3.1.3空间向量的数量积运算 (共16张PPT)
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3.1.3空间向量的数量积运算课件人教新课标5
又|1 |= 2,| |= 2,
1 ·
所以 cos<1 , >=
|1 |||
=
1
2× 2
1
2
= .
因为<1 , >∈[0°,180°],
所以<1 , >=60°,所以向量1 与 的夹角为 60°.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
课前预习导学
且|cos<a,b>|≤1,所以 D 正确.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
2.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=4,E 为侧面
AB1 的中心,F 为 A1D1 的中点.
2.有关数量积的运算应注意的问题:
(1)与数乘运算区分开,数乘运算的结果仍是向量,数量积的结果为
数量;
(2)书写规范:不能写成 a×b,也不能写成 ab.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
=|c|2-|a|2=0.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
当堂检测
(3) ·1 =
1
1
(-) +
2
2
1
+
2
1
2
1
1
=- |a|2+ |b|2=2.
2
1 ·
所以 cos<1 , >=
|1 |||
=
1
2× 2
1
2
= .
因为<1 , >∈[0°,180°],
所以<1 , >=60°,所以向量1 与 的夹角为 60°.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
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且|cos<a,b>|≤1,所以 D 正确.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
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当堂检测
2.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=4,E 为侧面
AB1 的中心,F 为 A1D1 的中点.
2.有关数量积的运算应注意的问题:
(1)与数乘运算区分开,数乘运算的结果仍是向量,数量积的结果为
数量;
(2)书写规范:不能写成 a×b,也不能写成 ab.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
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KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
=|c|2-|a|2=0.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
当堂检测
(3) ·1 =
1
1
(-) +
2
2
1
+
2
1
2
1
1
=- |a|2+ |b|2=2.
2
空间向量的数量积运算-ppt课件
空间向量的数量积运算
知识点一 空间向量的夹角 如图所示,已知平面向量a,b.
问题1:试作出向量a,b的夹角. 答案:如图,∠AOB为a和b的夹角.
问题2:若a,b为空间非零向量,两向量还有夹角吗?若有试作出.
<a,b>
∠AOB
(2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角 θ 的取值范围是 [0,π]
ABB1A1,▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与 AC所成的角.
方法技巧 (1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移使 其起点与另一个向量的起点重合,通过解三角形得出夹角的大小,此法就 是求两个向量夹角的平移法.
(2)由两个向量的数量积定义得cos<a,b>=
,求<a,b>的大小,转化
为求两个向量的数量积及两个向量的模的大小,求出<a,b>的余弦值,进而
求<a,b>的大小.
(3)利用向量的数量积求出两向量的夹角,则这个夹角就是两异面直线所 成的角或补角(注意异面直线所成角的范围).
题型三 利用空间向量解决垂直问题
【例3】 如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且 ∠∠CC1C1CDB==∠BCD.求证:CA1 ⊥B1D1.
题型四 利用数量积求距离
方法技巧 用空间向量求两点间距离 , 首先用其他已知夹角和模的向量 表示此向量,再利用a·a= |a|2,通过向量运算求|a|.
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.
,
.特别地,当 θ=0时
两向量同向共线;当 θ=π时,两向量反向共线,所以若a∥b,则<a,b>=0或
知识点一 空间向量的夹角 如图所示,已知平面向量a,b.
问题1:试作出向量a,b的夹角. 答案:如图,∠AOB为a和b的夹角.
问题2:若a,b为空间非零向量,两向量还有夹角吗?若有试作出.
<a,b>
∠AOB
(2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角 θ 的取值范围是 [0,π]
ABB1A1,▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与 AC所成的角.
方法技巧 (1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移使 其起点与另一个向量的起点重合,通过解三角形得出夹角的大小,此法就 是求两个向量夹角的平移法.
(2)由两个向量的数量积定义得cos<a,b>=
,求<a,b>的大小,转化
为求两个向量的数量积及两个向量的模的大小,求出<a,b>的余弦值,进而
求<a,b>的大小.
(3)利用向量的数量积求出两向量的夹角,则这个夹角就是两异面直线所 成的角或补角(注意异面直线所成角的范围).
题型三 利用空间向量解决垂直问题
【例3】 如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且 ∠∠CC1C1CDB==∠BCD.求证:CA1 ⊥B1D1.
题型四 利用数量积求距离
方法技巧 用空间向量求两点间距离 , 首先用其他已知夹角和模的向量 表示此向量,再利用a·a= |a|2,通过向量运算求|a|.
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.
,
.特别地,当 θ=0时
两向量同向共线;当 θ=π时,两向量反向共线,所以若a∥b,则<a,b>=0或
3.1.3空间向量的数量积运算 课件
＝12＋1×1×cos 60° －2×1×1×cos 60° ＋1×1×cos 60° ＋12－2×1×1×cos 60° ＝1. → → → (3)|OA＋OB＋OC|＝ → → → OA＋OB＋OC2
＝ 12＋12＋12＋2×1×1×cos 60° ×3＝ 6.
研一研· 问题探究、课堂更高效
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3.1.3 例 1 已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝ 2，AD
＝ 4， E 为侧面 AB1 的中心， F 为 A1D1 的中点．试计算： → → → → → → (1)BC· ED1；(2)BF· AB1； (3)EF· FC1. → → → 解 如图，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
跟踪训练 2
如图所示，已知平行六面体
ABCD— A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形， 且∠ C1CB＝∠ C1CD＝∠ BCD＝ 60° .求证： CC1⊥ BD. → → → 证明 设CB＝a，CD＝b，CC1＝c，则|a|＝|b|.
→ → → → → ∵BD＝CD－CB＝b－a， ∴BD· CC1＝(b－a)· c＝b· c－a· c ＝|b||c|cos 60° －|a||c|cos 60° ＝0， → → ∴C1C⊥BD，即 C1C⊥BD.
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小结
3.1.3 求向量的模，可以转化为求向量的数量积，求两点
间的距离或某条线段的长度，可以转化为求对应向量的模， 其中的关键是将线段长度用向量的模表示出来．
跟踪训练 3 如图所示，已知线段 AB 在平面 α 内，线段 AC⊥α，线段 BD⊥AB，线段 DD′⊥α 于 D′， 如果∠ DBD′＝30° ，AB ＝ a， AC＝ BD＝b，求 CD 的长． → → 解 易知 AC⊥AB.，<CA，BD>＝60° ， → → → → → → ∵|CD|2＝CD· CD＝(CA＋AB＋BD)2 →2 →2 → 2 → → → → → → ＝|CA| ＋|AB| ＋|BD| ＋2(CA· AB＋CA· BD＋AB· BD)＝
空间向量的数量积运算完整版课件
O→M、O→N、B→C，最后证O→G·B→C＝0 即可． [规范解答]连结 ON，
设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
2分
又O→G＝12(O→M＋O→N)＝12[12O→A＋12(O→B＋O→C)]
＝14(a＋b＋c)，
B→C＝c－b. ∴O→G·B→C＝14(a＋b＋c)·(c－b)
数量 特别地：a·a＝|a|2或|a|＝ a·a
积的 性质
(3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝
a·b |a||b|
.
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
想一想：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？ 提示 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|·cos θ的乘积．
名师点睛
所以O→A·B→C＝O→A·A→C－O→A·A→B
＝|O→A||A→C|cos〈O→A，A→C〉－|O→A||A→B|cos〈O→A，A→B〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°
＝－16 2＋24.
所以 cos〈O→A，B→C〉＝O|→O→AA·||B→B→CC|＝24－8×165
2＝3－52
1．空间向量夹角的理解 (1)任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围 同两平面向量夹角范围一样，即[0，π]； (2)空间向量的夹角在[0，π]之间，但空间两异面直线夹角
π 在(0， 2 ]内，利用向量求两异面直线夹角时注意转化，两
异面直线的夹角余弦值一定为非负数．
2．平面向量与空间向量数量积的关系 由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间 两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义 和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等 都与平面向量相同．
设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
2分
又O→G＝12(O→M＋O→N)＝12[12O→A＋12(O→B＋O→C)]
＝14(a＋b＋c)，
B→C＝c－b. ∴O→G·B→C＝14(a＋b＋c)·(c－b)
数量 特别地：a·a＝|a|2或|a|＝ a·a
积的 性质
(3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝
a·b |a||b|
.
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
想一想：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？ 提示 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|·cos θ的乘积．
名师点睛
所以O→A·B→C＝O→A·A→C－O→A·A→B
＝|O→A||A→C|cos〈O→A，A→C〉－|O→A||A→B|cos〈O→A，A→B〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°
＝－16 2＋24.
所以 cos〈O→A，B→C〉＝O|→O→AA·||B→B→CC|＝24－8×165
2＝3－52
1．空间向量夹角的理解 (1)任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围 同两平面向量夹角范围一样，即[0，π]； (2)空间向量的夹角在[0，π]之间，但空间两异面直线夹角
π 在(0， 2 ]内，利用向量求两异面直线夹角时注意转化，两
异面直线的夹角余弦值一定为非负数．
2．平面向量与空间向量数量积的关系 由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间 两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义 和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等 都与平面向量相同．
空间向量的数量积运算(43张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
环节一创设情境引入课题根据功的计算，我们定义了 平面向量的数量积运算， 一旦 定义出来，我们发现这种运算 非常有用，它能解决有关长度 和角度问题，在空间向量中亦 是如此。
在必修第二册中我们还学习了平面向量的数量积运算，现在我们 类比平面向量数量积的运算，学习空间向量的数量积运算.
平面
空间(学生填空)
空间向量及其 线性运算
共线向量的判定及应用共面向量的判定及应用
线性运算的应用
相关概念
作业布置：教科书习题1.1 第4,7题.
环节七 目标检测，作业布置
设BB₁=1,则AB=√2.∵AB₁=BB₁-BA,BC₁ =BB₁ +BC, ∴AB₁·BC₁=(BB₁-BA)·(BB₁+BC)=BB²-BA·BC=1-√2×√2×cos60°=0, ∴AB₁ ⊥BC₁ , ∴AB₁与BC₁所成的角为90°
思考1.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=ac, 则b=c, 对于向量a,b,c,由a.b=a·c,你能得到b=c 吗?如果不能，请举出反例.
设a是非零向量，且b≠c,求证：a·b=a·c ⇔b-c)⊥a B
a.b=a·c⇔a.b-a·c=0⇔a.(b-c)=0 →(b-c)⊥a
思考2.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=c, 则 (或 对于向量a,b,若a.b=k, 能不能写成 的形式?3.对于三个均不为0的数a,b,c,有(ab)c=a(bc),对于向量a,b,c,(a.b)·c=a·(b·c) 成立吗?为什么?
1.如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=√2BB₁,则AB₁与BC₁所成 角的大小为(B )A.60° B.90° C.105° D.75°
(第1题)
2.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设AB=a,AD=b,AA'=c,求：(1)a.(b+c); (2)a·(a+b+c); (3)(a+b)·(b+c).(1)a.(b+c)=a.b+a·c=0+0=0;(2)a·(a+b+c)=a²+a.b+a·c=a²+0+0=1;(3)(a+b)·(b+c)=a.b+a·c+b²+bc=0+0+l²+0=1(第2题)
在必修第二册中我们还学习了平面向量的数量积运算，现在我们 类比平面向量数量积的运算，学习空间向量的数量积运算.
平面
空间(学生填空)
空间向量及其 线性运算
共线向量的判定及应用共面向量的判定及应用
线性运算的应用
相关概念
作业布置：教科书习题1.1 第4,7题.
环节七 目标检测，作业布置
设BB₁=1,则AB=√2.∵AB₁=BB₁-BA,BC₁ =BB₁ +BC, ∴AB₁·BC₁=(BB₁-BA)·(BB₁+BC)=BB²-BA·BC=1-√2×√2×cos60°=0, ∴AB₁ ⊥BC₁ , ∴AB₁与BC₁所成的角为90°
思考1.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=ac, 则b=c, 对于向量a,b,c,由a.b=a·c,你能得到b=c 吗?如果不能，请举出反例.
设a是非零向量，且b≠c,求证：a·b=a·c ⇔b-c)⊥a B
a.b=a·c⇔a.b-a·c=0⇔a.(b-c)=0 →(b-c)⊥a
思考2.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=c, 则 (或 对于向量a,b,若a.b=k, 能不能写成 的形式?3.对于三个均不为0的数a,b,c,有(ab)c=a(bc),对于向量a,b,c,(a.b)·c=a·(b·c) 成立吗?为什么?
1.如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=√2BB₁,则AB₁与BC₁所成 角的大小为(B )A.60° B.90° C.105° D.75°
(第1题)
2.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设AB=a,AD=b,AA'=c,求：(1)a.(b+c); (2)a·(a+b+c); (3)(a+b)·(b+c).(1)a.(b+c)=a.b+a·c=0+0=0;(2)a·(a+b+c)=a²+a.b+a·c=a²+0+0=1;(3)(a+b)·(b+c)=a.b+a·c+b²+bc=0+0+l²+0=1(第2题)
3.1.3空间向量的数量积运算课件人教新课标3
略解:⑴ MN MO ON
1 OA 1 (OB OC )= 1 (a b c)
22
2
MP OP OM = 1 (c a) 2
⑵易知 a b b c
ca
1,
a
2
2
b
2
c
1 ,∴ MN
MP
1
2
418
练习 2.在长方体 ABCD─A1B1C1D1 中, AB 2 , BC 2 ,
2
2
b
① a | a |2 即 | a | a (求线段的长度);
② a b a b 0 (垂直的判断);
a
b
a,b
③ cos a, b a b (求角度). ab
以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关 垂直、长度、角度等问题.
20
AA1 6 ,且记 AB a , AD b , AA1 c ,
D1
C1
⑴用 a 、b 、c 表示 BD1, B1C ;
A1
B1
⑵求异面直线 BD1 和 B1C 所成角的余弦值.
解:⑴ BD1 BA AD DD1 = a b c
D
C
B1C B1B BC c b
A
B
⑵∵ a b b c c a 0 , a 2 4, b 2 4, c 2 36 ,
⑷如果 a, b ,则称 a 与 b 垂直,记为 a b
2 异面直线及所成的角？
(0, ]
2
3
2)两个向量的数量积 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则
a b cosa, b 叫做 a 、b 的数量积,记作 a b . 即 a b a b cosa, b .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零. 类比平面向量,你能说 出 a b 的几何意义吗?
高中数学A版3.1.3空间向量的数量积运算优秀课件
（1）证明两直线垂直; （2）求两点之间的距离或线段长度; （3）证明线面垂直; （4）求两直线所成角的余弦值等等.
高考链接
1.（2006年四川卷）如图，已知正六边
形P1P2P3P4P5P6 ，下列向量的数量积中最
大的是___A___. A. P1P2 ·P1P3
B. P1P2·P1P4
C. P1P2·P1P5 D. P1P2·P1P6
方法三:数形结合法，发现形的特殊性.
（2）已知 a 2 2 , b 2 , a b 2
2
则a，b所成的夹角为__1_3_5___.
分析:根据两向量夹角公式
a·b = a b cosa ,b （0 a,b π）
可得到所求结果.
2.选择
设a，b，c是任意的非零空间向量，且
a b = a b cosθ
向量的夹角： 0 θO a
A
B
2.平面向量的数量积的主要性质
设a，b是两个非零向量
（1）a⊥b a×b=0数量积为零是判
定两非零向量垂直的充要条件;
（2）当a与b同向时, a·b=|a|·|b|;当a与b 反向时, a·b=-|a|·|b|;特别地，a a = a 2 或 a = a a 用于计算向量的模;
2
2
AB' = AB + AA' = 2FG
FG / /AB'
由①知 EG∥AC
∴平面EFG//平面AB’C.
习题答案
1. B
2. 解:因为 AC = AB + AD + AA，
所以 | AC |2= ( AB + AD + AA )2
=| AB |2 + | AD |2 + | AA |2 + 2( AB·AD + AB·AA+ AD·AA )
高考链接
1.（2006年四川卷）如图，已知正六边
形P1P2P3P4P5P6 ，下列向量的数量积中最
大的是___A___. A. P1P2 ·P1P3
B. P1P2·P1P4
C. P1P2·P1P5 D. P1P2·P1P6
方法三:数形结合法，发现形的特殊性.
（2）已知 a 2 2 , b 2 , a b 2
2
则a，b所成的夹角为__1_3_5___.
分析:根据两向量夹角公式
a·b = a b cosa ,b （0 a,b π）
可得到所求结果.
2.选择
设a，b，c是任意的非零空间向量，且
a b = a b cosθ
向量的夹角： 0 θO a
A
B
2.平面向量的数量积的主要性质
设a，b是两个非零向量
（1）a⊥b a×b=0数量积为零是判
定两非零向量垂直的充要条件;
（2）当a与b同向时, a·b=|a|·|b|;当a与b 反向时, a·b=-|a|·|b|;特别地，a a = a 2 或 a = a a 用于计算向量的模;
2
2
AB' = AB + AA' = 2FG
FG / /AB'
由①知 EG∥AC
∴平面EFG//平面AB’C.
习题答案
1. B
2. 解:因为 AC = AB + AD + AA，
所以 | AC |2= ( AB + AD + AA )2
=| AB |2 + | AD |2 + | AA |2 + 2( AB·AD + AB·AA+ AD·AA )
3.1.3 空间向量的数量积运算(共68张ppt)资料
ab 1.利用向量法求两条异面直线所成角的依据是 cos〈a, b〉 . ab
2.题2中若求EC1与FD1所成的角，需要求出 EC FD 及 | EC | 1 1 1 与 | FD1 | 的值.
【解析】1．选C．如图，设AB=AC=AA1=1，
A1B AB AA1， AC1 AC CC1 AC AA1， A1B AC1 (AB AA1 ) (AC AA1 ) AB AC AB AA1 AA1 AC AA1 0 0 0 1 1,
3 3
2．设 AB a, AD b, AA c， 1 则|a|=4,|b|=3,|c|=2，
1 EC1 EB BC CC1 AB AD AA1 4 1 a b c, 4 FD1 FC CC1 C1D1 2 2 AD AA1 AB a b c, 3 3
直线AB与CD所成的角就是〈a,b〉;若〈a,b〉大于90°，则直
线 AB与CD所成的角是π-〈a,b〉.特别地，若〈a,b〉=0或
〈a,b〉=π,则AB∥CD；若 〈 a, b 〉 , 则AB⊥CD.
2
2.空间向量数量积的性质及几何意义 (1)空间向量的数量积a·b可以为正，可以为负，也可以为零. (2)若向量a,b是非零向量，则 a b 0 a b. (3)特例与变形：①若a是单位向量，则a·b=|b|· cos〈a,b〉; ② cos〈a, b〉 ③a·a=|a|2. (4)几何意义：a与b的数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方 向上的投影|b|·cos〈a,b〉的乘积.
(2)结论：把__________________ |a||b|cos〈a,b〉 叫做a,b的数量积.
2.题2中若求EC1与FD1所成的角，需要求出 EC FD 及 | EC | 1 1 1 与 | FD1 | 的值.
【解析】1．选C．如图，设AB=AC=AA1=1，
A1B AB AA1， AC1 AC CC1 AC AA1， A1B AC1 (AB AA1 ) (AC AA1 ) AB AC AB AA1 AA1 AC AA1 0 0 0 1 1,
3 3
2．设 AB a, AD b, AA c， 1 则|a|=4,|b|=3,|c|=2，
1 EC1 EB BC CC1 AB AD AA1 4 1 a b c, 4 FD1 FC CC1 C1D1 2 2 AD AA1 AB a b c, 3 3
直线AB与CD所成的角就是〈a,b〉;若〈a,b〉大于90°，则直
线 AB与CD所成的角是π-〈a,b〉.特别地，若〈a,b〉=0或
〈a,b〉=π,则AB∥CD；若 〈 a, b 〉 , 则AB⊥CD.
2
2.空间向量数量积的性质及几何意义 (1)空间向量的数量积a·b可以为正，可以为负，也可以为零. (2)若向量a,b是非零向量，则 a b 0 a b. (3)特例与变形：①若a是单位向量，则a·b=|b|· cos〈a,b〉; ② cos〈a, b〉 ③a·a=|a|2. (4)几何意义：a与b的数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方 向上的投影|b|·cos〈a,b〉的乘积.
(2)结论：把__________________ |a||b|cos〈a,b〉 叫做a,b的数量积.
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gl
m
m
n ng
l g,即l垂直于平面内任一直线.l .
练习巩固:
1.设 a , b , c 是任意的非零空间向量,且相互不共线, 则：
①( a · b ) c ( c · a ) b =0
②| a |-| b |<| a b |
解: 在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在l, m, n, g
上取非零向量 l, m, n, g,因m与n相交,故向量m ,n
不平行,由共面向量条件,存在唯一实数(x, y),使
g xm yn , l g xl m yl n , l
l mn 0, l m 0 , l g 0,即l g.
()
3)
2
p
2
q
(
p q)2
( )
2
2
4) p q p q p q
( )
例1.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（三垂线定理）
已知:如图, PO 、PA分别是平面 的垂线、斜线，
AO 是 PA在平面 内的射影， l ，且 l OA ，
求证： l PA
证明：取直线l的方向向量a,同时取向量PO, OA
l OA,aOA 0
P
PO ,且l ,l PO
a PO 0
O A a l
又因为
a
PA
a
PO
OA
a
PO
a
OA
0
所以，l PA
22
2
∴ a b a 2ab b 得 a b 1
法三:数形结合法,发现形的特殊性. 妙!
15
小 结：
1、空间向量数量积的定义、性质。 2、空间向量数量积的运算律 3、向量法证明线线、线面垂直;
a
A1
B1
b
B
类比平面向量,你能说 出 a b 的几何意义吗?
3.两个空间向量数量积的性质
显然,对于非零向量 a 、b , e 是单位向 量有下列性质:
① a e a cos a, e ；
②a b ab 0;
2 2
③ a aa a 也就是说 a
2
a
.
注：
性质② 是证明两向量垂直的依据；
角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做a与b 的数量积（或内积），记作a·b.
a·b=|a| |b| cosθ
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
类似地，空间向量是否也有相应的数量 积运算呢？
3
1.两个空间向量的夹角的定义:
如图,已知两个非零向量 a 、b ,在空间任取 一点 O ,作 OA a , OB b ,则角 AOB 叫做向
10
例2:(直线与平面垂直的判定定理)
已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线,
如果 l⊥m, l ⊥n,求证: l ⊥ .
l
g
m
n
分析：要证明一条直线与一个平面 垂直,由直线与平面垂直的定义可 知,就是要证明这条直线与平面内 的任意一条直线都垂直.
例2:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 l⊥m, l ⊥n,求证: l⊥ .
求证： l PA
分析：用向量来证明两直线 垂直，只需证明两直线的方 向向量的数量积为零即可！这个平面的一条斜线 的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（三垂线定理）
已知:如图, PO 、PA 分别是平面 的垂线、斜线，
AO 是 PA 在平面 内的射影， l ，且 l OA ，
性质③ 实现了向量与向量模之间的转换；
4.空间向量数量积满足的运算律
⑴ ( a) b (a b（) 数乘结合律） ⑵ a b b a (交换律) ⑶ a (b c) a b a c (分配律)
注意：
1.数量积不满足结合律即（a b) c a (b c)
ABC
60
，求
AB 与 CD 的夹角的余弦值新疆 王新敞 奎屯
A
B
1
第3题:
C
2
D 14
3.已知向量 a,b 满足 a 1, b 2, a b 3 ,
则 a b __1___.
2
2
22
法一:发现 a b a b 2( a b ) 代入求得.
22
2
法二:由 a b a 2ab b 代入求得 ab =-2.
3.1.3 空间向量的数量积运算
回顾：平面向量数量积定义？ 已知两个非零向量a与b，它们的夹
角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做a与b 的数量积（或内积），记作a·b.
a·b=|a| |b| cosθ
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
数量积的几何意义？
回顾：平面向量数量积定义： 已知两个非零向量a与b，它们的夹
2
2.两个空间向量的数量积定义 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则
a b cosa, b 叫做 a 、b 的数量积,记作 a b .
即 a b a b cosa, b .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
A
③( b · c ) a ( c · a ) b 不与 c 垂直
D
④(3 a +2 b )·(3 a 2 b )=9| a |2-
4
b
2 中,真命题是(
)
(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④
2.如图，在空间四边形 ABCD 中， AB 2 ，
BC 3 ， BD 2 3 ， CD 3 ， ABD 30 ，
2.向量有加、减、乘运算，但向量不能做除法.
练习
1.已知 a 2 2 , b 2 , a b 2 , 2
则 a 与b 的夹角大小为_1_3__5_.
2.判断真假:
1)若 a b 0,则 a 0, b 0 ( )
2) (a b) c a (b c)
量 a 与 b 的夹角,记作: a, b . 起点相同
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ a a, b =0 时, a 与 b 同向;
b
a, b =π 时, a 与 b 反向
A
a
B O
b
⑵ a, b＝b, a
⑶如果 a, b ,则称 a 与 b 垂直,记为 a b