初中数学因式分解培优训练.docx

第一讲：因式分解 (一)

多式的因式分解是代数式恒等形的基本形式之一，它被广泛地用于初等数学之中，是我解决

多数学的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性

，学些方法与技巧，不是掌握因式分解内容

所必需的，而且于培养学生的解技能，展学生

的思能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介了提取公因式法、运用公式法、分分解

法和十字相乘法．本及下一在中学数学教材基上，因式分解的方法、技巧和用作一步的介．1．运用公式法

在整式的乘、除中，我学若干个乘法公式，

将其反向使用，即因式分解中常用的公式，例如：

(1)a 22

-b) ；-b =(a+b)(a

(2)a2±2ab+b2=(a ±b) 2；

(3)a 3322

；+b =(a+b)(a-ab+b )

(4)a 3322

．-b =(a -b)(a+ab+b )

下面再充几个常用的公式：

(5)a 2222 +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

(6)a 3+b3 +c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc -ca) ；

(7)a n n n-1n-2n-32n-2n-1

) 其中 n -b =(a -b)(a+a b+a b +⋯+ab +b

正整数；

(8)a n n n-1n-2n-32n-2n-1

) ，其中 n -b =(a+b)(a-a b+a b -⋯ +ab-b

偶数；

(9)a n+b n =(a+b)(a n-1 -a n-2 b+a n-3 b2-⋯ -ab n-2 +b n-1 ) ，其中 n 奇数．

运用公式法分解因式，要根据多式的特点，根

据字母、系数、指数、符号等正确恰当地公式．例 1 分解因式：

(1)-2x5n-1 y n+4x3n-1 y n+2-2x n-1 y n+4；

333

(2)x -8y -z -6xyz ；

(3)a 2+b2 +c2-2bc+2ca -2ab；

7 5 2 2 57

(4)a -a b +a b -b ．

=-2x n-1 y n(x 2n-y2) 2

=-2x n-1 y n(x n- y) 2(x n+y) 2．

(2)

333

原式 =x +( -2y)+( -z)-3x( -2y)( -Z)

=(x -2y-z)(x

222

．

+4y +z +2xy+xz -2yz)

(3)原式 =(a

222

-2ab+b)+( -2bc+2ca)+c

22

＝ (a -b) +2c(a -b)+c

2

=(a -b+c) ．

本小可以稍加形，直接使用公式(5) ，解法如下：222

原式 =a +( -b) +c +2( - b)c+2ca+2a( -b)

2

=(a -b+c)

(4) 原式 =(a

752257

-a b )+(a b -b )

5225

(a

22

=a (a-b )+b-b )

=(a

22

)(a

55

-b+b )

=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)

=(a+b)

2432234

(a -b)(a-a b+a b -ab +b )

例 2 分解因式： a3+b3+c3-3abc．

本上就是用因式分解的方法明前面出的

公式 (6) ．

分析我已知道公式

(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3

的正确性，将此公式形

a3+b3=(a+b) 3-3ab(a+b) ．

个式也是一个常用的公式，本就借助于它来

推．

33

解原式 =(a+b) -3ab(a+b)+c -3abc

= ［(a+b)3+c3］ -3ab(a+b+c)

=(a+b+c) ［

22

] - 3ab(a+b+c)

(a+b) -c(a+b)+c

=(a+b+c)(a2+b2+c2- ab-bc- ca) ．

明公式 (6) 是一个用极广的公式，用它可以推出很

多有用的，例如：我将公式 (6) 形

a3+b3 +c3-3abc

然，当 a+b+c=0， a3+b3+c3=3abc ；当 a+b+c

333333

≥ 3abc，而＞ 0 ， a +b +c -3abc ≥0，即 a+b +c

且，当且当a=b=c ，等号成立．

如果令 x=a3≥ 0，y=b3≥ 0， z=c3≥ 0，有

等号成立的充要条件是x=y=z ．也是一个常用的

．

例 3 分解因式： x15+x14 +x13 +⋯+x2+x+1．

分析个多式的特点是：有 16 ，从最高次 x15开始， x 的次数次减至 0，由此想到用公式 a n-b n来分解．解因

x16-1=(x -1)(x 15+x14+x 13+⋯ x2+x+1) ，

所以

明在本的分解程中，用到先乘以(x -1) ，再除以 (x -1) 的技巧，一技巧在等式形中很常用．2．拆、添法

因式分解是多式乘法的逆运算．在多式乘法运

算，整理、化常将几个同合并一，或将

两个符号相反的同相互抵消零．在某些多

式分解因式，需要恢复那些被合并或相互抵消的

，即把多式中的某一拆成两或多，或者在

多式中添上两个符合相反的，前者称拆，

后者称添．拆、添的目的是使多式能用分

分解法行因式分解．

例 4 分解因式： x3 -9x+8．

分析本解法很多，里只介运用拆、添法分解的几种解法，注意一下拆、添的目的与技巧．解法 1 将常数8 拆成 -1+9．

3

原式 =x - 9x-1+9

3

2

解法 2 将一次 -9x 拆成 -x-8x．

原式 =x

3

-x-8x+8

3

-x)+( -8x+8)

=(x

=x(x+1)(x -1) -8(x -1)

=(x -1)(x2+x-8) ．

解法 3将三次 x

3

拆成 9x

33

．

- 8x

原式 =9x3-8x3-9x+8

=(9x

33

+8)

-9x)+( -8x

=9x(x+1)(x -1) -8(x -1)(x 2+x+1)

=(x -1)(x2+x-8) ．

解法 4 添加两 -x2+x2．

原式 =x

3

-9x+8

=x

322

-x +x-9x+8

=x2(x -1)+(x -8)(x -1)

=(x -1)(x2+x-8) ．

明由此可以看出，用拆、添的方法分解因式，要拆哪些，添什么并无一定之，主要的是要依靠目特点的察，灵活，因此拆、添法是因式分解方法中技巧性最的一种．

例 5分解因式：

(1)x

963

+x +x-3；

(2)(m 2-1)(n2-1)+4mn；

(3)(x+1)4+(x 2-1)2+(x -1) 4；

(4)a 3b-ab3+a2+b2+1．

解 (1) 将 -3 拆成 -1- 1-1．

963

原式 =x +x+x-1-1-1

=(x

9

-1)+(x

63

-1)+(x-1)

=(x

3

-1)(x

63333

+x +1)+(x-1)(x+1)+(x-1) =(x 3-1)(x6+2x3+3)

=(x -1)(x2+x+1)(x6+2x3+3) ．

(2) 将 4mn拆成 2mn+2mn．

原式 =(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn

2222

=mn-m- n +1+2mn+2mn

2222

=(m n +2mn+1)-(m-2mn+n)

=(mn+1)

22

-(m-n)