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2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练29 分组分解法因式分解

专题29 分组分解法因式分解【例题讲解】将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=（ax+ay ）+（bx+by ）=a （x+y ）+b （x+y ）=（x+y ）（a+b ）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x 2﹣y 2﹣x ﹣y ；（2）分解因式：9m 2﹣4x 2+4xy ﹣y 2；（3）分解因式：4a 2+4a ﹣4a 2b 2﹣b 2﹣4ab 2+1．试题解析：（1）x2﹣y2﹣x ﹣y=（x2﹣y2）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ﹣1）；（2）9m2﹣4x2+4xy ﹣y2=9m2﹣（4x2﹣4xy+y2）=（3m ）2﹣（2x ﹣y ）2=（3m+2x ﹣y ）（3m ﹣2x+y ）；（3）4a2+4a ﹣4a2b2﹣b2﹣4ab2+1=（2a+1）2﹣b2（2a+1）2=（2a+1）2（1+b ）（1﹣b ）．【综合解答】1．先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式．mx nx my ny +++()()mx nx my ny =+++()()x m n y m n =+++()()m n x y =++；也可以mx nx my ny +++()()mx my nx ny =+++()()m x y n x y =+++()()m n x y =++．以上分解因式的方法称为分组分解法，(1)请用分组分解法分解下列因式：①2()--+a x y x y②2244x y x --+(2)拓展延伸①若22228160x xy y x -+-+=求x ，y 的值；②求当x 、y 分别为多少时？代数式22512986x xy y x -+++有最小的值，最小的值是多少？2．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：()()()()ax by bx ay ax bx ay by x a b y a b +++=+++=+++()()22222121()1(1)2(1)a b x y x y x x xy y x x y y y x y -+=++-=+-=+++=+-++拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：222223214(1)2(12)(12)(3)(1)x x x x x x x x x +-=++-=+-=+++-=+-请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：(1)分解因式：2244a a b --+；(2)分解因式：267x x --；(3)若ABC 三边a 、b 、c 满足20a ab ac bc --+=，试判断ABC 的形状．3．先阅读材料：分解因式：22326a b a b -+-．解：22326a b a b -+-()223(26)a b a b =-+-2(3)2(3)a b b =-+-()2(3)2b a =-+以上解题过程中用到了“分组分解法”，即把多项式先分组，再分解．请你运用这种方法对下面多项式分解因式：2233x x y y +-+．4．阅读下列材料：因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如22216x xy y -+-．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下：22216x xy y -+-2()16x y =--(4)(4)x y x y =-+--．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：(1)因式分解：226925a ab b -+-；(2)因式分解：22424x y x y --+．5．将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如，()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++(1)因式分解：①22x y x y -++；②1ab a b --+；(2)若a ，b 都是正整数且满足60ab a b ---=，求2a b +的值．6．（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++．①分解因式：1ab a b --+；②若,a b ()a b >都是正整数且满足40ab a b ---=，求a b +的值；（2）若,a b 为实数且满足40ab a b ---=，225332s a ab b a b =+++-，求s 的最小值．7．观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：甲：244x xy x y -+-()2(44)x xy x y =-+-（分成两组） ()4()x x y x y =-+-（直接提公因式）()(4)x y x =-+．乙：2222a b c bc --+()2222a b c bc =-+-（分成两组）22()a b c =--（直接运用公式）()()a b c a b c =+--+（再用平方差公式）请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：（1）32248m m m --+（2）2229x xy y -+-．8．阅读理解：如何将326xy x y +++进行因式分解呢？小明同学是这样做的：326xy x y +++(3)(26)xy x y =+++(3)2(3)x y y =+++(2)(3)x y =++我们把这种将多项式先分组，分别变形，再进行分解因式的方法叫分组分解法．【尝试应用】借助上述方法因式分解①5420xy x y +++=__________；②8972ab a b +--=__________；③xy ax by ab +++=___________；【拓展提高】若整数x ，y 满足64970xy x y +--=，求x ，y 的值．9．用分组分解法分解下列因式：（1）2a ab ac bc -+-（2）222ax by cx ay bx cy ++---（3）22am am bm bm +--（4）321a a a --+（5）222a ab b a b -++-（6）22296x z y xy -+-10．把下列多项式分解因式：（1）22442a ab b ac bc ++--（2）222ax bx bx ax cx cx +++++（3）222222a b x y ay bx --+-+（4）()()()222241211y x y x y +--+- 11．请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试一个多项式分组后，再运用提取公因式或乘法公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am an bm bn +++=()()am an bm bn +++=()()a m n b m n +++=()()m n a b ++（2）2221x y y ---=()2221x y y -++ =()221x y -+=()()11x y x y ++--（1）根据上面的知识，我们可以将下列多项式进行因式分解： ax ay bx by --+=(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)=(_____________)(_____________)；22x y x y -+-=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)=(_____________)(______________)．（2）分解下列因式：①ab ac b c -+-；②222496b a ac c -+-+．12．观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么.例：把多项式am ＋an ＋bm ＋bn 分解因式.解法1：am ＋an ＋bm ＋bn＝（am ＋an ）＋（bm ＋bn ）＝ a （m ＋n ）＋b （m ＋n ）＝（m ＋n ）（a ＋b ）.解法2：am ＋an ＋bm ＋bn＝（am ＋bm ）＋（an ＋bn ）＝ m （a ＋b ）＋n （a ＋b ）＝（a ＋b ）（m ＋n ）.根据你的发现，把下面的多项式分解因式:(1)mx －my ＋nx －ny ；(2)2a ＋4b －3ma －6mb.13．先阅读下面的材料，再分解因式．要把多项式am an bm bn +++分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a ，把它的后两项分成组，并提出b ，从而得()()am an bm bn a m n b m n +++=+++．这时，由于()()a m n b m n +++中又有公因式()m n +，于是可提公因式()m n +，从而得到()()m n a b ++，因此有+++am an bm bn()()=+++am an bm bn()()a m nb m n=+++()()=++．m n a b这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．请用上面材料中提供的方法因式分解：()2-+-1ab ac bc b()()=（请你完成分解因式下面的过程）---a b c b b c=______()2-+-；2m mn mx nx()222--+．x y x y y3248专题29 分组分解法因式分解【例题讲解】将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=（ax+ay ）+（bx+by ）=a （x+y ）+b （x+y ）=（x+y ）（a+b ）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x 2﹣y 2﹣x ﹣y ；（2）分解因式：9m 2﹣4x 2+4xy ﹣y 2；（3）分解因式：4a 2+4a ﹣4a 2b 2﹣b 2﹣4ab 2+1．试题解析：（1）x2﹣y2﹣x ﹣y=（x2﹣y2）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ﹣1）；（2）9m2﹣4x2+4xy ﹣y2=9m2﹣（4x2﹣4xy+y2）=（3m ）2﹣（2x ﹣y ）2=（3m+2x ﹣y ）（3m ﹣2x+y ）；（3）4a2+4a ﹣4a2b2﹣b2﹣4ab2+1=（2a+1）2﹣b2（2a+1）2=（2a+1）2（1+b ）（1﹣b ）．【综合解答】1．先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式．mx nx my ny +++()()mx nx my ny =+++()()x m n y m n =+++()()m n x y =++；也可以mx nx my ny +++()()mx my nx ny =+++()()m x y n x y =+++()()m n x y =++．以上分解因式的方法称为分组分解法，(1)请用分组分解法分解下列因式：①2()--+a x y x y②2244x y x --+(2)拓展延伸①若22228160x xy y x -+-+=求x ，y 的值；②求当x 、y 分别为多少时？代数式22512986x xy y x -+++有最小的值，最小的值是多少？ ①222x xy -22xy y ++)(24y x +-)20y =，(②2512x xy -2412x xy -()23x y -(23x y ∴-23x y ∴=83y ∴=-，2．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：()()()()ax by bx ay ax bx ay by x a b y a b +++=+++=+++()()22222121()1(1)2(1)a b x y x y x x xy y x x y y y x y -+=++-=+-=+++=+-++拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：222223214(1)2(12)(12)(3)(1)x x x x x x x x x +-=++-=+-=+++-=+-请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：(1)分解因式：2244a a b --+；(2)分解因式：267x x --；(3)若ABC 三边a 、b 、c 满足20a ab ac bc --+=，试判断ABC 的形状．【答案】(1)(2)(2)a b a b +---(2)(7)(1)x x -+(3)等腰三角形，理由见解析【分析】（1）将一、二、四项结合用完全平方公式分解因式，然后再用平方差公式分解因式；（2）把-6x 拆成-7x +x ，再用分组分解法进行解答；（2）先把等式左边分解成因式的积，根据积为0的因式的特点得出a 、b 、c 之间的关系便可．【解答】（1）2244a a b --+=a 2-4a +4-b 2=（a -2）2-b 2=（a +b -2）（a -b -2）；（2）267x x --=x 2-7x +x -7=x （x -7）+（x -7）=（x -7）（x +1）（3）∵a 2-ab -ac +bc =0，∴a （a -b ）-c （a -b ）=0，∴（a -b ）（a -c ）=0，∴a -b =0或a -c =0，∴a =b 或a =c ，∴△ABC 是等腰三角形．【点评】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，掌握每一种因式分解的方法在不同题型中的熟练应用是解题关键．3．先阅读材料：分解因式：22326a b a b -+-．解：22326a b a b -+-()223(26)a b a b =-+-2(3)2(3)a b b =-+-()2(3)2b a =-+以上解题过程中用到了“分组分解法”，即把多项式先分组，再分解．请你运用这种方法对下面多项式分解因式：2233x x y y +-+．【答案】见解析【分析】仿照例题，利用分组分解法因式分解，然后利用公式法和提公因式法因式分解即可求解．【解答】解：2233x x y y +-+()()2233x y x y =-++ ()()()3x y x y x y =+-++()()3x y x y =+-+【点评】本题考查了因式分解，理解例题中的分组分解法是解题的关键．4．阅读下列材料：因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如22216x xy y -+-．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下：22216x xy y -+-2()16x y =--(4)(4)x y x y =-+--．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：(1)因式分解：226925a ab b -+-；(2)因式分解：22424x y x y --+．【答案】(1)()()3535a b a b ---+(2)()()222x y x y -+-【分析】（1）先将代数式进行分组，然后再根据公式法和提取公因式法进行因式分解即可；（2）先将代数式进行分组，然后再根据公式法和提取公因式法进行因式分解即可．（1）解：226925a ab b -+-，()22=6925a ab b -+-，()22=35a b --， ()()3535=a b a b ---+；（2）解：22424x y x y --+，()()22=42-4x y x y --，()()()=2+22-2x y x y x y --，()()222=x y x y -+-．【点评】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点．5．将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如，()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++(1)因式分解：①22x y x y -++；②1ab a b --+；(2)若a ，b 都是正整数且满足60ab a b ---=，求2a b +的值．【答案】(1)①(x +y )(x -y +1)；②(a -1)(b -1)(2)12或18【分析】（1）模仿例题，利用分组分解法进行因式分解即可；（2）利用（1）题结论进行讨论，即可求解．(1)解：①原式=(x +y )(x -y )+ (x +y )=(x +y )(x -y +1)；②原式=a (b -1)- (b -1)=(a -1)(b -1)；(2)解：由（1）②可知，(a -1)(b -1)=7，∵a ，b 都是正整数，∴a -1，b -1都是整数，∴1117a b -=⎧⎨-=⎩或1711a b -=⎧⎨-=⎩，解得28a b =⎧⎨=⎩或82a b =⎧⎨=⎩，当a =2，b =8时，2a +b =2×2+8=12；当a =8，b =2时，2a +b =2×8+2=18；∴2a +b 的值为12或18．【点评】此题考查了因式分解以及利用因式分解求代数式的值的能力，关键是正确地对整式进行因式分解．6．（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++．①分解因式：1ab a b --+；②若,a b ()a b >都是正整数且满足40ab a b ---=，求a b +的值；（2）若,a b 为实数且满足40ab a b ---=，225332s a ab b a b =+++-，求s 的最小值．7．观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：甲：244x xy x y -+-()2(44)x xy x y =-+-（分成两组）()4()x x y x y =-+-（直接提公因式）()(4)x y x =-+．乙：2222a b c bc --+()2222a b c bc =-+-（分成两组）22()a b c =--（直接运用公式）()()a b c a b c =+--+（再用平方差公式）请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：（1）32248m m m --+（2）2229x xy y -+-．【答案】（1）2(2)(2)m m -+；（2）(3)(3)x y x y -+--【分析】（1）先分组因式分解，再提公因式即可求解；（2）先分组因式分解，再利用平方差公式即可求解．【解答】解：（1）原式22(2)4(2)(2)(2)m m m m m =---=-+；（2）原式2()9(3)(3)x y x y x y =--=-+--．【点评】此题主要考查因式分解，解题的关键是根据题中的方法进行灵活运用进行因式分解．8．阅读理解：如何将326xy x y +++进行因式分解呢？小明同学是这样做的：326xy x y +++(3)(26)xy x y =+++(3)2(3)x y y =+++(2)(3)x y =++我们把这种将多项式先分组，分别变形，再进行分解因式的方法叫分组分解法．【尝试应用】借助上述方法因式分解①5420xy x y +++=__________；②8972ab a b +--=__________；③xy ax by ab +++=___________；【拓展提高】若整数x ，y 满足64970xy x y +--=，求x ，y 的值．【答案】[尝试应用] ①()()45x y ++；②()()98a b -+；③()()x b a y ++；[拓展提高] x =1，y =-1【分析】[尝试应用] ①②③利用分组分解法解答即可；[拓展提高]原方程变形为：（2x -3）（3y +2）=1，根据题意有2x -3=1，3y +2=1，或2x -3=-1，3y +2=-1，即可求出方程的整数解．【解答】解：[尝试应用]①5420xy x y +++=()()545x y y +++=()()45x y ++；9．用分组分解法分解下列因式：（1）2a ab ac bc -+-（2）222ax by cx ay bx cy ++---（3）22am am bm bm +--（4）321a a a --+（5）222a ab b a b -++-（6）22296x z y xy -+-【答案】（1）()()a c a b +-；（2）()()2x y a b c --+；（3）()()1m a b m -+；（4）()()211a a +-；（5）()()1a b a b --+；（6）()()33x y z x y z -+--【分析】利用分组分解法运算即可．【解答】解：（1）2a ab ac bc -+-=()()a a b c a b -+-=()()a c a b +-；（2）222ax by cx ay bx cy ++---=222ax bx cx by ay cy -++--=()()2a b c x y a b c -+--+=()()2x y a b c --+；（3）22am am bm bm +--=22am bm am bm -+-=()()2a b m a b m -+- =()()1m a b m -+；（4）321a a a --+=()()321a a a ---=()()2211a a a ---=()()211a a +-；（5）222a ab b a b -++-=()()2a b a b -+-=()()1a b a b --+；（6）22296x z y xy -+-=22296x xy y z -+-=()223x y z --=()()33x y z x y z -+--【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法是解此题的关键．10．把下列多项式分解因式：（1）22442a ab b ac bc ++--（2）222ax bx bx ax cx cx +++++（3）222222a b x y ay bx --+-+（4）()()()222241211y x y x y +--+- 【答案】（1）()()22a b c a b +-+；（2）()()1x x a b c +++；（3）()()x a b y x a b y ---++--；（4）()2221x y x y -++ 【分析】（1）（2）（3）利用分组分解法分解即可；（4）利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）22442a ab b ac bc ++--=()()222a b c a b +-+=()()22a b c a b +-+；（2）222ax bx bx ax cx cx +++++=()()222ax bx cx ax bx cx +++++ =()()2a b c x a b c x +++++=()()1x x a b c +++；（3）222222a b x y ay bx --+-+=()222222a ay y b x bx -+-+-=()()22a yb x ---=()()()()a y b x a y b x -+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=()()x a b y x a b y ---++--；（4）()()()222241211y x y x y +--+- =()()()()222412111y x y y x y +-+-+-=()()2211y x y ⎡⎤+--⎣⎦ =()2221x y x y -++ 【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是根据所给代数式的形式灵活选择方法．11．请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试一个多项式分组后，再运用提取公因式或乘法公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am an bm bn +++=()()am an bm bn +++=()()a m n b m n +++=()()m n a b ++（2）2221x y y ---=()2221x y y -++ =()221x y -+=()()11x y x y ++--（1）根据上面的知识，我们可以将下列多项式进行因式分解： ax ay bx by --+=(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)=(_____________)(_____________)；22x y x y -+-=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)=(_____________)(______________)．（2）分解下列因式：①ab ac b c -+-；②222496b a ac c -+-+．【答案】（1）ax ay -；bx by -；()a x y -；()-b x y ；x y -；a b -；22x y -；x y -；()()x y x y -+；x y -；x y -；1x y ++；（2）①()()1-+b c a ；②()()3232-+--a c b a c b【分析】（1）利用分组分解法结合提公因式法和平方差公式因式分解即可；（2）①利用分组分解法结合提公因式法因式分解即可；②利用分组分解法结合公式法因式分解即可；【解答】解：（1）ax ay bx by --+=(ax ay -)-(bx by -)=()a x y --()-b x y = (x y -)(a b -)；22x y x y -+-=(22x y -)+(x y -)=()()x y x y -+ +(x y -)=()()1-++x y x y故答案为：ax ay -；bx by -；()a x y -；()-b x y ；x y -；a b -；22x y -；x y -；()()x y x y -+；x y -；x y -；1x y ++；（2）①ab ac b c -+-=()()-+-a b c b c=()()1-+b c a②222496b a ac c -+-+=()222496-+-+b a ac c =()2234--a c b=()()3232-+--a c b a c b【点评】此题考查的是因式分解，掌握利用分组分解法结合提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键．12．观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么.例：把多项式am ＋an ＋bm ＋bn 分解因式.解法1：am ＋an ＋bm ＋bn＝（am ＋an ）＋（bm ＋bn ）＝ a （m ＋n ）＋b （m ＋n ）＝（m ＋n ）（a ＋b ）.解法2：am ＋an ＋bm ＋bn＝（am ＋bm ）＋（an ＋bn ）＝ m （a ＋b ）＋n （a ＋b ）＝（a ＋b ）（m ＋n ）.根据你的发现，把下面的多项式分解因式:(1)mx －my ＋nx －ny ；(2)2a ＋4b －3ma －6mb.【答案】（1）（x －y ）（m ＋n ）；（2）（a ＋2b ）（2-3m ）【分析】(1)分组后提取公因式即可得到结果；(2)分组后提取公因式即可得到结果．【解答】解：(1)解法一：原式=m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n)解法二：原式=(mx+nx)-(my+ny)=x(m+n)-y(m+n)=(m+n)(x-y)(2)解法一：原式=2(a+2b)-3m(a+2b)=(a+2b)(2-3m)解法二：原式=(2a-3ma)+(4b-6mb)=a(2-3m)+2b(2-3m)=(2-3m)(a+2b)【点评】此题考查了因式分解-分组分解法，难点是采用两两分组还是三一分组．13．先阅读下面的材料，再分解因式．要把多项式am an bm bn +++分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a ，把它的后两项分成组，并提出b ，从而得()()am an bm bn a m n b m n +++=+++．这时，由于()()a m n b m n +++中又有公因式()m n +，于是可提公因式()m n +，从而得到()()m n a b ++，因此有am an bm bn +++()()am an bm bn =+++()()a m n b m n =+++()()m n a b =++．这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．请用上面材料中提供的方法因式分解：()21ab ac bc b -+-()()a b c b b c ---=（请你完成分解因式下面的过程）=______()22m mn mx nx -+-；()2223248x y x y y --+．【答案】(1)()()a b b c --；(2) （m +x ）（m -n ）；(3) （y -2）（x 2y -4）．【分析】如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．依此即可求解．【解答】解：（1）ab -ac +bc -b 2=a （b -c ）-b （b -c ）=（a -b ）（b -c ）；故答案为（a-b）（b-c）．（2）m2-mn+mx-nx=m（m-n）+x（m-n）=（m+x）（m-n）；（3）x2y2-2x2y-4y+8=x2y（y-2）-4（y-2）=（y-2）（x2y-4）．【点评】考查了因式分解-提公因式法，因式分解-分组分解法，本题采用两两分组的方式．。

初中数学因式分解培优训练

第一讲：因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n 为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．n-1n4224=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) 例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c ＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．第二讲：因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］ =(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．。

初中数学因式分解培优训练

分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法
5
分解的几种解法，注意一下解法 4 添加两项-x2+x2．
拆项、添项的目的与技巧．原式=x3-9x+8
解法 1 将常数项 8 拆成 =x3-x2+x2-9x+8
-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
至 0，由此想到应用公式
成两项或多项，或者在多项
an-bn 来分解．
式中添上两个仅符合相反
解因为
的项，前者称为拆项，后者
称为添项．拆项、添项的目
x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…
的是使多项式能用分组分
x2+x+1)，
解法进行因式分解．
所以
例 4 分解因式：
x3-9x+8．
说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为
a3+b3+c3-3abc
显然，当 a+b+c=0 时，
则 a3+b3+c3=3abc；当
a+b+c＞0 时，则
a3+b3+c3-3abc≥0，即
4
a3+b3+c3≥3abc，而且，当说明在本题的分解过程
(3)将(x2-1)2 拆成
2(x2-1)2-(x2-1)2．
=[a(a-b)+1](ab+b2+1)
原式
=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+

因式分解精练(培优)

因式分解精选练习一分解因式 1.2x 4y 2－4x 3y 2＋10xy 4 、2. 5x n+1－15x n ＋60x n —1 、 3.()()431241a b a b ---4. (a+b)2x 2-2(a 2-b 2)xy+(a-b)2y 2 、5. x 4-1、6.－ａ2－ｂ２＋2ab ＋４7. 134+--x x x 、 8.()()422223612y y y y x y y x -++-+9. ()()()()422223612y x y x y x x y x x +-+++-+、10.a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac11.x 2-2x-8、 12．3x 2+5x-2 、13. (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1、14. (x 2+3x+2)(x 2+7x+12)-120.15．把多项式3x 2+11x+10分解因式。

16.把多项式5x 2―6xy ―8y 2分解因式。

因式分解精选练习二、证明题17．求证：32000－4×31999＋10×31998能被7整除。

18.设n 为正整数，且64n -7n 能被57整除，证明：21278+++n n 是57的倍数.19.求证：无论x 、y 为何值，3530912422+++-y y x x 的值恒为正。

20.已知x 2+y 2-4x+6y+13=0,求x,y 的值。

三求值。

21.已知a,b,c 满足a-b=8,ab+c 2+16=0,求a+b+c 的值 .22．已知x 2+3x+6是多项式x 4-6x 3+mx 2+nx+36的一个因式，试确定m,n 的值，并求出它的其它因式。

因式分解精选练习1. 解：原式=2xy 2·x 3－2xy 2·2x 2＋2xy 2·5y 2 =2xy 2 (x 3－2x 2＋5y 2)。

2.解：原式=5 x n--1·x 2－5x n--1·3x ＋5x n--1·12=5 x n--1 (x 2－3x ＋12)3.解：原式=3a(b-1)(1-8a 3) =3a(b-1)(1-2a)(1+2a+4a 2)*4.解：原式= [(a+b)x]2-2(a+b)(a-b)xy+[(a-b)y]2=(ax+bx-ay+by)25.解：原式=(x 2+1)(x 2-1)=(x 2+1)(x+1)(x-1)6.解：原式＝－（a 2－2ab ＋b 2－４）＝－（ａ－ｂ＋２）（ａ－ｂ－２）7. 解：原式= x 4-x 3-(x-1)= x 3(x-1)-(x-1)=(x-1)(x 3-1)=(x-1)2(x 2+x+1)*提8. 解：原式=y 2[(x+y)2-12(x+y)+36]-y 4=y 2(x+y-6)2-y 4=y 2[(x+y-6)2-y 2]=y 2(x+y-6+y)(x+y-6-y)= y 2(x+2y-6)(x-6)9. 解：原式== (x+y)2(x 2-12x+36)-(x+y)4=(x+y)2[(x-6)2-(x+y)2]=(x+y)2(x-6+x+y)(x-6-x-y)=(x+y)2(2x+y-6)(-6-y)= - (x+y)2(2x+y-6)(y+6)10.解：原式=.（a 2+b 2 +2ab ）+2bc+2ac+c 2=(a+b)2+2(a+b)c+c 2 =(a+b+c)211.解：原式=x 2-2x+1-1-8 =(x-1)2-32=(x-1+3)(x-1-3)=(x+2)(x-4)12．解：原式=3(x 2+53x)-2 =3(x 2+53x+2536-2536)-2 =3(x+56)2-3×2536-2=3(x+56)2-4912 =3[(x+56)2-4936]=3(x+56+76)(x+56-76)=3(x+2)(x-13) =(x+2)(3x-1)13.解：原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1=(x 2+5x+4)(x 2+5x+6)+1令x 2+5x=a,则原式=(a+4)(a+6)+1=a 2+10a+25=(a+5)2=(x 2+5x+5)14. 解原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120=(x 2+5x+6)(x 2+5x+4)-120令 x 2+5x=m, 代入上式,得原式=(m+6)(m+4)-120=m 2+10m-96=(m+16)(m-6)=(x 2+5x+16)(x 2+5x-6)=(x 2+5x+16)(x+6)(x-1)15．解：原式＝(x+2)(3x+5)提示：把二次项3x 2分解成x 与3x （二次项一般都只分解成正因数），常数项10可分成1×10＝－1×（－10）＝2×5＝－2×（－5），其中只有11x =x ×5+3x ×2。

《整式的乘除与因式分解》培优训练及答案

整式的乘除与因式分解一、选择题：1．下列计算正确的是（）A ．105532a a a =+B ．632a a a =⋅C ．532)(a a =D ． 8210a a a =÷2．下列计算结果正确的是（）A ．4332222y x xy y x -=⋅-B ．2253xy y x -=y x 22-C ．xy y x y x 4728324=÷D ．49)23)(23(2-=---a a a3．两个三次多项式相加，结果一定是（）A ．三次多项式B ．六次多项式C ．零次多项式D ．不超过三次的多项式4．把多项式()()()111---+x x x 提取公因式()1-x 后，余下的部分是（）A ．()1+xB ．()1+-xC ．xD ．()2+-x5．计算24(1)(1)(1)(1)x x x x -++--的结果是（）A 、2B 、0C 、－2D 、－56．已知代数式12x a －1y 3与－3x －b y 2a+b 是同类项，那么a 、b 的值分别是（）A ．2,1a b =-⎧⎨=-⎩B ．2,1a b =⎧⎨=⎩C ．2,1a b =⎧⎨=-⎩D ．2,1a b =-⎧⎨=⎩7．已知2239494b b a b a n m =÷，则（）A ．3,4==n mB ．1,4==n mC ．3,1==n mD ．3,2==n m8．如图，是一个正方形与一个直角三角形所拼成的图形，则该图形的面积为（）A ．m 2+12mnB ．22mn n -C ．22m mn+ D ．222m n +9．若2()9a b +=，2()4a b -=，则ab 的值是（）A 、54B 、－54C 、1D 、－1 二、填空题： 1．分解因式2233ax ay -= ．2．分解因式ab b a 8)2(2+- =_______．3．分解因式221218x x -+= ．4．若22210a b b -+-+=，则a = ，b ＝．5．代数式4x 2＋3mx ＋9是完全平方式，则m ＝___________．6. 已知a+b=5，ab=3，求下列各式的值：（1）a 2+b 2= ；（2）-3a 2+ab-3b 2= ．7. 已知522=+b a ，()()223232a b a b --+＝－48，则a b +＝________． 8. 已知正方形的面积是2269y xy x ++ （x >0，y >0），利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式．9．观察下列等式：第一行 3＝4－1第二行 5＝9－4第三行 7＝16－9第四行 9＝25－16… …按照上述规律，第n 行的等式为____________ ．三、解答题：1．计算题（1）（－3xy 2）3·（61x 3y ）2 （2）4a 2x 2·（－52a 4x 3y 3）÷（－21a 5xy 2）（3）222)(4)(2)x y x y x y --+（（4）221(2)(2))x x x x x-+-+－（2．因式分解（1）3123x x - （2）2222)1(2ax x a -+（3）xy y x 2122--+ （4）)()3()3)((22a b b a b a b a -+++-3．解方程：41)8)(12()52)(3(=-+--+x x x x4．已知x 2＋x －1＝0，求x 3＋2x 2＋3的值5．若（x 2＋px ＋q ）（x 2－2x －3）展开后不含x 2，x 3项，求p 、q 的值．四．综合拓展：1．已知c b a 、、是△ABC 的三边的长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，试判断此三角形的形状．2．已知2006x+2006y=1，x+3y=2006，试求2x 2+8xy+6y 2的值五．巩固练习：1．若n221623=÷，则n 等于（）A ．10B ．5C ．3D ．62．计算：xy xy y x y x 2)232(2223÷+--的结果是（） A ．xy y x 232- B ．22322+-xy y x C ．1232+--xy y x D ．12322+--xy y x3．下列计算正确的是（）A ．x y x y x 221222223=⋅÷ B ．57222257919n m n m m n n m =÷⋅ C ．mn mn n m n m =⋅÷24322)(2 D ．22242231043)3012(y x y x y x y x +=÷+4．已知一个多项式与单项式457y x -的积为2234775)2(72821y x y y x y x +-，则这个多项式为＿＿＿5．若（a+b ）2=13（a-b ）2=7求a 2+b 2和ab 的值。

初中数学因式分解综合训练培优练习2(附答案详解)

初中数学因式分解综合训练培优练习2（附答案详解）1．下列各式分解因式正确的是A ．()()2228244a b a b a b -=+- B ．()22693x x x -+=-C ．()22224923m mn n m n -+=-D ．()()()()x x y y y x x y x y -+-=-+2．因式分解：a (n －1)2－2a (n －1)＋a.3．分解因式：412x 3y xy -+4．因式分解：（1）316x x - （2）221218x x -+5．因式分解：（1）﹣3x 3+6x 2y ﹣3xy 2；（2）a 3-4ab 2．6．2221x x y ++-7．(x 2+2x)2+2(x 2+2x)+18．分解因式：(1) 3a 3－6a 2+3a ．(2) a 2(x －y)+b 2(y －x)．9．因式分解：(1)3349x y xy - (2)222(6)6(6)9x x ---+10．因式分解： (1) x 2﹣36；(2) xy 2﹣x ；(3) ab 4﹣4ab 3+4ab 2；(4) （m +1）（m ﹣9）+8m ．11．已知ab ＝－3，a ＋b ＝2．求下列各式的值： (1)a 2＋b 2； (2)a 3b ＋2a 2b 2 ＋ab 3； (3)a －b ．12．（1）因式分解：3a 3+12a 2+12a ；2016+20162-20172（2）解不等式组：()263125x x x -<⎧⎨+≤+⎩，并将解集在数轴上表示出来．（3）解分式方程：2236x 1x 1x 1+=+--．13．观察下列式子：23(1)(1)1x x x x +-+=+;23(2)(24)8x x x x +-+=+;2233(2)(42)8m n m mn n m n +-+=+;……（1）上面的整式乘法计算结果比较简洁，类比学习过的平方差公式，完全平方公式的推导过程，请你写出一个新的乘法公式（用含a 、b 的字母表示），并加以证明；（2）直接用你发现的公式写出计算结果：（2a +3b ）（4a 2﹣6ab +9b 2）= ；（3）分解因式：m 3 + n 3 + 3mn （m + n ）.14．分解因式：4322221x x x x ++++15．因式分解：(1)x 2y －2xy ＋xy 2； (2)422x -+．16．222---x xy y =__________17．分解因式212x 123y xy y -+-=___________18．将22363ax axy ay -+分解因式是__________．19．在实数范围内分解因式：4244x x -+=_____________．20．因式分解：m 3n ﹣9mn ＝______．21．分解因式：339a b ab -=_____________．22．分解因式：x 3y ﹣2x 2y+xy=______．23．分解因式：3x 2﹣3y 2＝_____．24．因式分解：2328x y y -=_________.25．分解因式：am 2﹣9a=_________________．26．分解因式：（p+1）（p ﹣4）+3p ＝_____．27．因式分解：x 3﹣6x 2y +9xy 2＝____．28．分解因式：222x 2y -= ______.29．分解因式：22xy xy x -+-=__________．30．分解因式：a 3b +2a 2b 2+ab 3＝_____．31．分解因式：3a 2+6ab+3b 2=________________．32．分解因式：29y x y -=_____________．33．分解因式：4a 2b ﹣b ＝_____．34．分解因式：222m -=_________________________．35．分解因式：2a 2﹣18=________．36．分解因式：x 3﹣2x 2+x=______．37．因式分解：34x x -=____________________．参考答案1．B【解析】【分析】利用完全平方公式a 2-2ab+b 2=（a-b ）2和平方差公式以及提公因式法分别进行分解即可．【详解】A. ()()2222282(4)222a b a b a b a b -=-=+-，故该选项错误； B. ()22693x x x -+=-，分解正确；C. ()22224923m mn n m n -+≠-，故原选项错误；D. ()()()()2()x x y y y x x y x y x y -+-=--=-，故原选项错误. 故选B.【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．2．a(n-2)2【解析】试题分析：根据题意，先提公因式a ，然后把n-1看做一个整体，利用完全平方公式分解即可.试题解析：原式=a[(n-1)2-2(n-1)+1]=a[(n-1)-1]2=a(n-2)2点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 3．()()32121xy x x -+-【解析】试题分析：根据因式分解的方法，先提公因式-3xy ，然后根据平方差公式因式分解即可. 试题解析：()()()4212x 334132121y xy xy x xy x x -+=--=-+- 4．（1）(4)(4)x x x +-；（2）22(3)x -【解析】试题分析：根据因式分解的方法步骤，一提（公因式）二套（平方差公式，完全平方公式）三检查（是否分解彻底），可直接进行因式分解.试题解析：（1）原式=()216x x -=()()44x x x +-（2）原式=()2269x x -+=()223x -5．（1）-3x （x-y ）2；（2） a （a+2b ）（a-2b ）．【解析】试题分析：根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解），可以直接接计算即可.试题解析：（1）﹣3x 3+6x 2y ﹣3xy 2=-3x （x 2-2xy+y 2）=-3x （x-y ）2（2）a 3-4ab 2=a （a 2-4b 2）=a （a+2b ）（a-2b ）点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 6．(1)(1)x y x y +++-【解析】解：原式=()221x y +-=()()11x y x y +++- 7．4(1)x +【解析】解：原式=()2221x x ++=()41x +8．(1) 3 a （a －1）2；(2) (x －y)（a －b)（a+b ）；(3)（a+7b ）（7a+b ）【解析】试题分析：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 试题解析：(1) 原式=3 a （a 2－2a+3）=3 a （a －1）2；(2) 原式= (x －y)（a 2－b 2)= (x －y)（a －b)（a+b ）；(3) 原式=[4(a+b)－3(a －b)] [4(a+b)+3(a －b)]=（a+7b ）（7a+b ）．9．（1）（2）22(3)(3)x x +- 【解析】试题分析：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 试题解析：（1）3349x y xy -=xy （2x-3y ）（2x+3y ）（2）()()2226669x x ---+ =（x 2-6-3）2=（x+3）2（x-3）210．（1）（x +6）（x ﹣6）．（2）x （y ﹣1）（y +1）．（3）ab 2（b ﹣2）2．（4）（m +3）（m ﹣3）．【解析】试题分析：（1）利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先提公因式，再根据平方差公式分解即可；（3）先提公因式，再根据完全平方公式分解即可；（4）先根据乘法公式计算，再合并同类项，最后根据平方差公式分解即可.试题解析：（1）x 2﹣36=（x +6）（x ﹣6）．（2）xy2﹣x=x（y2﹣1）=x（y﹣1）（y+1）．（3）ab4﹣4ab3+4ab2=ab2（b2﹣4b+4）=ab2（b﹣2）2．（4）（m+1）（m﹣9）+8m=m2﹣9m+m﹣9+8m=m2﹣9=（m+3）（m﹣3）．点睛：此题主要考查了因式分解，解题的关键是灵活选用适当的方法进行饮食费解。

因式分解培优训练试题

因式分解培优训练试题一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（） A ．()()y x y x y x +-=+22422B ．()2244aya ya -=-C ．()130132-+==-+x x x x D ．()222329124y x y xy x --=-+-2.多项式()()()2122+--+x x x 可以因式分解成()()n x m x ++2，则n m -的值是（） A ． 2 B ． ﹣2 C ． 4 D ． ﹣43.下列各式分解因式正确的是( )A. 22269(3)x xy y x y ++=+B. 222249(23)x xy y x y -+=- C. 22282(4)(4)x y x y x y -=+- D. ()()()()x x y y y x x y x y -+-=-+ 4．把a a 43-多项式分解因式，结果正确的是（）A. ()4-a aB.()()22-+a aC. ()()22-+a a aD. ()422--a5．已知0136422=+-++y x y x ，则代数式y x +的值为（） A ． ﹣1 B ． 1C ． 25D ． 366．要在二次三项式62-+kx x 分解成()()b x a x ++的形式，那么k 为（） A ．1，﹣1 B ．5，﹣5 C ．1，﹣1，5，﹣5 D ．以上答案都不对 7．要使二次三项式x 2﹣5x+p 在整数范围内能进行因式分解，那么整数p 的取值可以有（） A ．2个 B ．4个 C ．6个D ．无数个8．已知a 为实数，且0223=+-+a a a ，则()()()1098111+++++a a a 的值是（）A ．﹣3B ．3C ．﹣1D ．19．把多项式22344x y xy x --分解因式的结果是（）A ．34()xy x y x -- B ．2(2)x x y -- C ．22(44)x xy y x -- D ．22(44)x xy y x --++ 10．已知正数b a ,满足87222233-=+-+ab ab b a ab b a 则=-22b a （） A ．1B ．3C ．5D ．不能确定二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11．若多项式b ax x ++2分解因式的结果为()()21-+x x ，则b a +的值为12.若4,1a b ab +==，则22a b ab +的值为____________________13.已知0.2,31x y x y +=+=，则代数式2243x xy y ++的值为________________ 14.若关于x 的二次三项式b kx x ++2因式分解为()()31--x x ，则b k +的值为__________15.已知()()520192018=--a a ，则()()_________2019201822=-+-a a16.若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如22123-=，223516-=，则3和16是智慧数）.已知按从小到大的顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…则第2 019个“智慧数”是____________三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17.（本题12分）因式分解下列各式：（1）()()x y b y x a -+-2249 （2）()()m m m 891+-+（3）411623++-x x x （4）x 2﹣2x ﹣2y 2+4y ﹣xy（5）2232y xy x +- （6）(m 2－2m －1)(m 2－2m ＋3)＋4.18.（本题8分）学习了分解因式的知识后，老师提出了这样一个问题：设n 为整数，则(n ＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例．你能解答这个问题吗？19（本题8分）．商贸大楼共有四层，第一层有商品(a ＋b)2种，第二层有商品a(a ＋b)种，第三层有商品b(a ＋b)种，第四层有商品(b ＋a)2种．若a ＋b ＝10，则这座商贸大楼共有商品多少种？20.（本题8分）（1）对于任意自然数n ，(n ＋7)2－(n －5)2是否能被24整除？（2）已知y x ,都是正实数，且满足012222=-++++y x y xy x ，求()y x -1的最小值21（本题10分）如果一个正整数能表示为两个不相等正整数的平方差，那么称这个正整数为“奇妙数”．例如：5＝32﹣22，16＝52﹣32，则5，16都是奇妙数．（1）15和40是奇妙数吗？为什么？（2）如果两个连续奇数的平方差为奇特奇妙数，问奇特奇妙数是8的倍数吗？为什么？（3）如果把所有的“奇妙数”从小到大排列后，请直接写出第12个奇妙数．22（本题10分）观察下列等式：12×231＝132×21， 13×341＝143×31， 23×352＝253×32，34×473＝374×43，62×286＝682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”：①52×_________＝__________×25；②__________×396＝693×_______________a ≤9，写出表示“数字对称(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤ba,)，并证明．等式”一般规律的式子(含b23（本题10分）．先阅读下面的内容，再解决问题．如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式．如：①因为36=4×9，所以4和9是36的因数；因为x2﹣x﹣2=（x+1）（x﹣2），所以x+1和x+2是x2﹣x﹣2的因式．②若x+1是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下：解：∵x+1是x2+ax﹣2的因式∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2=（x+1）（mx+n）∴当x=﹣1时，（x+1）（mx+n）=0∴当x=﹣1时，x2+ax﹣2=0∴1﹣a﹣2=0，∴a=﹣1（1）x+2是x2+x﹣6的因式吗？（填“是”或者“不是”）；（2）若整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，求常数a，b的值．因式分解培优训练试题答案三．选择题：1.答案：D解析：A选项不能因式分解，故A错误；B选项是计算，故B错误；C选项右边是多项式，不是因式分解，故C错误；D选项是因式分解，故选择D2.答案：C解析：∵多项式()()()2122+--+x x x 可以因式分解成()()n x m x ++2， ∴()()()()n x m x x x ++=-+2222∴2,2-==n m ，∴422=+=-n m ，故选择C3.答案：A解析：∵22269(3)x xy y x y ++=+ ，故A 选项正确； ∵222(23)4129x y x xy y -=-+，故B 选项错误；∵()()()22222824222x y x y x y x y -=-=-+ ，故C 选项错误； ∵2()()()x x y y y x x y -+-=-，故D 选项错误，故选择A4.答案：C解析：()()()224423+-=-=-a a a a a a a ，故选择C5.答案：B解析：∵0136422=+-++y x y x ∴()()03222=-++y x ，∴3,2=-=y x ，∴132=+-=+y x ，故选择B6.答案：C解析：∵要在二次三项式62-+kx x 分解成()()b x a x ++的形式，∴()616⨯-=-或()616-⨯=-或()326-⨯=-或()326⨯-=-， ∴5=k 或5-=k 或1-=k 或1=k ，故选择C7.答案：D解析：∵要使二次三项式x 2﹣5x+p 在整数范围内能进行因式分解，∴只要找两个数b a ,使5,-=+=b a p ab 即可，于是有无数多个，故选择D8.答案：D解析：∵0223=+-+a a a ， ∴()01)1(23=+-++a a a ， ∴()()()011122=+-++-+a a a a a∴()()0122=+-+a a a ，∵012≠+-a a ，∴,02=+a ∴11-=+a ，∴()()()()()()111111111110981098=+-=-+-+-=+++++a a a故选择D9.答案：B解析：22344x y xy x --()()222244y x x y xy x x --=+--=故选择B10.答案：B解析：∵87222233-=+-+ab ab b a ab b a ∴()()87222-=--+ab b a ab b a ab∴()()08722222=+---+-+ab b a ab ab ab b a ab ∴()()08722222=+-+---ab b a b a ab b a ab ，∴()()[]()044212222=+-++---ab b a b a b a ab∴()()022122=-+--ab b a ab∵b a ,均为正数，∴ab ＞0， ∴01=--b a ，02=-ab ，即2,1==-ab b a ，解方程⎩⎨⎧==-21ab b a ，解得1,2==b a 或2,1-=-=b a （不合题意，舍去）， ∴31422=-=-b a ．故选B ．四．填空题:11.答案：3-解析：∵()()2212--=-+x x x x ，∴222--=++x x b ax x ，∴2,1-=-=b a ，∴321-=--=+b a12.答案：4解析：∵4,1a b ab +==， ∴()22144a b ab ab a b +=+=⨯=13.答案：2.0解析：∵0.2,31x y x y +=+=∴()()224330.210.2x xy y x y x y ++=++=⨯=14.答案： 1-解析：∵二次三项式b kx x ++2因式分解为()()31--x x ，∴b kx x x x ++=+-2234，∴3,4=-=b k ，∴134-=+-=+b k15.答案：11解析：∵()()520192018=--a a ，()()()()()()()()20192018220192019201822018201920182222--+-+----=-+-∴a a a a a a a a ()()()11521201920182201920182=⨯+=--++--=a a a a16.答案：2695解析：观察数的变化规律，可知全部“智慧数”从小到大可按每三个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数，归纳可得，第n 组的第一个数为4n （n ≥2）.因为67332019=÷，所以第2 019个“智慧数”是第673组中的第3个数，即为269536734=+⨯.三．解答题:17.解析：（1）()()()()()b a b a y x x y b y x a 23234922-+-=-+-（2）()()()()33998889122-+=-=-+-=+-+m m m m m m m m m（3）4566411622323++--=++-x x x x x x x()()()()()()()()4312145614511622-+-=---=+---=x x x x x x x x x x（4）x 2﹣2x ﹣2y 2+4y ﹣xy ()()()y x y x y x y x y xy x 22242222---+=+---=()()22-+-=y x y x（5）()()y x y x y xy x --=+-23222（6）(m 2－2m －1)(m 2－2m ＋3)＋4()()()()422222112412412-=+-=+--+--=m m m m m m m18.解析：()()()()()()220102237373722+=⨯+=+-+-++=--+n n n n n n n n∴()()2237---n n 能被20整除。

2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练27 因式分解计算题

专题27 因式分解最新期中考题特训50道1．因式分解：(1)225x -；(2)244a b ab b -+．2．因式分解(1)324a ab -；(2)()()2x a b b a ---．3．分解因式：(1)249x y y -(2)222416a a +-（）4．因式分解：(1)3222x x y xy -+(2)()()2141m m m -+-5．因式分解：(1)2449x -(2)22242x xy y -+6．因式分解：(1)236x -；(2)2288x y xy y -+．7．因式分解：(1)a 2-4b 2(2)2a 3+12a 2+18a8．因式分解：(1)2464x -(2)244x y xy y -+9．因式分解：(1)323x y x -；(2)22(2)9a b b --．10．因式分解：(1)2249m n -；(2)22396a b ab b -+11．把下列各式分解因式(1)x 2+2xy +y 2(2)5x 3﹣20x12．因式分解(1)296x y xy y ++(2)416a -．13．将下列各式分解因式：(1)2ab a -(2)22363ax axy ay -+-14．因式分解：(1)2269x xy y ++；(2)34m n mn -．15．因式分解：(1)3269x x x -+(2)416a -16．因式分解(1)2288x x -+(2)()()216a x y y x -+-17．因式分解：(1)2416a -；(2)222ax axy ay -+．18．因式分解：(1)（x +3y ）2－x －3y(2)222(4)16a a +-19．分解因式：(1)4x 2－100；(2)2mx 2－4mxy +2my 2．20．把下面各式分解因式：(1)22327x y -(2)()()()22a b a a b a a b +-+++21．因式分解(1)2416x -(2)2288a b ab b -+22．因式分解：(1)3269a a a ++(2)222(4)16x x +-23．分解因式：(1)22352020.a b ab b -+(2)2222(1)(9)x x +--24．因式分解：(1)228x -(2)3222x x y xy -+25．分解因式：(1)2116a -(2)32232xy x y x y -+26．把下列各式分解因式：（1）2218a -（2）2484a a -+27．因式分解：(1)29x -(2)2242x y xy y -+28．因式分解(1)2416m -(2)2232x y xy y -+29．因式分解：(1)()24a b +-(2)22369ab a b b --(1)224x x -；(2)212123a a -+．31．分解因式：(1)241x -；(2)3244m m m -+．32．因式分解：(1)a 2－9；(2)2x 2－12x ＋1833．把下列各式因式分解(1)228a -(2)()()24129a b a b +-++34．把下列各式分解因式：(1)a 3﹣a(2)16x 2y 2﹣（x 2+4y 2）235．分解因式：(1)2a （x ﹣y ）+b （y ﹣x ）；(2)（x 2 +1）2﹣4x 2．36．因式分解：(1)2232x -(2)3223242x y x y xy ++37．因式分解：(1)2a 2﹣2(2)2441x x ++38．分解因式：(1)2363ab ab a -+(2)22()8()a a b a b ---39．分解因式：(1)321025a a a ++(2)()()126t t ++-(1))()(2x y y x x -+-(2)223242x y xy y -+．41．把下列各式因式分解：(1)228x -；(2)2(2)8(2)16a a +-++．42．把下列各式因式分解：(1)2288a a -+；(2)22()()a x y b x y ---．43．因式分解：(1)()()3a x y y x -+-(2)()222416x x +- 44．因式分解：(1)11824n n x x +-；(2)4224-1881x x y y +45．因式分解：(1)mx 2﹣my 2；(2)2x 2－8x +8．46．分解因式：(1)2x 2﹣4xy +2y 2(2)m 2（m ﹣n ）+（n ﹣m ）47．因式分解(1)24ab a -(2)4224816x x y y -+48．因式分解(1)21025m m -＋(2)22222(4)16x y x y +-49．因式分解：(1)4x 2-64(2)2x 3y +4x 2y 2+2xy 3(1)2a a++；441 (2)2x-．416专题27 因式分解最新期中考题特训50道1．因式分解：(1)225x -；(2)244a b ab b -+．【答案】(1)()()55+-x x(2)()22b a -【分析】（1）根据平方差公式因式分解即可求解；（2）先提公因式b ，然后根据完全平方公式因式分解即可求解．（1）解：原式＝()()55+-x x ；（2）解：原式＝()244b a a -+ ()22b a =-．【点评】本题考查了公式法和提公因式法进行因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．2．因式分解(1)324a ab -；(2)()()2x a b b a ---．【答案】(1)()()22a a b a b +-(2)()()21a b x -+【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；（2）先将原式变形，再提公因式分解因式即可．（1）解：324a ab -()224a a b =-()()22a a b a b =+-．（2）解：()()2x a b b a ---()()2x a b a b =-+-()()21a b x =-+．【点评】本题考差了多项式分解因式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解答本题的关键．3．分解因式：(1)249x y y -(2)222416a a +-（）【答案】(1)(23)(23)y x x +-(2)()()2222a a +-【分析】（1）先提公因式y ，再利用平方差公式即可直接分解；（2）首先利用平方差公式因式分解，然后再利用完全平方公式因式分解即可；（1） 249x y y - =2(49)y x -=(23)(23)y x x +-（2）222416a a +-（）=()()224444a a a a ⎡⎤⎡⎤+++-⎣⎦⎣⎦=()()224444a a a a ++-+=()()2222a a +-【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．4．因式分解：(1)3222x x y xy -+(2)()()2141m m m -+- 【答案】(1)()2x x y -(2)()()()221m m m +--【分析】（1）直接提取公因式x ，再利用完全平方公式分解因式得出答案（2）直接提取公因式(1)m -，再利用平方差公式分解因式得出答案（1）解：原式22(2)x x xy y =-+2()x x y =-；（2）解：原式2(1)(4)m m =--(1)(2)(2)m m m =-+-．【点评】本题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，掌握平方差公式和完全平方公式是关键．5．因式分解：(1)2449x -(2)22242x xy y -+ 【答案】(1)()()2727x x +-(2)()22x y -【分析】（1）根据平方差公式分解因式即可；（2）先提公因式，然后根据完全平方公式分解因式即可．（1）解：2449x - ()2227x =-()()2727x x =+-．（2）解：22242x xy y -+()2222x xy y =-+()22x y =-．【点评】本题主要考查了因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键．6．因式分解：(1)236x -；(2)2288x y xy y -+．【答案】(1)（x −6）（x ＋6）(2)2y （x −2）2【分析】（1）利用平方差公式即可因式分解；（2）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．（1）解：x 2−36；＝（x −6）（x ＋6）（2）解：2x 2y −8xy ＋8y＝2y （x 2−4x ＋4）＝2y （x −2）2【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题关键． 7．因式分解：(1)a 2-4b 2(2)2a 3+12a 2+18a【答案】(1)(a +2b )(a -2b )(2)22(3)a a +【分析】（1）利用平方差公式，进行因式分解；（2）利用提公因式和完全平方公式，进行因式分解．（1）解：原式=(2)(2)a b a b +-；（2）解：原式=22(69)a a a ++=22(3)a a +．【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方差公式．8．因式分解：(1)2464x -(2)244x y xy y -+【答案】(1)()()444x x +-(2)()22y x -【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式继续分解；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．（1）解：原式()()()2416444x x x =-=+-；（2）解：原式()()22442y x x y x =-+=-．【点评】本题考查了因式分解，在因式分解时，能提公因式的要先提取公因式，再考虑用公式法继续分解，在因式分解时注意要分解彻底．9．因式分解：(1)323x y x -；(2)22(2)9a b b --．【答案】(1)()()311x y y -+(2)()()42a b a b +-【分析】（1）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式；（2）先用平方差公式分解因式，再提公因式即可．（1）解：323x y x -()321x y =-()()311x y y =-+（2）解：22(2)9a b b --()()2323a b b a b b =-+--()()2224a b a b =+-()()42a b a b =+-【点评】本题主要考查了因式分解，熟练掌握平方差公式()()22a b a b a b -=+-，是解题的关键．10．因式分解：(1)2249m n -；(2)22396a b ab b -+ 【答案】(1)(23)(23)m n m n +-(2)2(3)b a b -【分析】（1）直接运用平方差公式因式分解即可；（2）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可．（1）解：原式22(2)(3)m n =-(23)(23)m n m n =+-（2）原式()2296b a ab b =-+2(3)b a b =-．【点评】题目主要考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法及公式法分解因式是解题关键．11．把下列各式分解因式(1)x 2+2xy +y 2(2)5x 3﹣20x【答案】(1)（x +y ）2(2)5x （x +2）（x ﹣2）【分析】（1）直接运用公式法进行分解即可；（2）综合提公因式法和公式法进行分解即可．（1）原式()2x y =+（2）原式()()()254252x x x x x +-=-= 【点评】本题考查因式分解，掌握因式分解的常用方法，熟练运用基本公式是解题关键．12．因式分解(1)296x y xy y ++(2)416a -．【答案】(1)y （3x ＋1）2(2)（a 2＋4）（a ＋2）（a －2）【分析】（1）先提公因式y ，再按照完全平方公式分解因式即可；（2）直接利用平方差公式分解因式即可．（1）解：9x 2y ＋6xy ＋y＝y （9x 2＋6x ＋1）＝y （3x ＋1）2（2）a 4－16＝（a 2＋4）（a 2－4）＝（a 2＋4）（a ＋2）（a －2）【点评】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，掌握“利用完全平方公式与平方差公式分解因式”是解本题的关键．13．将下列各式分解因式：(1)2ab a -(2)22363ax axy ay -+-【答案】(1)(1)(1)a b b +-(2)﹣3a （x ﹣y ）2【分析】（1）原式先提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（1）原式＝21a b -（）＝(1)(1)a b b +-；（2）原式＝﹣3a （x 2﹣2xy +y 2）＝﹣3a （x ﹣y ）2；【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．因式分解：(1)2269x xy y ++；(2)34m n mn -．【答案】(1)()23x y +(2)()()22mn m m +-【分析】（1）直接根据完全平方公式因式分解即可求解；（2）先提公因式mn ，然后根据平方差公式因式分解即可求解．（1）解：原式＝()23x y +；（2）解：原式＝()24mn m - ()()22mn m m =+-．【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．15．因式分解：(1)3269x x x -+(2)416a - 【答案】(1)()23x x -(2)()()()2422a a a ++- 【分析】（1）先提出公因式，再利用完全平方公式分解，即可求解；（2）利用平方差公式分解，即可求解．（1）解∶ 3269x x x -+()269x x x =-+()23x x =-；（2）解∶ 416a -()()2244a a =+-()()()2422a a a =++-.【点评】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法是解题的关键．16．因式分解(1)2288x x -+(2)()()216a x y y x -+- 【答案】(1)()222x -(2)()()()44x y a a -+-【分析】（1）先提公因数，再利用完全平方公式分解因式；（2）先提公因式，再利用平方差公式分解．（1）解：原式=2（x 2-4x +4）=2（x -2）2；（2）解：原式=（x -y ）（a 2-16）=()()()44x y a a -+-【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的各种方法并灵活运用是解题关键．17．因式分解：(1)2416a -；(2)222ax axy ay -+．【答案】(1)()()422a a +-(2)()2a x y -【分析】（1）用平方差公式进行因式分解；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．（1）解：原式()()()244422a a a =-=+-；（2）解：原式()()2222a x xy y a x y =-+=-．【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键．18．因式分解：(1)（x +3y ）2－x －3y(2)222(4)16a a +-【答案】(1)（x +3y ）（x +3y －1）；(2)22(2)(2)a a -+【分析】（1）用提取公因式进行因式分解．（2）先用平方差公式进行因式分解，后用完全平方公式进行因式分．（1）（x +3y ）2－x －3y＝（x +3y ）2－（x ＋3y ）＝（x +3y ）（x +3y －1）（2）222(4)16a a +－=()()224444a a a a -+++=22(2)(2)a a -+【点评】此题考查了因式分解，解题关键是会用提取公式法和公式法进行因式分解．19．分解因式：(1)4x 2－100；(2)2mx 2－4mxy +2my 2．【答案】(1)()()455x x +-(2)()22m x y -【分析】（1）先提取公因式4，然后再运用平方差公式因式分解即可；（2）先提取公因式2m ，然后再运用完全平方公式因式分解即可．（1）解：4x 2－100=4（x 2－25）=()()455x x +-．（2）解：2mx 2－4mxy +2my 2=2m （x 2－2xy +y 2）=()22m x y -．【点评】本题主要考查了因式分解，掌握运用提取公因式法和公式法成为解答本题的关键．20．把下面各式分解因式：(1)22327x y -(2)()()()22a b a a b a a b +-+++ 【答案】(1)3(3)(3)x y x y +-；(2)2()(1)a b a +-【分析】（1）先提取公因式，再套用平方差公式；（2）先提取公因式，再套用完全平方公式．【解答】（1）解：原式=2239x y=3(3)(3)x y x y +-；（2）解：原式=212ab a a=2()(1)a b a +-．【点评】本题考查了整式的因式分解，即把一个多项式化成几个整式积的形式；掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．21．因式分解(1)2416x -(2)2288a b ab b -+【答案】(1)()()422x x +-(2)()222b a -【分析】（1）先提取公因式，再运用平方差公式进行分解即可；（2）先提取公因式，再运用完全平方差公式进行分解即可．（1）解：2416x -()244x =- ()()422x x =+-（2）2288a b ab b -+()2244b a a =-+()222b a =-．【点评】本题考查因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法与步骤．22．因式分解：(1)3269a a a ++(2)222(4)16x x +- 【答案】(1)2(3)a a +(2)22(2)(2)x x +-【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．（1）3269x x x ++ 2(69)x x x =++2(3)x x =+；（2）222(4)16x x +-22(44)(44)x x x x =+++-22(2)(2)x x =+-．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．23．分解因式：(1)22352020.a b ab b -+(2)2222(1)(9)x x +--【答案】(1)5b (a －2b )2(2)20(x -2)(x +2)【分析】(1)先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；(2)先利用平方差公式，再提公因式，最后再利用平方差公式继续分解即可解答．（1）解：原式 =5b (a 2－4ab +4b 2)=5b (a －2b )2（2）原式＝(x 2+1-x 2+9)(x 2+1+x 2-9)=10×(2x 2-8)=20(x 2-4)=20(x -2)(x +2)【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．24．因式分解：(1)228x -(2)3222x x y xy -+ 【答案】(1)2(2)(2)x x +-(2)2()x x y -【分析】（1）先提取公因数2，然后再运用平方差公式分解即可；（2）先提取公因式x ，然后再运用完全平方公式分解即可．（1）解：228x -=()224x - =()()222x x +-．（2）解：3222x x y xy -+=()222x x xy y -+=()2x x y -．【点评】本题主要考查了因式分解，综合运用提取公因式法和公式法是解答本题的关键．25．分解因式：(1)2116a -(2)32232xy x y x y -+【答案】(1)()()1414a a +-(2)()xy y x -2【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式xy ，再利用完全平方公式分解因式即可．（1）解：2116a -=（1-4a ）（1+4a ）；（2）解：32232xy x y x y -+=xy （y 2-2xy +x 2）=xy （y -x ）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．26．把下列各式分解因式：（1）2218a -（2）2484a a -+ 【答案】（1）2(3)(3)a a +-；（2）24(1)a -【分析】（1）先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式即可得；（2）先提取公因式4，再利用完全平方公式分解因式即可得．【解答】解：（1）原式22(9)a =-2(3)(3)a a =+-；（2）原式24(21)a a =-+24(1)a =-．【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题关键．27．因式分解：(1)29x -(2)2242x y xy y -+【答案】(1)()()33x x +-(2)()221y x -【分析】（1）用平方差公式分解因式即可；（2）先提公因式，然后再用公式法分解因式即可．（1）解：29x -223x =-()()33x x =+-；（2）2242x y xy y -+()2221y x x =-+()221y x =-.【点评】本题主要考查了因式分解，熟练掌握平方差公式()()22a b a b a b +-=-和完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+是解题的关键．28．因式分解(1)2416m -(2)2232x y xy y -+ 【答案】(1)4(2)(2)m m +-(2)2()y x y -【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．（1）()224(2)(241644)m m m m -=-=+-（2）()22322222()y x y xy y x xy y y x y -+--=+= 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．29．因式分解：(1)()24a b +-(2)22369ab a b b --【答案】(1)(2)(2)a b a b +++-(2)2(3)b a b --【分析】（1）将()a b +作为整体，利用平方差公式分解即可；（2）原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．（1）解：原式(2)(2)a b a b =+++-（2）解：原式22(69)b ab a b =--2(3)b a b =--【点评】本题主要考查了提公因式法与公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．30．因式分解：(1)224x x -；(2)212123a a -+．【答案】(1)()22x x -(2)()2321a -【分析】（1）运用提公因式法因式分解即可求解；（2）先运用提公因式法，再运用公式法分解因式即可．（1）解：()22422x x x x -=- （2）解：()()222121233441321a a a a a -+=-+=- 【点评】本题考查整式的因式分解，熟练运用提公因式法和公式法分解因式是解本题的关键．31．分解因式：(1)241x -；(2)3244m m m -+．【答案】(1)（2x ＋1）（2x ﹣1）(2)2(2)m m -【分析】（1）利用平方差公式，分解即可解答；（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．（1）解：原式＝(21)(21)x x +-（2）解：原式＝ 2(44)m m m -+=2(2)m m -【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．32．因式分解：(1)a 2－9；(2)2x 2－12x ＋18 【答案】（1）(3)(3)a a +-；（2）22(3)x -【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可；（2）综合利用提取公因式法和完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：（1）原式223a =-(3)(3)a a =+-；（2）原式22(69)x x =-+22(3)x =-．【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键．33．把下列各式因式分解(1)228a -(2)()()24129a b a b +-++ 【答案】(1)()()222a a +-(2)()2223a b +-【分析】（1）先提公因式2，再用平方差公式分解；（2）将2()a b +看成一个整体，利用完全平方公式直接分解．(1)解：228a - ()224a =-()()222a a =+-；(2)()()24129a b a b +-++ ()()22129a b a b ⎡⎤=+-++⎣⎦()223a b ⎡⎤=+-⎣⎦=()2223a b +-.【点评】本题考查因式分解，注意因式分解的步骤为先提公因式，再用公式法，灵活运用平方差公式和完全平方公式是解题的关键．34．把下列各式分解因式：(1)a 3﹣a(2)16x 2y 2﹣（x 2+4y 2）2 【答案】(1)()()11a a a +-(2)()()2222x y x y -+-【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式即可进行因式分解；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式即可求解．(1)原式=()21a a - =()()11a a a +-;(2)原式=()()222244xy x y -+ =()()22224444xy x y xy x y ++-- =()()2222x y x y -+-．【点评】本题考查了分解因式，解题关键是掌握提公因式法和公式法分解因式．35．分解因式：(1)2a （x ﹣y ）+b （y ﹣x ）；(2)（x 2 +1）2﹣4x 2．【答案】(1)(2a -b )(x -y )(2)(x +1)2(x -1)2【分析】（1）原式变形后，提取公因式即可得到结果；（2）原式利用平方差公式和完全平方公式分解即可．(1)2a （x ﹣y ）+b （y ﹣x ）=2a （x ﹣y ）-b （x ﹣y ）=(2a -b )(x -y )(2)（x 2 +1）2﹣4x 2=22(21)(21)x x x x ++-+=(x +1)2(x -1)2【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．36．因式分解：(1)2232x -(2)3223242x y x y xy ++ 【答案】(1)()()244x x +-(2)()22xy x y +【分析】（1）先提取公因式2，然后利用平方差公式继续进行因式分解；（2）先提取公因式2xy ，然后利用完全平方公式继续进行因式分解． (1)2232x - =22(16)x -=()()244x x +-；(2)3223242x y x y xy ++=222(2)xy x xy y ++=()22xy x y +【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．37．因式分解：(1)2a 2﹣2(2)2441x x ++【答案】(1)2（a +1）（a -1）(2)2(21)x +【分析】（1）先提公因式2，再利用平方差公式因式分解即可；（2）利用完全平方公式因式分解即可；(1)解：2a 2﹣2=2（a 2﹣1）=2（a +1）（a -1）．(2)解：2441x x ++=2(21)x +．【点评】本题主要考查利用提公因式法和公式法进行因式分解，掌握因式分解的方法是解本题的关键．38．分解因式：(1)2363ab ab a -+(2)22()8()a a b a b --- 【答案】(1)23(1)a b -(2)2()(2)(2)a b a a -+-【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式，分解即可；（2）先提公因式，再用平方差公式，分解即可．(1)解：3ab 2−6ab +3a=3a ·b 2-3a ·2b +3a ·1=3a （b 2-2b +1）=3a (b −1)2；(2)2a 2(a −b )−8(a −b )=2(a −b ) (a 2−4)=2(a −b ) (a 2−22)=2(a −b ) (a +2) (a −2)．【点评】此题考查了因式分解的提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．39．分解因式：(1)321025a a a ++(2)()()126t t ++-【答案】(1)2(5)a a +(2)(4)(1)t t +-【分析】（1）原式提取公因式后，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式整理后，再利用十字相乘法分解即可．(1)解：32221025(1025)(5)a a a a a a a a ++=++=+．(2)解：()()2212632634(4)(1)t t t t t t t t ++-=++-=+-=+-．【点评】本题考查了提取公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．40．分解因式：(1))()(2x y y x x -+-(2)223242x y xy y -+．【答案】(1)()()1(1)x y x x -+-(2)()22y x y -【分析】（1）先提取公因式x-y ，然后利用平方差公式进行分解；（2）先提取公因式2y ，然后利用完全平方公式分解因式即可．【解答】（1）解：原式=2()(1)x y x --=()()1(1)x y x x -+-（2）原式=()2222y x xy y -+ =()22y x y -【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．41．把下列各式因式分解：(1)228x -；(2)2(2)8(2)16a a +-++．【答案】(1)2(2)(2)x x +-；(2)2(2)a -．【分析】（1）根据提公因式法和平方差公式分解因式即可；（2）将(2)a +看成一个整体，利用完全平方公式分解因式即可．(1)解：228x -，＝22(4)x -，＝2(2)(2)x x +-；(2)解：2(2)8(2)16a a +-++，2(24)a =+-，2=(2)a - ，【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法和平方差公式，完全平方公式分解因式．42．把下列各式因式分解：(1)2288a a -+；(2)22()()a x y b x y ---．【答案】(1)()222a -(2)()()()x y a b a b -+-【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可．(1)解：2288a a -+()2244a a =-+()222a =-； (2)解：()()22a x y b x y ---()()22x y a b =--()()()x y a b a b =-+-．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．43．因式分解：(1)()()3a x y y x -+-(2)()222416x x +-【答案】(1)()()3x y a --(2)()()2222x x +-【分析】（1）根据提公因式法因式分解，提取()x y -，即可求解；（2）根据平方差公式和完全平方公式求解即可．(1)解：原式＝()()3a x y y x -+- =()()3x y a --(2)解：原式＝()()224444x x x x +++-()()2222x x =+-【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．44．因式分解：(1)11824n n x x +-；(2)4224-1881x x y y + 【答案】(1)()634n x x - (2)()()2233x y x y +-【分析】（1）提公因式分解因式即可；（2）先用完全平方公式因式分解，再用平方差公式分解因式即可．(1)解：18xn +1−24xn=6xn ·3x −6xn ·4= 6xn (3x −4)；(2)x 4-18x 2y 2+81y 4=(x 2−9y 2)2=(x +3y )2(x −3y )2．【点评】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握多项式的因式分解的方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、分组分解法、十字相乘法，并根据多项式的特征灵活选取不同的方法，还要注意一定要分解彻底．45．因式分解：(1)mx 2﹣my 2；(2)2x 2－8x +8．【答案】(1)m （x +y ）（x ﹣y ）(2)2（x ﹣2）2【分析】（1）先提取公因式，再由平方差公式分解因式即可；（2）先提取公因式，再由完全平方公式分解因式即可；(1)解：mx 2﹣my 2=m （x 2﹣y 2）=m （x +y ）（x ﹣y ）；(2)解：2x 2－8x +8=2（x 2－4x +4）=2（x ﹣2）2.【点评】本题考查了提取公因式法和公式法分解因式，掌握平方差公式()()22a b a b a b -=+-和完全平方公式()2222a b a b ab ±=+±是解题关键．46．分解因式：(1)2x 2﹣4xy +2y 2(2)m 2（m ﹣n ）+（n ﹣m ）【答案】(1)2（x ﹣y ）2(2)（m ﹣n ）（m +1）（m ﹣1）【分析】（1）先提取公因数2，再利用完全平方公式继续分解即可；（2）先提取公因式()m n -，再利用平方差公式继续分解即可．（1）解：原式=()2222x xy y -+ =()22x y -；（2）解：原式=()()21m n m -- =()()()11m n m m -+-．【点评】本题考查了提公因式法与公式法因式分解的综合应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．47．因式分解(1)24ab a -(2)4224816x x y y -+ 【答案】(1)()2(2a b b +-）(2)22(2)(2)x y x y +-【分析】（1）先提取公因式a ，再用平方差公式分解；（2）先用完全平方公式分解，再用平方差公式分解．(1)解：原式=a (b 2-4)= ()2(2a b b +-）；(2)解：原式=(x 2-4y 2)2= 22(2)(2)x y x y +-．【点评】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．48．因式分解(1)21025m m -＋(2)22222(4)16x y x y +- 【答案】(1)()25m -(2)22(2)(2)x y x y +-【分析】(1)利用完全平方公式即可分解；(2) 利用完全平方公式和平方差公式即可分解．（1）解：()2210255m m m =--＋（2）解：22222(4)16x y x y +-2222(4)()444x y x x xy y y =+++-22(2)(2)x y x y =+- 【点评】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式分解因式，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键．49．因式分解：(1)4x 2-64(2)2x 3y +4x 2y 2+2xy 3 【答案】(1)4(4)(4)x x -+；(2)22()xy x y +【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解，即可解答；（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答．(1)解：4x 2-64＝4（x 2-16）＝4（x +4）（x －4）(2)解：2x 3y +4x 2y 2+2xy 3＝222(2)xy x xy y ++＝22()xy x y +【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．50．因式分解： (1)2441a a ++；(2)2416x -．【答案】(1)2(21)a +(2)4(2)(2)x x +-【分析】（1）根据完全平方公式因式分解即可；（2）先提取公因数4，再根据平方差公式因式分解即可．(1)解：222441(2)221(21)a a a a a ++=+⨯+=+(2)解：2224164(2)4(2)(2)x x x x -=-=+-．【点评】本题考查了因式分解，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．。

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第一讲：因式分解 (一)多式的因式分解是代数式恒等形的基本形式之一，它被广泛地用于初等数学之中，是我解决多数学的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性，学些方法与技巧，不是掌握因式分解内容所必需的，而且于培养学生的解技能，展学生的思能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介了提取公因式法、运用公式法、分分解法和十字相乘法．本及下一在中学数学教材基上，因式分解的方法、技巧和用作一步的介．1．运用公式法在整式的乘、除中，我学若干个乘法公式，将其反向使用，即因式分解中常用的公式，例如：(1)a 22-b) ；-b =(a+b)(a(2)a2±2ab+b2=(a ±b) 2；(3)a 3322；+b =(a+b)(a-ab+b )(4)a 3322．-b =(a -b)(a+ab+b )下面再充几个常用的公式：(5)a 2222 +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；(6)a 3+b3 +c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc -ca) ；(7)a n n n-1n-2n-32n-2n-1) 其中 n -b =(a -b)(a+a b+a b +⋯+ab +b正整数；(8)a n n n-1n-2n-32n-2n-1) ，其中 n -b =(a+b)(a-a b+a b -⋯ +ab-b偶数；(9)a n+b n =(a+b)(a n-1 -a n-2 b+a n-3 b2-⋯ -ab n-2 +b n-1 ) ，其中 n 奇数．运用公式法分解因式，要根据多式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地公式．例 1 分解因式：(1)-2x5n-1 y n+4x3n-1 y n+2-2x n-1 y n+4；333(2)x -8y -z -6xyz ；(3)a 2+b2 +c2-2bc+2ca -2ab；7 5 2 2 57(4)a -a b +a b -b ．=-2x n-1 y n(x 2n-y2) 2=-2x n-1 y n(x n- y) 2(x n+y) 2．(2)333原式 =x +( -2y)+( -z)-3x( -2y)( -Z)=(x -2y-z)(x222．+4y +z +2xy+xz -2yz)(3)原式 =(a222-2ab+b)+( -2bc+2ca)+c22＝ (a -b) +2c(a -b)+c2=(a -b+c) ．本小可以稍加形，直接使用公式(5) ，解法如下：222原式 =a +( -b) +c +2( - b)c+2ca+2a( -b)2=(a -b+c)(4) 原式 =(a752257-a b )+(a b -b )5225(a22=a (a-b )+b-b )=(a22)(a55-b+b )=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2432234(a -b)(a-a b+a b -ab +b )例 2 分解因式： a3+b3+c3-3abc．本上就是用因式分解的方法明前面出的公式 (6) ．分析我已知道公式(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，将此公式形a3+b3=(a+b) 3-3ab(a+b) ．个式也是一个常用的公式，本就借助于它来推．33解原式 =(a+b) -3ab(a+b)+c -3abc= ［(a+b)3+c3］ -3ab(a+b+c)=(a+b+c) ［22] - 3ab(a+b+c)(a+b) -c(a+b)+c=(a+b+c)(a2+b2+c2- ab-bc- ca) ．明公式 (6) 是一个用极广的公式，用它可以推出很多有用的，例如：我将公式 (6) 形a3+b3 +c3-3abc然，当 a+b+c=0， a3+b3+c3=3abc ；当 a+b+c333333≥ 3abc，而＞ 0 ， a +b +c -3abc ≥0，即 a+b +c且，当且当a=b=c ，等号成立．如果令 x=a3≥ 0，y=b3≥ 0， z=c3≥ 0，有等号成立的充要条件是x=y=z ．也是一个常用的．例 3 分解因式： x15+x14 +x13 +⋯+x2+x+1．分析个多式的特点是：有 16 ，从最高次 x15开始， x 的次数次减至 0，由此想到用公式 a n-b n来分解．解因x16-1=(x -1)(x 15+x14+x 13+⋯ x2+x+1) ，所以明在本的分解程中，用到先乘以(x -1) ，再除以 (x -1) 的技巧，一技巧在等式形中很常用．2．拆、添法因式分解是多式乘法的逆运算．在多式乘法运算，整理、化常将几个同合并一，或将两个符号相反的同相互抵消零．在某些多式分解因式，需要恢复那些被合并或相互抵消的，即把多式中的某一拆成两或多，或者在多式中添上两个符合相反的，前者称拆，后者称添．拆、添的目的是使多式能用分分解法行因式分解．例 4 分解因式： x3 -9x+8．分析本解法很多，里只介运用拆、添法分解的几种解法，注意一下拆、添的目的与技巧．解法 1 将常数8 拆成 -1+9．3原式 =x - 9x-1+932解法 2 将一次 -9x 拆成 -x-8x．原式 =x3-x-8x+83-x)+( -8x+8)=(x=x(x+1)(x -1) -8(x -1)=(x -1)(x2+x-8) ．解法 3将三次 x3拆成 9x33．- 8x原式 =9x3-8x3-9x+8=(9x33+8)-9x)+( -8x=9x(x+1)(x -1) -8(x -1)(x 2+x+1)=(x -1)(x2+x-8) ．解法 4 添加两 -x2+x2．原式 =x3-9x+8=x322-x +x-9x+8=x2(x -1)+(x -8)(x -1)=(x -1)(x2+x-8) ．明由此可以看出，用拆、添的方法分解因式，要拆哪些，添什么并无一定之，主要的是要依靠目特点的察，灵活，因此拆、添法是因式分解方法中技巧性最的一种．例 5分解因式：(1)x963+x +x-3；(2)(m 2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x 2-1)2+(x -1) 4；(4)a 3b-ab3+a2+b2+1．解 (1) 将 -3 拆成 -1- 1-1．963原式 =x +x+x-1-1-1=(x9-1)+(x63-1)+(x-1)=(x3-1)(x63333+x +1)+(x-1)(x+1)+(x-1) =(x 3-1)(x6+2x3+3)=(x -1)(x2+x+1)(x6+2x3+3) ．(2) 将 4mn拆成 2mn+2mn．原式 =(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn2222=mn-m- n +1+2mn+2mn2222=(m n +2mn+1)-(m-2mn+n)=(mn+1)22-(m-n)原式 =(x+1)4+2(x2222+(x -1)4 -1)-(x -1)=［ (x+1)4+2(x+1)2(x -1) 2+(x -1) 4] -(x 2-1)2=［ (x+1)22222 +(x - 1) ]-(x-1)22222+1)(x 2+3)．=(2x +2)-(x-1)=(3x(4)添加两项 +ab- ab．原式 =a3b-ab3 +a2+b2+1+ab-ab=(a 3b- ab3)+(a 2-ab)+(ab+b 2+1)2=ab(a+b)(a - b)+a(a -b)+(ab+b +1)2=a(a -b) ［ b(a+b)+1]+(ab+b+1)2=[a(a -b)+1](ab+b+1)=(a 2-ab+1)(b 2+ab+1) ．说明 (4) 是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加 +ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例 6 分解因式： (x 2+x+1)(x 2+x+2) -12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x 看作一个整体，并用字母y 来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．解设 x2+x=y ，则原式 =(y+1)(y+2)-12=y 2+3y-10=(y -2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x -1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1 看作一个整体，比如今x2+x+1=u ，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例 7 分解因式：(x 2+3x+2)(4x 2+8x+3) -90．解原式 =(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-9022=(2x +5x+3)(2x+5x+2) -90．令 y=2x 2+5x+2，则原式 =y(y+1) -90=y2+y-90=(y+10)(y -9)=(2x 2+5x+12)(2x 2+5x-7)=(2x 2+5x+12)(2x+7)(x-1) ．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元 (y) 的基础．例 8 分解因式：(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2．解设 x2+4x+8=y，则原式 =y2+3xy+2x 2=(y+2x)(y+x)=(x 2+6x+8)(x 2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8) ．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例 9 分解因式： 6x4+7x3-36x2-7x+6．解法 1 原式 =6(x 4+1) ＋ 7x(x 2-1) -36x242222=6［ (x -2x+1)+2x ］ +7x(x -1) -36x=6[(x2-1)2+2x 2]+7x(x2-1) -36x 2=6(x 2-1)2+7x(x 2-1) -24x2=[2(x22-1) -3x］［ 3(x-1)+8x]=(2x 2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x -2)(3x -1)(x+3) ．说明本解法实际上是将x2-1 看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法 2=x2(6t 2+7t -24)=x 2(2t - 3)(3t+8)=x2[2(x -1/x) -3][3(x-1/x)+8]22=(2x - 3x-2)(3x +8x-3)=(2x+1)(x -2)(3x -1)(x+3)．例 10 分解因式： (x 2+xy+y 2) -4xy(x 2+y2) ．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令 u=x+y，v=xy ，用换元法分解因式．1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax 2+bxy+cy 2 +dx+ey+f) ，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式22．我们将上2x -7xy-22y-5x+35y-3式按 x 降幂排列，并把y 当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x 的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y 的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即： -22y 2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x 的二次三项式分解所以，原式 =［ x+(2y-3) ］［ 2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如解原式 =[(x+y)222．令 x+y=u ，-xy]-4xy[(x+y)-2xy]xy=v ，则原式 =(u222-v) -4v(u -2v)422=u -6u v+9v=(u 2-3v) 2=(x2+2xy+y22- 3xy)=(x 2-xy+y2) 2．第二讲：因式分解 (二)它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；2(x-3)(2x+1)=2x-5x-3 ；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 进行因式分解的步骤是：(1) 用十字相乘法分解ax2+bxy+cy 2，得到一个十字相乘图 ( 有两列 )；(2)把常数项 f 分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 dx．例 1 分解因式：(1)x 2-3xy-10y 2+x+9y-2 ；22(2)x -y +5x+3y+4 ；(3)xy+y 2+x-y-2 ；(4)6x 2- 7xy-3y 2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式 =(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式 =(y+1)(x+y-2)．(4)原式 =(x+y+1)(x-y+4)．(3) 原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0 来分解．原式 =(2x-3y+z)(3x+y-2z)．明 (4) 中有三个字母，解法仍与前面的似．2．求根法我把形如a n x n+a n-1x n-1 +⋯ +a1x+a0(n 非整数 ) 的代数式称关于x 的一元多式，并用 f(x) ， g(x) ，⋯等号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，⋯，当 x=a ，多式 f(x) 的用 f(a) 表示．如上面的多式f(x)f(1)=1 2-3 × 1+2=0；f(-2)=(-2)2-3 × (-2)+2=12 ．若 f(a)=0，称 a 多式 f(x)的一个根．定理 1( 因式定理 ) 若 a 是一元多式f(x) 的根，即 f(a)=0成立，多式 f(x) 有一个因式 x-a ．根据因式定理，找出一元多式f(x)的一次因式的关是求多式f(x) 的根．于任意多式 f(x) ，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多式f(x) 的系数都是整数，即整系数多式，常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理 2的根，必有p 是 a0的数， q 是 a n的数．特地，当a0 =1 ，整系数多式f(x)的整数根均a n的数．我根据上述定理，用求多式的根来确定多式的一次因式，从而多式行因式分解．例 2 分解因式： x3 -4x 2+6x-4 ．分析是一个整系数一元多式，原式若有整数根，必是-4的数，逐个-4的数：± 1，± 2，± 4，只有f(2)=2 3-4 × 22+6× 2-4=0 ，即 x=2 是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2 ．解法 1 用分分解法，使每都有因式(x-2)．322原式 =(x -2x )-(2x -4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法 2 用多式除法，将原式除以(x-2) ，所以原式 =(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4 的约数，反之不成立，即-4 的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4 的约数逐个代入多项式进行验证．例 3 分解因式： 9x4-3x 3+7x2-3x-2 ．分析因为9的约数有± 1，± 3，± 9；-2的约数有± 1，±为：2所以，原式有因式9x -3x-2 ．解 9x 4-3x 3+7x2-3x-2 =9x4-3x 3-2x 2+9x 2-3x-2=x2(9x 3-3x-2)+9x 2-3x-2=(9x 2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为29x -3x-2 ，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式 f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a) ，那么 f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而 g(x) 是比 f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程( 或方程组 ) ，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例 4 分解因式： x2 +3xy+2y 2+4x+5y+3 ．分析由于(x 2+3xy+2y 2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m 和 x＋y＋ n 的形式，应用待定系数法即可求出m和 n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y 2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y 2+(m+n)x+(m+2n)y+mn ，比较两边对应项的系数，则有解之得 m=3， n=1．所以原式 =(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例 5 分解因式： x4 -2x 3-27x 2-44x+7 ．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是± 1，± 7(7 的约数 ) ，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，22原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x +ax+b)(x +cx+d) 的形式．22原式 =(x +ax+b)(x +cx+d)=x4+(a+c)x 3+(b+d+ac)x 2+(ad+bc)x+bd ，所以有由 bd=7，先考虑b=1， d=7 有所以原式 =(x 2-7x+1)(x 2 +5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1 ， d=-7 等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7 代入方程组后，无法确定a， c 的值，就必须将bd=7 的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．。