二叉树模型
二叉树模型介绍
5）偏离均衡价格时的套利： 如果期权的价值超过了$0.633，构造该 组合的成本就有可能低于$4.367，并将 获得超过无风险利率的额外收益； 如果期权的价值低于$0.633，那么卖空 该证券组合将获得低于无风险利率的资 金。
2、一般结论
1）条件： 考虑一个无红利支付的股票，股 票价格为S。 基于该股票的某个衍生证券的当 前价格为f。 假设当前时间为零时刻，衍生证 券给出了在T时刻的盈亏状况 。
看跌期权的价值是$4.1923。 利用每个单步二步二叉树向回倒推算， 也可以得到这个结果。
四、美式期权
1、方法： 从树图的最后末端向开始的起点倒推计 算。 在每个节点检验提前执行是否最佳。 在最后节点的期权价值与欧式期权在最 后节点的期权价值相同。
在较早的一些节点，期杈的价值是取如 下两者之中较大者： 1）．由公式f=e-rT[pfu+(1-p)fd] 求出的值。 2）．提前执行所得的收益。
该组合的现值 ( S u f u )e S f
rT
该组合的成本
则有: S f (Su f u )e
rT
rT
得到: f e [ pfu (1 p) f d ]
d 其中 : p ud e
rT
3、股票预期收益的无关性
衍生证券定价公式没有用到股票上升和 下降的概率。 人们感觉：假设如果股票价格上升的概 率增加，基于该股票的看涨期权价值也 增加，看跌期权的价值则减少。
3、风险中性估值(risk-neutralvaluation)： 把金融资产放在风险中性的世界去估值 即为期权和其它衍生证券估值时，世界 是风险中性的。 在风险中性世界中得到的价格，在现实 世界中也是正确的。
金融工程学(期货)第八单元：二叉树模型
股票价格=$22 期权价格=$1 股票价格 =$20 现时刻 T时刻 股票价格=$18 期权价格=$0
无风险利率为12%(年率)，期权期限是三个月
一个无风险证券组合为 多头:0.25股股票 空头:一个期权 如果股票价格上升到$22，或股票价格下降到 $18，该组合的价值都为$4.5 无套利机会存在，则无风险证券组合的收益率 也是无风险利率。 该组合的现值为:4.5e-0.12*0.25=4.367 即:20*0.25-f=4.367，f是期权的价格 f=0.633
复制组合（Synthetic Portfolio）： 持有N股股票的多头，并出售一个看涨期权， 在一个时期后，将得到确定的收益。也可以通 过投资于无风险债券而获得确定的收益。 N股股票的多头+1个看涨期权的空头=无风险借款 稍加变形我们得到：股票+债券可以复制期权Βιβλιοθήκη ② 一般结论 S 现时刻 f
Su fu
f=e-2rΔt[p2fuu+2p(1-p)fud+(1-p)2fdd] 结论:衍生工具的价格等于它在风险中性世界的 预期收益按无风险利率贴现值.
多步二叉树
• 股票价格树图
SU3 SU2 SU2 SU SU S SD S
SU5
SU4
SU3
SU
S
SD SD2 SD3
SD2
SD
SD2
SD4 SD5
• • •
节点B,提前执行期权的损益为-$8,按公式计算 值为$1.4147.选择$1.4147. 节点C,提前执行期权的损益为$12.0,按公式计 算值为$9.4636.选择$12.0. 节点A,提前执行期权的损益为$2.0,按公式计算 值为$5.0894.选择$5.0894. 72
第五讲期权定价理论I二叉树模型
记每步时长为Δt，那么单步二叉树模型下的期权价格 为：
f=e-rΔt[pfu +(1-p)fd] 其中，p=(erΔt-d)/(u-d)。由此可以计算出期初和第一步
到期时各个节点的期权价值：
fu=e-rΔt[pfuu+(1-p)fud] fd=e-rΔt[pfud+(1-p)fdd]
f=e-rΔt[pfu+(1-p)fd] 把fu和fd代入f可得：
f=e-2rΔt[ p2 fuu+2p(1-p)fud+(1-p)2 fdd] 因此，期权的价格为期权预期收益以无风险利率进行
贴现的现值。 想象一下，三步二叉树模型下期权的定价问题。
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（四）看跌期权的情形
例5：考虑如下图11.7两年期的欧式看跌股票期 权，执行价格为52元，股票的当期价格为50元， 假设时期分为两步，每步期长为1年，且每步 股票价格要么上涨20%，要么下跌20%，无风 险利率为5%。
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（七）Δ
回忆：Δ是什么？ Δ=(fu–fd)/(S0u-S0d) 什么意思？ Δ为期权价格变化与标的股票价格的变化之比； Δ为我们针对每个期权空头而持有的股票数量，
目的是构建一个无风险资产组合。 Δ对冲（delta hedging）通常是指构建一个无风险
对冲。看涨期权的Δ为正，看跌期权的Δ为负。 计算图11.1和11.7中的Δ。
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4. 期货期权的定价 在风险中性世界里，期货的价格增长率为0。假设期货
的为期F0，初因价此格，为F0，时间长度为Δt的期货的期望价格也 E(FT)=pF0u+(1-p)F0d=F0 p=(1-d)/(u-d) 例10：一个期货的当前价格为31，波动率为30%，无风
二叉树模型u和d公式
二叉树模型u和d公式
二叉树模型是计算机科学中常用的数据结构之一，它由节点和边组成，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
在二叉树模型中，我们可以使用一些公式来描述和操作这些节点，其中包括u和d公式。
第一个公式是u公式，它用来计算二叉树中节点的数量。
对于一个二叉树来说，u公式可以表示为：
u = n + 1
其中，u表示节点的数量，n表示叶子节点的数量。
这个公式的原理是，一个二叉树中的节点数量等于叶子节点数量加一。
这是因为在一个二叉树中，每个节点都有两个子节点，除了叶子节点，它们没有子节点。
所以，节点数量等于叶子节点数量加上根节点。
第二个公式是d公式，它用来计算二叉树中的边的数量。
对于一个二叉树来说，d公式可以表示为：
d = n
其中，d表示边的数量，n表示叶子节点的数量。
这个公式的原理
是，一个二叉树中的边的数量等于叶子节点的数量。
这是因为每个节点都有一条边与其父节点相连，除了根节点没有父节点外，其余节点都有一条边与其父节点相连。
所以，边的数量等于叶子节点的数量。
通过u和d公式，我们可以方便地计算二叉树中节点和边的数量。
这对于分析和设计二叉树算法非常有用。
另外，还可以通过这些公式来验证二叉树的正确性，例如检查节点和边的数量是否满足这些公式。
除了u和d公式外，还有其他一些常用的公式可以用来描述和操作二叉树模型，例如高度公式、深度公式等。
这些公式可以帮助我们更好地理解和使用二叉树这一重要的数据结构。
《二叉树模型》课件
二叉树的分类
01 满二叉树
如果一个二叉树的每个节点都有两个子节点，则 该二叉树称为满二叉树。
02 完全二叉树
如果一个二叉树的最后一层是满的，且除了最后 一层外，其他各层的节点数达到最大，则该二叉 树称为完全二叉树。
03 平衡二叉树
平衡二叉树是一种特殊的完全二叉树，它的左右 子树的高度差不超过1。
二叉树的应用场景
详细描述
在n叉树模型中，每个节点可以拥有任意数 量的子节点，而不仅仅是两个。这种模型在 处理具有多个分支的数据结构时非常有用， 例如决策树和知识图谱。n叉树模型在搜索 、排序和数据压缩等领域有广泛应用。
B树模型
要点一
总结词
B树模型是一种自平衡的多路搜索树，用于数据库和文件系 统的索引。
要点二
详细描述
详细描述
二叉树的插入操作包括节点的添加和位置调整两个步骤。在添加节点时，需要找到合适 的位置将其插入到二叉树中，并保持二叉树的平衡性。位置调整是为了维护二叉树的性
质，确保每个节点的左子树和右子树的高度差不超过1。
插入操作的时间复杂度
总结词
插入操作的时间复杂度取决于具体的实现方式和数据结构。
详细描述
在平衡二叉树中，插入操作的时间复杂度为O(log n)，其中n为二叉树中节点的数量。而在一般的二 叉树中，插入操作的时间复杂度可能达到O(n)，因为可能需要遍历整棵树才能找到合适的位置插入新 节点。因此，选择合适的二叉树数据结构和算法对于提高插入操作的效率至关重要。
05
二叉树算法的应用
堆排序算法
平衡二叉树的性质：平衡二叉树具有以下性质：1）它的左右子树的高度差不超过1；2）它的左 子树和右子树都是平衡二叉树；3）它的左子树和右子树的节点数相差不超过1。
二叉树定价模型知识讲解
二叉树定价模型期权定价的二叉树模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomial tree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。
本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。
8.1一步二叉树模型我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。
例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。
在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。
由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。
这是最简单的二叉树模型。
一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。
经过一个时间步（至到期日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。
我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。
为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。
构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。
如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。
根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有由此可得(8.1)上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。
在这种情况下，该组合是无风险的。
以表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为 ,又注意到该组合的当前价值是，故有即将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为(8.2)(8.3)需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足： .现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。
金融工程二叉树模型概念
金融工程二叉树模型概念一、引言金融工程是指将数学、统计学、计算机科学等方面的知识应用于金融领域，以解决金融市场中的问题。
而二叉树模型则是其中的一个重要工具，在金融工程领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍金融工程中二叉树模型的概念及其应用。
二、二叉树模型概述1. 什么是二叉树？二叉树是一种数据结构，由节点和连接它们的边组成。
每个节点最多有两个子节点，一个称为左子节点，一个称为右子节点。
如果一个节点没有子节点，则称该节点为叶子节点。
2. 什么是二叉树模型？在金融工程中，我们可以利用二叉树来建立模型，以便对金融市场进行分析和预测。
这种利用二叉树建立模型的方法就被称为“二叉树模型”。
三、基本原理1. 二叉树模型的构建在构建二叉树模型时，我们需要确定以下几个参数：（1）时间步数：即我们需要将时间划分成多少个步骤；（2）上涨幅度：即在每个时间步骤中，股票价格上涨的幅度；（3）下跌幅度：即在每个时间步骤中，股票价格下跌的幅度；（4）无风险利率：即在每个时间步骤中，我们所假设的无风险利率。
2. 二叉树模型的计算在确定了以上参数后，我们可以利用二叉树模型来计算股票价格在未来某个时刻的可能取值。
具体方法如下：（1）将当前时刻的股票价格作为二叉树模型的根节点；（2）对于每个节点，分别计算其左子节点和右子节点所对应的股票价格；（3）不断重复上述步骤，直到达到所设定的时间步数为止。
四、应用案例1. 期权定价期权是一种金融衍生品，其价值取决于标的资产价格变化。
利用二叉树模型可以对期权进行定价，并且可以通过调整各种参数来预测未来期权价格。
2. 风险管理利用二叉树模型可以对投资组合进行风险管理。
我们可以通过建立多个二叉树模型来分析不同情况下投资组合可能出现的收益和风险，并且可以根据分析结果进行调整，以达到最优的风险收益比。
3. 股票价格预测利用二叉树模型可以对股票价格进行预测。
我们可以通过建立多个二叉树模型来分析不同情况下股票价格可能出现的变化，并且可以根据分析结果进行调整，以达到最优的投资策略。
CRR二叉树模型及例题
CRR 二叉树模型CRR 二叉树模型(Cox-Ross-Rubinstein 模型)，简称CRR 模型。
第1步：确定p,u,d 参数。
tt t r e d e u d u d e p ∆-∆∆==--=σσ其中, t ∆为把时间分成的许多小的时间段; 上升的比率为u,它的概率为p; 下降的比率为d,它的概率为1-p; r 为利率;σ为标准差;第2步：二叉树结构。
当时间为0时，证券价格为S ，时间为t ∆时，证券价格要么上涨到Su ，要么下跌到Sd;时间为2t ∆时，证券价格就有3种可能，分别为22,,Sd Sud Su ，以此类推，在时间i t ∆，证券价格有i+1种可能，用公式表示为j i j d Su -其中，j=0,1,2,3,…,i=1,2,3,…。
第3步：根据二叉树进行倒推定价。
在二叉树模型中，期权定价从树形图末端开始，采用倒推定价法进行。
由于在T 时刻欧式看跌期权现金流为max(K-S T ,0)，求解T-t ∆时刻每一节点上的期权价格时都可以通过将T 时刻齐全现金流预期值以无风险收益率进行贴现求出。
假设将欧式看跌期权的存续期分成N 个长度为t ∆的小区间，设)0,0(i j N i f j i ≤≤≤≤-表示在时刻i t ∆第j 个节点处的欧式看跌期权价格，也称j i f -为节点（i,j ）的期权价值，同时j i j d Su -表示节点（i,j ）处的标的价格，欧式看跌期权到期价值是max(K-S T ,0),所以有)0,max(,j N j j N d Su K f --=其中，j=0,1,2,3,…,N 。
当时间从i t ∆变到（i+1）t ∆时，从节点（i,j ）移动到（i+1,j+1）的概率为p,移动到（i+1,j ）的概率为（1-p ）,则在风险中性情况下i j N i f p pf e f j i j i t r j i ≤≤-≤≤-+=+++∆-0,10],)1([,11,1,当我们选择的时间间隔足够小时，就可以求出欧式看跌期权的精确值。
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两步二叉树图
问题
假设一种股票开始的价格为$20，在下图 所示的两步二叉树图的每个单步二叉树图中， 股票价格可以上升10％或者下降10％。
上面的定价公式并没有用到股票上升和下 降的概率。只是根据标的股票的价格估计期权 的价值。
风险中性估值
式（8.2）的变量p可以解释为股票价格上升的 概率，变量（1-p）就是股票价格下降的概率。这
样，pfu (1 p) fd 就是衍生证券的预期收益。
关于衍生证券的定价公式（8.2）可以表述为： 衍生证券的价值是其未来预期值按无风险利率贴 现的值。 同理，可以推导出在T时刻预期的股票价格为：
有效期末该组合的价
值为:SdΔ-fd 当两个价值相等时
单步二叉树图中的股票价格 SuΔ-fu =SdΔ- பைடு நூலகம்d
和衍生证券价格
fu fd （8.1）
Su Sd
该组合是无风险的，收益必得无风险利率。在T
时刻的两个节点之间运动时，Δ是衍生证券价格
变化与股票价格变化之比。
用r表示无风险利率， 该组合的现值应为：
p2，2p(1-p)和(1-p)2是达到最后上、中、 下三个节点的概率。衍生证券的价格等于它在 风险中性世界的预期收益按无风险利率贴现的 值。
如果在树图中加入更多的步(step)以推广应 用二叉树图方法，风险中性估值的原理一直是 成立的。
看跌期权
考虑一个两年期欧式看跌期权，股票的执 行价格为$52，当前价格为$50。
Delta
Delta的含义
股票期权的Delta是股票期权价格的变化与 标的股票价格的变化之比，是为了构造一个无风 险对冲，对每一个卖空的期权头寸我们应该持有 的股票数目。
E(ST)=SerT （8.4） 这表明，平均来说，股票价格以无风险利率增长。 因此，设定上升运动的概率等于p就等价于假设 股票收益等于无风险利率。
在风险中性世界中，投资者对风险不要求补偿， 所有证券的预期收益都是无风险利率；未来现 金流可以用其期望值按无风险利率贴现。当为 期权和其它衍生证券估值时，完全可以假设， 世界是风险中性的。这就是所谓 风险中性（risk-neutral valuation）原理。
1.由式 f erT [ pfu 求(1出 的p)值fd。]
2.提前执行所得的收益。
考虑一个两年期美式看跌期权，股票的执 行价格为$52，当前价格为$50。假设价格为 两步二叉树，每个步长为一年，在每个单步二 叉树中股票价格或者按比率上升20％，或者 按比率下降20％。无风险利率为5％。
利用两步二叉树图方法为美式看跌期权估值
例题
假设一种股票当前价格为$20，三个月后 的价格将可能为$22或$18，假设股票三个月 内不付红利，无风险年利率为12%。有效期 为3个月的欧式看涨期权执行价格为$21，如 何对该期权进行估值？
思路
股票价格$20
股票价格$22 期权价格$1
股票价格$18 期权价格$0
二叉树图构造的一般结论
根据期权的特性，可以用二叉树图来描述股 票和期权的价格运动。如果能够用一种股票和基 于该股票的期权构造一个组合，使得在有效期末 该组合的价值是确定的，那么，根据该组合的收 益率等于无风险收益率（无套利假设），可以得 到构造该组合所需成本（现值），而组合中股票 的价格是已知的，于是可以得出期权的价格。
第八章 二叉树模型
教学目的与要求
通过本章的学习，要求能够掌握运 用单步和两步二叉树图方法对欧式 期权和美式期权进行估值
理解并掌握在衍生证券估值中的风 险中性原理
教学重点及难点
用二叉树图方法对期权进行估值的 基本思路
风险中性估值原理 Delta的含义和计算
单步二叉树图
二叉树图的构造思路
(Su
fu )erT
而构造该组合的成本是： S f
因此 S f (Su fu )erT
将式（9.1）代入上式，得到
f erT [ pfu (1 p) fd ] （8.2）
其中
p erT d ud
（8.3）
运用单步二叉树图方法，式（8.2）和（8.3）
就可为衍生证券估值。
股票预期收益的无关性
考虑一个无红利支付的股票，股票价格为 S。基于该股票的某个衍生证券的当前价格为 f。假设当前时间为零时刻，衍生证券给出了 在T时刻的盈亏状况 。
一个证券组合由Δ股的股票多头和一个衍生 证券空头构成。利用单步二叉树图，根据无 套利假设和期权的特性，可以推导出:
如果股票价格上升，
有效期末该组合的价
值为:SuΔ-fu 如果股票价格下降，
假设在每个单步二叉树的步长是3个月，无 风险利率是年率12％。考虑一个执行价格为 $21的期权。
思路
两步二叉树图中的股票价格和期权价格
一般结论
假设初始股票价格为S。在每个单步二叉树 中，股票价格或者上升到初始值的u倍，或下 降到初始值的d倍。假设无风险利率是r。每个 单步二又树的时间长度是Δt年。
假设价格为两步二叉树，每个步长为一年。 在每个单步二叉树中股票价格或者按比率上 升20％，或者按比率下降20％。无风险利率 为5％。
构造如下图所示的两步二叉树图。风险中
性概率P的值为
e0.051 0.8
p
0.6282
1.2 0.8
利用两步二叉树图方法为欧式看跌期权估值
美式期权估值
二叉树模型可以用于为美式期权估值。方法 是：从树图的最后末端向开始的起点倒推计算。 在每个节点检验提前执行是否最佳。在最后节点 的期权价值与欧式期权在最后节点的期权价值相 同。在较早的一些节点，期杈的价值是取如下两 者之中较大者：
重复式（8.2）的计算，给出：
fu ert[ pfuu (1 p) fud ] （8.5）
fd ert[ pfud (1 p) fdd ] （8.6）
f ert[ pfu (1 p) fd ] （8.7）
两步二叉树图中的股票价格和期权价格
根据前面的定价公式，可以得到：
f e2rt[ p2 fuu 2 p(1 p) fud (1 p)2 fdd ]