第2章 插值法2
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2. 第二章_数值插值方法
显然 L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2 满足条件 L2(xj)=yj (j=0,1,2) 将l0(x), l1(x), l2(x)代入得
( x x0 )( x x 2 ) ( x x1 )( x x 2 ) L2 ( x ) y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x 2 ) ( x1 x0 )( x1 x 2 ) ( x x0 )( x x1 ) y2 ( x 2 x0 )( x 2 x1 )
( 7 2.6458 )
二、Lagrange插值多项式
设有n+1个互异节点x0 <x1<…<xn，且 yi=f(xi) (i=0,1,2…,n) 构造Ln (x)，使 Ln (xj)= yj (j = 0,1,2,…,n)
定义 若n次多项式lj(x) (j = 0,1,…,n)在n+1个节 点x0 <x1<…<xn上满足条件
求出a0,a1,a2，即可得到5、6月份的日照时 间的变化规律。
定义 已知函数y=f(x)在[a,b]有定义，且已知它在 n+1个互异节点 a ≤ x0 <x1<…<xn≤b
上的函数值
y0=f(x0)，y1=f(x1) ,…,yn=f(xn)，
若存在一个次数不超过n次的多项式
Pn (x)=a0 + a1x + a2x2 + ……+ anxn Pn (xk)= yk (k = 0,1,…,n) 满足条件 则称Pn (x)为f(x)的n次插值多项式。
三、插值余项与误差估计
定义 若在[a,b]上用Ln (x)近似f(x)，则其截断误 差 Rn (x)＝f(x)- Ln (x) 称插值多项式的余项。 定理 设 f(x)在[a,b]上具有n阶连续导数, 且 f (n+1)(x) 存在,节点a ≤ x0 <x1<…<xn≤b， Ln (x)是满足条件Ln (xj)= yj (j = 0,1,2,…,n)的插 值多项式，则对任何x[a,b]，插值余项
2 第二章 插值法
（7） l k ( x), l k 及x k 1上满足条件：
l k ( x) 1.l k ( x k 1 ) 0, l k 1 ( x k ) 0, l k 1 ( x k 1 ) 1. 我们称函数l k ( x)及l k 1 ( x)为线性插值基函数。见 下图：
设 y f ( x)在区间 [a, b] 上连续，且在n 1 个不同的点
a x0 x1 xn b
上的值分别为y0 , y1 ,, yn .
插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的 函数类 中，求一简单函数 P( x), 使 P( xi ) yi (i 0,1, , n) (I ) 而在其它点 x xi 上，P( x)作为 f ( x) 的近似。
y L1 ( x)的几何意义就是通过两 点（xk , y k )与（xk 1 , y k 1 )的直线， 如上图所示， （x）的表达式可由几何意 L1 义直接给出： y y L ( x)
1
y f (x)
yk
y k 1
0
xk
x k 1
x
y k 1 y k L1 ( x) y k ( x xk ) xk 1 xk xk 1 x x xk L1 ( x) yk y k 1 xk 1 xk xk 1 xk
k 0
n1 ( x) 从而公式（ ）可改写成： n ( x) y k 13 L ( x xk ) n1 ( xk ) k 0
n
(15)
注：n次插值多项式 n ( x)一般应为次数为 的多项式。特殊情况下 L n 次数 可能小于n。如过三个共线点（ 0 , y 0 ), ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 )的二次插值多项 x 式L（x)就是一条直线而不是抛 物线。 2
第2章1-4节 插 值 法
12
图2-3
13
2.
n次插值多项式
根据插值的定义
Ln ( x j ) y j
Ln (x) 应满足
( j 0,1, , n).
为构造 L
n
( x)，
先定义 n 次插值基函数.
14
定义1 若
n 次多项式 L j ( x) ( j 0,1, , n) 在 n 1 个节点
x0 x1 xn
b, Ln ( x)
( n1)
定理2 设 f
(n)
( x)
( x ) 在 ( a, b) 内
存在，节点 a x0 x1 xn
是满足条件
的插值多项式，则对任何 x [a, b] ，插值余项
Rn ( x) f ( x) Ln ( x) f
( n 1
( )
(n 1)!
11
显然，lk (x) 及 lk 1 ( x) 也是线性插值多项式，在节点 xk 及 上满足条件
lk ( xk ) 1, lk 1 ( xk ) 0, lk ( xk 1 ) 0, lk 1 ( xk 1 ) 1,
xk 1
称
lk (x) 及 lk 1 ( x) 为线性插值基函数， 图形见图2-3.
( xk 1 , yk 1 )
的直线. 如图2-2.
图2-2
10
由
L1 ( x)
的几何意义可得到表达式
yk 1 y k xk 1 xk ( x xk )
L1 ( x ) yk
（点斜式）， （两点式），
L1 ( x )
xk 1 x xk 1 xk
yk
x xk xk 1 xk
第2章_插值法
56
13.214 285 71
175 13.228756555322952...
考虑通过 + 1个节点0 < 1 < ⋯ < 的次插值
多项式 ()，满足条件
= ,
= 0,1, … ,
希望找到 li(x)，i = 0, …, n, 使得
= ; = ,
n次插值多项式, 插值节点为{ xi }in 0 [ a , b],则x [ a , b],有
f ( n 1) ( )
Rn (x )
n 1 ( x)
Lagrange型余项
(n 1)!
n
其中 n 1 ( x ) ( x xi ) , ( a , b) , 且依赖于 x.
满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 P(x) 称
为f(x) 的插值函数。
P(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
定理1：设插值节点 ≠ ( ≠ )，则满足条件
= , = 0,1, … , 的插值多项式
= 0 + 1 + ⋯ +
− , , + 线性无关。
二次插值多项式
= − − + + + + ()
满足 = ( = − , , + )
例1:
已知 f ( x )满足 f (144) 12 , f (169) 13, f ( 225) 15
i 0
一次及二次差值余项
1 ′′
1 = − 0 − 1 ,
13.214 285 71
175 13.228756555322952...
考虑通过 + 1个节点0 < 1 < ⋯ < 的次插值
多项式 ()，满足条件
= ,
= 0,1, … ,
希望找到 li(x)，i = 0, …, n, 使得
= ; = ,
n次插值多项式, 插值节点为{ xi }in 0 [ a , b],则x [ a , b],有
f ( n 1) ( )
Rn (x )
n 1 ( x)
Lagrange型余项
(n 1)!
n
其中 n 1 ( x ) ( x xi ) , ( a , b) , 且依赖于 x.
满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 P(x) 称
为f(x) 的插值函数。
P(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
定理1：设插值节点 ≠ ( ≠ )，则满足条件
= , = 0,1, … , 的插值多项式
= 0 + 1 + ⋯ +
− , , + 线性无关。
二次插值多项式
= − − + + + + ()
满足 = ( = − , , + )
例1:
已知 f ( x )满足 f (144) 12 , f (169) 13, f ( 225) 15
i 0
一次及二次差值余项
1 ′′
1 = − 0 − 1 ,
第二章插值法多项式插值的存在性
第二章 插值法⏹ 多项式插值的存在性 ⏹ Lagrange 插值 ⏹ Newton 插值 ⏹ Hermit 插值 ⏹ 分段低次插值 ⏹ 三次样条插值在生产实践和科学研究所遇到的大量函数中，相当一部分是通过测量或实验得到的。
虽然其函数关系)(x f y =在某个区间[]b a ,是客观存在的，但是却不知道具体的解析表达式，只能通过观察、测量或实验得到函数在区间a ，b]上一些离散点上的函数值、导数值等,因此，希望对这样的函数用一个比较简单的函数表达式来近似地给出整体上的描述。
还有些函数，虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论分析和数值计算，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。
插值法就是寻求近似函数的方法之一.在用插值法寻求近似函数的过程中，根据所讨论问题的特点，对简单函数的类型可有不同的选取，如多项式、有理式、三角函数等，其中多项式结构简单，并有良好的性质，便于数值计算和理论分析，因此被广泛采用。
本章主要介绍多项式插值、分段多项式插值和样条插值. 2.1 插值多项式的存在唯一性 2.1.1 插值问题设函数)(x f y =在区间],[b a 上有定义，且已知函数在区间],[b a 上n+1个互异点n x x x ,,,10 处的函数值)(i i x f y = i=0,1,…,n ，若存在一个简单函数)(x p y =，使其经过)(x f y =上的这n+1个已知点),(,),,(),,(1100n n y x y x y x （图5-1），即n i y x p i i ,,1,0 ,)( == （2.1.1）那么，函数)(x p 称为插值函数，点n x x x ,,,10 称为插值节点，],[b a 称为插值区间,求)(x p 的方法称为插值法,)(x f 称为被插函数。
若)(x p 是次数不超过n 的多项式,记为)(x p n ，即n n n x a x a a x p +++= 10)(则称)(x p n 为n 次插值多项式，相应的插值法称为多项式插值；若)(x p 为分段多项式，称为分段插值，多项式插值和分段插值称为代数插值。
数值方法第二章 插值法2
当选择代数多项式作为插值函数类时，称为代数多项 式插值问题:
代数多项式插值问题:
设函数y=f(x)在[a,b]有定义, 且已知在n+1个点 a≤x0<x1<……<xn≤b上的函数值y0, y1,……,yn.,要求一 个次数不高于n的多项式
Pn ( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n
现设 x x j 由 Rn ( x j ) f ( x j ) Pn ( x j ) 0
故知 Rn (x) 可表示为
(j=0,1,…，n)，
Rn ( x) k ( x)n1 ( x) k ( x)( x x0 )( x xn )
关键是求 k ( x) ?
(2.2.10)
grange插值多项式
现在考虑一般的插值问题：
满足插值条件 Ln ( xk )
y
பைடு நூலகம்
k
(k 0,1,2,,n) (2.2.1)
的次数不超过n的多项式显然为 : Ln ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 ln ( x) yn
这是因为 (1) Ln ( xk ) lk ( xk ) yk yk (k 0,1,2,,n) (2)次数不超过n
3
1 f ( ) ( x) 2
3
1 2 R1 ( x) ( x x0 )(x x1 ) 8 3 1 2 R1 (115) (115 100)(115 121 ) 8 3 1 (115 100)(115 121 max 2 ) 100 ,121 8
其中，Ak为待定系数，由条件 lk ( xk ) 1 可得
1 Ak ( xk x0 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
数值分析第2章插值法
0.32 0.34
0.34 0.32
0.330365.
截 断 误 差 为 ：R1x
f
1
2！
2
x
M2 2
x
x0 x
x1 ， 其 中 ：
M2
max
x0 x x1
f x，f x sin x，f x
sin x，M2
sin x1
0.3335
R1 0.3367
sin0.3367
L1 0.3367
x a, b,插 值余 项Rn x
f x Ln x
f n1 n 1!
n1
x
,
其
中
a,
b,
与x有 关,n1x
n
x
k0
xk
.
n
性质： lk x 1. k0
5
例1、证明： ( xi x)2 li ( x) 0, 其中li ( x)是关于点x0 , x1 ,, x5的插值 i0
基 函 数.
2.2 拉格朗日插值
2.2.1、线性插值与抛物插值
1、 线 性 插 值 ：
设 yk f xk ， yk1 f xk1 ， xk xk1 求 一 次 多 项 式 L1 x， 满 足 ：L1 xk yk，L1 xk1 yk1
L1 x
yk
yk1 xk1
yk xk
x xk
求n次 插 值 多 项 式Ln x, 满 足 ：Ln xi yi i 0，1，2，，n
Ln
x
n
lk
x
yk
k0
lk
xj
1，k j
kj 0，k j
j 0，1，2，，n
lk x
x
第2章-插值法(Hermite插值,样条插值)
§
2.5 埃尔米特插值法
Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单，但都存 在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节 点处不可导等缺点
问题的提出： 不少实际问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要 求它的导数值也相等（即要求在节点上具有一阶光滑度）， 甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是 埃尔米特（Hermite）插值多项式。下面只讨论函数值与导数 值个数相等的情况。
由 j ( x j ) 1 ，可得
Cj
1 ( x j x0 ) 2 ( x j x1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j xn ) 2
故
j ( x) ( x x j )
( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x xn ) 2 ( x j x0 ) 2 ( x j x1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j xn ) 2
( x x j )l j 2 ( x)
2016/8/14 6
（ii）由条件(1)可知，x0 , x1,, x j 1, x j 1,, xn都是 j ( x)的二重根，令
j ( x) C j (ax b)( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x xn ) 2
17
即
x x1 x x0 2 0 ( x) (1 2l1 ( x)) l0 ( x) 1 2 x x x0 x1 1 0
2.5 埃尔米特插值法
Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单，但都存 在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节 点处不可导等缺点
问题的提出： 不少实际问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要 求它的导数值也相等（即要求在节点上具有一阶光滑度）， 甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是 埃尔米特（Hermite）插值多项式。下面只讨论函数值与导数 值个数相等的情况。
由 j ( x j ) 1 ，可得
Cj
1 ( x j x0 ) 2 ( x j x1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j xn ) 2
故
j ( x) ( x x j )
( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x xn ) 2 ( x j x0 ) 2 ( x j x1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j xn ) 2
( x x j )l j 2 ( x)
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（ii）由条件(1)可知，x0 , x1,, x j 1, x j 1,, xn都是 j ( x)的二重根，令
j ( x) C j (ax b)( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x xn ) 2
17
即
x x1 x x0 2 0 ( x) (1 2l1 ( x)) l0 ( x) 1 2 x x x0 x1 1 0
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, xk 2, x0 ]
再将各差商中的节点按原来次序排列。
6
• 性质3:若f ( x) 是x 的n次多项式,则一阶差商 f [x , x0] 是x 的n-1次多项式,二阶差商f [x , x0, x1]
是x 的n-2次多项式;
一般地,函数f (x) 的k阶差商f [x , x0,L , xk1]
是x 的n-k次多项式(k n) ,而k n 时,k阶
, xk1]
k阶差商定义:
f [x0, x1,L
, xk ]
f [x0,L
, xk2, xk ] f [x0, x1,L xk xk1
, xk1]
依对称性，对调定义公式左端k阶差商中 x与0 xk 1
的位置，
f [xk1, x1,L
, xk2, x0, xk ]
f [xk1, x1,L
, xk 2, xk ] f [xk 1, x1,L xk x0
N3(x) N2 (x) f [x0, x1, x2, x3](x x0 )(x x1)(x x2 )
N3(0.596) 0.632010 0.1970 0.196 0.046 (0.054) 0.6319145
欲求 N 4 ( x),只需在 N 3 ( x)之后再加一项: f [x0, x1, x2, x3, x4 ](x x0 )(x x1)(x x2 )(x x3)
f [x0, x1]
f (x1) f (x0 ) x1 x0
f0 x0 x1
f1 x1 x0
f [x0, x1, x2 ]
f [x0, x2 ] f [x0, x1] x2 x1
f0
f1
f2
(x0 x1)(x0 x2) (x1 x0)(x1 x2) (x2 x0)(x2 x15)
最后一项中, 差商部分含有 x ,为余项部分,记作
Rn (x) f [x, x0, x1,L , xn ](x x0 )(x x1)L (x xn )
而前面n+1项中, 差商部分都不含有 x ,因而前面n+1项 是关于 x 的n次多项式,记作
Nn (x) f (x0 ) f [x0, x1](x x0 ) f [x0, x1, x2](x x0)(x x1) L f [x0, x1,L , xn ](x x0)(x x1)L (x x ) 1n2 1
这就是牛顿插值公式。于是,上式记为
f ( x) N n ( x) Rn ( x)
由牛顿插值公式与
Pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )(x x1)
L an (x x0 )L (x xn1) 比较知：
ak f [x0, x1,L , xk ] (k 0,1,L , n).
13
• 例如:当n=1时，
f (x) f (x0 ) f [x0, x1](x x0 ) f [x, x0, x1](x x0 )(x x1)
其中,
N1 ( x)
f (x0 )
f [x0, x1](x x0 )
f0
f0 x0
f1 x1
(
x
x0
)
这就是牛顿一次插值多项式，也就是点斜
┇
f x0, x1, x2
f x1, x2, x3 ┇
f x0, x1, x2, x3
┇
如要计算四阶差商,再增加一个节点,表中
还要增加一行。
9
• 例:已知如下,计算三阶差商 f [1,3, 4,7] 。
xi 1 3 4 7
0
f (xi )
2 15 12
解：列表计算
xi f (xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 10
算法：
1.输入数据x, xi , yi (i 0,1,, n) 2.置fk yk (k 0,1,, n) 3. 计算各阶差商。对i 0,1,, n
f k i xk i
fk xk
fk (k
n, n 1,,i)
n
k 1
4.p f0 fk[ x xj ]
N2 (x2 )
f (x0 )
f
(
x0 ) x0
f( x1
x1)
(
x2
x0 )
x0
1
x2
f (x0) f (x1) x0 x1
f
(
x1) x1
f( x2
x2
)
(
x2
x0 )(x2
x1)
f (x2 )
即 N2 (x)满足二次插值条件。
16
• 若f (x) 是[a,b] 上n次连续可微函数， 并且x0, x1,L , xn 是[a,b] 中不同的点，则在 (a,b) 中存在一点 ，使得
这就是牛顿二次插值多项式。
显然, N2 (x0 ) f (x0 )
15
N2 (x) f (x0 ) f [x0, x1](x x0 ) f [x0, x1, x2 ](x x0 )(x x1)
N2 (x1)
f (x0 )
f
(x0 ) x0
f (x1) x1
(
x1
x0
)
f (x1)
差商为零。
7
若 f ( x)是 x 的n次多项式，则 P(x) f (x) f (xi )
也是n次多项式，且 P(xi ) 0。于是 P(x)可分
解为
P(x) (x xi )Pn1(x)
其中 Pn1(x) 为n-1次多项式。所以
f [x, xi ]
f (x) f (xi ) x xi
的一般表达式，现引入差商（均差）定义。
定义：称
f [x0, xk ]
f (xk ) f (x0 ) xk x0
为函数
f (x)
关于节点 x0 , xk 的一阶差商，记为 f [x0, xk ] 。
一阶差商 f [x0, x1]、f [x0, xk ] 的差商
f [x0, x1, xk ]
f [x0, xk ] f [x0, x1] xk x1
(x xi )Pn1(x) x xi
Pn1(x)
为n-1次多项式
8
三.利用差商表计算差商
利用差商的递推定义,可以用递推来计算差商。如下表：
xi
f (xi) 一阶差商
二阶差商
三阶差商
x0 f (x0 )
x1
f (x1)
x2 f (x2)
x3 f (x3)
┇┇
f x0, x1
f x1, x2 f x2, x3
§3.牛顿(Newton)插值
3.1差商及其性质 一.差商（均差）定义
拉格朗日插值公式可看作直线方程两点式的 )
f0
f1 x1
f0 x0
(x
x0 )
( fi f (xi ) yi )
出发，将它推广到具有n+1个插值点的情况，可
把插值多项式表示为
Pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )(x x1) L an (x x0 )L (x xn1) 1
• 例:已知
xi
1
0
f (xi )
347 2 15 12
求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。 解:在上例中,我们已计算出
f (x0 ) 0, f [x 0 , x1] 1, f [x 0 , x1, x2 ] 4,
f [x 0 , x1, x2, x3] 1.25;
则牛顿三次插值多项式为
f [x0, x1,L
, xn ]
1 n!
f
(n) ( )
设p 是函数f 在节点x0, x1,L , xn1 至多为n-1次的插值多项式，则
上次数
f
(xn )
p(xn )
1 n!
f
(n) ( )(xn
x0 )L
( xn
xn 1 )
f (xn ) p(xn ) f [x0, x1,L , xn ](xn x0 )L (xn xn1) 17
┅
f [x, x0,L , xn1] f [x0, x1,L , xn ] f [x, x0,L , xn ](x xn )
只要把后一式代入前一式，得:
11
f (x) f (x0 ) f [x0, x1](x x0 ) f [x0, x1, x2](x x0)(x x1) L f [x0, x1,L , xn ](x x0 )(x x1)L (x xn1) f [x, x0, x1,L , xn ](x x0 )(x x1)L (x xn )
1.1160
1.1860
0.80 0.88811 1.2757 0.90 1.02652 1.3841
1.05 1.25386 1.5156
二阶 三阶
0.2800
0.3588
0.4336
0.5260
0.1970
0.2137
0.2310
四阶
0.0344
0.0346
五阶 x xk
0.196 0.046
3
称为 f (x)关于节点 x0 , x1, xk的二阶差商，记
为 f [x0, x1, xk ]。
递归地用k-1阶差商来定义k阶差商，
f [x0, x1,L
, xk ]
f [x0,L
, xk 2, xk ] f [x0, x1,L xk xk 1
, xk 1]
称为 f (x)关于k+1个节点 x0 , x1,K , xk 的k阶
0.0344 0.196 0.046 (0.054) (0.204) 3.4 106
故 N4(x) 0.6319145 0.0000034 0.6319179 。
R4 (x) f [x, x0,L , x4 ]5 (0.596)