第二章插值法讲解

l0 (x)
=
(x ( x0
-
x1 )(x - x2 ) x1 )(x0 - x2 )
l1 (x)
=
(x ( x1
-
x0 )(x - x2 ) x0 )(x1 - x2 )
2
L2( x ) = i=0 li ( x) yi
l2( x)
=
(x ( x2
-
x0 )( x - x1 ) x0 )( x2 - x1 )
抛物线插值
§2.2 Lagrange Polynomial
n1
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ；然后令
n
Pn ( x ) =
i=0
li ( x )
y i
，则显然有Pn(xi)
=
yi
。
li(x)
每个 li 有 n 个根 x0 … xi … xn
n
li (x) = Ci (x - x0)...(x - xi )...(x - xn) = Ci (x - xj )
( x0 ) = = ( xn ) = 0
(n1) ( x ) = 0, x (a, b)
§2.2 Lagrange Polynomial
Rn(x) 至少有 n+1 个根
n
Rn(x) = K(xΒιβλιοθήκη (x - xi )i=0 n
任意固定 x xi (i = 0, …, n), 考察 (t ) = Rn (t ) - K ( x ) (t - xi )
P1 ( x)
=
y0
y1 x1
-
y0 x0
(x
-
x0 )
= x - x1 x0 - x1
y0 +
x - x0 x1 - x0
1
y1 = i=0 li ( x) yi
线性插值
l0(x)
l1(x)
§2.2 Lagrange Polynomial
n = 2 已知 x0 , x1 , x2; y0 , y1 , y2 ，满足 f ( x0 ) = y0 , f ( x1 ) = y1 , f( x2 ) = y2 ，写出二次拉格朗日插值 多项式：
(n 1) !
Rn( x) =
f (n1) ( x ) (n 1) !
n
(x - xi )
i=0
§2.2 Lagrange Polynomial
注： 通常不能确定 x , 而是估计 f (n1)( x) , Mn1 x(a,b)
将
M n1 (n 1)!
n
| x - xi |
i=0
作为误差估计上限。
i=0
(x)有 n+2 个不同的根 x0 … xn x
(n1) ( x ) = 0, x (a, b)
注意这里是对 t 求导
f (n1) ( x ) - L(nn1) ( x ) - K ( x )(n 1) ! =
R ( n1) n
(
x
)
-
K
(
x
)
(n 1) !
K(x) =
f (n1) ( x )
多项式
g(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
§2.2 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */
求 n 次多项式 Pn ( x) = a0 a1 x an xn 使得
Pn ( xi ) = yi , i = 0, ... , n
条件：无重合节点，即 i j xi x j
第二章 插值法
/* Chapter 2 Interpolation */
§2.1 多项式插值 /* Polynomial Interpolation */ 当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在一 系列节点 x0 … xn 处测得函数值 y0 = f(x0), … yn = f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函 数 g(x) f(x)，满足条件g(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。这里的 g(x) 称为f(x) 的插值函数。最常 用的插值函数是 …?
当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时， f (n1)( x) 0,
可知 Rn ( x) 0 ，即插值多项式对于次数 n 的多项式 是精确的。
注： • 小的区间上插值有利于减少误差； • 依靠增多插值节点不一定能减少误差； • 多项式插值，外推误差可能要比内插误差大。
定理 (唯一性) 满足 P( xi ) = yi , i = 0, ... , n 的 n 阶插值多
项式是唯一存在的。 证明：
反证：若不唯一，则除了Ln(x) 外还有另一 n 阶多项 式 Pn(x) 满足 Pn(xi) = yi 。 考察 Qn( x) = Pn( x) - Ln( x) , 则 Qn 的阶数 n 而 Qn 有 n + 1 个不同的根 x0 … xn
注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。
n
例如 P( x) = Ln ( x) p( x) ( x - xi ) 也是一个插值 i=0
多项式，其中 p( x)可以是任意多项式。
§2.2 Lagrange Polynomial
➢ 插值余项 /* Remainder */ 设节点 a x0 x1 xn b ，且 f 满足条件 f C n[a,b] , f (n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差 Rn( x) = f ( x) - Ln( x)
Rolle’s Theorem: 若(x) 充分光滑， ( x0 ) = ( x1 ) = 0 ，则 存在 ( x0 , x1 ) 使得 ( ) = 0。
推广：若 ( x0 ) = ( x1 ) = ( x2 ) = 0
0 ( x0 , x1 ), 1 ( x1 , x2 )
使得 (0 ) = (1 ) = 0 (0 , 1 ) 使得 ( ) = 0
n= 1
已称知为x拉0 氏, x基1 ;函y0数, y1/*，La求graPn1g(exB) =asais0 */，a1 x 使得
P满1( 足x0 )条= 件y0 l,i(Px1j)(=x1 )ij=/*yK1 ronecker Delta */
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
ji
j=0
li (xi ) = 1
Ci
=
ji
( xi
1 -
xj )
与 节点 有关，而与 f 无关
Lagrange Polynomial
li ( x) =
n ji
(x- xj) (xi - x j )
j=0
n
Ln ( x) = li ( x) yi i=0
§2.2 Lagrange Polynomial