力学近似分析方法之逐次渐近法
09 渐进法
3m 6m 200kN 60 20kN/m 0.571 0.429 150 -90 -34.3 -25.7 B 0
20 62 M 90kN m 8 F F M B M BA M BC 60kN m
A -150 -17.2
C
（2）放松结点B， 即加-60kN· m进行分配、传递 设i =EI/l ，计算转动刚度： SBA=4i SBC=3i 分配系数：
转动刚度 SAB=3i
MAB =3i
1
1
A
EI l
B
M B A= 0
转动刚度 SAB=i
MAB = i
A
EI
B
MB A =-i
l
转动刚度 SAB=0
1
M AB =0
A
EI
B
l
转动刚度 SAB=0
§9-2 力矩分配法的基本原理
——概念
转动刚度（劲度系数）
传递系数
远端（B端）弯矩与近端（A端）弯矩的比值，用CAB表示。
第九章 渐进法
本章 内容
概述 力矩分配法的基本原理 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
无剪力分配法 剪力分配法
第九章 渐进法
本章 内容
概述 力矩分配法的基本原理 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
无剪力分配法 剪力分配法
§9-3 连续梁和无侧移刚架
具有多个结点转角的多跨连续梁的求解步骤： 1.先将所有刚结点固定，计算各杆固端弯矩； 2.轮流放松各刚结点，每次只放松一个结点，其他结点仍暂 时固定，这样把各刚结点的不平衡力矩轮流进行分配与传递，直 到传递弯矩小到可略去时为止。 3. 最后累加固端、分配和传递得结果。 这种计算杆端弯矩的方法属于渐近法。
结构力学教程——第12章 渐进法和超静定结构的影响线
性质，可得到柱子两端弯矩。
知识点 12.5-3
柱间有水平荷载作用时的计算
I=∞
A
C
q
i1 h1
B
i2 h2 D
I=∞
A
C
q
i1 h1
i2 h2
B
+
D
A
i1 h1 B
I=∞ C
i2 h2 D
P 单跨梁计算
P 力矩分配法
知识点
12.6 用机动法绘制连续梁的影响线
力法基本方程
11 Z1 1P 0
SBA 1 5
CBA 1
例2：作图示刚架的弯矩图
解 （1）固端弯矩
M
F AB
M
F BA
1 4 kN 3.3m 2
= 6.6kN m
M
F BC
M
F CB
1 (4 8.5)kN 3.6m 2
= 22.5kN m
（2）分配系数
SBA iBA 3.5 SBC iBC 5 SBE 3iBE 162
（http://structuremechanics/index1.htm）
1. 课程导入
连续梁桥
q
多跨连续梁
2. 结点力矩下单结点力矩分配
2.1 力矩分配法概念的提出 回顾位移法
例1：若梁线刚度 i 相同，求梁各杆端弯矩。
M
M
B
A
MBA MBC
M BA 4iB
B
θB
C
M AB 2iB
M BC 3iB
SCB 4 SCF 2 SCD 3
CB 0.445 CD 0.333 CF 0.222
解（1）转动刚度和分配系数
EI0=1
力学近似分析方法之逐次渐近法
逐次渐近法在用能量法进行计算时,必须先假设变形曲线,而且所假设的变形曲线对计算结果的误差有决定性的影响。
究竟如何选取变形曲线才能接近于精确解呢?逐次渐近法提供了一种较好的办法。
此外,对于精确解为未知或比较复杂的情况,用渐近法能提供临界荷载的上限和下限,可以估计近似解的精确度,通过逐次渐近计算便可得到所需的精确度。
用渐近法计算临界荷载时,先取任一满足几何边界条件的曲线作为初始变形曲线,杆件的弯矩可以轴力P 与挠度来表示, 将其代入微分方程, 用重积分法或其他方法得到变形曲线的表达式, 从而得到一个临界荷载值。
如果原设定的变形曲线刚好是正确的, 则求解微分方程所得的变形曲线与原先所设的曲线必定相同, 而如果选择的初始曲线是近似的,则积分后得到的变形曲线与原曲线将有区别。
换句话说, 原先设定的变形形式不是实际的屈曲平衡形式。
为了寻求新的变形形式,可以第一次计算所得的曲线为基础作为真实挠度曲线的一个新的近似解。
重复上述计算, 又得到一个新的变形曲线, 求得另一临界荷载近似值, 它比前一个临界荷载近似值更接近于精确值。
继续进行计算, 直到假设的与计算的变形形式相差很小为止, 这时相应的临界荷载就将接近于精确解了。
现以图1a 所示的间端饺支等截面压杆为例来说明。
其屈曲时的平衡微分方程为''EIv Pv =- （1）积分两次后, 得到其弹性曲线表达式为00()()x x P v x v x dxdx EI =-⎰⎰ （2）以实际的变形曲线表达式()v x 及临界荷载P 代入式（2）的右边,按式（2）算得的()v x 与实际的变形曲线必然相同。
但若右边代入的为近似变形曲线0()v x , 则按上式算得的1()v x 与0()v x 就会有区别,不过1()v x 比0()v x 更接近于实际变形曲线。
若又以1()v x 代入式（2）的右边进行积分,则又可得到一个新的变形曲线2()v x 。
由2()v x 又可求得3()v x 等等，依此类推。
简述逐次逼近法的工作原理
简述逐次逼近法的工作原理
逐次逼近法是一种数值计算方法，用于求解近似解的近似值。
其主要工作原理如下：
1. 初始化：选择一个初始值作为近似解的初始近似值。
2. 迭代过程：根据某种规则进行迭代，每次迭代都会产生一个较接近真实解的近似值。
3. 收敛判断：判断近似解是否足够接近真实解。
如果接近程度满足预定的收敛准则，则输出近似解；否则返回第2步进行下一次迭代。
4. 输出结果：输出满足收敛准则的近似解作为最终结果。
逐次逼近法的核心思想是不断迭代，通过每一次迭代对近似解进行修正，逐渐接近真实解。
在迭代过程中，常用的方法有不动点迭代法、Newton-Raphson迭代法等等。
这些方法在每一步迭代中通过一定的数学计算方式来更新近似解，并不断逼近真实解。
逐次逼近法的优点是易于实现和理解，适用于一些求解复杂方程或函数的数值解问题。
然而，它的收敛速度可能很慢，对于某些问题可能无法得到满意的解。
因此，在应用中需要根据具体问题选择合适的迭代方法，以提高计算效率和准确性。
第八章 逐次渐进方法
第一节 逐次渐进方法概述
一、逐次渐进方法的历史发展 阿基米德求抛物弓形面积 刘徽割圆术 二、逐次渐进方法中的极限思想 数学中的迭代法是一种典型的逐次渐进方法 三、利用逐次渐进方法缩小问题的讨论范围 四色问题 帽子问题
第二节 逐次渐进方法应用
一、逐次试验、选择的方法 例1 设N为整数，则非常 x1+x2rctan 1 1 1 1 + arctan + arctan + ⋅ ⋅ ⋅ + arctan 2 2 ⋅ 22 2 ⋅ 32 2 ⋅ n2
三、逐次渐进与简单化原理
三、递推法 例7 例8 例9
四、递归法 例10 例11 例12
第三节 类比猜想与归纳猜想
一、逐次渐进与类比猜想 例1 试证正四面体内一点到各面距离之和为 定值 例2 例3 例4
二、逐次渐进与归纳猜想 例6 例7 1 1 1 1 , , ,⋅ • ••, 例8 求出数列 1 • 2 2 • 3 3 • 4 n • (n + 1) 的前n项和并证明之 思考：怎样求和：
m −1 N −1
B C
m N
C A
m −1 N −1
m AN D
二、逐步逼近与无限逼近的方法 逐步逼近：是指解决具体数学问题时采用一 步一步逐渐接近正确答案的方法。 无限逼近：是指在解决具体数学问题时，先 把问题分步骤或分阶段具体化，然后再采取 取极限方法来获得最后的正确结果。这种方 法在解决有关极限问题时是一种经常采用的 方法 如例6
渐进法及其它算法简述
第八章渐进法和力矩分配法超静定结构的计算方法: 力法(六)、位移法（七）力法计算步骤1、选取基本体系2、列力法方程3、计算系数及自由项4、解方程5、作内力图位移法计算步骤1、设基本未知量2、列杆端弯矩方程3、列位移法方程4、解方程5、求杆端弯矩6、做内力图为避免解力法和位移法方程，引入一种近似的计算方法，这种方法是位移法的延伸，在计算过程中进行力矩的分配与传递。
渐近法有力矩分配法、无剪力分配法等，它们都是位移法的变体，其共同的特点是避免了组成和解算典型方程，也不需要计算结点位移，而是以逐次渐近的方法来计算杆端弯矩，计算结果的精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。
力矩分配法适用于连续梁和无结点线位移的刚架；无剪力分配法适用于刚架中除杆端无相对线位移的杆件外，其余杆件都是剪力静定杆件的情况，它是力矩分配法的一种特殊的形式。
对于一般有结点线位移的刚架，可用力矩分配法和位移法联合求解。
§8.1 力矩分配法的基本概念力矩分配法：理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。
基本概念转动刚度S分配系数μ传递系数 C力矩分配法中符号规定力矩分配法的理论基础是位移法，故力矩分配法中对杆端转角、弯矩及固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都假设对杆端顺时针旋转为正号、对结点或附加刚臂逆时针旋转为正号。
一、转动刚度S：表示杆端对转动的抵抗能力。
在数值等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。
转动刚度SAB 与杆的线刚度i （材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关。
二、分配系数设A 点有力矩M ，求M AB 、M AC 和M AD如用位移法求解：A AB A AB AB S i M θθ==4A AC A AC AC S i M θθ==A AD A AD AD S i M θθ==30=∑AM A AD AC ABS S SM θ)(++=∑=++=AAD AC AB A SMS S S M θ所以有M SS M AABAB ∑=M S S M AAC AC ∑= M S S M AAD AD ∑=M M Aj Aj ⋅=μ ∑=AAjAj SS μ 1=∑μ三、传递系数=远端弯矩/近端弯矩M AB = 4 i ABθAM BA = 2 i ABθA在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。
第8章 渐进法及其他算法简述
43.88 6.86
40
D
M图(kN.m) 3.43 C
第8章 渐进法及其他算法简述
§8-1 力矩分配法的基本概念 §8-2 多结点的力矩分配
§8-4 无剪力分配法
§8-10 小结
第8章 渐进法及其他算法简述
§8-2 多结点的力矩分配
一、基本概念
1、力矩分配法是一种渐近法。 2、每次只放松一个结点。 3、一般从不平衡弯矩绝对值较大的结点算起。
0.4 0.0
0.6 -225.0
0.5
0.5
+225.0 -135.0
0.0 0.0 0.0 0.0
+90.0 +135.0 -39.4 +15.8 +23.6 -3.0 +1.2 +1.8
+107.0 -107.0 107 135
+67.5 -78.8 -78.7 +11.8 -5.9 -5.9 +0.9 -0.5 -0.4
McCB
第8章 渐进法及其他算法简述
2、解题步骤
（1）在刚结点上加上刚臂（想象），使原结构 成为单跨超静定梁的组合体，计算分配系数。 （2）计算各杆的固端弯矩，进而求出结点的不 平衡弯矩。 （3）将不平衡弯矩（固端弯矩之和）反号后， 按分配系数、传递系数进行分配、传递。
（4）将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩 相加，即得各杆的最后弯矩。
P/2
P/2
P/2
E
C
D P B 3P/2 A
刚架中除两端无相对线位移的杆件外，其余杆件都是剪力静定杆件(剪力已知)。
二、无剪力分配法的解题步骤
1、固定结点，加附加刚臂以阻止结点的转动，但不阻止线 位移，计算各杆分配系数及各杆在荷载作用下的固端弯矩； 2、放松结点，使结点产生角位移和线位移，求各杆的分配 弯矩和传递弯矩。 3、将以上两步的杆端弯矩叠加，即得原刚架的杆端弯矩。
结构力学渐进法原理的应用
结构力学渐进法原理的应用1. 什么是结构力学渐进法？结构力学渐进法是一种力学分析方法，用于求解复杂结构的静力学和强度问题。
它基于结构的几何特性，将结构分为许多子结构，然后将这些子结构进行逐步分析，最终得到整个结构的静力学和强度解。
2. 渐进法的基本原理渐进法的基本原理是将一个结构划分为多个子结构，每个子结构都是由更小的部分组成。
然后通过逐步分析和计算这些子结构的静力学和强度问题，最后将结果汇总得到整个结构的解。
3. 渐进法的应用领域渐进法在结构力学中的应用非常广泛，主要包括以下几个方面：•结构设计：通过对结构进行逐步分析，可以优化结构的力学性能，减轻结构的重量，提高结构的强度。
•结构优化：渐进法可以用于优化结构的几何形状，减少结构的应力集中，提高结构的稳定性。
•结构分析：渐进法可以用于求解结构的静力学问题，例如计算结构的应力分布、变形等。
•结构材料选择：渐进法可以用于评估不同材料的力学性能，选择合适的材料。
•结构损伤评估：渐进法可以用于评估受损结构的剩余强度，确定结构的维修和加固方案。
4. 渐进法的优点和局限性渐进法具有以下优点：•分析精度高：通过逐步分析子结构，可以得到准确的结构解。
•计算效率高：渐进法将结构分解为多个子结构，可以并行计算，提高计算效率。
•设计灵活性强：渐进法可以应用于各种结构类型和复杂度的问题，具有很强的适应性。
然而，渐进法也存在一些局限性：•对结构划分的依赖：渐进法的准确性和效率高度依赖于对结构的合理划分。
•计算工作量大：对于大规模的结构，渐进法的计算工作量较大。
•不适用于某些特殊情况：某些结构问题可能不适合使用渐进法进行分析，例如存在较大的非线性行为的结构。
5. 渐进法的应用案例以下是一些渐进法在工程实践中的应用案例：•飞机机翼设计：利用渐进法可以对飞机机翼进行逐步分析，优化翼型和结构布局，提高机翼的强度和稳定性。
•桥梁结构设计：通过渐进法可以对桥梁结构进行逐步分析，优化结构的刚度和承载能力，提高桥梁的安全性和使用寿命。
第9章 渐近法和近似法
C
求和反号后 分配
-0.9
④最后杆端弯矩
M AB 28.2kN m , M AD 26.4kN m , M AC 1.8kN m , M BA 0
-0.9 MCA
M DA 34.8kN m M CA 0.9kN m
例3
B q i A l i C l
杆端弯矩
22.9
45.7 54.3
40.3 40.3
100
-100
45.7
100 40.3 100
22.9
54.3
练习2
5m 100kN 5m B
100kN 结点 C 杆端 分配 系数 D 5m 固端 弯矩 分配
-125
A AB BA
0.5 125
B BC
0.5
C
D
CB CD DC
0.5 0.5
M
D
A
A
B
C
传递系数 远端弯矩称传递弯矩 M远= C · M近
远端弯矩 传递系数 近端弯矩
远端约束 固定 滑动 简支 近端弯矩
MAB=4iABA MAC=iACA MAD=3iADA
M
D
A
A
B
C
远端弯矩
MBA=2iABA MCA= - iACA MDA= 0
传递系数 C 1/2 -1 0
另：自由端传递系数为0
2. 单结点的力矩分配
计算目标：确定各杆端弯矩 计算目标：
P A MAB MBA P A MFAB MFBA B MBC MB 阻止转动约束 C (b) B MFBC=0 C
(a)
力矩分配法基本结构
P A MAB MBA P A MFAB A M’AB M’BA MFBA
第三章逐次逼近法
第三章 逐次逼近法1.11、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。
2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。
4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。
5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。
7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
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逐次渐近法
在用能量法进行计算时,必须先假设变形曲线,而且所假设的变形曲线对计算结果的误差有决定性的影响。
究竟如何选取变形曲线才能接近于精确解呢?逐次渐近法提供了一种较好的办法。
此外,对于精确解为未知或比较复杂的情况,用渐近法能提供临界荷载的上限和下限,可以估计近似解的精确度,通过逐次渐近计算便可得到所需的精确度。
用渐近法计算临界荷载时,先取任一满足几何边界条件的曲线作为初始变形曲线,杆件的弯矩可以轴力P 与挠度来表示, 将其代入微分方程, 用重积分法或其他方法得到变形曲线的表达式, 从而得到一个临界荷载值。
如果原设定的变形曲线刚好是正确的, 则求解微分方程所得的变形曲线与原先所设的曲线必定相同, 而如果选择的初始曲线是近似的,则积分后得到的变形曲线与原曲线将有区别。
换句话说, 原先设定的变形形式不是实际的屈曲平衡形式。
为了寻求新的变形形式,可以第一次计算所得的曲线为基础作为真实挠度曲线的一个新的近似解。
重复上述计算, 又得到一个新的变形曲线, 求得另一临界荷载近似值, 它比前一个临界荷载近似值更接近于精确值。
继续进行计算, 直到假设的与计算的变形形式相差很小为止, 这时相应的临界荷载就将接近于精确解了。
现以图1a 所示的间端饺支等截面压杆为例来说明。
其屈曲时的平衡微分方程为
''EIv Pv =- （1）
积分两次后, 得到其弹性曲线表达式为
00
()()x x P v x v x dxdx EI =-⎰⎰ （2）
以实际的变形曲线表达式()v x 及临界荷载P 代入式（2）的右边,按式（2）算得的()v x 与实际的变形曲线必然相同。
但若右边代入的为近似变形曲线0()v x , 则按上式算得的1()v x 与0()v x 就会有区别,不过1()v x 比0()v x 更接近于实际变形曲线。
若又以1()v x 代入式（2）的右边进行积分,则又可得到一个新的变形曲线2()v x 。
由2()v x 又可求得3()v x 等等，依此类推。
这种递推关系可写为一般形式
100()()x x n n P v x v
x dxdx EI -=-⎰⎰ (n=1,2,3…) （3）
按上式每进行一次计算,所得的变形曲线近似解都将比前一次的更接近于精确解。
当计算足够次数后, 第n 次与第n-1次两次结果接近相等时, 便可认为得到了正确的变形曲线。
不过,我们的目的在于确定临界荷载, 而它在按上述递推运算过程中是未知的常数。
我们把上述过程做些变化，便可求解临界荷载。
假设初始挠度曲线00()v v x =
则由式（3）得到第一次近似挠度曲线为 11000()()()x x P P v x v x dxdx v x EI
EI =-=⎰⎰ 第二次近似挠度曲线为
2212210000
()[()]()[()]()()x x x x P P P v x v x dxdx v x dxdx v x EI EI EI =-=-=⎰⎰⎰⎰ 依此类推，得()(
)()n n n P v x v x EI
= 式中 100()()x x n n v x v
x dxdx -=-⎰⎰ （4）
当两次结果接近时，则 1()()n n v x v x -≈ 由此可得：1()()n n P v x v x EI -=
则临界荷载1()()()
n cr n n v x P EI v x -= （5） 计算临界荷载时，先根据假定的挠度曲线由式（4）逐次求出1()n v x -与()n v x ，然后由式（5）确定临界荷载n 次近似解。
当两次求得的临界荷载接近时，认为所确定的临界荷载有足够的精度。
实际计算时, 一般只要计算少数几次便可得到比较满意的结果。
下面以图1a 所示压杆来说明式(5)的应用。
第一次近似：选取图1b 所示折线为初始曲线0()v x , 折线中央的坐标设为f 。
其下半段的方程为
02()f v x x l = （02
l x <≤） 由式（4）得第一次近似变形曲线为
31000002()()34x x x x
f f fl v x v x dxdx dxdx x x l l =-=-=-+⎰⎰⎰⎰ 为了能由式(5)求临界荷载的近似值,必须利用同一截面在两次计算中的挠度比,但应注意杆件不同截面的比值是不同的。
例如
0(1)222122
2412[][]43cr l l x x v EI EI P EI x l l v =====-+ 0(1)213
9.391[]cr l x v EI P EI l v === 0(1)216
8.308[]cr l x v EI P EI l v === 这里, 假定取用最大挠度截面的比值来确定临界荷载。
即取(1)212cr EI P l =。
第二次近似：以1()v x 作为近似变形曲线代入,得
3120000()()[]34
x x x x
f fl v x v x dxdx x x dxdx l =-=--
+⎰⎰⎰⎰ 53356024192
fx flx fl x l =-+ 将2()v x 和1()v x 代入式(5), 得临界荷载的第二次近似值
2
221(2)422422280(43)10[][]164025l x cr l x v x l EI P EI EI x l x l l v ==-+===-+ 在与精确解相比只差1.32 %。
第三次近似：以2()v x 作为近似变形曲线代入,得
533230000
753355()()[]60241925612520480115223040x x x x fx flx fl x v x v x dxdx dxdx l fx flx fl x fl x l =-=---+=-+-+⎰⎰⎰⎰
据此可求得临界荷载的第三次近似值为
42242(3)6244262322
168(164025)9.882[][]64336700427cr l l x x v l x l x l EI P EI EI x l x l x l l v ==-+===-+-+ 与精确值仅差0.13%。
在一般情况下,临界莉荷载的精确值是不知道的。
因此,若在每一次近似计算时,能确定临界荷载的上限和下限值,便可事先判断出临界荷载精确解所在的范围。
为此,可利用式（5）)算出构件上某两点的()cr n P 值, 其中最低值即为下限, 最高值则为上限, 精确解必定在此上、下限之内。
在上例中,第一次近似
当0x =时，(1)min 2
8[]cr EI P l =
当2l x =时，(1)max 212[]cr EI P l
= 精确解在这两个值之间，即22812cr EI EI P l l <<，如果取平均值210EI l 作为临界荷载的近似值，则它与精确值误差只有1.32％。
同理，第二次近似解为
(2)min 29.6[]cr EI P l =，(2)min 2
9.6[]cr EI P l = 平均值29.8EI l 作为临界荷载的近似值，与精确值误差只有0.705％。
第三次近似解为
(3)min 29.836[]cr EI P l =，(3)max 2
9.882[]cr EI P l = 平均值29.859EI l 作为临界荷载的近似值，与精确值仅误差0.104％，可以认为已相当接近于精确解了。
由上述可知,渐近法的每一次计算都为下一次的计算提供了更接近于精确解的特征函数, 而且可以找到临界荷载值的上、下限; 所设的特征函数包含的项数愈多,则愈精确。
当算出的上限与下限甚为接近时,便求得了临界荷载的精确值。
一般只需经过几次渐近计算〈特征函数只需包含几项〉即可得到较为满意的解答。
其缺点是每次求()n v x 时都要进行两次积分, 计算工作较繁。
为此在求()n v x 时，可采用共轭梁法来代替重积分运算。
必须指出,用渐近怯求临界荷载所设的初始的近似特征函数0()v x 必须满足压杆的几何边界条件, 而且0()v x 的形状必须与实际的屈曲形状大致相符,这样才能保证迭代运算的结果收敛于压杆的最小临界力。
（参考文献：G .毕尔格麦斯特等著, 戴天民等译, 《稳定理论》,上卷第4.22节,中国工业出版社, 1964年。
）。