判别分析
数据分析知识：数据分析中的判别分析方法
数据分析知识：数据分析中的判别分析方法判别分析（Discriminant Analysis）是一种经典的统计分析方法，常用于解决分类问题。
通过对已知分类的数据进行学习，再对未知数据进行分类。
判别分析方法的主要目标是确定一个或多个变量的线性组合，这个线性组合在不同类别中能够最大化差异，最小化类内差异。
这篇文章将介绍判别分析的基本概念、方法和应用，并对判别分析和其他分类方法进行比较。
一、判别分析的基本概念1.1判别分析的基本思想判别分析的基本思想是找到一个或多个线性组合，使得不同类别之间的差异最大化，同一类别内的差异最小化。
这个线性组合可以被用来将数据投影到一个低维空间，从而实现分类。
比如，对于二分类问题，找到一条直线将两类数据分开。
1.2判别分析的应用场景判别分析广泛应用于生物医学、社会科学、市场营销等领域。
比如，利用判别分析对患者进行分类，预测其疾病的风险；对消费者进行分类，预测其购买行为等。
1.3判别分析的假设判别分析方法通常有一些假设，比如多元正态性、同方差性和无相关性等。
如果这些假设不成立，可能会影响判别分析的结果。
二、判别分析的方法2.1线性判别分析（LDA）线性判别分析是判别分析中最常用的方法之一。
它通过找到一个或多个线性组合，使得不同类别之间的差异最大化，同一类别内的差异最小化。
在实际应用中，常常利用LDA来降维，然后使用简单的分类器进行分类。
2.2二次判别分析（QDA）二次判别分析是判别分析的一种扩展，它允许类别内的协方差不相等。
相比于LDA，QDA的分类边界更加灵活，但是通常需要更多的参数。
2.3特征抽取判别分析通常需要找到一个或多个变量的线性组合，这些变量通常被称为特征。
特征抽取是判别分析的一个重要步骤，它可以通过一些算法比如主成分分析（PCA）来实现。
特征抽取的目标是尽可能多地保留原始数据的信息，在降低维度的同时尽可能减少信息损失。
三、判别分析的应用3.1医学领域在医学领域，判别分析被广泛应用于疾病诊断、治疗方案选择等方面。
判别分析
判别分析(discriminant analysis)什么是判别分析判别分析产生于20世纪30年代，是利用已知类别的样本建立判别模型，为未知类别的样本判别的一种统计方法。
近年来，判别分析在自然科学、社会学及经济管理学科中都有广泛的应用。
判别分析的特点是根据已掌握的、历史上每个类别的若干样本的数据信息，总结出客观事物分类的规律性，建立判别公式和判别准则。
当遇到新的样本点时，只要根据总结出来的判别公式和判别准则，就能判别该样本点所属的类别。
判别分析按照判别的组数来区分，可以分为两组判别分析和多组判别分析。
判别分析的方法判别分析(Discriminatory Analysis)的任务是根据已掌握的１批分类明确的样品，建立较好的判别函数，使产生错判的事例最少，进而对给定的1个新样品，判断它来自哪个总体。
根据资料的性质，分为定性资料的判别分析和定量资料的判别分析；采用不同的判别准则，又有费歇、贝叶斯、距离等判别方法。
费歇（FISHER）判别思想是投影，使多维问题简化为一维问题来处理。
选择一个适当的投影轴,使所有的样品点都投影到这个轴上得到一个投影值。
对这个投影轴的方向的要求是：使每一类内的投影值所形成的类内离差尽可能小，而不同类间的投影值所形成的类间离差尽可能大。
贝叶斯（BAYES）判别思想是根据先验概率求出后验概率，并依据后验概率分布作出统计推断。
所谓先验概率,就是用概率来描述人们事先对所研究的对象的认识的程度；所谓后验概率，就是根据具体资料、先验概率、特定的判别规则所计算出来的概率。
它是对先验概率修正后的结果。
距离判别思想是根据各样品与各母体之间的距离远近作出判别。
即根据资料建立关于各母体的距离判别函数式，将各样品数据逐一代入计算，得出各样品与各母体之间的距离值，判样品属于距离值最小的那个母体。
例：世界经济统计研究(1995年)人文指数反映国家综合水平人文发展指数是联合国开发计划署于1990年5月发表的第一份《人类发展报告》中公布的。
统计学中的判别分析
统计学中的判别分析判别分析是统计学中一种常见的分析方法，旨在通过将样本数据归类到一个或多个已知的类别中，来识别和描述不同类别之间的差异。
它在很多领域中都有广泛的应用，例如医学、市场调研、金融等。
本文将介绍判别分析的基本原理、常见的判别分析方法以及其在实际应用中的一些例子。
一、判别分析的原理判别分析的目标是构建一个判别函数，通过输入变量的值来判别或预测样本所属的类别。
它的核心思想是通过最大化类别间的差异和最小化类别内部的差异，来建立一个有效的分类模型。
判别分析的基本原理可以用以下步骤来描述：1. 收集样本数据，包括已知类别的样本和它们的属性值。
2. 对每个样本计算各个属性的平均值和方差。
3. 计算类别内部散布矩阵和类别间散布矩阵。
4. 根据散布矩阵计算特征值和特征向量。
5. 选择最具判别能力的特征值和特征向量作为判别函数的基础。
二、判别分析的方法判别分析有多种方法可以选择，常见的包括线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，简称LDA）和二次判别分析（Quadratic Discriminant Analysis，简称QDA）。
1. 线性判别分析（LDA）线性判别分析假设每个类别的样本数据满足多元正态分布，并且各个类别的协方差矩阵相等。
它通过计算最佳投影方向，将多维属性值降低到一维或两维来实现分类。
LDA在分类问题中被广泛应用，并且在特征选择和降维方面也有一定的效果。
2. 二次判别分析（QDA）二次判别分析不同于LDA，它允许每个类别具有不同的协方差矩阵。
QDA通常适用于样本数据的协方差矩阵不相等或不满足多元正态分布的情况。
与LDA相比，QDA在处理非线性问题时可能更有优势。
三、判别分析的应用实例判别分析在多个领域中都有广泛的应用，下面列举了一些实际的例子。
1. 医学领域在医学中，判别分析可以帮助诊断疾病或判断病情。
例如，可以利用病人的临床数据（如血压、血糖等指标）进行判别分析，来预测是否患有某种疾病，或者判断疾病的严重程度。
统计学中的判别分析方法
统计学中的判别分析方法统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，可以帮助我们更好地理解和利用数据。
判别分析是统计学中一种重要的方法，它可以用于解决分类问题和区分不同的群组。
本文将介绍判别分析的基本概念、应用场景以及常见的判别分析方法。
一、判别分析的基本概念判别分析（Discriminant Analysis）是一种用于确定某个变量（被称为判别变量）对于将不同个体或样本分组的有效性的方法。
在判别分析中，我们希望通过已有的数据集，找到一种线性或非线性的方式将不同类别的样本区分开来。
判别分析通常用于以下几个方面：1. 分类问题：当我们面对一个具有多个类别的问题时，判别分析可以帮助我们将样本分到不同的类别中。
2. 数据降维：判别分析可以将高维度的数据降低到较低维度，从而使数据更加易于理解和处理。
3. 特征选择：通过判别分析，我们可以确定哪些特征（自变量）对于区分不同类别的样本最具有判别性。
二、判别分析的应用场景判别分析在实际生活和各个领域中都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景。
1. 医学诊断：判别分析可以通过分析病人的生理指标（如血压、心率等）来帮助确定病人是否患有某种疾病。
2. 金融风险评估：通过判别分析，可以将客户分为高风险和低风险群体，从而帮助金融机构评估和管理风险。
3. 文本分类：在自然语言处理领域，判别分析可以通过分析文本的特征来将文本分为不同类别，如情感分类、垃圾邮件分类等。
4. 面部识别：判别分析可以通过分析不同人脸特征的差异性来进行人脸识别，应用广泛于安防领域和人工智能领域。
三、常见的判别分析方法在统计学中，有多种判别分析方法可供选择，下面介绍两种常见的方法。
1. 线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，简称LDA）：线性判别分析是一种常见且广泛使用的判别分析方法。
它通过将样本投影到低维空间来最大化类间的离散度，并最小化类内的离散度。
LDA假设不同类别的样本具有相同的协方差矩阵。
判别分析的原理
判别分析的原理
判别分析是一种统计方法和机器学习算法，用于解决分类问题。
其原理是将数据样本划分为不同的类别，并通过计算样本特征与类别之间的关联性，对未知样本进行分类。
对于给定的训练样本和其类别标签，判别分析通过计算样本特征与类别之间的统计关系来构建分类模型。
它假设不同类别的样本在特征空间上具有不同的概率分布，并通过最小化错误率或最大化分类准确率来找到最佳的分类边界。
常用的判别分析方法包括线性判别分析（LDA）和二次判别
分析（QDA）。
线性判别分析假设各类别样本的协方差相等，并通过计算类别之间的最佳线性判别边界将样本投影到低维空间中进行分类。
二次判别分析则放宽了协方差相等的假设，通过计算类别之间的最佳二次判别边界对样本进行分类。
判别分析可以采用监督学习的方法进行模型训练，然后使用该模型对新样本进行分类预测。
在实际应用中，判别分析广泛用于模式识别、图像处理、生物信息学等领域。
它具有较高的分类准确率和灵活性，并且可以对多类别问题进行有效处理。
总之，判别分析是一种基于样本特征与类别之间统计关系的分类方法，通过构建分类模型来实现对未知样本的分类预测。
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判别分析导言判别分析是统计学中一种常用的数据分析方法，用于区分不同群体或类别之间的差异。
它通过寻找最佳的分类边界，帮助我们预测或判定未知样本的分类。
判别分析常用于模式识别、数据挖掘、生物学、医学等领域。
本文将介绍判别分析的基本概念、应用领域和算法。
一、判别分析的基本概念判别分析旨在通过构造合适的判别函数，将不同群体或类别的样本区分开来。
判别函数的建立是判别分析的核心任务，而判别函数的类型通常根据问题的特点来选择。
常见的判别函数有线性判别函数、二次判别函数、贝叶斯判别函数等。
判别分析的目标是使得样本在不同类别的判别函数值有较大差异。
二、判别分析的应用领域1. 模式识别判别分析在模式识别中的应用非常广泛。
通过判别分析，我们可以建立能够识别不同模式的模型。
例如，在人脸识别任务中，我们可以使用判别分析来建立一个分类器，能够将不同人脸的图像正确分类。
2. 数据挖掘在数据挖掘领域，判别分析可以帮助我们发现变量之间的关系，并进行预测。
通过对已有数据进行判别分析，我们可以预测未知样本的分类。
例如，在市场营销中，通过对消费者进行判别分析，我们可以预测消费者的购买行为，从而制定更精准的营销策略。
3. 生物学和医学判别分析在生物学和医学领域中也有广泛的应用。
例如，在癌症诊断中，通过对患者的临床数据进行判别分析，我们可以建立一个分类器，能够判断该患者是否患有癌症。
三、判别分析的算法判别分析的算法根据问题的特点和要求选择。
下面介绍两种常见的判别分析算法：1. 线性判别分析（LDA）线性判别分析是一种常见且简单的判别分析算法。
它的核心思想是通过将高维数据映射到低维空间中，使得不同类别的样本在投影空间中有较大的差异。
在LDA算法中，我们需要计算类内散度矩阵和类间散度矩阵，并求解其特征值和特征向量，从而确定投影向量。
2. 二次判别分析（QDA）二次判别分析是一种更为复杂的判别分析算法。
它假设不同类别的样本的协方差矩阵不相等，即每个类别内部的变化程度不同。
判别分析
误判和正确判别率
从这个表来看，我们的分类能够100%地把训练数据 的每一个观测值分到其本来的类。 该表分成两部分；上面一半（Original）是用从全部 数据得到的分类函数（又叫fisher线性判别函数） （见何书p126）来判断每一个点的结果（前面三行 为判断结果的数目，而后三行为相应的百分比）。 下面一半（Cross validated）是对每一个观测值， 都用缺少该观测的全部数据得到的判别函数来判断 的结果。 这里的判别结果是100%判别正确，但一般并不一定。
Un standardized coefficients
根据这两个函数，从任何一个观测值（每个 观测值都有 7个变量值）都可以算出两个数。把 这两个数目当成该观测值的坐标，这样数据中的 150 个观测值就是二维平面上的 150 个点。它们 的点图在下面图中。
Canonical Discriminant Functions
这两个函数实际上是由Fisher判别法得到的向 两个方向的投影。这两个典则判别函数的系数是下 面的SPSS输出得到的：
Disc.sav例子
Canonical Discr iminant F unction C oefficients Function 1 IS 企业规模 SE 服务 SA 雇员工资比例 PRR 利润增长 MS 市场份额 MSR 市场份额增长 CS 资金周转速度 (C onstan t) .035 3.283 .037 -.007 .068 -.023 -.385 -3.166 2 .005 .567 .041 .012 .048 .044 -.159 -4.384
判别分析与聚类分析
判别分析与聚类分析判别分析与聚类分析是数据分析领域中常用的两种分析方法。
它们都在大量数据的基础上通过统计方法进行数据分类和归纳，从而帮助分析师或决策者提取有用信息并作出相应决策。
一、判别分析：判别分析是一种有监督学习的方法，常用于分类问题。
它通过寻找最佳的分类边界，将不同类别的样本数据分开。
判别分析可以帮助我们理解和解释不同变量之间的关系，并利用这些关系进行预测和决策。
判别分析的基本原理是根据已知分类的数据样本，建立一个判别函数，用来判断未知样本属于哪个分类。
常见的判别分析方法包括线性判别分析（LDA）和二次判别分析（QDA）。
线性判别分析假设各类别样本的协方差矩阵相同，而二次判别分析则放宽了这个假设。
判别分析的应用广泛，比如在医学领域可以通过患者的各种特征数据（如生理指标、疾病症状等）来预测患者是否患有某种疾病；在金融领域可以用来判断客户是否会违约等。
二、聚类分析：聚类分析是一种无监督学习的方法，常用于对数据进行分类和归纳。
相对于判别分析，聚类分析不需要预先知道样本的分类，而是根据数据之间的相似性进行聚类。
聚类分析的基本思想是将具有相似特征的个体归为一类，不同类别之间的个体则具有明显的差异。
聚类分析可以帮助我们发现数据中的潜在结构，识别相似的群组，并进一步进行深入分析。
常见的聚类分析方法包括层次聚类分析（HCA）和k-means聚类分析等。
层次聚类分析基于样本间的相似性，通过逐步合并或分割样本来构建聚类树。
而k-means聚类分析则是通过设定k个初始聚类中心，迭代更新样本的分类，直至达到最优状态。
聚类分析在市场细分、社交网络分析、图像处理等领域具有广泛应用。
例如，可以将客户按照他们的消费喜好进行分组，以便为不同群体提供有针对性的营销活动。
总结：判别分析和聚类分析是两种常用的数据分析方法。
判别分析适用于已知分类的问题，通过建立判别函数对未知样本进行分类；聚类分析适用于未知分类的问题，通过数据的相似性进行样本聚类。
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该式等价于组数 k 2 时的 (5.3.2)式。实践中，若误 判代价比无法确定，则通常取比值为1。
❖ (3) 当 p1 p2 c1| 2 c2 |1 时， (5.3.13)式可进一步
简化为
x x
1, 2,
若f1 x f2 x 若f1 x f2 x
这时，判别新样品 x0的归属，只需比较在x0处的两个
例5.2.1
抽取样本估计有关未知参数
误判概率的非参数估计
❖ 若两组不能假定为正态组，则 P2 |1和 P1| 2 可以
用样本中样品的误判比例来估计，通常有如下三种 非参数估计方法：
❖
（1）令n2 |1 为样本中来自 为 和样Pn本21中||12来可自估P计1 |为而2误判为 2
1 而误判为2 的个数， 的个数，1 则
二、多组距离判别
§5.3 贝叶斯判别
❖ 一、最大后验概率准则 ❖ 二、最小平均误判代价准则
一、最大后验概率准则
❖ 设有k 个组 1,2, ,k ，且组i的概率密度为 fi x，
样品来自组 i 的先验概率为 pi ,i 1, 2, , k ，满 足 p1 p2 pk 1。则 x 属于 i 的后验概率为
（i）需要用大样本；
（ii）在构造判别函数时，只用了部分样本数据，损 失了过多有价值的信息。与使用所有的样本数据构 造判别函数相比，该方法将使真实的误判概率上升。 该缺陷随样本容量的增大而逐渐减弱，当样本容量 相当大时此缺陷基本可忽略。
❖ 称为交叉验证法或刀切法。该方法既避免了样本数据在构造 判别函数的同时又被用来对该判别函数进行评价，造成不合 理的信息重复使用，又几乎避免了构造判别函数时样本信息 的损失。
一个说明性的二维例子
2. Σ1 Σ2 时的判别
❖ 可采用 (5.2.1)式作为判别规则的形式。另一种方式 是，选择判别函数为
W x d 2 x,1 d 2 x,2 x μ1 Σ11 x μ1 x μ2 Σ21 x μ2
❖ 它是 x 的二次函数，相应的判别规则为
x x
1, 2,
若W x 0 若W x 0
第五章 判别分析
❖ §5.1 引言 ❖ §5.2 距离判别 ❖ §5.3 贝叶斯判别 ❖ §5.4 费希尔判别
§5.2 距离判别
❖ 一、两组距离判别 ❖ 二、多组距离判别
一、两组距离判别
设组1和 2的均值分别为μ1和 μ2 ，协差阵分别 为Σ1和 Σ2(Σ1, Σ2 0) ， x 是一个新样品( p 维)， 现欲判断它来自哪一组。 ❖ 1. Σ1 Σ2 Σ 时的判别 ❖ 2. Σ1 Σ2 时的判别
概率密度值 f1 x0 和 f2 x0 的大小。
§5.4 费希尔判别
❖ 费希尔判别（或称典型判别）的基本思想是投影
（或降维）：用p维向量 x x1, x2, , xp 的少数几个
线性组合（称为判别式或典型变量） y1 a1x, y2 a2x, , yr arx (一般r明显小于p）来代替 原始的p个变量，x1, x2, , xp 以达到降维的目的，并 根据这r个判别式 y1, y2, , yr 对样品的归属作出判别。 成功的降维将使判别更为方便和有效，且可对前两 个或前三个判别式作图，从直观的几何图形上区别 各组。
Pˆ 2 |1 n2 |1 , Pˆ 1| 2 n1| 2
该方法简单、直观，n且1 易于计算。但遗n2 憾的是，它 给出的估计值通常偏低，除非 n1 和 n2 都非常大。
❖ （2）将整个样本一分为二，一部分作为训练样本， 用于构造判别函数，另一部分用作验证样本，用于 对判别函数进行评估。误判概率用验证样本的被误 判比例来估计，如此得到的估计是无偏的。但是， 这种方法有两个主要缺陷：
Pi | x
pi fi x
k
,
i 1, 2,
,k
pi fi x
i1
❖ 最大后验概率准则是采用如下的判别规则：
x l ,
若P l
|
x
max
1ik
P i
|
x
二、最小平均误判代价准则
（5.3.13）式的一些特殊情形
❖ (1)当 p1 p2 0.5 时， (5.3.13)式简化为
离。
❖ 从上述误判概率的公式中可以看出，两个正态组越 是分开（即Δ越大），两个误判概率就越小，此时 的判别效果也就越佳。当两个正态组很接近时，两 个误判概率都将很大，这时作判别分析就没有什么 实际意义。
界定组之间是否已过于接近
❖ 我们可对假设 H0 : μ1 μ2, H1 : μ1 μ2进行检验，若检 验接受原假设H0 ，则说明两组均值之间无显著差异， 此时作判别分析一般会是徒劳的；若检验拒绝 ， 则两H0组均值之间虽然存在显著差异，但这种差异对 进行有效的判别分析未必足够大（即此时作判别分 析未必有实际意义），故此时还应看误判概率是否 超过了一个合理的水平。
线性函数，故又可称为线性判别函数，称 a 为判别
系数。
误判概率
❖ 误判概率
P2 |1 PW x 0 | x 1
P1| 2 PW x 0 | x 2
❖ 正态组的误判概率
设 1 N p μ1, Σ,2 N p μ2, Σ ，则
P
2
|
1
P
1|
2Leabharlann 2其中 μ1 μ2 Σ1 μ1 μ2 是两组之间的马氏距
1. Σ1 Σ2 Σ时的判别
❖ 判别规则：
x x
1, 2,
若d 2 x,1 d 2 x, 2 若d 2 x,1 d 2 x, 2
❖ 令a WΣ1xμ1 aμ2x，μ则 ，上其述中判μ别规12 则μ1可 μ简2 化为，
x x
1 2
, ,
若W x 0 若W x 0
❖ 称W x为两组距离判别的判别函数，由于它是 x 的
x 1,
x 2,
若 f1 x c1| 2 f2 x c2 |1
若
f1 x f2 x
c1| 2 c2 |1
实际应用中，如果先验概率未知，则它们通常被取
成相等。
❖ (2) 当 c1| 2 c2 |1 时， (5.3.13)式简化为
x x
1 2
, ,
若p1 f1 x p2 f2 x 若p1 f1 x p2 f2 x