其外角和的6倍，则这个多边形的边数为．26．（2020•无锡一模）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为．27．（2020•姜堰区二模）一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为．28．（2020•滨湖区模拟）已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是边形．29．（2020•如皋市校级模拟）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是边形．30．（2020•天桥区一模）一个多边形的内角和是1440°，那么这个多边形边数是．31．（2020•徐州模拟）已知多边形的每个内角都等于120°，则这个多边形是边形．三．解答题（共19小题）32．（2020•邗江区二模）如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，EA⊥AC，FC⊥AC．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠B＝30°，∠AEC＝45°，求证：AB＝AF．33．（2020•仪征市一模）如图，在▱ABCD中，DE⊥BC于点E，过点A作AF∥DE，交CB的延长线于点F，连接DF，交AB于点P．（1）若AD＝4，tan C＝3，BF＝1，求DF的长；（2）若∠APD＝2∠ADP，求证：DF＝2AP．34．（2020•金湖县一模）如图，在平行四边形ABCD中，作∠BAD和∠BCD平分线分别交对角线BD于点E、F，求证：BF＝DE．35．（2020•惠山区一模）如图，BD为▱ABCD的对角线，AE∥CF，点E、F在BD上．求证：BE＝DF．36．（2020•滨海县一模）如图，B、C在直线EF上，AE∥FD，AE＝FD，且BE＝CF．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）求证：以A、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形．37．（2020•徐州模拟）已知，如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，连接CE并延长交DA的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△BEC；（2）若DE平分∠ADC，求证：DC＝DF．38．（2020•江都区二模）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）过点D作DG⊥AE于点G，H为DG的中点．判断CH与DG的位置关系，并说明理由．39．（2020•无锡模拟）在▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE＝CF．求证：DE＝BF．40．（2020•滨湖区模拟）如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，求证：BE＝DF．41．（2020•锡山区一模）如图，在▱ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD．（1）求证：△AEB≌△CFD；（2）若四边形EBFD是菱形，求∠ABD的度数．42．（2020•玄武区模拟）如图在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且AF＝CE，求证：△ABE≌△CDF．43．（2020•梁溪区模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AD、BC的中点，EF与BD交于点G．求证：EF与BD互相平分．44．（2020•邗江区一模）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB＝90°，AB＝4，求四边形BEFD的周长．45．（2020•盐城模拟）已知点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD的中点．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BC＝10，∠BAC＝90°，求▱AECF的周长．46．（2020•海门市校级模拟）如图，点E是平行四边形ABCD边CD上的中点，AE、BC的延长线交于点F，连接DF．求证：四边形ACFD为平行四边形．47．（2020•徐州模拟）如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE ⊥AE，点F在AB上，且BF＝DE．（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．48．（2020•江阴市二模）已知，如图，在平行四边形ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE ＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．（1）求证：△AEM≌△CFN；（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．49．（2020•无锡二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．求证：BE ∥DF．50．（2020•吴中区二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE ＝DF．五年（2016-2020）中考数学真题+1年模拟新题分项汇编（江苏专用）专题16多边形与平行四边形【真题42道模拟50道】一．选择题（共8小题）1．（2020•无锡）正十边形的每一个外角的度数为（）A．36°B．30°C．144°D．150°【分析】根据多边形的外角和为360°，再由正十边形的每一个外角都相等，进而求出每一个外角的度数．【解析】正十边形的每一个外角都相等，因此每一个外角为：360°÷10＝36°，故选：A．2．（2020•扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A．100米B．80米C．60米D．40米【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可．【解析】∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷45°＝8，∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10＝80（m）．故选：B．3．（2020•淮安）六边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．1080°【分析】利用多边形的内角和＝（n﹣2）•180°即可解决问题．【解析】根据多边形的内角和可得：（6﹣2）×180°＝720°．故选：C．4．（2018•南通）若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为（）A．4B．5C．6D．7【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到（n﹣2）×180°＝720°，然后解方程即可．【解析】设这个多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝720°，解得n＝6，故这个多边形为六边形．故选：C．5．（2018•无锡）若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解析】360÷40＝9，即这个多边形的边数是9，故选：C．6．（2017•苏州）如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，则∠ABE的度数为（）A．30°B．36°C．54°D．72°【分析】在等腰三角形△ABE中，求出∠A的度数即可解决问题．【解析】在正五边形ABCDE中，∠A=15×（5﹣2）×180＝108°又知△ABE是等腰三角形，∴AB＝AE，∴∠ABE=12（180°﹣108°）＝36°．故选：B．7．（2016•南通）若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．【解析】设多边形的边数为n，根据题意得（n﹣2）•180°＝360°，解得n＝4．故这个多边形是四边形．故选：B．8．（2017•常州）如图，已知▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，连接AC．若EF＝2，FG＝GC＝5，则AC的长是（）A．12B．13C．6√5D．8√3【分析】如图，作AP⊥CH交CH的延长线与P．利用勾股定理即可解决问题；【解析】如图，作AP⊥CH交CH的延长线与P．∵四边形ABCD是平行四边形，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，∴易证四边形EFGH是矩形，四边形AEHP是矩形，△ABE≌△CDG，可得P A＝FG＝5，AE＝PH＝CG＝5，CP＝CG+PH+GH＝2+10＝12，在Rt△APC中，AC=√PA2+PC2=√122+52=13．故选：B．二．填空题（共19小题）9．（2020•扬州）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF=14DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为9√3．【分析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到ED和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决．【解析】作CH⊥AB于点H，∵在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，∴CH＝4√3，∵四边形ECGF是平行四边形，∴EF∥CG，∴△EOD∽△GOC，∴EOGO =DOOC=EDGC，∵DF =14DE ，∴DE EF =45， ∴ED GC =45， ∴EO GO =45，∴当EO 取得最小值时，EG 即可取得最小值，当EO ⊥CD 时，EO 取得最小值，∴CH ＝EO ，∴EO ＝4√3，∴GO ＝5√3，∴EG 的最小值是9√3，故答案为：9√3．10．（2019•南通）如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则PB +√32PD 的最小值等于 3√3 ．【分析】过点P 作PE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，有锐角三角函数可得EP =√32PD ，即PB +√32PD ＝PB +PE ，则当点B ，点P ，点E 三点共线且BE ⊥AD 时，PB +PE 有最小值，即最小值为BE ．【解析】如图，过点P 作PE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，∵AB∥CD∴∠EDP＝∠DAB＝60°，∴sin∠EDP=EPDP=√32∴EP=√32PD∴PB+√32PD＝PB+PE∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，∵sin∠A=BEAB=√32∴BE＝3√3故答案为3√311．（2019•徐州）如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD＝30°．【分析】连接OB、OC，利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．【解析】连接OB、OC，多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得多边形的边数为：360°40°=9，∴∠AOB=360°9=40°，∴∠AOD＝40°×3＝120°．∴∠OAD=180°−∠AOD2=30°．故答案为：30°12．（2019•淮安）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数是5．【分析】n边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，由此列方程求n．【解析】设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝540°，解得n＝5，故答案为：5．13．（2019•泰州）八边形的内角和为1080°．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°进行计算即可得解．【解析】（8﹣2）•180°＝6×180°＝1080°．故答案为：1080°．14．（2018•南京）如图，五边形ABCDE是正五边形．若l1∥l2，则∠1﹣∠2＝72°．【分析】过B点作BF∥l1，根据正五边形的性质可得∠ABC的度数，再根据平行线的性质以及等量关系可得∠1﹣∠2的度数．【解析】过B点作BF∥l1，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC＝108°，∵BF∥l1，l1∥l2，∴BF∥l2，∴∠3＝180°﹣∠1，∠4＝∠2，∴180°﹣∠1+∠2＝∠ABC＝108°，∴∠1﹣∠2＝72°．故答案为：72．15．（2018•徐州）五边形的内角和是540°．【分析】根据多边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入计算即可．【解析】（5﹣2）•180°＝540°，故答案为：540°．16．（2018•宿迁）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是八．【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解析】设多边形的边数为n，根据题意，得（n﹣2）•180＝3×360，解得n＝8．则这个多边形的边数是八．17．（2017•徐州）正六边形的每个内角等于120°．【分析】根据多边形内角和公式即可求出答案．【解析】六边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°，∴正六边形的每个内角为：720°6=120°，故答案为：120°18．（2017•南京）如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1＝65°，则∠A+∠B+∠C+∠D＝425°．【分析】根据补角的定义得到∠AED＝115°，根据五边形的内角和即可得到结论．【解析】∵∠1＝65°，∴∠AED ＝115°，∴∠A +∠B +∠C +∠D ＝540°﹣∠AED ＝425°，故答案为：425．19．（2016•连云港）如图，正十二边形A 1A 2…A 12，连接A 3A 7，A 7A 10，则∠A 3A 7A 10＝ 75° ．【分析】如图，作辅助线，首先证得A 3A 7A 10̂=512⊙O 的周长，进而求得∠A 3OA 10=512×360°=150°，运用圆周角定理问题即可解决．【解析】设该正十二边形的中心为O ，如图，连接A 10O 和A 3O ，由题意知，A 3A 7A 10̂=512⊙O 的周长， ∴∠A 3OA 10=512×360°=150°，∴∠A 3A 7A 10＝75°，故答案为：75°．20．（2016•常州）一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为 6 ．【分析】利用外角和除以外角的度数即可得到边数．【解析】360÷60＝6．故这个多边形边数为6．故答案为：6．21．（2016•镇江）正五边形每个外角的度数是 72° ．【分析】利用正五边形的外角和等于360度，除以边数即可求出答案．【解析】360°÷5＝72°．故答案为：72°．22．（2018•常州）如图，在▱ABCD中，∠A＝70°，DC＝DB，则∠CDB＝40°．【分析】根据等腰三角形的性质，平行四边形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C＝70°，∵DC＝DB，∴∠C＝∠DBC＝70°，∴∠CDB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故答案为40°．23．（2018•泰州）如图，▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC+BD＝16，则△BOC的周长为14．【分析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题；【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝6，OA＝OC，OB＝OD，∵AC+BD＝16，∴OB+OC＝8，∴△BOC的周长＝BC+OB+OC＝6+8＝14，故答案为14．24．（2017•连云港）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF＝56°，则∠B＝56°．【分析】根据四边形的内角和等于360°求出∠C，再根据平行四边形的邻角互补列式计算即可得解．【解析】∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°，在四边形AECF中，∠C＝360°﹣∠EAF﹣∠AEC﹣∠AFC＝360°﹣56°﹣90°﹣90°＝124°，在▱ABCD中，∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣124°＝56°．故答案为：56．25．（2017•扬州）在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝200°，则∠A＝80°．【分析】利用平行四边形的对角相等、邻角互补可求得答案．【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，∵∠B+∠D＝200°，∴∠B＝∠D＝100°，∴∠A＝180°﹣∠B＝180°﹣100°＝80°，故答案为：80°．26．（2016•无锡）如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为5．【分析】过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则OB=√OE2+BE2．由于四边形OABC是平行四边形，所以OA＝BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求．【解析】过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图：∵四边形OABC是平行四边形，∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴，∴AM ∥CN ，∴四边形ANCM 是平行四边形，∴∠MAN ＝∠NCM ，∴∠OAF ＝∠BCD ，∵∠OF A ＝∠BDC ＝90°，∴∠FOA ＝∠DBC ，在△OAF 和△BCD 中，{∠FOA =∠DBCOA =BC ∠OAF =∠BCD，∴△OAF ≌△BCD ．∴BD ＝OF ＝1，∴OE ＝4+1＝5，∴OB =√OE 2+BE 2．由于OE 的长不变，所以当BE 最小时（即B 点在x 轴上），OB 取得最小值，最小值为OB ＝OE ＝5．故答案为：5．27．（2018•无锡）如图，已知∠XOY ＝60°，点A 在边OX 上，OA ＝2．过点A 作AC ⊥OY 于点C ，以AC 为一边在∠XOY 内作等边三角形ABC ，点P 是△ABC 围成的区域（包括各边）内的一点，过点P 作PD ∥OY 交OX 于点D ，作PE ∥OX 交OY 于点E ．设OD ＝a ，OE ＝b ，则a +2b 的取值范围是 2≤a +2b ≤5 ．【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP 是平行四边形，得EP ＝OD ＝a ，在Rt △HEP 中，∠EPH ＝30°，可得EH 的长，计算a +2b ＝2OH ，确认OH 最大和最小值的位置，可得结论．【解析】如图1，过P 作PH ⊥OY 交于点H ，∵PD ∥OY ，PE ∥OX ，∴四边形EODP 是平行四边形，∠HEP ＝∠XOY ＝60°，∴EP ＝OD ＝a ，Rt △HEP 中，∠EPH ＝30°，∴EH =12EP =12a ，∴a +2b ＝2（12a +b ）＝2（EH +EO ）＝2OH ，当P 在AC 边上时，H 与C 重合，此时OH 的最小值＝OC =12OA ＝1，即a +2b 的最小值是2；当P 在点B 时，如图2，OC ＝1，AC ＝BC =√3，Rt △CHP 中，∠HCP ＝30°，∴PH =√32，CH =32，则OH 的最大值是：OC +CH ＝1+32=52，即（a +2b ）的最大值是5，∴2≤a +2b ≤5．三．解答题（共15小题）28．（2020•扬州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．（1）若OE=32，求EF的长；（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．【分析】（1）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF=32，进而得出EF的长；（2）先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EF⊥AC，即可得到四边形AECF是菱形．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠FCO＝∠EAO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF=3 2，∴EF＝2OE＝3；（2）四边形AECF是菱形，理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．29．（2019•无锡）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且DE＝BF，直线EF与BA、DC 的延长线分别交于点G，H．求证：（1）△DEH≌△BFG；（2）AG＝CH．【分析】（1）依据四边形ABCD是平行四边形，即可得到∠D＝∠B，∠H＝∠G，DE＝BF，进而得出△DEH≌△BFG；（2）依据△DEH≌△BFG，即可得到GB＝HD，再根据AB＝CD，即可得出AG＝CH．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠B＝∠D，AB＝CD，∴∠G＝∠H，∵∠D＝∠B，∠H＝∠G，DE＝BF，∴△DEH≌△BFG（AAS）；（2）∵△DEH≌△BFG，∴GB＝HD，又∵AB＝CD，∴GB﹣AB＝HD﹣CD，∴AG＝CH．30．（2019•淮安）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点．求证：BE＝DF．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD＝BC，又由点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，可得DE＝BF，继而证得四边形BFDE是平行四边形，即可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，∴DE=12AD，BF=12BC，∴DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE＝DF．31．（2019•扬州）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10．（1）求证：∠BEC＝90°；（2）求cos∠DAE．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出DC＝AB，AD＝CB，DC∥AB，推出∠DEA＝∠EAB，再根据角平分线性质得出∠DAE＝∠DEA，推出AD＝DE＝10，得出AB＝CD＝16，由勾股定理的逆定理即可得出结论；（2）由平行线得出∠ABE＝∠BEC＝90°，由勾股定理求出AE=√AB2+BE2=8√5，得出cos∠DAE＝cos∠EAB，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB，AD＝BC，DC∥AB，∴∠DEA＝∠EAB，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB，∴∠DAE＝∠DEA∴AD＝DE＝10，∴BC＝10，AB＝CD＝DE+CE＝16，∵CE 2+BE 2＝62+82＝100＝BC 2，∴△BCE 是直角三角形，∠BEC ＝90°；（2）解：∵AB ∥CD ，∴∠ABE ＝∠BEC ＝90°，∴AE =√AB 2+BE 2=√162+82=8√5，∴cos ∠DAE ＝cos ∠EAB =AB AE =168√5=2√55． 32．（2018•淮安）已知：如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线分别与AD 、BC 相交于点E 、F ．求证：AE ＝CF ．【分析】利用平行四边形的性质得出AO ＝CO ，AD ∥BC ，进而得出∠EAC ＝∠FCO ，再利用ASA 求出△AOE ≌△COF ，即可得出答案．【解答】证明：∵▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，∴AO ＝CO ，AD ∥BC ，∴∠EAC ＝∠FCO ，在△AOE 和△COF 中{∠EAO =∠FCOAO =CO ∠AOE =∠COF，∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴AE ＝CF ．33．（2018•无锡）如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AD 的中点，求证：∠ABF ＝∠CDE ．【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质即可求出答案．【解析】在▱ABCD 中，AD ＝BC ，∠A ＝∠C ，∵E 、F 分别是边BC 、AD 的中点，∴AF ＝CE ，在△ABF 与△CDE 中，{AB =CD ∠A =∠C AF =CE∴△ABF ≌△CDE （SAS ）∴∠ABF ＝∠CDE34．（2018•宿迁）如图，在▱ABCD 中，点E 、F 分别在边CB 、AD 的延长线上，且BE ＝DF ，EF 分别与AB 、CD 交于点G 、H ．求证：AG ＝CH ．【分析】利用平行四边形的性质得出AF ＝EC ，再利用全等三角形的判定与性质得出答案．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，∠A ＝∠C ，AD ∥BC ，∴∠E ＝∠F ，∵BE ＝DF ，∴AF ＝EC ，在△AGF 和△CHE 中{∠A =∠CAF =EC ∠F =∠E，∴△AGF ≌△CHE （ASA ），∴AG ＝CH ．35．（2017•无锡）已知，如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连DE 并延长交AB 的延长线于点F ，求证：AB ＝BF ．【分析】根据线段中点的定义可得CE ＝BE ，根据平行四边形的对边平行且相等可得AB ∥CD ，AB ＝CD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DCB ＝∠FBE ，然后利用“角边角”证明△CED 和△BEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得CD ＝BF ，从而得证．【解答】证明：∵E 是BC 的中点，∴CE ＝BE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠DCB ＝∠FBE ，在△CED 和△BEF 中，{∠DCB =∠FBECE =BE ∠CED =∠BEF，∴△CED ≌△BEF （ASA ），∴CD ＝BF ，∴AB ＝BF ．36．（2017•南京）如图，在▱ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、BC 上，且AE ＝CF ，EF 、BD 相交于点O ，求证：OE ＝OF ．【分析】方法1、连接BE 、DF ，由已知证出四边形BEDF 是平行四边形，即可得出结论．方法2、先判断出DE ＝BF ，进而判断出△DOE ≌△BOF 即可．【解答】证明：方法1，连接BE 、DF ，如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴DE ∥BF ，∵AE ＝CF ，∴DE ＝BF ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴OF ＝OE ．方法2，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴∠ODE ＝∠OBF ，又∵AE ＝CF ，∴DE ＝BF ，在△DOE 和△BOF 中，{∠DOE =∠BOF∠ODE =∠OBF DE =BF，∴△DOE ≌△BOF （AAS ），∴OE ＝OF ．37．（2017•淮安）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ．求证：△ADE ≌△CBF ．【分析】证出∠ADE ＝∠CBF ，AD ＝CB ，由AAS 证△ADE ≌△CBF 即可．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBF ，∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AED ＝∠CFB ＝90°，在△ADE 和△CBF 中，{∠ADE =∠CBF∠AED =∠CFB AD =CB，∴△ADE ≌△CBF （AAS ）．38．（2016•徐州）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，△ACD 是等边三角形，E 是AC 的中点，连接BE 并延长，交DC 于点F ，求证：（1）△ABE ≌△CFE ；（2）四边形ABFD 是平行四边形．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠DCA ＝60°等量代换得到∠DCA ＝∠BAC ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据已知条件得到△ABE 是等边三角形，推出△CEF 是等边三角形，证得∠CFE ＝∠CDA ，求得BF ∥AD ，即可得到结论；【解答】证明：（1）∵△ACD 是等边三角形，∴∠DCA ＝60°，∵∠BAC ＝60°，∴∠DCA ＝∠BAC ，在△ABE 与△CFE 中，{∠DCA =∠BACAE =CE ∠BEA =∠FEC，∴△ABE ≌△CFE ；（2）∵E 是AC 的中点，∴BE ＝EA ，∵∠BAE ＝60°，∴△ABE 是等边三角形，∴△CEF 是等边三角形，∴∠CFE ＝60°，∵△ACD 是等边三角形，∴∠CDA ＝∠DCA ＝60°，∴∠CFE ＝∠CDA ，∴BF ∥AD ，∵∠DCA ＝∠BAC ＝60°，∴AB ∥DC ，∴四边形ABFD 是平行四边形．39．（2020•淮安）如图，在▱ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、AD 上，AC 与EF 相交于点O ，且AO ＝CO ．（1）求证：△AOF ≌△COE ；（2）连接AE 、CF ，则四边形AECF 是（填“是”或“不是”）平行四边形．【分析】（1）由ASA 证明△AOF ≌△COE 即可；（2）由全等三角形的性质得出FO ＝EO ，再由AO ＝CO ，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠OAF ＝∠OCE ，在△AOF 和△COE 中，{∠OAF =∠OCEAO =CO ∠AOF =∠COE，∴△AOF ≌△COE （ASA ）（2）解：四边形AECF 是平行四边形，理由如下：由（1）得：△AOF ≌△COE ，∴FO ＝EO ，又∵AO ＝CO ，∴四边形AECF 是平行四边形；故答案为：是．40．（2017•无锡）如图，已知点E 、F 分别在边AB 、BC 上，ED ∥BC ，EF ∥AC ，BE ＝CF ．求证：BD 是△ABC 的角平分线．【分析】先证明四边形EFCD是平行四边形，得ED＝CF，再证明△BED是等腰三角形，得∠EBD＝∠EDB，再由平行线的性质得结果．【解答】证明：∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴ED＝CF，∵BE＝CF，∴BE＝ED，∴∠EBD＝∠EDB，∵ED∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴EBD＝∠DBC，∴BD是△ABC的角平分线．41．（2017•镇江）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠1＝∠2．（1）求证：四边形BCED是平行四边形；（2）已知DE＝2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．【分析】（1）由已知角相等，利用对顶角相等，等量代换得到同位角相等，进而得出DB与EC平行，再由内错角相等两直线平行得到DE与BC平行，即可得证；（2）由角平分线得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换得到一对角相等，再利用等角对等边得到CN＝BC，再由平行四边形对边相等即可确定出所求．【解答】（1）证明：∵∠A＝∠F，∴DE∥BC，∵∠1＝∠2，且∠1＝∠DMF，∴∠DMF＝∠2，∴DB∥EC，则四边形BCED为平行四边形；。

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专题16：操作型问题1.（2015年江苏泰州3分）一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是【】A. 四棱锥B. 四棱柱C. 三棱锥D. 三棱柱【答案】A.【考点】几何体的展开.【分析】由图知，这个几何体的底面是正方形，四外侧面是三角形，所以，这个几何体是四棱锥. 故选A.2. （2015年江苏无锡3分）如图的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是【】A. B. C. D.【答案】D.【考点】几何体的展开图．.【分析】根据正方体的表面展开图，两条相邻黑线成直角，故B错误；三条黑线所在的正方形不是依次相邻的三个，故A错误；三条黑线的端点都应两两相连，故C错误. 只有D选项符合条件，故选D.3. （2015年江苏无锡3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为【】A.35 B. 45 C. 23D. 32【答案】B ．【考点】翻折变换（折叠问题）；折叠的性质；等腰直角三角形的判定和性质；勾股定理．【分析】根据折叠的性质可知34CD AC B C BC ACE DCE BCF B CF CE AB =='==∠=∠∠=∠'⊥，，，，，∴431B D DCE B CF ACE BCF '=-=∠+∠'=∠+∠，.∵90ACB ∠=︒，∴45ECF ∠=︒. ∴ECF V 是等腰直角三角形. ∴45EF CE EFC =∠=︒，. ∴135BFC B FC ∠=∠'=︒. ∴90B FD ∠'=︒. ∵1122ABC S AC BC AB CE =⋅⋅=⋅⋅V ，∴AC BC AB CE ⋅=⋅. 在Rt ABC V 中，根据勾股定理，得A B=5，∴123455CE CE ⋅=⋅⇒=.∴125EF CE ==. 在Rt AEC V 中，根据勾股定理，得2295AE AC CE =-=，∴95ED AE ==.∴35DF EF ED =-=.在Rt B FD 'V 中，根据勾股定理，得222234155B F B D DF ⎛⎫'='-=-= ⎪⎝⎭.故选B ．1. （2015年江苏泰州3分）如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 相交于点O ，且OE =OD ，则AP 的长为 ▲ ．【答案】245. 【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；折叠对称的性质；勾股定理，全等三角形的判定和性质；方程思想的应用.【分析】如答图，∵四边形ABCD 是矩形，∴90,6,8D A C AD BC CD AB ∠=∠=∠=︒==== . 根据折叠对称的性质，得ABP EBP ∆∆≌， ∴,90,8EP AP E A BE AB =∠=∠=︒== .在ODP ∆和OEG ∆中，∵D EOD OE DOP EOG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ODP ∆≌()OEG ASA ∆.∴,OP OG PG GE == . ∴DG EP =.设AP EP x ==，则6,PD GE x DG x ==-= ，∴()8,862CG x BG x x =-=--=+ . 在Rt BCG ∆中，根据勾股定理，得222BC CG BG +=，即()()222682x x +-=+.解得245x =. ∴AP 的长为245. 2. （2015年江苏镇江2分）写一个你喜欢的实数m 的值 ▲ ，使得事件“对于二次函数()21132y x m x =--+，当x ＜﹣3时，y 随x 的增大而减小”成为随机事件．【答案】﹣3（答案不唯一）．【考点】开放型；随机事件；二次函数的性质．【分析】二次函数()21132y x m x =--+的对称轴为()11122m y m --=-=-⨯， ∵当x ＜﹣3时，y 随x 的增大而减小，∴1<3m --，解得<2m -. ∴m ＜﹣2的任意实数即可，如m =﹣3（答案不唯一）．1. （2015年江苏连云港10分）如图，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 进行折叠，折叠后点C 落在点F 处，DF 交AB 于点E ．(1）求证；∠EDB =∠EBD ；(2）判断AF 与DB 是否平行，并说明理由．【答案】解：（1）证明：由折叠可知：∠CDB=∠EDB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB. ∴∠CDB=∠EBD.∴∠EDB=∠EBD.（2）AF∥DB. 理由如下：∵∠EDB=∠EBD，∴DE=BE.由折叠可知：DC=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB. ∴DF=AB.∴AE=EF. ∴∠EAF=∠EFA.在△BED中，∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°，∴2∠EDB+∠DEB=180°.同理，在△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°.∵∠DEB=∠AEF，∴∠EDB=∠EFA. ∴AF∥DB．【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质；平行的判定和性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定和性质．【分析】（1）一言面，由折叠可得∠CDB=∠EDB，另一方面，由四边形ABCD是平行四边形可得DC∥AB，从而得到∠CDB=∠EBD，进而得出结论.（2）可判定A F∥DB，首先证明AE=EF，得出∠AFE=∠EAF，然后根据三角形内角和定理与等式性质可证明∠BDE=∠AFE，从而得出AF∥BD的结论.2. （2015年江苏南京10分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）【答案】解：满足条件的所有等腰三角形如答图所示：【考点】作图（应用和设计作图）；等腰三角形的性质；正方形的性质；分类思想的应用．【分析】分A ∠是顶角，腰长是3；A ∠是顶角，底边长是3（底角在,AD AB 上）；A ∠是顶角，底边长是3（底角在,BC CD 上）；A ∠是底角，腰长是3；A ∠是底角，底边是3五种情况．3. （2015年江苏扬州10分）如图，将ABCD Y 沿过点A 的直线折叠，使点D 落到AB 边上的点'D 处，折痕交CD 边于点E ，连接BE.（1）求证：四边形'BCED 是平行四边形；（2）若BE 平分∠ABC ，求证：222AB AE BE =+.【答案】证明：（1）如答图，∵将ABCD Y 沿过点A 的直线AE 折叠， ∴',12DE D E =∠=∠ . ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC ∥AB . ∴13∠=∠.∴23∠=∠. ∴''D E AD =.∴'DE AD =. ∵ABCD Y ，∴DC AB =.∴'B EC D =. ∴EC'B D . ∴四边形'BCED 是平行四边形.（2）如答图，∵BE 平分∠ABC ，∴45∠=∠.∵四边形'BCED 是平行四边形，∴'ED ∥CB . ∴46∠=∠.∴56∠=∠. 由（1）23∠=∠，∴263590∠+∠=∠+∠=︒，即90AEB ∠=︒. ∴在Rt ABE V 中，由勾股定理，得222AB AE BE =+.【考点】折叠问题；折叠对称的性质；平行四边形的判定和性质；平行的性质；等腰三角形的判定；三角形内角和定理；勾股定理.【分析】（1）要证四边形'BCED 是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，一方面，由四边形ABCD 是平行四边形可有EC ∥'B D ；另一方面，由折叠对称的性质、平行的内错角相等性质、等腰三角形的等角对等边的性质可得'B EC D =，从而得证.（2）要证222AB AE BE =+，根据勾股定理，只要ABE V 的90AEB ∠=︒即可，而要证90AEB ∠=︒，一方面，由BE 平分∠ABC 可得45∠=∠（如答图，下同）；另一方面，由'ED ∥CB 可得46∠=∠，从而得到56∠=∠，结合（1）23∠=∠即可根据三角形内角和定理得到90AEB ∠=︒，进而得证.4. （2015年江苏常州10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．（1）阅读填空如图①，已知矩形ABCD ，延长AD 到E ，使DE =DC ，以AE 为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H ，以DH 为边作正方形DFGH ，则正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．理由：连接A H ，EH ．∵AE 为直径，∴∠AHE =90°，∴∠HAE +∠HEA =90°． ∵DH ⊥AE ，∴∠ADH =∠EDH =90° ∴∠HAD +∠AHD =90°∴∠AHD =∠HED ，∴△ADH ∽ ▲ ． ∴AD DH DH DE=，即DH 2=AD ×DE ．又∵DE =DC∴DH 2= ▲ ，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．（2）操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．如图②，请用尺规作图作出与ABCD Y 等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 ▲ （填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC 等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC 面积作图）．（4）拓展探究n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．【答案】解：（1）△HDE；AD×DC.Y等积的矩形.（2）如答图1，矩形ANMD即为与ABCD（3）矩形.如答图2，CF为与△ABC等积的正方形的一条边.（4）如答图3，△BCE是与四边形ABCD等积的三角形.，【考点】阅读理解型问题；尺规作图（复杂作图）；全等、相似三角形的判定和性质；平行四边形的性质；矩形的性质；正方形的性质；圆周角定理；转换思想和数形结合思想的应用．【分析】（1）首先根据相似三角形的判定方法，可得△ADH∽△HDE；根据等量代换，可得DH2=AD×DC，据此判断即可．（2）过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M，以点M为圆心，AD长为半径画弧，交BC于点N，连接AN，则易证△DCM≌△ABN，因此，矩形ANMD即为与ABCDY等积的矩形.（3）三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的矩形，再转化为等积的正方形．首先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将△ABC转化为等积的矩形BCMN；然后延长BC到E，使CE=CM，以BE为直径作圆．延长CM交圆于点F，则CF即为与△ABC等积的正方形的一条边．（4）连接AC，过点D作DE∥AC交BA的延长线于点E，连接CE，则△BCE是与四边形ABCD等积的三角形.5. （2015年江苏淮安12分）阅读理解：如图①，如果四边形ABCD 满足AB =AD ，CB =CD ，∠B =∠D =900,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”. 将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD 先折叠成如图②所示的形状，再展开得到图③，其中CE 、CF 为折痕，∠BCD =∠ECF=∠FCD ，点B ′为点B 的对应点，点D ′为点D 的对应点，连接EB ′、FD ′相交于点O . 简单应用：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是 ▲ ；（2）当图③中的120BCD ∠=︒时，∠AEB ′＝ ▲ °；（3）当图②中的四边形AECF 为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有 ▲ 个（包含四边形ABCD ）. 拓展提升：当图中的90BCD ∠=︒时，连接AB ′，请探求∠AB ′E 的度数，并说明理由.【答案】解：简单应用：（1）正方形. （2）80. （3）5.拓展提升：45AB E ∠'=︒，理由如下：如答图，连接EF ，∵90B D BCD ∠=∠=∠=︒，且AB =AD ， ∴四边形ABCD 是正方形. ∴90A ∠=︒.由折叠对称的性质，得''90EB F EB C ∠=∠=︒， ∴点'A E B F 、、、在以EF 为直径的圆上. ∵由对称性，知AE AF =，∴45AFE ∠=︒. ∴45AB E AFE ∠'=∠=︒.【考点】新定义和阅读理解型问题；折叠问题；正方形的判定和性质；折叠对称的性质；圆周角定理；等腰直角三角形的性质.【分析】简单应用：（1）根据“完美筝形”的定义，知只有正方形是“完美筝形”.（2）∵120BCD ∠=︒，∴根据折叠对称的性质，得1403BCE BCD ∠=∠=︒.∵90B ∠=︒，∴50BEC CEB ∠=∠'=︒. ∴80AEB ∠'=︒.（3）根据“完美筝形”的定义，可知',',,'',EBCB FDCD ABCD CD OB AEOF 是“完美筝形”. 拓展提升：作辅助线“连接EF ”，由题意判定四边形ABCD 是正方形，从而证明点'A E B F 、、、在以EF 为直径的圆上，即可得出45AB E AFE ∠'=∠=︒.。