插值方法综述报告
插值法总结
插值法在生产实践过程和科学实验中，经常要研究变量之间的函数关系，但在很多的情况下，又很难找到具体的函数表达式，往往只能通过测量或者观察获得一些量以及对应的值，这种无法求出其他量的对应的函数值，也不能进一步研究函数的分析性质。
为了解决这个问题，我们设法通过已给的量以及对应的值来求出一个简单函数P （x ）,使P (x )=x x (x =0,1,2…x )成立。
这个求插值函数P （x ）的方法称为插值法。
1 拉格朗日插值法先考虑一个简单的插值问题：求一个n 次插值多项式x x (x ),使它在各节点x x (i=0,1…,n)上的值为x x (x )={0 (x ≠x )1 (x =x )(I,k=0,1,2…n) 由上式可知，x x (x )在x 0,x 1,…x x −1,x x +1,..x x 处有根，所以可设x x (x )=x x (x −x 0)(x −x 1)…(x −x x −1)(x −x x +1)…(x −x x )由x x (x x )=1,可求得！x x =1(x x −x 0)(x x −x 1)…(x x −x x −1)(x x −x x +1)…(x x −x x )则 x x (x )=(x −x 0)(x −x 1)…(x −x x −1)(x −x x +1)…(x −x x )(x x −x 0)(x x −x 1)…(x x −x x −1)(x x −x x +1)…(x x −x x )从而插值多项式 x x (x )=∑x x (x )x x x x =0,这就是拉格朗日插值多项式。
其优点是结构紧凑，系数有明确的定义，便于理论研究。
缺点是当插值节点的个数有变动时，拉格朗日的基函数x x (x )也要随之发生变化，从而整个插值公式都发生变化，也就是拉格朗日插值不具有承袭性，这在实际计算时是不方便的。
2 牛顿插值法为了克服拉格朗日插值不具有承袭性的缺点，下面介绍了牛顿插值法。
空间插值方法大致总结
前段时间要对气象要素进行插值,翻看了多种方法,做了个PPT报告.对每个方法有简单的介绍极一些总结,不一定都是个人看法,参考了多方书面(sufer,ArcGIS应用教程)以及坛子里,百度上等搜到的资料的看后笔记,有些注了出处有些忘了.截图共享下,也不知有用没用.有错的地方请跟贴指正,谢谢啦!--------------------------------所谓空间数据插值,即通过探寻收集到的样点/样方数据的规律,外推/内插到整个研究区域为面数据的方法.即根据已知区域的数据求算待估区域值, 影响插值精度的主要因素就是插值法的选取空间数据插值方法的基本原理:任何一种空间数据插值法都是基于空间相关性的基础上进行的。
即空间位置上越靠近,则事物或现象就越相似, 空间位置越远,则越相异或者越不相关，体现了事物/现象对空间位置的依赖关系。
（/dky/nb/page/2000-3-3/2000332117262480.htm，南京师范大学地理科学学院地理信息系统专业网络课程教程）➢由于经典统计建模通常要求因变量是纯随机独立变量，而空间插值则要求插值变量具备某种程度的空间自相关性的具随机性和结构性的区域化变量。
即区域内部是随机的，与位置无关的，而在整体的空间分布上又是有一定的规律可循的，这也是不宜用简单的统计分析方法进行插值预估的原因。
从而空间统计学应用而生。
➢无论用哪种插值方法，根据统计学假设可知，样本点越多越好，而样本的分布越均匀越好。
常用的空间数据插值方法之一：趋势面分析⏹趋势面分析（Trend analyst）。
严格来说趋势面分析并不是在一种空间数据插值法。
它是根据采样点的地理坐标X，Y值与样点的属性Z值建立多元回归模型，前提假设是，Z值是独立变量且呈正态分布，其回归误差与位置无关。
⏹根据自行设置的参数可建立线性、二次…或n次多项式回归模型，从而得到不同的拟合平面，可以是平面，亦可以是曲面。
精度以最小二乘法进行验证。
插值法综述《计算方法》学习报告.讲义
插值法综述一、插值法及其国内外研究进展1.插值法简介插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践，早在一千多年前，我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生之后才逐渐完善的，其应用也日益增多，特别是在计算机广泛使用之后，由于航空、机械加工、自动控制等实际问题的需要，使插值法在实践和理论上都显得更为重要，并得到了空前的发展。
2.国内外研究进展● 插值法在预测地基沉降的应用● 插值法在不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法的应用 ● 拉格朗日插值法在地震动的模拟研究中的应用 ● 插值法在结构抗震可靠性分析中的应用● 插值法在应力集中应变分布规律实验分析中的应用 3.代表性文献● 不等时距GM(1%2c1)模型预测地基沉降研究 秦亚琼 武汉理工大学学报(交通科学与工程版) 2008.2● 不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法 牛志伟 岩土力学 2008.3 ● 基于拉格朗日插值法的地震动的模拟 白 可 山西建筑 2010.10 ● 响应表面法用于结构抗震可靠性分析 张文元 世界地震工程 1997 ● 小议应力集中应变分布规律的实验方法 查珑珑 淮海工学院学报（自然科学版）2004.6二、插值法的原理【原理】设有n+1个互不相同的节点（i x ，i y ） （i=0，1，2，...n ）则存在唯一的多项式： 2012()...(1)nn n L x a a x a x a x =++++使得()(0,1,2,...)(2)n j j L x y j n ==证明：构造方程组20102000201121112012......(3)...n n nn n nn n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩令：0011111nn n nn x x x x A x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦01n a a X a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦01n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 方程组的矩阵形式如下：(4)AX Y=由于110()0nn i j i j A x x -===-≠∏∏所以方程组（4）有唯一解。
插值法综述
H ( x) = H ( 2 x + 1) = a 0 + a1 x L a 2 n +1 x 2 n +1 。
6、分段低次插值（Piecewise Linear Interpolation） 通过插值点用折线段连接起来逼近 f ( x ) 。设已知区间 [a, b] 上的 n + 1 个节点 a = x 0 < x1 < L < x n = b 上的函数值 y i = f ( xi )(i = 0,1, L , n ) ，作一个折线函数 ϕ (x ) 满足： ① ϕ (x ) 是区间 [a, b] 上的连续函数；② ϕ (xi ) = y i (i = 0,1,2,L , n ) ；③ ϕ (x ) 在每个小区间
这 些 函 数 称 为 拉 格 朗 日 插 值 基 函 数 ， 而 ϕ n ( x) 它 是 至 多 n 次 多 项 式 ， 且 满 足
ϕ n ( x k ) = ∑ y i l i ( x k ) = y k (k = 0,1,2,..., n) 称其为 n 次拉格朗日插值多项式。
i =0
n
4、牛顿插值多项式： 设有函数 f ( x ) ， x0 , x1 , x 2 , L, 为一系列互不相等的点，称
f ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f [ x, x0 ] + ( x − x0 )( x − x1 ) f [ x 0 , x1 , x 2 ] + L + ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − x n −1 ) f [ x0 , x1 ,L x n ] + ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − x n ) f [ x, x0 , x1 ,L x n ] = N n ( x ) + Rn ( x ) 其中 N n ( x) = f ( x0 ) + ( x − x 0 ) f [ x, x0 ] + ( x − x0 )( x − x1 ) f [ x 0 , x1 , x 2 ] + L + ( x − x0 )( x − x1 ) K ( x − x n −1 ) f [ x0 , x1 , L x n ] Rn ( x) = ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − x n ) f [ x, x0 , x1 , L x n ] = ω n +1 ( x) f [ x, x0 , x1 , L x n ] 显然， N n ( x) 是满足插值条件的至多 n 次的多项式。可得 f ( xi ) = N n ( xi )(i = 0,1,L n) 。 因而它是 f ( x ) 的 n 次的插值多项式。我们称 N n ( x) 为牛顿插值多项式。 5、埃尔米特（Hermite）插值 设已知函数 y = f ( x) 在 n + 1 互异的节点 a ≤ x0 ≤ x1 ≤ L ≤ xn ≤ b 的值 yi = f ( xi ) (i = 1, 2,K n ) 和 y i' = f ' ( x i ) (i = 1, 2,K n ) ，要求一个至多 2n + 1 次的插值多项式
插值方法_实验报告
肖建 计科三班 20095420开课学院、实验室： 数统学院实验时间 ：2011年 5 月 8 日实验项目类型课程名称数学实验实验项目名 称插值方法验证演示综合设计其他指导教师李东成 绩实验5 插值方法一、实验目的及意义[1] 了解插值的基本原理[2] 了解拉格朗日插值、线性插值、样条插值的基本思想； [3] 了解三种网格节点数据的插值方法的基本思想；[4] 掌握用MATLAB 计算三种一维插值和两种二维插值的方法；[5] 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；通过自己动手作实验学习如何用插值方法解决实际问题，提高探索和解决问题的能力。
通过撰写实验报告，促使自己提炼思想，按逻辑顺序进行整理，并以他人能领会的方式表达自己思想形成的过程和理由。
提高写作、文字处理、排版等方面的能力。
二、实验内容1．编写拉格朗日插值方法的函数M 文件；2．用三种插值方法对已知函数进行插值计算，通过数值和图形输出，比较它们的效果；3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。
三、实验步骤1．开启软件平台——MATLAB ，开启MATLAB 编辑窗口； 2．根据各种数值解法步骤编写M 文件3．保存文件并运行；4．观察运行结果(数值或图形)；5．写出实验报告，并浅谈学习心得体会。
四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）基础实验1. 一维插值 利用以下一些具体函数，考察分段线性插值、三次样条插值和拉格朗日多项式插值等三种插值方法的差异。
1），x ∈[-5,5]； 2）sin x , x ∈[0,2π]; 3）cos 10x , x ∈[0,2π]．211x+M 文件：（1）clcx=linspace(-5,5,11);y=1./(1+x.^2);x0=linspace(-5,5,101);y0=1./(1+x.^2);y1=interp1(x,y,x0,'spline')y2=interp1(x,y,x0);A=[ones(11,1) x' (x.^2)' (x.^3)' (x.^4)' (x.^5)' (x.^6)' (x.^7)' (x.^8)' (x.^9)' (x.^10)']a=A\y';y3=a(1)+a(2).*x0+a(3).*x0.^2+a(4).*x0.^3+a(5).*x0.^4+a(6).*x0.^5+a(7).*x0.^6+a(8).*x0.^7+a(9).*x0.^8+a(10).*x0.^9+a(11).*x0.^10;plot(x0,y3,'r'),gtext('Lagr.'),hold on ,plot(x0,y2,'b'),gtext('Pies.Lin.'),hold on ,plot(x0,y1,'m'),gtext('Spline')hold off（2）x=linspace(0,2*pi,11); y=cos(x);x0=linspace(0,pi,101);y0=cos(x0);剩余代码和（1）中相同（3）x=linspace(0,pi,11);y=cos(x).^10;x0=linspace(0,pi,101);y0=cos(x0).^10;剩余代码和（1）中相同注意：适当选取节点及插值点的个数；比较时可以采用插值点的函数值与真实函数值的差异，或采用两个函数之间的某种距离。
插值数值实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。
2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。
3. 分析不同插值方法的优缺点，并比较其精度和效率。
4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。
二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。
它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。
常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等，并且满足一定的差商条件。
三、实验内容1. 拉格朗日插值法（1）给定一组数据点，如：$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$（2）根据拉格朗日插值公式，构造插值多项式：$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$（3）计算插值多项式在不同点的函数值，并与实际值进行比较。
实验一---函数插值方法报告
实验一 函数插值方法报告一、问题提出对于给定的一元函数)(x f y =的n+1个节点值(),0,1,,j j y f x j n ==。
试用Lagrange公式求其插值多项式或分段二次Lagrange 插值多项式。
数据如下：（1）求五次Lagrange 多项式5L ()x ，和分段三次插值多项式，计算(0.596)f ,(0.99)f 的值。
（提示：结果为(0.596)0.625732f ≈, (0.99) 1.05423f ≈ ）（试构造Lagrange 多项式6，计算的(1.8)f ,(6.15)f 值。
（提示：结果为(1.8)0.164762f ≈, (6.15)0.001266f ≈ ）二、要求1、 利用Lagrange 插值公式00,()n ni n kk i i k k i x x L x y x x ==≠⎛⎫-= ⎪-⎝⎭∑∏编写出插值多项式程序； 2、 给出插值多项式或分段三次插值多项式的表达式；3、 根据节点选取原则，对问题（2）用三点插值或二点插值，其结果如何；4、 对此插值问题用Newton 插值多项式其结果如何。
Newton 插值多项式如下： 10010,()()[,,]()k n n j k k j j k N x f x f x x x x -==≠=+•-∑∏其中：0,()() [,,]k ikii jj j ikf xx x f x x==≠-=∑∏三、目的和意义1、学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题；2、明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；3、熟悉插值方法的程序编制；4、如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。
四、实验学时：2学时五、实验步骤：1．进入C或matlab开发环境；2．根据实验内容和要求编写程序；3．调试程序；4．运行程序；5．撰写报告,讨论分析实验结果.解：一、编写插值函数结构程序Lagrange插值多项式M文件：lagrange1.mfunction [A1,LN,L1,B1]=lagrange1(X,Y)m=length(X); LN=ones(m,m);for k=1: mx1=1;for i=1:mif k~=ix1=conv(x1,poly(X(i)))/(X(k)-X(i));endendL1(k,:)=x1; B1(k,:)=poly2sym (x1)endA1=Y*L1;LN=Y*B1分段三次艾尔米特插值多项式的M文件：Hermite3.mfunction [f,ff] = Hermite3(x,y,y1)syms t;f = 0.0;if(length(x) == length(y))if(length(y) == length(y1))n = length(x);elsedisp('y和y的导数的维数不相等');return;endelsedisp('x和y的维数不相等！');return;endfor i=1:nh = 1.0;a = 0.0;for j=1:nif( j ~= i)h = h*(t-x(j))^2/((x(i)-x(j))^2);a = a + 1/(x(i)-x(j));endendf = f + h*((x(i)-t)*(2*a*y(i)-y1(i))+y(i));endff = subs(f,'t');L()x，和分段三次插值多项式。
插值法及其应用【文献综述】
文献综述信息与计算科学插值法及其应用插值问题是数值计算中基础而又核心的问题. 在许多实际问题及科学研究中, 因素之间往往存在着函数关系, 然而, 这种关系经常很难有明显的解析表达, 通常只是有观察与测试得到一些离散数值.有时即使给出了解析表达式, 却由于表达过于复杂, 不仅使用不便, 而且不易与进行计算与理论分析. 例如在工程实际问题中, 我们也经常会碰到诸如此类的函数计算问题, 被计算的函数有时不容易直接计算, 如表达式过于复杂或者只希望能用一个“简单函数”逼近被计算函数, 然后用该简单函数的函数值近似代替被计算函数的函数值. 这种方法就叫插值逼近或者插值法. 插值法要求给出函数的一个函数表, 然后选定一种简单)(x f 的函数形式, 比如多项式、分段线性函数及三角多项式等, 通过已知的函数表来确定一个简单的函数作为的近似, 概括地说, 就是用简单函数为离散数组建立连续模型. )(x )(x f 插值方法是一类古老的数学方法, 它来自生产实践. 早在数千多年前, 由于经典的牛顿力学尚未诞生, 因而人们无法用解析式描述日月五星的运行规律. 我们的祖先凭借插值方法, 利用对日月五星运行规律的有限个观测值获得了比较完整的日月五星的运行规律. 在一千多年前的隋唐时期, 中华先贤在制定历法的过程中就已经广泛地运用了插值技术. 公元6世纪, 隋朝刘焊已将等距结点的二次插值应用于天文计算. 但插值的基本理论和结果是在微积分产生以后才逐步完善的, 随后其应用也日益增多, 特别是在电子计算机广泛使用以后, 由于航空、造船、精密机械加工等实际问题的需要,使插值法在实践上或理论上显得更为重要, 并得到进一步发展.经典的插值方法以Taylor 插值和Lagrange 插值为代表. Taylor 插值利用函数在定义域内某点处的阶至n 阶导数信息给出复杂函数或未知函数的近似多项式表达式, Lagrange 插0值利用多个离散点的函数信息给出函数的近似多项式的表达式, 进一步根据插值结果对复杂函数或未知函数相关的理论和应用问题做出讨论.因此Taylor 插值和Lagrange 插值有着紧密的联系, Taylor 插值可以看作Lagrange 插值的极限形式；Lagrange 插值则是Taylor 插值的离散化形式.Lagrange 插值的优点是插值多项式特别容易建立, 缺点是增加节点时原有多项式不能利用, 必须重新建立, 即所有基函数都要重新计算, 这就造成计算量的浪费；Newton插值多项式是代数插值的另一种表现形式, 当增加节点时它具有所谓的“承袭性”. .在很多实际应用问题中, 为了保证插值函数能更好的密合原来的函数, 不但要求插值函数“过点”, 即插值函数和被插值函数在节点上具有相同的函数值, 而且要求“相切”, 即两者在节点处还具有相同的导数值, 这类插值称作切触插值, 即Hermite插值.由于Taylor 插值利用的是“一点”的各阶导数信息, Lagrange插值利用的“多点”函数信息, 而Hermite插值即利用函数值信息又利用导数信息, 所以Hermite插值是Taylor插值和Lagrange插值的综合和推广.现在, 插值技术应用越来越广泛了. 当我们尚未认识到某一事物的本质时, 常从其观测点出发, 利用插值技术以加深或拓展对该事物的认识或解决某些特定的问题.密钥共享即是插值法的应用之一. 在现代密码体制中, 数据的加密算法是公开的, 数据的安全性主要取决于对密钥的保护. 现在基于Lagrange插值多项式也研究出了一种密钥共享方法, 解决了密钥保护问题.目前实际中使用的也不仅仅局限与上述的插值方法, 很多都是对经典方法的改进, 例如《空间插值法在地阶梯度场中的分析》一文中介绍了4种空间插值法在房产估值中的应用, 4种空间插值方法都各有优缺点, 作者通过对各种方法研究比较, 最后选择克里金插值法作为住宅用地地价梯度场研究的主要方法.根据其研究成果房地产决策者和规划者可以对城市居住用地的土地利用向最有效使用方向调整, 最大限度的实现土地的最高使用价值.随着计算机的发展以及图像处理的重要性, 插值法在计算机图像处理中也有着重要的作用.图像放大是一种常用的数字图像处理技术, 在航天航天、医学、通讯、多媒体等领域有着广泛的应用, 常用的图像插值算法中, 最临近插值算法的实现最为简单、方便, 但它只是原始像素简单复制到其邻域内, 放大图像会出现明显的方块或锯齿, 即我们平时所说的失真.目前较为好的方法之一即双线性插值算法, 双线性插值算法利用映射点在输入图形的4个邻点的灰度值对映射点进行插值, 即插值点处的数值用待插点最近的4个点的值加权求得. 双线性插值能够较好的消除锯齿, 放大后图像平滑性好.但是其缺点是图像高频信息丢失严重, 即图像细节与轮廓的模糊, 影响了放大图像的清晰度.因此在双线性插值放大技术的基础之上, 加入边缘锐化处理, 增强平滑图像的轮廓, 使放大后的图像有较好的清晰度.插值法的基本理论和结果是在微积分产生以后才逐步完善的, 其应用也日益增多, 特别是在电子计算机广泛使用以后, 由于航空、造船、精密机械加工等实际问题的需要, 使插值法在实践上或理论上显得更为重要, 并得到进一步发展.参考文献[1]李庆扬, 王能超, 易大义.数值分析.第4版[M].北京:清华大学出版社, 2001.[2]黄铎, 陈兰平, 王凤.数值分析[M].北京:科学出版社, 2000.[3]沈燮昌.多项式最佳逼近实现[M].上海:上海科学技术出版社, 1984.[4]Stoer J, Bulirsh R. Introduction to Numerical Analysis[M].New York:Springer-Verlag, 1980 .[5]吴才斌．插值法及其应用[J].湖北大学成人教育学院学报, 1999, 17(5):77-80.[6]杨士俊, 王兴华.Hermite插值多项式的差商表示及其应用[J].高校应用数学学报, 2006,21(1):70-78.[7]姜琴, 周天宏.常见的插值法及其应用[J].郧阳师范高等专科学校学报, 2006, 26(3):6-8.[8]陈文略, 王子羊.三次样条插值在工程拟合中的应用[J].华中师范大学学报, 2004,38(4):418-422.[9]朱春钢.二元线性样条插值[J].应用数学, 2006, 19(3):575-579.[10]李洪杰.关于三次样条插值方法在应用中的一点改进[J].计算机与应用化学, 1991,8(3):187-190.[11]王芳.牛顿插值法在数学中的应用[J].浙江师范大学学报, 1994, 17(4):67-73.[12]张元巨.Hermite插值的一种新形式[J].苏州科技学院学报, 2004, 24(3):27-29.[13]文畅平.埃米尔特插值函数的工程应用[J].人民黄河, 2006, 28(4):69-70.[14]C.R.Selvaraj. Lacunary interpolation by consine polynomials [J].Hungar, 1994, 64(4):361-372.[15]R.D.Riess. Error estimates of hermite interpolation [J].BIT, 1973, 13:338-343.。
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实用数值方法(Matlab)综述报告题目：插值方法综述小组成员姓名：毛晓雯学号：************ 班级：机自6 班2014-2015(1)学期提交日期：2014年12月29日插值方法综述1 插值方法总结在离散数据基础上补插出连续函数是计算数学中最基本最常用的手段，是函数逼近的重要方法，利用它可以通过函数在有限个点处的取值状况估算该函数在其它点处的值。
因此，插值方法是观测数据处理、函数近似表示、计算几何造型等所常用的工具，又是导出其它许多数值方法的依据。
在教材的第二章中我们重点学习了Lagrange 插值、Aitken 逐步插值、Taylor 插值和Hermite 插值，另外也初步了解了分段插值和样条插值。
下面对此做一简单介绍：首先，Lagrange 插值要求其插值函数()p x 与所逼近的函数()f x 在一系列节点上取相同的函数值，其形式为00nnji i j i jj ix x y y x x ==≠⎛⎫- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭∑∏。
Aitken 逐步插值是对Lagrange 插值的改进，它是将多点的Lagrange 插值化归为两点插值的重复，是一个规模递减的过程。
Talor 插值则是要求插值函数与原来的函数在一系列节点上导数相同，其形式''()'20000000()()()()()()()()2!n n n f x f x p x f x f x x x x x x x n =+-+-++-。
Hermite 插值综合了Lagrange 插值和Talor 插值，它既要求插值函数与原来的函数在节点上具有相同的函数值，又要求其在节点上导数相同。
Hermite 插值函数可通过待定系数法、余项校正法、基函数法这三种方法构造。
分段插值是将插值函数逐段多项式化，选取分段多项式最为插值函数。
最后样条插值是指选取样条函数作为插值函数，是一种改进的分段插值，具有光滑性和间断性。
2 Newton 插值方法Newton 插值方法与我们教材中的Aitken 逐步插值相似，它们都是对Lagrange 插值方法的改进，克服了Lagrange 插值在增加插值节点后，必须重新计算所有的插值基函数的缺点。
首先我们设通过n+1个点()()i i x f x +()0,1,i n =的n 次插值多项式为01()()n n a x x x x -+--其中，01,,,n a a a 为待定系数，由插值条件P ()(),0,1,n j j x f x j n ==可得：当0x x =时，()000()n P x a f x ==当1x x =时，101101()()()n P x a a x x f x =+-=，推得10110()()f x f x a x x -=-当2x x =时，20110220212()()+()()()n P x a a x x a x x x x f x =+---=，推得()()()()21102110220f x f x f x f x x x x x a x x -----=- 依次递推，可得3,n a a 。
为了给出系数()0,1,k a k n =的一般表达式，下面引进差商的概念。
2.1 差商的定义和性质定义 设()y f x =在点()01,,n i j x x x i j x x ≠≠时，处的取值分别为()()01,,,f x f x ()n f x ，称()(),j i j if x f x i j x x -≠-为函数()f x 在,i j x x 处的一阶差商，并记为,i j f x x ⎡⎤⎣⎦；一般地，将][]010,,k k k x f x x x x ---称为()f x 在01,,k x x x 处的k 阶差商。
差商的计算可列表进行（见表1-1）表2-1 差商表性质1 ()f x 在01,,k x x x 处的k 阶差商[]01,,,k f x x x 可以表示为函数值()0f x ，()1,f x ()k f x 的线性组合，形如]0kk i x ==∑其中，()()10kk j j x x x ω+==-∏。
性质2 差商具有对称性，即在[]01,,,k f x x x 中任意改变节点,i j x x 的次序，其值不变。
性质3 对于n 次多项式()f x 的k 阶差商[]01-1,,,k f x x x ，当k n ≤时，是n k -次多项式，而当k n >时，其值恒等于零。
2.2 Newton 插值公式设在01,,,n x x x x 处，函数()y f x =的取值分别为()()01,,,()n f x f x f x 和()f x ，由差商的定义[]()()000,f x f x f x x x x -=-从而有()()[]()000,f x f x f x x x x =+-类似地，由各阶差商的定义，可以依次得到][][]()1010,,,,,,,n n n n x f x x x f x x x x x -=+-对式（2-4）的第二式两边同乘()0x x -，第三式两边同乘()()01x x x x --，……，依此类推，将最后一式两边同乘()()()011n x x x x x x ----。
然后将上面分别乘过不同因式后所有n+1个等式两边相加，整理得]()()[]()()0100,,,,,n n n n x x x x x f x x x x x x x -+--+--记()[]()[]()()[]()()0010012010110,,,,,,n n f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x -+-+--++--()[]()()~00,,n n n R x f x x x x x x x =--则称()n N x 为n 次Newton 插值多项式，()~n R x 为相应的截断误差。
显然，()n N x 是不超过n 次的多项式，若能验证()n N x 满足插值条件,n则通过n+1个点()()(),0,1,i i x f x i n =的插值多项式就可按式（2-6）进行构造。
而要验证插值条件式（2-9），只需证明()()n n N x L x =即可。
事实上，设()P x 是任意一个不超过n 次的多项式，将()P x 按式(2-5)展开，则由差商性质3可知其截断误差为零，即[]()()0101,,,n n P x x x x x x x -+-- 现取()f x 在节点01,,n x x x 的Lagrange 插值多项式()n L x 作为式（2-10）中的()P x ，则()n L x 也可表示成()[]()[]([]()()00100120101,,,,,,n n n n n x L x x x x L x x x x x L x x x x x x x -+-+-+--又由于()(),0,1,n i i L x f x i n ==所以式（2-11）中()n L x 在各节点处的各阶差商值等于()f x 在这些节点处相应的各阶差商值，故[]()()[]()()01010101,,,=(,,,x n n n n n n L x x x x x x x f x f x x x x x x N --+--+--=即确实满足插值条件式（2-9）。
Newton 插值公式的优点是：但增加一个节点时，即增加一次插值多项式的次数时，只要在增加一项就行了，且有递推关系式()()()()1010,,,,k k k k N x N x f x x x x x x x x +⎡⎤=+--⎣⎦()()()()()()()()2102!k k k f f x N x x x x x x x k ξ++-=---+其中，ξ介于01,,,n x x x x 之间。
对于节点01,,n x x x 的n 次插值多项式，分别用Lagrange 插值方法和Newton 插值方法，则()f x 可分别表示为()()()n n f x L x R x =+和()()()~n n f x N x R x =+结合式（2-12），两个插值多项式的余项也应相等，即有[]()()()()101,,,,,,1!n n f f x x x x a b n ξξ+=∈+因此可以得到差商的另一个重要性质：性质4],k f x =01,k x 的最小值和最大值之间。
2.3 Newton 插值的算法[],,x x x 、…、],n x )()01x x x -,n ，得到将得到的利用所得到的插值多项式，估算的值2.4 实际算例已知()f x =x =2,2.1,2.2的值，试作二次Newton 插值多项式。
若增加一个点x =2.3，再求三次Newton 插值多项式。
i x ()i f x[]1,i i f x x +[]12,,i i i f x x x ++[]123,,,i i i i f x x x x +++2.0 2.1 2.2 2.31.4142141.4491381.4832401.5165750.349240.341020.33335－0.04110－0.03835 0.009167故二次Newton 插值多项式是：()()2 1.4142140.34924 2.00.04110( 2.0)( 2.1)N x x x x =+----三次Newton 插值多项式是：()()()()()()()()()221.4142140.34924 2.00.04110( 2.0)( 2.1)+0.009167 2.0 2.1 2.2=0.009167 2.0 2.1 2.2N x x x x x x x N x x x x =+-------+---由此可见，当增加一个节点时，即增加一次插值多项式次数时，Newton 插值多项式只要增加一项即可。
当插值节点个数相对较多时，我们可以用Matlab 编程求解。
如下： 已知()f x = 2.0~2.5段上各点的值如下表，试求Newton 插值多项式。
1）在编辑窗口建立一个M 文件Newton.m 输入：2)在工作窗口写主程序：3）运算结果为u =0.0069 -0.0946 0.5338 -1.5898 2.5831 -1.7505 1.3421v =Columns 1 through 111.4142 1.4318 1.4491 1.4663 1.4832 1.50001.5166 1.5330 1.5492 1.5652 1.5811Columns 12 through 131.5969 1.6125故其Newton插值多项式为()65432=-+-+-+0.00690.09460.5338 1.5898 2.5831 1.7505 1.3421f x x x x x x x4）用Matlab作出其图像。