插值法综述《计算方法》学习报告.讲义
计算方法插值法.ppt
拉格朗日插值余项
设节点a x0 x1 xn b ，且 f 满足条件 f C n[a,b] , f (n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差
Rn( x) f ( x) - Ln( x)
n
Rn(x) 至少有 n+1 个根
Rn( x) K(x) ( x - xi )
Pn ( xi ) yi , i 0, ... , n
条件：无重合节点，即 i j xi x j
n=1
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 P1( x) a0 a1 x 使得
P1( x0 ) y0 , P1( x1 ) y1
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
li ( x )
i0
y i
，则显然有Pn(xi) = yi 。
每个 li 有 n 个根 x0 … xi-1， xi+1 … xn
li (x) Ci
(x-
ji
xj )
li (xi ) 1
Ci
ji
( xi
1 - xj)
li ( x)
n ji
(x- xj) (xi - x j )
3!
(x
-
6
)(
x
-
4
)(
x
-
3
)
;
1 2
cos x
3 2
0.00044
R2
5
18
0.00077
sin 50 = 0.7660444…
2次插值的实际误差 0.00061
计算方法Newton插值 ppt课件
设x为区间[a, b]上的一点，可得：
f ( x f 0 () ) x f [x 0 x ] ( ,x x 0 )
以上公式可以利用如下的表达式直接验证
n
ω(x) (xk xi) i0
应理解：右端分母中，xk-xk 项永远不出现。 这种求解差商的方法的优点是直接使用公式， 缺点是计算量较大。
性质2 差商具有对称性,即在k阶差商 f [0,xx1, … ,xk] 中任意交换两个节点x i 和 x j 的次序,其值不变。
的系数ak (k=0,…,n)可根据以下插值条件推出。
N n (i) x fi( )x i 0 …,,n 1 ,
N n( 0 x)a0 f (0)x N n (1 ) x a 0 a 1 (1 x x 0 ) f 1 ()x N n ( 2 ) x a 0 a 1 ( 1 x x 0 ) a 2 ( 2 x x 0 )2 ( x 1 ) x f2 ) (
00
f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+3]
28 3 27 5 125 6 216
80 4 20
27 8 32
19
19 4 30
5
12527 53
49
49 5
219
10
216125 65
91
91 49 63
14
10 5 50
1
14 10 1 62
差商的性质
n次牛顿(Newton)插值公式的表达式：
N n (x f)(0 )x f[0 ,x 1 ](x x 0 ) f[0 ,x 1 ,x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) … f[0 ,x 1 … ,x n ](x x 0 )(x x 1 ) …(x x n 1 )
插值法数学计算方法
插值法数学计算方法插值法是一种数学计算方法，用于在已知数据点的基础上，通过构建一条插值曲线来估计未知数据点的值。
插值法可以应用于各种数学问题中，例如逼近函数、插值多项式、差值等。
本文将详细介绍插值法的原理和常见的插值方法。
一、插值法的原理插值法的基本思想是通过已知数据点的函数值来构建一个函数表达式，该函数可以通过插值曲线来估计任意点的函数值。
根据已知数据点的数量和分布，插值法可以采用不同的插值方法来构建插值函数。
插值法的原理可以用以下几个步骤来描述：1.收集已知数据点：首先，需要收集一组已知的数据点。
这些数据点可以是实际测量得到的，也可以是其他方式获得的。
2.选择插值方法：根据问题的特性和数据点的分布，选择适合的插值方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法等。
3.构建插值函数：通过已知数据点，利用选择的插值方法构建插值函数。
这个函数可以拟合已知数据点，并通过插值曲线来估计未知数据点。
4.估计未知数据点：利用构建的插值函数，可以估计任意点的函数值。
通过插值曲线，可以对未知数据点进行预测，获得相应的数值结果。
二、常见的插值方法1.拉格朗日插值法：拉格朗日插值法基于拉格朗日多项式，通过构建一个具有多项式形式的插值函数来逼近已知数据点。
插值函数可以通过拉格朗日基函数计算得到，式子如下：P(x) = ∑[f(xi) * l(x)], i=0 to n其中，P(x)表示插值函数，f(xi)表示已知数据点的函数值，l(x)表示拉格朗日基函数。
2.牛顿插值法：牛顿插值法基于牛顿差商公式，通过构建一个递归的差商表来逼近已知数据点。
插值函数可以通过牛顿插值多项式计算得到，式子如下：P(x) = f(x0) + ∑[(f[x0, x1, ..., xi] * (x - x0) * (x - x1)* ... * (x - xi-1)] , i=1 to n其中，P(x)表示插值函数，f[x0, x1, ..., xi]表示xi对应的差商。
插值法综述《计算方法》学习报告
插值法综述《计算方法》学习报告一、引言计算方法是计算机科学与技术专业的一门重要基础课程，主要介绍了插值法在数值计算中的应用。
插值法是一种用已知的离散数据拟合出连续函数的方法，广泛应用于数据分析、数据处理以及图像处理等领域。
本学期我在学习《计算方法》过程中，对插值法进行了深入学习与研究，现将所学内容进行总结。
二、插值法的基本概念插值法是指在给定的有限数据点集上，通过构造插值多项式来拟合出一个连续的函数，从而可以用于求解数据点之间的未知函数值。
插值法的基本思想是利用已知的数据点，通过构造插值函数来拟合这些数据点，并且能够满足特定的插值条件。
常见的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法等。
三、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是由法国数学家拉格朗日在18世纪中叶提出的，它利用了多项式的唯一性和插值条件，通过巧妙选择权重系数来构造插值多项式。
拉格朗日插值法的优点是简单易懂，易于计算，而且适用于实际问题中的绝大多数情况。
四、牛顿插值法牛顿插值法是由英国物理学家牛顿在17世纪提出的，它通过不断增加插值点，逐步逼近所需插值函数。
牛顿插值法的优点是计算过程简单直观，当新增一个数据点时，只需重新计算差商即可，不需要重新计算整个插值多项式。
五、埃尔米特插值法埃尔米特插值法是由19世纪德国数学家埃尔米特提出的，它是拉格朗日插值法和牛顿插值法的推广和扩展。
埃尔米特插值法在插值点不仅给定数据值，还给定导数值的情况下，构造一个既满足插值条件又满足切线条件的插值多项式。
埃尔米特插值法的优点是在一定程度上提高了插值函数的光滑性和拟合精度。
六、插值法的应用插值法在计算机科学与技术中有广泛的应用，例如在数据处理与分析中，可以利用插值法来填补缺失数据、修复损坏数据和平滑噪声数据；在图像处理中，可以利用插值法来实现图像的放大缩小、旋转变换和形状重建等操作。
插值法还可以应用于科学计算中的数值积分、数值微分以及数值解常微分方程等问题的求解。
计算方法——插值法综述
计算方法——插值法11223510 李晓东在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是一些离散数值。
有时即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，使用不便，且不易于计算与分析。
解决这类问题我们往往使用插值法：用一个“简单函数”)(x ϕ逼近被计算函数)(x f ，然后用)(x ϕ的函数值近似替代)(x f 的函数值。
插值法要求给出)(x f 的一个函数表，然后选定一种简单的函数形式，比如多项式、分段线性函数及三角多项式等，通过已知的函数表来确定)(x ϕ作为)(x f 的近似，概括地说，就是用简单函数为离散数组建立连续模型。
一、 理论与算法（一）拉格朗日插值法在求满足插值条件n 次插值多项式)(x P n 之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点),,1,0(n i x i =中任一点)0(n k x k ≤≤，作一n 次多项式)(x l k ，使它在该点上取值为1，而在其余点),,1,1,1,0(n k k i x i +-=上取值为零，即⎩⎨⎧≠==k i ki x l i k 01)( （1.1）上式表明n 个点n k k x x x x x ,,,,,,1110 +-都是n 次多项式)(x l k 的零点，故可设)())(())(()(1110n k k k k x x x x x x x x x x A x l -----=+-其中，k A 为待定系数。
由条件1)(=k k x l 立即可得)())(()(1110n k k k k k k k x x x x x x x x A ----=+-（1.2）故 )())(()()())(()()(110110n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=+-+-（1.3）由上式可以写出1+n 个n 次插值多项式)(,),(),(10x l x l x l n 。
计算方法第二章插值法
插值法的基本原理
插值函数(x)在n+1个互异插值节点 xi (i=0,1,…,n )
处与 f (xi ) 相等,在其它点 x 就用(x) 的值作为f(x)
的近似值。这一过程称为插值，点 x 称为插值点。 换句话说, 插值就是根据被插函数给出的函数表“插 出”所要点的函数值。用(x) 的值作为f(x)的近似值 ,不仅希望(x) 能较好地逼近f(x),而且还希望它计算 简单 。
第2章 插值法
§2.1 引言
§2.2 拉格朗日插值
§2.3 均差与牛顿插值多项式
§2.4 埃尔米特插值
§2.5 分段低次插值
§2.6 三次样条插值
1
§2.1 引言
1 问题的提出 –函数f(x)表达式复杂不便于计算 – 函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即 在某个区间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi) – 或者给出函数表
ai
Di V
i 0,1,2,n
10
解的存在和惟一性
an x0 n an1 x0 n1 a1 x0 a0 f (x0 ) an x1n an1 x1n1 a1 x1 a0 f (x1 ) an xn n an1 xn n1 a1 xn a0 f (xn )
这是一个关于待定参数 a0 , a1 ,, an 的n+1阶线性方 程组。按照克兰姆（Cramer）法则，其解为
ai
Di V
i 0,1,2,n
11
解的存在和惟一性
系数矩阵V 的行列式为
1 x0
1 V
x1
1 xn
x02 x0n
x12
x1n
n i 1
i 1
(xi x j )
计算方法-插值法报告
计算方法报告——插值1.原理简介插值法是利用函数f (x)在某区间中已知的若干点的函数值，作出适当的特定函数，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
根据算法和插值要求的不同，有多种插值方法。
拉格朗日插值：有平面上点集{（x i,y i）}共n个点，现作函数f(x)图像使其过这n个点P i(x)=∏x−x j x i−x jnj=0 j≠i L n(x)=∑P i(x)×y ini=1则f(x)=L n(x)牛顿插值：同样点集，用不同方法构造插值多项式。
定义差商：f[x0，x1]=f(x0)−f(x1) x0−x1f[x0，x1……x k]=f[x0，x1……x k−1]−f[x1，x2……x k]x0−x k则有：N(x)=f[x0]+∑f[x0，x1……x k](x−x0)(x−x1)…（x−x k−1）nk=1理论上牛顿插值与拉格朗日插值所得插值多项式完全相同，只是不同写法。
2.算法描述分析函数：homework1.C 画图函数：DrawPlot.cpp为简化程序，将Lagrange插值与Newton插值算法作为子函数调用。
子函数Lagrange()中，输入插值点个数n，插值点集x[n]，y[n]，即可得到x点的Lagrange插值函数值L(x)。
同样，Newton()中输入相同信息可得到x点Newton插值函数值N(x)。
主函数main()中，先根据设定选择样点为等距分割还是Chebyshev分割，取得点集point_x[n+1]和point_y[n+1]，取点范围（-1，1）。
再调用子函数分别计算各x[i]点下的真实函数值，牛顿插值函数值，拉格朗日插值函数值及各种误差，在循环结束后将需要的误差L_inf 和L1输出到屏幕。
最后利用root TGraph把计算得到的数组画出函数图像，并存到rootfile 中。
在误差计算中只用了-1~0上的点，画图时扩大范围画到-1~1全部点DrawPlot函数中读取了homework1.C中画的函数图像，将其整合到一起，设置线条颜色及宽度，加上一个图例，重新生成一张图像。
《计算方法》学习报告
插值法综述一、插值法及其国内外研究进展1.插值法简介在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是由观察与测试得到一些离散数值。
有时，即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，不仅使用不便，而且不易于进行计算与理论分析。
解决这类问题的方法有两种：一种是插值法,另一种是拟合法。
插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践，早在一千多年前，我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生之后才逐渐完善的，其应用也日益增多，特别是在计算机软件中，许多库函数，如cosx,sinx等的计算实际上归结于它的逼近函数的计算。
逼近函数一般为只含有算术运算的简单函数，如多项式、有理分式（即多项式的商）。
在工程实际问题当中，我们也经常会碰到诸如此类的函数值计算问题。
被计算的函数有时不容易直接计算，如表达式过于复杂或者只能通过某种手段获取该函数在某些点处的函数值信息或者导数值信息等。
因此，我们希望能用一个“简单函数”逼近被计算函数，然后用该简单函数的函数值近似替代被计算函数的函数值。
这种方法就叫插值逼近或者插值法。
插值法要求给出函数的一个函数表，然后选定一种简单的函数形式，比如多项式、分段线性函数及三角多项式等，通过已知的函数表来确定一个简单的函数P(x)作为f(x)的近似，概括地说，就是用简单函数为离散数组建立连续模型。
2.国内外研究进展插值理论是在17世纪微积分产生以后才逐步发展的，牛顿的等距节点插值公式及均差插值公式都是当时的重要成果。
拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后（1783年）由莱昂哈德·欧拉再次发现。
1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起。
近半世纪由于计算机的广泛使用和造船、航空、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展，尤其是20世纪40年代后发展起来的样条插值，更获得广泛应用，成为计算机图形学的基础。
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插值法综述一、插值法及其国内外研究进展1.插值法简介插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践，早在一千多年前，我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生之后才逐渐完善的，其应用也日益增多，特别是在计算机广泛使用之后，由于航空、机械加工、自动控制等实际问题的需要，使插值法在实践和理论上都显得更为重要，并得到了空前的发展。
2.国内外研究进展● 插值法在预测地基沉降的应用● 插值法在不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法的应用 ● 拉格朗日插值法在地震动的模拟研究中的应用 ● 插值法在结构抗震可靠性分析中的应用● 插值法在应力集中应变分布规律实验分析中的应用 3.代表性文献● 不等时距GM(1%2c1)模型预测地基沉降研究 秦亚琼 武汉理工大学学报(交通科学与工程版) 2008.2● 不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法 牛志伟 岩土力学 2008.3 ● 基于拉格朗日插值法的地震动的模拟 白 可 山西建筑 2010.10 ● 响应表面法用于结构抗震可靠性分析 张文元 世界地震工程 1997 ● 小议应力集中应变分布规律的实验方法 查珑珑 淮海工学院学报（自然科学版）2004.6二、插值法的原理【原理】设有n+1个互不相同的节点（i x ，i y ） （i=0，1，2，...n ）则存在唯一的多项式： 2012()...(1)nn n L x a a x a x a x =++++使得()(0,1,2,...)(2)n j j L x y j n ==证明：构造方程组20102000201121112012......(3)...n n nn n nn n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩令：0011111nn n nn x x x x A x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦01n a a X a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦01n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 方程组的矩阵形式如下：(4)AX Y=由于110()0nn i j i j A x x -===-≠∏∏所以方程组（4）有唯一解。
从而2012()...n n n L x a a x a x a x =++++唯一存在。
三、常用插值法3.1 Lagrange 插值法3.1.1 Lagrange 插值法的一般提法给定))(,(i i x f x ),,1,0(n i =，多项式∑∏∑=≠==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==n i nij j j i j i ni i i n x x x x y x l y x 000)()(ϕ 称为)(x f 关于n x x x ,,,10 的n 次Lagrange 插值多项式。
3.1.2 Lagrange 插值多项式的构造 已知n+1个节点(,)(0,1,,j j x y j n =其中j x 互不相同，不妨设01),n a x x x b =<<<=要求形如：1110()n n n n n P x a x a x a x a --=++++ 的插值多项式。
若n 次多项式()(0,1,,)j l x j n =在n+1个节点01n x x x <<<上满足条件：1,;()(,0,1,,)0,.j k k j l x j k n k j =⎧==⎨≠⎩就称这n+1个n 次多项式01(),(),,()n l x l x l x 为节点01,,,n x x x 的n 次插值基函数。
3.1.3 Lagrange 插值法的程序设计 f[x_]:=Exp[x]A=Table[{x,f[x]},{x,0,0.8,0.2}]//Ng1=ListPlot[Table[A],Prolog->AbsolutePointSize[18]]; Interpolation[A,InterpolationOrder->3] g2=Plot[%[x],{x,0,0.8}] Show[g1,g2] N[%%%[0.12],20] N[%%%%[0.72],20] N[f[0.12],20] N[f[0.72],20]3.1.4 Lagrange 插值法典型例题及其解法5===，构造二次拉格朗日插值多项式。
（1）计算（2）估计误差并与实际误差相比较。
解（1）以插值点(27,3), (64,4), (125,5)代入插值公式，得222()()2000x x j x y l x y i i ix x i i j i j j iφ⎛⎫⎪-⎪==∑∑∏⎪-===⎪ ⎪≠⎝⎭=(64)(125)(27)(125)(27)(64)345(2764)(27125)(6427)(64125)(12527)(12564)x x x x x x ------⨯+⨯+⨯------(100)2(10064)(100125)(10027)(100125)(10027)(10064)345(2764)(27125)(6427)(64125)(12527)(12564)ϕ≈------=⨯+⨯+⨯------ 4.68782=(2) 由误差公式有(3)()()(27)(64)(125)3!f R x x x x ξ=---记810(3)(3)3()(),()27f x f x x f x -==在[27，125]上是单调递减函数。
(3)(3)5()(27) 5.6450310f x f-≤≈⨯(3)()(100)(10027)(10064)(100125)0.6181316f R ξ∴≤---≈2(100)0.04623ϕ=。
3.1.5 Lagrange 插值法误差估计(1)0()()()()(),(,)(1)!n nn n j j f R x f x L x x x a b n ξξ+==-=-∈+∏ (1)1()n n fM ξ++≤10()(1)!nn n j j M R x x x n +=⇒≤-+∏ 3.2 Newton 插值法3.1.1 Newton 插值法的一般提法],,,[)())((],,[))((],[)()()(1011021010000n n n x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x f x x x f x N----++--+-+=称为Newton 插值多项式。
3.1.2 Newton 插值多项式的构造()(-)(-)(-)(-)(-)0102010-1N x a a x x a x x x x L a x x L x x n n n =++++由插值条件()(0,1,,)N x f j n n j j == 当0x x =时,()000N x a f n ==.当1x x =时,1()()1010N x a a x x f n =+-=,推得 1000110f fa fa x x-==-. 当2x x =时，()()()()20120220212N x a a x x a x x x x f n =+-+--=20102010221f f f fa x x---=- 则引入记号：[][]10[][,]0110f x f x f f x f x x k k x x -==- [,][,]0201[,,]01221f x x f x x f x x x x x -=-2010201021f f f f x x x x x x-----=- 依次递推可得a k 的一般表达式：[,,...,][,,...]012011[,,...,]011f x x x x f x x x k k k f x x x k x xk k ---=--3.1.3 Newton 插值法的程序设计{x[0],x[1],x[2],x[3],x[4]}={10,11,12,13,14}; y[k_]:=Log[x[k]] Table[y[k],{k,0,4}]//N; MatrixForm[%]f[i_,j_]:=(y[j]-y[i])/(x[j]-x[i]) Table[f[i,i+1],{i,0,3}]//N; MatrixForm[%]f[i_,j_,k_]:=(f[j,k]-f[i,j])/(x[k]-x[i]) Table[f[i,i+1,i+2],{i,0,2}]//N; MatrixForm[%]f[i_,j_,k_,l_]:=(f[j,k,l]-f[i,j,k])/(x[l]-x[i]) Table[f[i,i+1,i+2,i+3],{i,0,1}]//N; MatrixForm[%]f[i_,j_,k_,l_,m_]:=(f[j,k,l,m]-f[i,j,k,l])/(x[m]-x[i]) Table[f[i,i+1,i+2,i+3,i+4],{i,0,0}]//N; MatrixForm[%]A={{y[0],y[1],y[2],y[3],y[4]},{0,f[0,1],f[1,2],f[2,3],f[3,4]}, {0,0,f[0,1,2],f[1,2,3],f[2,3,4]},{0,0,0,f[0,1,2,3],f[1,2,3,4]}, {0,0,0,0,f[0,1,2,3,4]}};Transpose[A]//N; MatrixForm[%] a[0]=y[0]; a[1]=f[0,1]; a[2]=f[0,1,2]; a[3]=f[0,1,2,3]; a[4]=f[0,1,2,3,4];N[x]=Sum[a[k]*Product[(x-x[m]),{m,0,k-1}],{k,0,4}]//N Expand[%]3.1.4 Newton 插值法典型例题及其解法 已知函数()f x 的函数表如下：求四次牛顿插值多项式，并由此求()596.0f 的近似值。
分析 表中给出六对数据，故最高可构造五次多项式。
但由于0.596接近于40.00=x ，因此可取前五对数据来做差商表。
解 构造差商表如下：故四次牛顿插值多项式为()()()()+--+-+=55.04.028000.04.011600.141075.04x x x x P ()()()()()⨯--+---55.04.003134.065.055.04.019733.0x x x x x()()80.065.0--x x于是()596.0f ≈()596.04P ＝0.631 95。
3.1.5 Newton 插值法误差估计(1)1(1)()()()()()(1)!n n t t t n h fR x f x N x th n n nn ξ++++=-+=+ 其中(,).0x x nξ∈四、插值法的比较Lagrange 插值是利用基函数方法构造的插值多项式，在理论上十分重要，但计算不太方便。