第6章 结构振动分析的近似方法(中英文)

结构振动分析的近似方法
本章重点介绍以下几种近似方法： （分多自由度体系与连续体系）： 6.1 瑞利法(Rayleigh method)： （多自由度体系与连续体系） 6.2 李兹法(Ritz method)： （多自由度体系与连续体系） 6.3 加辽金（Galerkin）法：（连续体系） 6.4 加权残值方法： （连续体系）

i 1
M i 2 ( xi )] 2
• 梁的位能(potential energy)

2 y 2 EI ( x )( 2 ) d x 0 x
1 sin 2 (t ) 2
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d 2 ( x ) 2 EI ( x)[ ] dx 2 0 dx
l
6.1 瑞利法(Rayleigh method)：——连续体系
6.1 瑞利法(Rayleigh method)： ——多自由度体系
1. 固有频率的极值性质 ② 瑞利商和固有频率的极值性质 g) 对系统施加若干个约束 L1=0, L2=0, ……Lk-1=0时，瑞利商对不同 的约束情况取不同的最大值，第 n-k 个固有频率的平方等于所有 这些最大值中的最小值。
0 l
….(8-30)
6.1 瑞利法(Rayleigh method)：——连续体系
对瑞利法的讨论： • 若对一特定的振型，我们已知的正确形式，则式（ 6-11）给出固 有频率的精确值。 • 瑞莱指出，对于一个合理假定的固有振型，必须满足所有的几何 边界条件（也就是梁端的位移和转角条件），这样便可得到一个 较好的固有频率的近似值。 • 如果假定的固有振型和精确的固有振型之间相差一个小量，那么， 由式（6-11）得到的固有频率和精确值之间的差值将是非常之小 的。 • 如果假定的振型接近于基谐调振型，则由式（6-11）给出的基频 将略高于精确值，因为作这种假定相当于引进了附加约束。 • 一般地，都是用式（6-11）求梁振动的基频，也就是所谓“一阶 频率的近似求解”。
2 12 Rmin R Rmax n
(6.5)
b) 瑞利商在固有频率和主振型处取 极值 c) 若 X 与第r阶振型相差一个小量，则瑞利商与第r阶固有频率 的平方相差二阶小量。
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6.1 瑞利法(Rayleigh method)： ——多自由度体系
1. 固有频率的极值性质 ② 瑞利商和固有频率的极值性质 d) 当增大系统的刚性或减少系统的惯性时，固有频率增加; e) 当系统施加 k个独立的约束时，前 n-k个固有频率都增大（至少 不低于原来系统固有频率中序号相同的那一个），但不超过原 系统固有频率中序号比它大 k 的那一个。
2 n max R X
2 n R X k min max L1 0 L 0 2 Lk 1 0
(6.9)
k 2,3,, n
(6.10)
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6.1 瑞利法(Rayleigh method)： ——多自由度体系
2. 瑞利（Rayleigh）法 特点：只能求解最低阶固有频率的近似值，并且所求出的近似值 总是大于精确解。 基本思想：假设一个振型，代入式 (6.4) 中，将求得的瑞利商作为 基本频率平方的近似值。 因此，假设的振型与系统的真实振型越接近，得到的频率近似 值就越接近精确解。瑞利建议，取系统的静位移作为基本振型的 近似值，以此算出的瑞利商作为基本固有频率平方的近似值。 由于基本固有频率平方的精确值是瑞利商的最小值，因此瑞利 法算出的基本固有频率总是大于精确解。
式中， ( x)为满足梁的位移边界条件的近似振型函数。
梁的动能(kinetic energy)
1 T 2

1 2 dx m( x) y 0 2
l
j
M
i 1
( x i , t )] i[y
2
1 cos 2 (t )[ 2
1 V 2
l

l 0
j
m( x) 2 ( x)dx
EI ( x )[ ( x )] 2 d x
j
….(6-11)
m ( x ) 2 ( x ) d x
M
i 1
i
2 ( xi )
对等截面、没有集中质量的梁，式(6-11)变成：

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2

l 0
EI ( x)[ ( x)]2 dx m 2 ( x)dx
结构振动分析的近似方法（1讲） 结构振动分析的矩阵方法（2讲）
对应Clough书的 第7、8、13、14、15章
结构振动分析的有限元方法（1讲） 结构构振动分析的直接积分法（1讲）
对应Clough书的 第20~23章
第三部分、结构随机振动的基本知识（3讲）
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第6章
结构振动分析的近似方法
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6.1 瑞利法(Rayleigh method)：——连续体系
例6.1 用瑞莱法计算等截面固端梁的一阶固有频率。 假定梁的一阶振型函数为
x2 x3 x4 ( x) A( 2 2 3 4 ) l l l
它是取自均匀荷载下固端梁的挠曲函数。 最大动能和位能为
Tmax 1 2
由 T V ＝常数＝
1 2 [ 2
l
T max V 得： max
j 2 2
1 m ( x ) ( x ) d x M ( x )] i i 0 2 i 1

d 2 ( x ) 2 EI ( x)[ ] dx 2 0 dx
l
即梁振动的固有频率为：

2


l 0
l 0
u K u R u T u M u
T
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(6.4)
6.1 瑞利法(Rayleigh method)： ——多自由度体系
1. 固有频率的极值性质 ② 瑞利商和固有频率的极值性质 a) 系统第一阶固有频率的平方是瑞利商的最小值，而系统最高阶 固有频率的平方是瑞利商的最大值
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6.1 瑞利法(Rayleigh method)： ——多自由度体系
2. 瑞利（Rayleigh）法 例4.14 如图所示，设m1=m2=m3=m, k1=k2=k3=k, 用瑞利法求基本固有 频率。
k1
x1 m
1
k2
x2 m
2
k3
x3 m
3
解：系统的质量和刚度矩阵如下：
1 0 0 2 1 0 [M] m 0 1 0 , [K] k 1 2 1 0 0 1 0 1 1
第六章 结构振动分析的近似方法
李小珍，晋智斌，刘德军，朱艳 西南交通大学 桥梁工程系 地址：眷诚斋3208＃ TEL: 028-87603323 13880808086
第二部分、桥梁结构动力学计算方法
对应Clough书的 第1~6、9~12、16~19章
第一部分、结构动力学的基本原理（8讲） 第二部分、结构动力学计算方法（5讲） 第6章 第7章 第8章 第9章
1 1 1 [X1 ] {1 1 1}T ; [X2 ] {1 2 2}T ; [X3 ] {1 2 3}T k k k
代入瑞利商中，求出瑞利商为：
R({X1}) k 2k 3k ; R({X 2 }) ; R({X3 }) 3m 9m 14m
3k k 0.214 14m m
三者比较，取最小值：
1. 固有频率的极值性质 ① 瑞利（Rayleigh）商 根据机械能守恒可以得到
u K u 2 T u M u
T
(6.3)
式中 u 为振幅向量，如果u 为第 i 阶固有振型，则上式可以精确求 出第 i 阶固有频率。 对于任意的非零向量u，定义瑞利商为：
1 1 1 -1 1 [R][K] = 1 2 2 k 1 2 3
为求出系统的静位移，可以采用柔度矩阵：
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6.1 瑞利法(Rayleigh method)： ——多自由度体系
根据柔度矩阵的定义，它的第 i 列表示质量 mi上作用单位力时系统平 衡时的广义位移，因此，取瑞利商中的近似振型为：
i i' i k
(6.6)
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6.1 瑞利法(Rayleigh method)： ——多自由度体系
1. 固有频率的极值性质 ② 瑞利商和固有频率的极值性质 f) 对系统施加若干个约束 L1=0, L2=0, ……，Lk-1=0时，瑞利商对不 同的约束情况取不同的最小值，第 k 个固有频率的平方等于所有 这些最小值中的最大值。
例6.2 用瑞莱法计算等截面悬臂梁(cantilever beam)的一阶固有频率。 假定梁的一阶振型函数为
x ( x ) 1 cos 2L
最大动能和位能为
L 4 EI 2 ~ K EI ( x ) dx 0 32 L3 L 2 ~ M m ( x ) dx 0.228m L
l 0

m 2 ( x)dx 2 mA 2 2
l 0
l 630
V max
1 2

EI [ ( x)] 2 dx EIA 2
4 5l 3
由式（6-11）可得 222.5 EI
l m
与精确解结果一致。
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6.1 瑞利法(Rayleigh method)：——连续体系
x1 , x 2 , , x j 处有集中质量
M 1 , M 2 , , M j
，即横隔梁的简化
集中质量。 如图：
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6.1 瑞利法(Rayleigh method)：——连续体系