03_第二章222,223牛顿插值法
合集下载
牛顿插值法ppt课件
为 在点
处的二阶差商
称
f[x 0 ,x 1 , x n ] f[x 0 ,x 1 , ,x x n 0 1 ] x n f[x 1 ,x 2 , x n ]
为f (x)在点
处的n阶差商。
--
9
差商表
x
f(x)
一阶差 商
二阶差商
三阶差商
x0
f(x0)
x1
f(x1) f [x0,x1]
x2
f(x2) f [x1,x2] f [x0,x1,x2]
--
14
例题分析（续1）
f
(x0, x1)
y1 x1
y0 x0
12 1(1)
1 2
f
(x1,
x2)
y2 x2
y1 x1
11 21
0
f
(x0, x1, x2)
f
(x1,x2) f (x0,x1) x2 x0
02（(1/12)）
1 6
--
15
例题分析（续2）
f (x)N2(x) f (x0)f[x0,x1](xx0)
令 xx0得： Nn(x0)c0y0f(x0); 令 xx1得： Nn(x1)c0c1(x1x0)y1f(x1); 由此可c0解 ,c1;c出 i 依： 次类推。
--
6
具有承袭性的插值公式
线性插值公式可以写成如下形式：
其中
p 1 x p 0 x c 1 x x 0
p0xfx0，其修正项的系数 c1
f
x1f x0
x1 x0
再修正 p1 x 可以进一步得到拋物插值公式
p 2 x p 1 x c 2 x x 0 x x 1
其中
第2章02牛顿插值
m
由m阶差商定义和上面两式知 1 f [ x0 ,, xm ] f [ x0 ,, xm2 , xm ] f [ x0 ,, xm1 ] xm xm1
上页
下页 返回
1 1 f ( x j ) x x m2 x x 1 j m j m 1 j 0 ( x j x0 )( x j x j 1 )( x j x j 1 )( x j xm 2 ) xm xm 1 f ( xm ) 1 ( xm x0 )( xm xm2 ) xm xm1 f ( xm1 ) 1 ( xm1 x0 )( xm1 xm2 ) xm xm1
x4=1,作出(x)关于x0,x1,x2,x3,x4的差商表.
解
xk x0=-1 x1=-0.8 x2=0 x3=0.5 x4=1
差商表为
ƒ(xk) -1 0.16032 1 1.15625 3 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商
5.8016 1.0496 0.3125 3.6875
-4.752 -0.567 3.375
f ( k ) ( ) f [ x0 , x1 ,, xk ] k!
用余项的 相等证明
上页
下页 返回
（4）(多项式的差商)设f(x)为n次多项式,则其一 阶差商
f [ x] f [ xi ] f [ x, xi ] x xi
是x的n-1次多项式 推论 n次多项式pn(x)的k阶差商pn[x0,…xk],当k≤n时 是n-k次多项式,当k>n时恒为0
2.79 2.19
上页
-0.3
下页 返回
二、牛顿插值公式
设插值多项式
N n ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) ... an ( x x0 )...( x xn1 )
第二章插值法
lk ( xk 1 ) 0
n=2的情况，假定插值节点为
xk 1 , xk , xk 1 , 要求一个二次插值多项式L2 ( x)，使它满足 L2 ( x j ) y j ( j k 1, k , k 1)
y L2 ( x)在几何上就是通过三点(xk-1 , yk 1 ),(xk , yk ),(xk+1, yk 1 )的抛物线
插值法
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 引言 拉格朗日插值 均差与牛顿插值公式 差分与等距节点插值 埃尔米特插值 分段低次插值 三次样条插值
一、插值问题
或者函数本身只是 一组实验数据，很 难对函数的性质进 行分析
对函数f (x),其函数形式可能很复杂且不利于在计算机上 ,
设函数
y f ( x ) 在区间 [a, b] 上有定义，且已知在
a x0 x1 x2 xn b
f ( xi ) yi , i 0,1,, n
如果存在一个简单函数 P ( x )，使得
P( xi ) f ( xi ) yi , i 0,1,, n
xx x x
如函数y sin x, 若给定 0, ]上5个等分点 [
其插值函数的图象如图
对于被插函数 ( x)和插值函数 ( x) f P
在节点xi处的函数值必然相等
但在节点外 ( x)的值可能就会偏离 ( x) P f 因此P( x)近似代替 ( x)必然存在着误差 f
整体误差的大小反映了插值函数的好坏
成立，则称 P ( x ) 为 f ( x ) 的插值函数
称点 xi , i 0,1,2,, n为插值节点
称区间 a , b]为插值区间 [
牛顿插值法原理及应用
牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。
为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。
牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。
插值函数插值函数的概念及相关性质[1]定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。
若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数.称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。
定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序程序框图#include<stdio.h>void main(){float x[11],y[11][11],xx,temp,newton;int i,j,n;printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");scanf("%f",&xx);printf("请输入插值的次数(n<11):n=");scanf("%d",&n);printf("请输入%d组值:\n",n+1);for(i=0;i<n+1;i++){ printf("x%d=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y%d=",i);scanf("%f",&y[0][i]);}for(i=1;i<n+1;i++)for(j=i;j<n+1;j++){ if(i>1)y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-i]);elsey[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-1]);printf("%f\n",y[i][i]);}temp=1;newton=y[0][0];for(i=1;i<n+1;i++){ temp=temp*(xx-x[i-1]);newton=newton+y[i][i]*temp;}printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton);牛顿插值法Matlab程序function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endend牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
第2章 3.牛顿插值公式
r yi r 1 yi r 1 yi 1
中心差分
/ centered difference /
r y i r 1 y i r 1 y i
1 2
1 2
其中 yi 1 y( xi h ) 2
2
差分的重要性质： 线性：例如 (a f ( x ) b g( x )) a f b g 若 f (x)是 m 次多项式，则 k f ( x) (0 k m) 是 m k 次多项 k 式，而 f ( x) 0 (k m) 差分值可由函数值算出：
同理有：N 2 ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 )
1 ( 3) f [ x0 , x1 , x2 , x ] f ( ) 3!
一般地f ( x)在x0 , x1 , xn为插值结点的n次插值多项式为
牛顿插值公式
邹昌文
问题的提出
以x0 , x1为插值结点的一阶插值公式为 x x0 x x1 L1 ( x ) y0 y1 x0 x1 x1 x0 y1 y0 y0 ( x x0 ) x1 x0
现考虑增加一个插值结x2，且使原有项不变 点
可令
L2 ( x) L1 a( x x0 )( x x1 )
设x x0 th 则N n ( x ) N n ( x0 th)
f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1 , xn ]( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
第2章_插值法
56
13.214 285 71
175 13.228756555322952...
考虑通过 + 1个节点0 < 1 < ⋯ < 的次插值
多项式 ()，满足条件
= ,
= 0,1, … ,
希望找到 li(x)，i = 0, …, n, 使得
= ; = ,
n次插值多项式, 插值节点为{ xi }in 0 [ a , b],则x [ a , b],有
f ( n 1) ( )
Rn (x )
n 1 ( x)
Lagrange型余项
(n 1)!
n
其中 n 1 ( x ) ( x xi ) , ( a , b) , 且依赖于 x.
满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 P(x) 称
为f(x) 的插值函数。
P(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
定理1：设插值节点 ≠ ( ≠ )，则满足条件
= , = 0,1, … , 的插值多项式
= 0 + 1 + ⋯ +
− , , + 线性无关。
二次插值多项式
= − − + + + + ()
满足 = ( = − , , + )
例1:
已知 f ( x )满足 f (144) 12 , f (169) 13, f ( 225) 15
i 0
一次及二次差值余项
1 ′′
1 = − 0 − 1 ,
13.214 285 71
175 13.228756555322952...
考虑通过 + 1个节点0 < 1 < ⋯ < 的次插值
多项式 ()，满足条件
= ,
= 0,1, … ,
希望找到 li(x)，i = 0, …, n, 使得
= ; = ,
n次插值多项式, 插值节点为{ xi }in 0 [ a , b],则x [ a , b],有
f ( n 1) ( )
Rn (x )
n 1 ( x)
Lagrange型余项
(n 1)!
n
其中 n 1 ( x ) ( x xi ) , ( a , b) , 且依赖于 x.
满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 P(x) 称
为f(x) 的插值函数。
P(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
定理1：设插值节点 ≠ ( ≠ )，则满足条件
= , = 0,1, … , 的插值多项式
= 0 + 1 + ⋯ +
− , , + 线性无关。
二次插值多项式
= − − + + + + ()
满足 = ( = − , , + )
例1:
已知 f ( x )满足 f (144) 12 , f (169) 13, f ( 225) 15
i 0
一次及二次差值余项
1 ′′
1 = − 0 − 1 ,
计算方法—插值法
2018/10/20
lk ( x) lk 1 ( x) 1
13
2.2 拉格朗日插值
Chapter2 插值法
L1(X)
L1(X)
∴ lg2.718 ≈L1 (2.718)=0.43428
2018/10/20 14
2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值
利用线性插值法对函数y=f(x) 进行逼近时，即用直线y=L1(x)代替 曲线y=f(x)。
Chapter2 插值法
显然当插值区间较大或曲线[x0,x1]凸凹变化大时，线 性插值的误差很大。 为了减小这种误差，我们用简单的曲线(抛物线)去近似
代替复杂曲线y=f(x) 。二次多项式函数的曲线为抛物线， 所以我们构造插值函数L2(x) ，即n=2。
2018/10/20 15
2.2 拉格朗日插值
5
2018/10/20
2.1 引言
多项式插值
Chapter2 插值法
对于n+1个基点的插值问题，如果要求插值函数是次 数不超过n的多项式，记为Pn(x)，则相应的问题就是多项 式插值，并且把Pn(x)称为插值多项式。 实际上，我们所考虑的插值函数通常都是多项式函数
或分段多项式函数。由于次数不超过n的多项式的一般形 式为： Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn
当n=20,在109次/秒的计算机上计算需几万年！
2018/10/20 12
2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值 已知函数y=f(x)的函数 插值法
y yk
yk+1
求次数不超过1的多项式L1(x)=a0+a1x 满足插值条件L1(xk)=yk, L1(xk+1)=yk+1。
计算方法插值法(均差与牛顿插值公式)
为f ( x)关于节点 x0 , xk 一阶均差 (差商)
2018/11/7
5
2018/11/7
6
二、均差具有如下性质：
f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]
j 0
k
f (x j ) ( x j x0 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xk )
2018/11/7
27
fk fk 1 fk 为f ( x)在 xk 处的二阶向前差分
2
依此类推
m f k m1 f k 1 m1 f k
为f ( x)在 xk 处的m阶向前差分
2018/11/7
28
差分表
xk f k 一阶差分 x0 f 0 x1 f 1 二阶差分 三阶差分 四阶差分
2018/11/7
31
等距节点插值公式
一、牛顿前插公式
2018/11/7
32
2018/11/7
33
二、牛顿插值公式与拉格朗日插值相比
牛顿插值法的优点是计算较简单,尤其是增加 节点时,计算只要增加一项,这是拉格朗日插值 无法比的. 但是牛顿插值仍然没有改变拉格朗日插值的 插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多 项式在节点处不可导等缺点.
2018/11/7
25
2018/11/7
26
§
2.3.4 差分及其性质
一、差分
fk , 定义3. 设f ( x)在等距节点xk x0 kh 处的函数值为 k 0 ,1, , n , 称
f k f k 1 f k
k 0,1,, n 1
为f ( x)在 xk 处的一阶向前差分
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n
k 1
n
f0 f [x0 , x1 , , xk ] (x xj ) f [x, x0 , x1 , , xn ] (x xj )
k 1
j0
j0
华长生制作
12
n
Nn(x) f [x, x0 , x1 , , xn ] (x xj ) j0
Nn(x) Rn(x)
因此
Rn ( x)
k!
华长生制作
Newton插值 估计误差的 重要公式
13
练习 设当xi 1,2,3,4,5时, f (xi ) 1,4,7,8,6. 求四次牛顿 插值多项式.
k xk f(xk) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 0 11
1 24 3
2 37 3
0
3 48 1
-1
-1/3
4 5 6 -2
-3/2 -1/6
1/24
N4(x) 1 (x 1) 3 (x 1)(x 2) 0
(x 1)(x 2)(x 3) ( 13) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) (214)
1
华长生制2作4
x4
9 12
x3
83 24
x2
33 12
x
1
14
2.2.3 等距节点插值公式
定义. 设f (x)在等距节点xk x0 kh处的函数值为fk , k 0,1, , n , 称
若将x xi ,(i 0,1, , n)视为一个节点 ,则
f [x0 , x1 ,
, xk , x]
f [ x0 , x1 ,
, xk ] f [x0 , x1 , xk x
, xk 1 , x]
f [x0 , x1 , , xk 1 , x] f [x0 , x1 , , xk ] f [x0 , x1 , , xk , x]( x xk )
j0
21
称
Nn(x0 th)
n
f0
k 1
[ k f0 k!
k 1
(t j)]
j0
为Newton向前插值公式（又称为表初公式）
如果假设
x x0 th
由差商与向前差分的关系
华长生制作
f [x0 , x1 ,
, xk ]
k f0 k!hk
20
k 1
k 1
k 1
k (x) (x xj ) (x0 th x0 jh) (t j)h
j 0
j0
j0
则插值公式
n
Nn(x) f0 f [x0 , x1 , , xk ]k (x) k 1
差分表
xk fk 一阶差分
x0 f0 x1 f1
f0
f1
x2 f2
f1
f2
x3 f3
f2
f3
x4 f4
f3 f4
二阶差分
2 f0
2 f2
2 f1 2 f3 2 f2 2 f4
三阶差分
3 f0
3 f3
3 f1
3 f4
四阶差分
4 f0
4 f4
华长生制作
17
在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系
f [ xi , xi1 ]
华长生制作
2
显然，多项式组
1, x x0 , (x x0 )( x x1 ), , (x x0 )( x x1 ) (x xn1 )
线性无关，因此，可以作为插值基函数
设插值节点为 xi , 函数值为 fi f (xi ) , i 0,1,L , n
hi xi1 xi , i 0,1,2, , n 1
f (n1) ( )
(n 1)!
n 1
(
x
)
f [x, x0 , x1 , , xn ]n1(x)
一般 Rk ( x) f [x0 , x1 , , xk 1 ]k 1(x)
kn
另外
f [x, x0 , x1 ,
, xn ]
f (n1)( )
(n 1)!
f [x0 , x1 ,
, xk ]
f (k )( )
华长生制作
15
依此类推
m fk m1 fk 1 m1 fk 为f ( x)在 xk 处的m阶向前差分 m fk m1 fk m1 fk 1 为f ( x)在 xk 处的m阶向后差分
可以证明
m fk m fk m
如
fk fk 1
2 fk 2 fk 2
3 fk 3 fk 3
华长生制作
16
设插值多项式
P(x) a0 a1(x x0 ) a2(x x0 )(x x1 ) an(x x0 )(x x1 ) (x xn1 )
满足插值条件
P(xi ) fi , i 0,1, , n
则待定系数为
a0 f0
a1 f [x0 , x1 ]
a2 f [x0 , x1 , x2 ]
h
max i
hi
插值条件为 P(xi ) fi , i 0,1, , n
设插值多项式 P(x)具有如下形式
P(x) a0 a1(x x0 ) a2(x x0 )(x x1 ) an(x x0 )(x x1 ) (x xn1 )
华长生制作
3
P(x)应满足插值条件 P(xi ) fi , i 0,1, , n
化为
Nn(x0
th)
f0
n k 1
[
k f0 k!hk
k 1
(t j)h]
j0
n
f0
k 1
[ k f0 k!
k 1
(t j)]
j0
其余项
Rn ( x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n 1
(
x)
化为
华长生制作
Rn(x0 th)
f (n1)( )
(n 1)!
n
hn1 (t j)
an f [x0 , x1 , , xn ]
华长生制作
10
定义3. 称 Nn(x) a0 a1(x x0 ) a2(x x0 )(x x1 )
an(x x0 )(x x1 ) (x xn1 )
k 1
k (x) (x xj ) j 0 为k次多项式
n
k 1
f0 f [x0 , x1 , , xk ] (x xj )
Ax b
§ 2.2.2 Newton插值法
§
a11
A
a21
2.2.3
a12 a22
等距节点插值公式
a1n a2n
xi
bi
i1
lij x j
j1
lii
an1
an2
ann
i 2,3, , n
我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为
l j(x)
n i0
(x xi ) (x j xi )
(3) 当f（k )(x)在包含节点 x0 , x1 , , xk的区间存在时 ,
在x0 , x1 , , xk之间必存在一点 ,使得
f [x0 , x1 ,
, xk ]
f (k )( )
k!
华长生制作
用余项的 相同证明
7
差商的计算方法(表格法):
差商表 Chashang.m
xk f (xk ) 一阶差商 x0 f ( x0 )
x1 f ( x1 )
f [ x0 , x1 ] f [x1 , x2 ]
x2 f ( x2 )
f [ x2 , x3 ]
x3 f ( x3 )
f [ x3 , x4 ]
x4 f (x4 )
二阶差商
f [x0 , x1 , x2 ] f [x1 , x2 , x3 ] f [x2 , x3 , x4 ]
fk fk 1 fk k 0,1, ,n 1 为f (x)在 xk 处的一阶向前差分
fk fk fk1 k 1,2, ,n 为f (x)在 xk 处的一阶向后差分
2 fk fk 1 fk 为f (x)在 xk 处的二阶向前差分
2 fk fk fk 1 为f (x)在 xk 处的二阶向后差分
三阶差商 四阶差商
f [x0 , x1 , x2 , x3 ]
f [x0 , x1 , , x4 ]
f [x1 , x2 , x3 , x4 ]
华长生制作
规定函数值为零阶差商
8
例1 值
求
f(xi)=
x3在节点
x=0,
2,
3,
5,
6上的各阶差商
解: 计算得如下表
xi f[xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+2]
fi1 xi 1
fi xi
fi fi1 hh
f [xi , xi1 , xi2 ]
f [ xi , xi1 ] f [ xi1 , xi2 ] xi xi2
fi fi1 2h2
2 fi 2h2
fi1 fi2 2h2
2 , xi3 ]
i j
j 0,1,2, ,n
形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多
由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成
1, x x0 , (x x0 )( x x1 ), , (x x0 )( x x1 ) (x xn1 )
共n+1个多项式的线性组合
那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？
m fim m!hm
f [x0 , x1 ,
, xk ]
k f0 k!hk
k fk k!hk