2018年北京市东城高三一模理科数学试题

北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）本试卷共4页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.若集合{|31}A x x =-<<，{1B x x =<-或2}>x ，则=A BA.{|32}x x -<<B.{|31}x x -<<-C.{|11}x x -<<D.{|12}x x <<2.复数1iz i=-在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知,a b R ∈，且a b >，则下列不等式一定成立的是A.220a b ->B.cos cos 0a b ->C.110ab-<D.0a b e e ---<4.在平面直角坐标系xOy 中,角θ以Ox 为始边,终边与单位圆交于点34(,)55，则tan()πθ+的值为 A.43B.34C.43-D.34-5.设抛物线24=上一点P到y轴的距离是2,则P到该抛物线焦点的y x距离是A.1B.2C.3D.46.故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”四个展览。

某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有A.6种B.8种C.10种D.12种7.设{}n a是公差为d的等差数列，n S为其前n项和，则“0d>”是“{}n S为递增数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.某次数学测试共有4道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”，已知这次测试共有5个“学习能手”，则难题的个数最多为A.4B.3C.2D.1第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222a c b ac +=+,则B =____________.10.在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心到直线sin 1ρθ=的距离为_____.11.若,x y 满足041x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为_____.12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____.13.设平面向量a,b,c 为非零向量，能够说明若“⋅⋅a b =a c ，则b =c ”是假命题的一组向量a,b,c 的坐标依次为______.14.单位圆的内接正n (3n ≥)边形的面积记为()f n ，则(3)=f ________； 下面是关于()f n 的描述： ①2()=sin2nf n nπ； ②()f n 的最大值为π；③()(1)f n f n <+；④()(2)2()f n f n f n <≤.其中正确结论的序号为________（注：请写出所有正确结论的序号）三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，验算步骤或证明.15.(本题满分13分)已知函数22()sin 2sin cos cos f x x x x x =+- (Ⅰ)求()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）从高一年级随机选取100名学生，对他们期中考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所示.（Ⅰ）从这100名学生中随机选取一人，求该生数学和语文成绩均低于60分的概率;（Ⅱ）从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人，记这两人中数Eξ;学成绩高于80分的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望()（Ⅲ）试判断这100名学生数学成绩的方差a与语文成绩的方差b的大小.（只需写出结论）17.（本小题14分）如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为CD 中点，分别 将,PAD PBC ∆∆沿,PA PB 所在直线折叠，使点C 与点D 重合 于点O ,如图2. 在三棱锥P OAB -中，E 为PB 中点. （Ⅰ）求证：PO AB ⊥；（Ⅱ）求直线BP 与平面POA 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角P AO E --的大小.18．（本小题13分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3，且过点()2,0A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M ，N 是椭圆C 上不同于点A 的两点，且直线AM ，AN 的斜率之积等于14-，试问直线MN 是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．19. （本小题满分14分）已知函数()(1)x f x e a x =-+.（Ⅰ）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线斜率为0，求a 的值; （Ⅱ）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围（Ⅲ）求证：当0a =时，曲线()(0)y f x x =>总在曲线2ln y x =+的上方.20.（本小题13分）在(2)n n n ⨯≥个实数组成的n 行n 列的表中，ij a 表示第i 行第j 列的数，记12(1)i i i in r a a a i n =++⋅⋅⋅+≤≤,12(1)j j j nj c a a a j n =++⋅⋅⋅+≤≤.若{}1,0,1(1,)ij a i j n ∈-≤≤，且1212,,,,,n n r r r c c c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅两两不等，则称此表为 “n 阶H 表”，记{}1212,,,,,,,n n n H r r r c c c =⋅⋅⋅⋅⋅⋅. （Ⅰ）请写出一个“2阶H 表”；（Ⅱ）对任意一个“n 阶H 表”，若整数[,]n n λ∈-，且n H λ∉， 求证：λ为偶数；（Ⅲ）求证：不存在“5阶H 表”.北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）本试卷共4页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.【答案】B【解析】由题易知，{|31}.A B x x =-<<-故选B2.【答案】B 【解析】(1)1111(1)(1i)222i i i i z i i i +-====-+--+,所以z 在复平面上对应的点为11(,)22-，在第二象限,故选B3.【答案】D【解析】,,a b a b >∴-<-由x y e =在R 上单调递增可知,,0,a b a b e e e e ----<∴-<故选D4.【答案】A【解析】由正切函数定义可知: 445tan 335y x θ===，4tan()tan 3πθθ+==，故选A5.【答案】C【解析】在抛物线中, 24.y x =焦点(1,0),F 准线1.x =-|||||| 1.PF PH PM ==+P 点到y 轴的距离为2.|| 2.PM ∴=即||||||1 3.PF PH PM ==+=故选C6.【答案】C【解析】法一：224210A A -=种法二：1122222210A A A A ⨯⨯+=种.故选C7.【答案】D【解析】充分条件的反例，当14a =-，1d =时，114S a ==-，2127S a a =+=-，充分不成立.必要条件的反例，例n S n =，11n n n S S a --==，0d =，必要不成立. 故选D.8.【答案】D【解析】由题意可知每位“学习能手”最多做错1道题，5位“学习能手”则最多做错5道题.而至少有3个“学习能手”做错的题目才能称之为“难题”，所以难题最多1道.故选D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.【答案】3π【解析】2221cos 222a cb ac B ac ac +-===,3B π∴=10.【答案】1【解析】即求2220x y x +-=圆心到直线1y =的距离，()2211x y ∴-+=的圆心为()1,0.距离为1.11.【答案】6【解析】可行域如右图所示：设2+z x y =即2y z x =-，当2y z x =-过(2,2)B 时，z 取最大值，所以6z =.12.【答案】23+12 【解析】该几何体如图所示：可知2AB AC BC ===,ABC 为等边三角形, 所以12332ABCS=⨯⨯=所以四边形11ACC A 的面积为 11224ACC A S=⨯=,所以11232312ABCACC A S SS=+=+表.13.【答案】(1,1)a =，(1,2)b =，(2,1)c =（答案不唯一） 【解析】设(1,1)a =，(1,2)b =，(2,1)c =,则3⋅a b =，3⋅a c =，所以⋅⋅a b =a c 但≠b c ，所以若⋅⋅a b =a c ，则b =c 为假命题。

14.①③④ 【解析】内接正n 边形可拆解为n 个等腰三角形，腰长为单位长度1，顶角为2n π.每个三角形的面积为12sin 2nπ，所以正n 边形面积为 2()sin 2n f n n π=.323(3)sin 232=f π=，①正确；正n 边形面积无法等于圆的面积，所以②不对；随着n 的值增大，正n 边形面积也越来越大，所以③正确； 当且仅当3n =时，有2(3)(6)f f =，由几何图形可知其他情况下都有(2)2()f n f n <，所以④正确.四、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，验算步骤或证明. 17. 【解析】(Ⅰ)由题意得：()sin 2cos 2)4f x x x x π=-=-,22T ππ∴== (Ⅱ)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ 当242x ππ-=时,即38x π=时,()f x . 当244x ππ-=-时,即0x =时,()f x 取得最小值1-.所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和1-.18. 【解析】（Ⅰ）由图知有9名学生数学和语文成绩均低于60分,则从100名学生中随机选一人,该生数学和语文成绩均低于60分的概率为9100. （Ⅱ）由题可知,ξ的可能取值为0,1,226210151(0)=453C P C ξ===1164210248(1)4515C C P C ξ⋅==== 2421062(2)=4515C P C ξ===1824()012315155E ξ=⨯+⨯+⨯=（Ⅲ）a b >17.【解析】（Ⅰ）由图1知,PD AD PC CB ⊥⊥由图2知,C D 重合于点O .则,PO AO PO BO ⊥⊥AOBO O =AO ⊂面AOB BO ⊂面AOBPO ∴⊥面AOB ,又AB ⊂面AOB PO AB ∴⊥（Ⅱ）由题知1OP =2OA OB AB ===ABO ∆为等边三角形过O 取1OF = 延长作OF AO ⊥建立如图空间直角坐标系则()()()()0,0,02,0,0,0,0,13,0O A P B ，，易知面POA 的法向量为()0,1,0OF =()13,1BP =- 设BP 与平面POA 夹角为θ则315sin cos ,515OF BP OF BP OF BPθ⋅-====⨯⋅∴ 直线BP 与平面POA（Ⅲ）由（Ⅱ）知面POA 的法向量为()0,1,0OF = 设面EOA 法向量为(,,)m x y z =易知E 为PB 中点11()22E ∴，，11()22OE =，，(200)OA =，， 00OE m OA m ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩即022220x z y x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩令1y =-则(0,m =-则11cos ,212m OF m OF m OF⋅-===-⨯⋅ 由图知二面角为锐角，∴ 二面角P AO E --为3π18．【解析】（Ⅰ）32e =，c a ∴=，过()2,0，2a ∴=，c =2221b a c =-=，2214x y ∴+=（Ⅱ）①当MN 斜率不存在时，设()00,M x y ，则()00,N x y -，00001224AM AN y y k k x x -⋅=⋅=---，()2200124y x =-， 又()00,M x y 在椭圆上，220014x y ∴+=， 解得00x =，01y =±，:0MN l x ∴=．②当MN 斜率存在时，设:MNl y kx m =+，与椭圆联立，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k xkmx m +++-=，0∆>，即22410k m +->，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12221228144414km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()()2212122414m k y y kx m kx m k -=++=+， ()12121212122224AM AN y y y y k k x x x x x x ⋅=⋅=---++222222222222441144416416416164141414m k m k k m km k m km k k k k --+===--++++++++，2222444m k m km k ∴-=---， 220m km +=，0m ∴=或2m k =-，当2m k =-时，():2MN l y k x =-， 恒过()2,0不符合①， 当0m =时，:MN l y kx =， 结合①，恒过()0,0， 综上，直线MN 恒过()0,0．19. 【解析】（Ⅰ）()x f x e a '=-，由题可得(0)0f '=，即10a -=，故1a = （Ⅱ）()x f x e a '=-①当0a =时，()0x f x e =>恒成立，符合题意。