CT图像重建
医学图像重建PPT课件
一 图像重建概述
不同密度体对射 线的吸收不同
对射线吸收相同的 物体，密度分布不 一定相同
入射线
高密度体
少透射
入射线
低密度体
多透射
入射线
6ห้องสมุดไป่ตู้
222
入射线
6
141
等强度射线穿透不同组织的情况
投影重建时需要一系列投影才能重建图像。
一 图像重建概述
➢ 分类：
➢ 根据被用于图像重建的数据获取方式不同，可以分为透射 断层成像、发射断层成像和反射断层成像。
插值法：
▪ （一）基于图像灰度值的插值方法,如最邻近法、线性插值、样条插值等 ,它是在原始灰度断层图像序列中,补充若干“缺少”的切片,这些插值方 法插值精度不高,产生的新断面通常会出现边缘模糊,由此重建出的三维 真实感图像表面会产生伪像,当断层间距较大时这一点尤其明显. 造成这 种情况的主要原因是这些方法没有考虑到物体几何形状的变化.
二 医学CT三维图像重建
➢ 投影切片定理给出了图像在空间域上对X轴的投影与 在频率域u轴的切片之间的关系。
➢ 如果投影并非是对X轴进行，而是对与空间域的X 轴成 任意的角度θ的方向进行投影，是否频率域上存在与u 轴成相同的θ角度方向上的中心切片与之相等？
➢ 回答是肯定的，二维傅里叶变换的旋转定理。
3) 为了增强三维逼真效果，突出显示不同组织的边界面，可以采样表面 并进行明暗计算。
➢ 根据成像所采用的射线波长不同，可以分为X射线成像、 超声成像、微波成像、激光共焦成像等。
二 医学CT三维图像重建
（1）现实意义
在医疗诊断中,观察病人的一组二维CT 断层图像是医生诊断病情的常 规方式. 现有的医用X 射线CT 装置得到的序列断层图像,虽能反映断层内 的组织信息,但无法直接得到三维空间内组织的形貌(如肺部肿瘤的表面 纹理) 和组织间相互关联的情况,而临床上组织形貌对组织定征(如肿瘤的 恶性或良性判断) 却是十分重要的. 仅靠CT 断层图像信息,要准确地确定 病变体的空间位置、大小、几何形状以及与周围组织之间的空间关系,是 十分困难的.因此迫切需要一种行之有效的工具来完成对人体器官、软组 织和病变体的三维重建和三维显示. CT 三维重建技术就是辅助医生对病 变体和周围组织进行分析和显示的有效工具,它极大地提高了医疗诊断的 准确性和科学性。
基于CT图像的三维重建技术研究
基于CT图像的三维重建技术研究一、引言三维重建技术是计算机视觉领域中的一个热点问题，与医疗、地质勘探、机械制造等多个领域紧密相关。
基于CT图像的三维重建技术在医学图像领域中的应用非常广泛，例如对人体器官、病变血管的三维模型进行建立，可以为医生提供更为直观的诊断和手术辅助。
本文将介绍基于CT图像的三维重建技术的研究现状和发展趋势。
二、CT图像的三维重建流程CT（Computed Tomography，计算机断层摄影）是一种医学影像学技术，具有高分辨率、高对比度、高鉴别度等优点。
CT重建技术是将众多的二维图像通过计算机技术，利用三维重建算法恢复出原始物体的三维形态信息。
其基本流程如下：1. CT图像获取通过CT扫描设备对人体进行扫描，并获取多张二维图像。
2. 图像预处理对CT图像进行预处理，包括滤波、去噪、图像增强等操作，以提高图像质量。
3. 分割对图像进行分割，将所需物体从图像中分离出来。
4. 三维表面重建将二维图像转换为三维点云数据，并进行三维表面重建，生成三维模型。
5. 三维模型后处理对三维模型进行后处理，包括去瑕疵、调整模型大小、贴图等。
6. 可视化呈现将处理好的三维模型进行可视化呈现，以展示三维几何结构和形态信息。
三、 CT图像的三维重建算法目前，基于CT图像的三维重建算法主要有以下几种：1. 基于体素的三维重建算法基于体素的三维重建算法是将三维物体分割成体素（voxel）并构建三维网格（grid）模型，其中每个体素表示一个三维像素，具有三个维度和三个颜色通道。
该算法中的三维数据往往需要进行缩减、滤波、采样等操作，以减少数据规模和保证计算效率。
2. 基于曲面的三维重建算法基于曲面的三维重建算法采用轮廓线和板块识别方法，对CT 图像进行分割和表面重建。
该算法通过计算物体表面的法线方向和曲率特征，来还原物体的三维表面形态，常用于较为复杂的生物组织和器官建模。
3. 基于纹理的三维重建算法基于纹理的三维重建算法结合图像和几何信息，在三维模型表面上进行贴图，以还原真实物体的纹理特征和光照效果。
CT图像重建算法与三维可视化技术
CT图像重建算法与三维可视化技术医疗行业一直是科技创新的重点，特别是在影像学领域，病人的诊断和治疗都需要借助高科技的医疗设备和技术。
计算机断层扫描技术（CT）是一项主流技术，它可以非常精确地显示人体内部的结构和器官。
CT扫描产生的图像数据是由计算机三维图像重建算法进行处理，然后再通过三维可视化技术呈现出来。
一、CT扫描的原理和流程CT扫描使用的是一种非常特殊的X射线机器，它可以沿着不同的方向从多个角度对身体进行扫描，然后收集图像数据。
这些数据包含了身体内部所有的结构和器官信息，但是它们是以二维的方式呈现的，需要通过三维图像重建算法进行处理。
CT图像重建算法的基本原理是将二维扫描数据通过计算机进行处理，将它们转化为三维的模型图像，这些模型图像可以用来呈现人体结构和器官的实际情况。
CT图像重建算法的种类较多，常见的包括基于插值法的Feldkamp算法及其变种、基于迭代法的ART算法、基于傅里叶变换的FBP算法和统计学方法。
二、三维可视化技术三维可视化技术一直是科技发展的焦点，它是将虚拟的三维物体以真实的方式呈现在屏幕上。
医学界常用的三维可视化技术主要包括直接体绘制，光线追踪、容积渲染、表面重建等多种方式。
直接体绘制是指在三维模型中直接绘制三维物体的方法。
光线追踪可以在保持真实性的同时，采用光线追踪技术来求解物体的表现方式，这种方法可以表现阴影、反射和折射等效应。
容积渲染则是将数据集表示为一组体元素（voxel），并利用光线传播和有效的颜色映射技术来生成具有透明度和色彩信息的图像。
表面重建是将容积表面转换为三角形网格的过程，从而实现三维模型的表面可视化。
三、可视化技术在医学诊断中的应用三维可视化技术在医疗领域应用广泛，它可以以更加直观的方式呈现病人身体的结构和器官情况，帮助医生诊断和制定治疗方案。
比如，医生可以使用三维可视化技术对肿瘤、脊柱和骨骼等进行预览，预测手术效果，规划术前准备，进行手术操作。
同时，在教育领域，三维可视化技术还可以对疾病的发展变化进行演示，帮助学生更好地理解医学知识，提高教育效果和学术思考能力。
ct曲面重建方法
ct曲面重建方法一、CT曲面重建方法的基本概念。
1.1 CT曲面重建啊，那可是个相当厉害的技术。
简单来说呢，就是把CT扫描得到的一堆数据，通过特殊的方法，让它变成一个能直观看到的曲面图像。
就好比把一堆杂乱的零件，组装成一个精美的模型一样。
这可不是一件容易的事儿，得有点技术含量。
1.2 这技术就像是给医生一双透视眼，让他们能透过身体的重重阻碍，看到那些隐藏在里面的结构。
比如说，人体的血管啊，肠道啊，这些弯弯曲曲的东西，普通的CT图像可能看不太清楚，但是曲面重建就能把它们清晰地展现出来。
二、CT曲面重建的操作步骤。
2.1 首先呢，得有高质量的CT原始数据。
这就像盖房子得有好的砖头一样，数据不好，后面再怎么弄都白搭。
这原始数据就像是CT扫描机器的心血结晶，每一个数据点都可能影响最终的重建效果。
2.2 然后呢，就是要确定重建的路径。
这就好比是给汽车规划路线一样，你得知道从哪儿开始，沿着什么方向走。
在CT曲面重建里，就是要确定沿着哪个结构去重建曲面。
这可不能马虎，一旦路径选错了，那重建出来的图像可能就不是你想要的，就像南辕北辙一样，完全走偏了。
2.3 最后就是进行实际的重建操作啦。
这一步就像是厨师做菜的最后调味，各种参数的调整就像是放调料，放多放少都得恰到好处。
比如说重建的算法选择，就像选择做菜的方法，不同的算法会做出不同风格的“菜”，也就是不同效果的重建图像。
三、CT曲面重建方法的重要意义。
3.1 在医疗领域，这CT曲面重建那可是功不可没。
对于诊断疾病来说，就像一把金钥匙。
比如说，在诊断血管类疾病的时候，它能清晰地显示血管的狭窄、堵塞或者畸形。
这就像是给医生提供了一份详细的地图，让他们能够准确地找到病变的位置，对症下药。
要是没有这个技术，就像是盲人摸象，只能靠猜，那多不靠谱啊。
3.2 在医学研究方面，CT曲面重建也像是一个得力的助手。
研究人员可以通过它来观察人体内部结构的细微变化，这对于了解疾病的发展过程、探索新的治疗方法都有着至关重要的作用。
ct重建概念和算法详细解析
ct重建概念和算法详细解析一、CT重建的概念CT重建，全称计算机断层扫描图像重建，是指通过计算机技术将原始的CT扫描数据转化为可观察的二维图像或三维图像的过程。
这种技术使得医生可以在一个三维的视角下观察人体内部结构，从而更好地进行疾病的诊断和治疗。
二、CT重建的算法1.反投影算法（Back Projection Algorithm）反投影算法是最早的CT重建算法，其基本原理是将经过旋转的X射线源发射的扇形射线束的反向投影与图像像素相对应，通过测量每个角度下的投影数据，并将这些数据反投影到图像像素中，最终得到重建的图像。
反投影算法简单、快速，但重建图像的质量受限于投影数据的数量和采集方式。
2.滤波反投影算法（Filtered Back Projection Algorithm）滤波反投影算法是对反投影算法的一种改进，通过对投影数据进行滤波处理，去除噪声和伪影，提高了重建图像的质量。
该算法是目前CT重建中最常用的算法之一，但仍然受限于投影数据的数量和采集方式。
3.迭代重建算法（Iterative Reconstruction Algorithm）迭代重建算法是一种基于优化的重建算法，通过对投影数据进行迭代优化，不断更新图像中的像素值，直到达到一定的收敛条件为止。
该算法可以更好地处理不完全的投影数据和噪声，提高重建图像的质量。
但迭代重建算法的计算量大，需要较长的计算时间和较大的存储空间。
4.压缩感知重建算法（Compressed Sensing Reconstruction Algorithm）压缩感知重建算法是一种基于压缩感知理论的重建算法，通过利用信号的稀疏性和非确定性采样，从少量的投影数据中重建出高质量的图像。
该算法可以在较短的扫描时间和较低的辐射剂量下获得较好的重建效果，但计算量较大，需要高效的优化算法和计算资源。
CT图像重建技术
CT图像重建技术CT图像重建技术000计算机层析成像(Computed Tomography，CT)是通过对物体进行不同角度的射线投影测量而获取物体横截面信息的成像技术，涉及到放射物理学、数学、计算机学、图形图像学和机械学等多个学科领域。
CT技术不但给诊断医学带来革命性的影响．还成功地应用于无损检测、产品反求和材料组织分析等工业领域。
CT技术的核心是由投影重建图像的理论，其实质是由扫描所得到的投影数据反求出成像平面上每个点的衰减系数值。
图像重建的算法有很多，本文根据CT扫描机的发展对不同时期CT所采用重建算法分别进行介绍。
第一代和第二代CT机获取一个单独投影的采样数据是从一组平行射线获取的，这种采样类型叫平行投影。
平行投影重建算法一般分为直接法与间接法两大类。
直接法是直接计算线性方程系数的方法，如矩阵法、迭代法等。
间接法是先计算投影的傅立叶变换，再导出吸收系数的方法，如反投影法、二维傅立叶重建法和滤波反投影法等[1]。
2.1 直接法2.1.1 矩阵法设一个物体的内部吸收系数矩阵为：(1)为了求得该矩阵中的元素值，我们可以先计算该矩阵在T个角度下的T组投影值 ,如设水平方向时 ,则：(2)同样其它角度下也有类似方程，把所有方程联立得到求解，即可求得所有u值。
通常情况下，由于联立方程组的数目往往不同于未知数个数，且可能有不少重复的方程，这样形成的不是方阵，所以一般不满秩，此时需要利用广义逆矩阵法进行求解。
2.1.2 迭代法实际应用中，由于图像尺寸较大，联立的方程个数较多，采用直接采用解析法难度较大，因此提出了迭代重建方法。
迭代法的主要思想是：从一个假设的初始图像出发，采用迭代的方法，将根据人为设定并经理论计算得到的投影值同实验测得的投影值比较，不断进行逼近，按照某种最优化准则寻找最优解[2]。
通常有两种迭代公式，一种是加法迭代公式[2]：（3）另一种是乘法迭代公式[2]：(4)两式中是相邻两次迭代的结果；是某一角度的实测投影值，是计算过程的计算投影值, 是投影的某一射线穿过点的点数，即计算投影值的射线所经过的像素的数目，是松弛因子。
CT图像重建算法的优化与加速研究
CT图像重建算法的优化与加速研究随着医学技术的不断进步，CT扫描已成为临床医生最常用的影像学检查手段之一。
CT图像重建算法的优化与加速研究对于提高图像质量和减少图像重建时间具有重要意义。
本文将探讨CT图像重建算法的优化与加速研究的相关内容，并提出一些具体的方法和思路。
首先，我们将介绍目前常用的CT图像重建算法。
传统的CT图像重建算法主要有滤波反投影算法、迭代重建算法和模型基础重建算法。
滤波反投影算法是一种最常用的快速重建算法，但由于其对噪声敏感，重建图像的质量有所欠缺。
迭代重建算法通过多次反复计算，可以提高图像质量，但计算量大，耗时长。
模型基础重建算法将CT图像重建问题转化为优化问题，通过最小化图像与一组基模型之间的误差来重建图像。
然而，传统的CT图像重建算法在重建速度和图像质量方面仍然存在一定的挑战。
为了解决这一问题，研究者们提出了一系列优化与加速方法。
首先，利用并行计算技术可以显著加快CT图像重建的速度。
并行计算技术包括并行逆投影算法和并行重建算法。
并行逆投影算法是通过将CT投影数据分成多个子集进行计算，并行地进行逆投影操作，从而提高计算速度。
并行重建算法则是通过将图像分成多个块进行计算，再将计算结果进行合并，加快重建速度。
其次，压缩感知理论在CT图像重建算法中也有广泛应用。
压缩感知理论认为，信号可以通过少量的观测进行重建。
在CT图像重建中，通过选择少量的投影角度和采样点，可以实现压缩感知重建，从而减少计算量和重建时间。
压缩感知重建可以在一定程度上提高图像质量，并显著减少CT图像重建的时间。
此外，深度学习技术也在CT图像重建算法中得到了广泛应用。
深度学习通过构建多层神经网络模型，可以自动地学习图像特征和重建算法。
在CT图像重建中，深度学习可以用于图像去噪、低剂量重建和超分辨率重建等方面。
研究者们通过训练大量的CT图像数据，可以得到一个优化的重建模型，从而提高图像质量和减少重建时间。
在优化与加速CT图像重建算法的研究中，还可以考虑利用图像降噪算法、投影滤波算法和重建约束等方法来提高图像质量。
CT原理部分 CT图像重建 CT图像重建
640×640矩阵。
（三）投影
• 投照受检体后出射的X线束强度 I 称投影 (projection，P) ，投影值的分布称为投影 函数。
• 1．近似单能X线束获取 • 使发射的X线束中主要是标识辐射的X线；
•基本原理：是将所测得的投影值按其原路 径平均的分配到每一点上，各个方向上投影 值反投影后，在影像处进行叠加，推断出原 图像。
•缺点：影像边缘处不清晰。
CT机装置
• 探测器：碘化钠、锗酸铋—高压氙气电离 室—稀土陶瓷探测器—平板探测器(非晶 硅、非晶硒）
（二）傅里叶变换法
• 是基于使图像矩阵的求解与图像投影的 傅里叶变换间建立确定的关系；或为修 正反投影法中模糊因子，从频域上校正 图像模糊部分的图像重建方法。
★(一) 反投影法
• 缺点：影像边缘处不清晰。 • 如果在一均匀的组织密度内，存在吸收系
数极不均匀的部分时，反投影图像与原图 像会出现伪影(image artifact)。 • 如圆柱形单密度体，利用反投影法所重建 图像的结果呈现出星形伪影。 • 反投影数量愈多，重建图像愈接近于原图 像，但由于存在星形伪影，而使得重建图 像的边缘部分模糊不清。
地滤波，达到满意的重建图像效果。 卷积函数h（t）选取是卷积计算的关键， h（t）称为卷积核(convo1ution kernet)。
（四）卷积反投影法
• 与滤波反投影法相比，卷积反投影法避 免了FT运算。
（四）卷积反投影法
卷积的滤波作用
（四）卷积反投影法
x cos y sin R
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昆明理工大学信息工程与自动化学院学生实验报告（ 2009—2010学年 第 一 学期 ）课程名称：医学成像系统与放射治疗装置 开课实验室： 3208 2008 年 12 月24 日一、实验目的与意义医学成像技术是生物医学工程专业的一门重要的专业课程,课程主要涉及X 光仪器，CT 仪器，MRI 仪器和核医学仪器的工作原理及成像方法。
其中CT 算法的出现又为后来数字化医学成像技术的发展提供了基础。
该门课程为生物医学工程专业的专业基础课。
CT 技术是医学成像系统中的一种重要手段。
它通过特定的算法，利用计算机的高速运算功能，可以在短时间内快速呈现人体断层图像。
让学生练习CT 图像的重建有助于学生理解CT 算法的内容，熟悉数字图像重建的过程。
同时也能培养学生的团队精神和解决实际问题的能力。
二、实验算法原理1、MATLAB 处理数字图像的基本函数；2、X-CT 三维图像重建的基本算法。
CT 图象重建有四种基本的算法:矩阵法,迭代法,傅立叶算法,反投影算法.我们采用的方法为卷积反投影. 卷积反投影有:平行光束投影的卷积反投影算法, 等角扇形光来投影的重建算法. 1）.平行光束投影的卷积反投影算法 从投影重建三维物体的图像，就是重建一个个横断面。
这样三堆图像的重建就归结为二维图象的重建。
二维图像的重建问题可以从数学上描述如下。
假定),(y x g 表示一个二维的未知函数，通过),(y x g 的直线称为光钱(见图2．1)。
沿光线),(y x g 的积分称作光线积分。
沿相同方向的一组光线积分，就构成一个投影。
图2．1中垂直于直线'CC (与X 轴夹角为 )的光线所形成。
图2.1 ),(y x g 在θ方向的投影)(t P θ的投影)(t P θ，称之为),(y x g 在θ方向的投影。
光线积分和投影在数学上可以定义如下：在图2.1中直线AB 的方程为：1sin cos t Y X =+θθ (2.1) 其中1t 是AB 到原点的距离，),(y x g 沿AB 的积分为：dxdy t y x y x g ds y x g t P AB)sin cos (),(),()(11-+==⎰⎰+∞∞-θθδθ (2.2)对于给定的θ，),(y x g 在θ方向的投影)(t P θ是t 的函数。
如果),(y x g 在各个方向的投影已知，),(y x g 就可以唯一确定。
下面就讨论卷积反投影重建算法。
假定投影方向θ，如图2.2，将坐标),(y x 旋转θ角（逆时针方向）形成坐标系),(s t 。
),(y x g 在),(s t 坐标系中为),(s t g 。
图2.2 傅立叶切片定理示意图坐标系),(s t 与),(y x 之间的关系为： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x s t θθθθcos sin sin cos （2.3） 显然()ds s t g t P ⎰+∞∞-=),(θ （2.4）令)(w S θ为)(t P θ的傅立叶变换则 dt wt j t P w S )2exp()()(πθθ-=⎰+∞∞- dsdt wt j s t g )2ex p(),(π-=⎰+∞∞- （2.5）将上式变换到),(y x 坐标系中，注意到变换的可比行列式1cos sin sin cos =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=⎰θθθθys y tx s t t （2.6） 从而得到： dxdy y x j y x g w S ⎰+-=⎰⎰+∞∞-+∞∞-)]sin cos (2ex p[),()(θθπωθdxdy vy ux j y x g )](2ex p[),(+-=⎰⎰+∞∞-+∞∞-π （2.7）其中⎩⎨⎧==θωθωsin cos v u （2.8）若令),(y x g 的傅立叶变换为),(v u G ，由（2.8）可知),(),()(θωωθG v u G S == （2.9） 若),(y x g 的傅立叶变换为),(v u G 的极坐标表示。
这说明),(y x g 在θ方向的投影)(t P θ傅立叶变换)(w S θ等于),(v u G 在与u 轴成θ角的直线上的值。
这就是著名的傅立叶投影切片定理。
可见在整个),(v u 平面),(v u G 可以利用各个方向的投影来得到，从而),(y x g 也可以通过求),(v u G 的傅立叶反交换的办法求得： dudv vy ux j v u G y x g )](2ex p[),(),(+=⎰⎰+∞∞-+∞∞-π （2.10）变换到极坐标中 ⎩⎨⎧==θωθωsin cos v u ， ω=⎰得到θωθθπωθωπd d y x j G y x g )]sin cos (2ex p[),(),(20+=⎰⎰∞（2.11）经推导得 ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+∞∞-πθθωπωωω0)2exp()(),(d d t j S y x g （2.12） 其中θθsin cos y x t += 若令ωπωωωθθd t j S t Q )2ex p()()(⎰+∞∞-= （2.13）则⎰+=πθθθθ0)sin cos (),(d y x Q y x g (2.14)(2.13)式右端是两频谱函数)(w S θ和)(ωH 的乘积的傅立叶反变换。
)(w S θ是投影)(t P θ 傅立叶变换。
若)(ωH 的傅立叶反变换为)(t h ，则根据卷积定理有： ⎰+∞∞--=τττθθd t h P t Q )()()( （2.15）或)()()(t h t P t Q *=θθ 其中ωπωωd t j t h )2ex p()(⎰+∞∞-=（2.16）当图像的频谱是有限带宽时，则上式变为ωπωωωωd t j t h )2ex p()(0⎰+-=（2.17）由于图象及其频谱都是离散采样的， 假定图象采样间隔为τ， 则根据采样定理τω2/10=。
为了进行数学处理，只需知道h (t)在有限带宽上的离散采样点的值．这样我们有⎪⎩⎪⎨⎧-=2222/10)4/(1)(τπττn n h （2.18）其中n 为正负整数。
（2.18）的离散形式为 ∑∞-∞=-=m m n h m P n Q ττττθθ)()()( （2.19）假定)(τθm P 在1,1,0-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N m 之外的值为0，则上式变为 []∑-=-=1)()()(N m m n h m P n Q ττττθθ （2.20） 或∑---=-=1)1()(][)(N N m m h m n P n Q ττττθθ （2.21）其中1,2,1,0-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N n 从而可见为确定)(t P θ的N 个采样点上的)(τθn Q 的值，需要使用)(τn h 的2N — 1个点上的值，从n=一(N — 1)到(N — 1)。
为求得)(τθn Q ，利用傅立叶变换计算卷积是比较快的方法，为清除循环卷积的周期交叠效应，实际上)(τn h 取2N 个点，)(τθm P 补0，使之有(2N —1)个元素，则)(t P θ在N 个采样点上就避免了交叠，如果使用以2为基的FFT(快速傅立叶变换)算法， )(τθm P 和)(τn h 都必需朴0至(2N 一1)个元素，(2N 一1)为大于等于2N —l 的最小的2的整数幂。
计算)(τθn Q 的过程可以写为]0)((]0)([([)(ττττθθn h FFT n P FFT FFT n Q ⨯⨯= （2.22）其中FFT 和IFFT 分别表示快速傅立叶变换和反变换， 光滑窗是在滤波过程中加入的光滑因子，例如引用汉明窗 ，有时可以改进重建效果。
对于各个θ方向的投影， 得到)(τθn Q 之后就可以由(2.22)来计算),(y x g 。
重建步骤可以归纳为：第一步：卷积，也称滤波，由(2．22)对每个θ方向计算)(τθn Q 。
第二步。
反投影，由(2．14)的近似形式∑=+=Mi i iiy x Q My x g 1)sin cos (),(θθπθ （2.23）来计算),(y x g 的近似值),(ˆy x g。
M 为投影个数i θ为投影方向角，他们均匀的分布在0~π的范围内。
当计算)sin cos (i i y x Q i θθθ+时，i i y x t θθsin cos +=，不一定在)(τθn Q 的整离散点上，这就需要插值求得，预先将)(τθn Q 插值加密，即最靠近的点，可以提高计算速度。
2).等角扇形光来投影的重建算法几乎所有的快遗CT 设备都是用的扇形光束。
这里叙述的是等角度光束投影，如图2.3，测量投影数据的探测器等间距地分布在1D 2D 弧上，弧的半径为2D ， D 为光源到图像中心的距离。
在下文中，),(φr f 图象在极坐标中的表示。
)(γβR 表示在方向角为β的投影中位量角为γ的光线产生的投影数据。
通过中心的光线其γ为0。
L 表示从光源到像素),(φr 的距离。
图2.3 等扇形束投影重建算法中的变量)sin(2),,(22φβφγβ-++=Dr r D L （2.24）γ表示在方向角为β的投影中通过像素),(φr 的光线的位置角)sin()cos(tan tan),,(11'φβγφβγφγβγ-+-==--D E S E P （2.25） 图像),(φr f 和扇形投影)(γβR 有下述关系βγγγγγγγγφγγβπd h rR D L r f )())sin((21)(cos 1),('''202---⋅=⎰⎰- （2.26）其中r 和φ是投影中光线的最大位置角，从而可以得到这种重建算法的执行步骤： 第一步：投影的修改，假定投影的抽样间隔为α，抽样数据)(αβn R 通过下式进行修改， αααββn D n R n R cos )()(1'= （2.27） 第二步：卷积（滤波）将第一步修改了的投影与响应函数)(γg 进行卷积 )()sin 1(21)(2'γγγh g =（2.28） αααγγγββd m n g n R Q )()()(-=⎰- （2.29）其离散形式为： ααααββ)()()(1'm n g m R n Q Mm -=∑- （2.30）这里也和上节一样可以加进一光滑窗，改进重建效应。
第三步：反投影，就是执行（2.30）的积分 βγφγβφβπd Q L r f )(),,(1),(202⎰= （2.31）近似的有：)(),,(12),(12γφγβπβQ L my x f Mi ∑==（2.32）其),(y x f 是图象),(y x f 的近似图像，φcos r x =，φsin r y =， M 是投影数，假定投影均匀地分布在0~π2内。