二叉树模型
二叉树模型介绍
5）偏离均衡价格时的套利： 如果期权的价值超过了$0.633，构造该 组合的成本就有可能低于$4.367，并将 获得超过无风险利率的额外收益； 如果期权的价值低于$0.633，那么卖空 该证券组合将获得低于无风险利率的资 金。
2、一般结论
1）条件： 考虑一个无红利支付的股票，股 票价格为S。 基于该股票的某个衍生证券的当 前价格为f。 假设当前时间为零时刻，衍生证 券给出了在T时刻的盈亏状况 。
看跌期权的价值是$4.1923。 利用每个单步二步二叉树向回倒推算， 也可以得到这个结果。
四、美式期权
1、方法： 从树图的最后末端向开始的起点倒推计 算。 在每个节点检验提前执行是否最佳。 在最后节点的期权价值与欧式期权在最 后节点的期权价值相同。
在较早的一些节点，期杈的价值是取如 下两者之中较大者： 1）．由公式f=e-rT[pfu+(1-p)fd] 求出的值。 2）．提前执行所得的收益。
该组合的现值 ( S u f u )e S f
rT
该组合的成本
则有: S f (Su f u )e
rT
rT
得到: f e [ pfu (1 p) f d ]
d 其中 : p ud e
rT
3、股票预期收益的无关性
衍生证券定价公式没有用到股票上升和 下降的概率。 人们感觉：假设如果股票价格上升的概 率增加，基于该股票的看涨期权价值也 增加，看跌期权的价值则减少。
3、风险中性估值(risk-neutralvaluation)： 把金融资产放在风险中性的世界去估值 即为期权和其它衍生证券估值时，世界 是风险中性的。 在风险中性世界中得到的价格，在现实 世界中也是正确的。
金融工程学(期货)第八单元：二叉树模型
股票价格=$22 期权价格=$1 股票价格 =$20 现时刻 T时刻 股票价格=$18 期权价格=$0
无风险利率为12%(年率)，期权期限是三个月
一个无风险证券组合为 多头:0.25股股票 空头:一个期权 如果股票价格上升到$22，或股票价格下降到 $18，该组合的价值都为$4.5 无套利机会存在，则无风险证券组合的收益率 也是无风险利率。 该组合的现值为:4.5e-0.12*0.25=4.367 即:20*0.25-f=4.367，f是期权的价格 f=0.633
复制组合（Synthetic Portfolio）： 持有N股股票的多头，并出售一个看涨期权， 在一个时期后，将得到确定的收益。也可以通 过投资于无风险债券而获得确定的收益。 N股股票的多头+1个看涨期权的空头=无风险借款 稍加变形我们得到：股票+债券可以复制期权Βιβλιοθήκη ② 一般结论 S 现时刻 f
Su fu
f=e-2rΔt[p2fuu+2p(1-p)fud+(1-p)2fdd] 结论:衍生工具的价格等于它在风险中性世界的 预期收益按无风险利率贴现值.
多步二叉树
• 股票价格树图
SU3 SU2 SU2 SU SU S SD S
SU5
SU4
SU3
SU
S
SD SD2 SD3
SD2
SD
SD2
SD4 SD5
• • •
节点B,提前执行期权的损益为-$8,按公式计算 值为$1.4147.选择$1.4147. 节点C,提前执行期权的损益为$12.0,按公式计 算值为$9.4636.选择$12.0. 节点A,提前执行期权的损益为$2.0,按公式计算 值为$5.0894.选择$5.0894. 72
二叉树模型介绍
②期权定价: 在三个月末尾:看涨期权价值为$1的概率 为0.6523，价值为零的概率为0.3477。 看涨期权的期望值为： 0.6523×1+0.3477×0=$0.6523 期权现在的价值： f=0.6523e-0.12×0.25 =0.633
三、两步二叉树图
1、两步二叉树图的例子 1）条件： 开始的股票价格为$20，并在两步二叉树 图的每个单步二叉树图中，股票价格可 以上升10％或者下降10％。 我们假设在每个单步二叉树的步长是三 个月，无风险利率是年率12％。 期权的执行价格为$21
该组合的现值 ( S u f u )e S f
rT
该组合的成本
则有: S f (Su f u )e
rT
rT
得到: f e [ pfu (1 p) f d ]
d 其中 : p ud e
rT
3、股票预期收益的无关性
衍生证券定价公式没有用到股票上升和 下降的概率。 人们感觉：假设如果股票价格上升的概 率增加，基于该股票的看涨期权价值也 增加，看跌期权的价值则减少。
如果选取某个Δ值，以使得该组合的终值 对两个股票价格都是相等的，则该组合 就是无风险的。
22Δ—1=18Δ
Δ=0.25
一个无风险的组合是： 多头：0.25股股票 空头：一个期权
4）定价： 如果股票价格上升到$22，该组合的价值 为：22×0.25＝4.5 如果股票价格下跌到$18，该组合的价值 为：18×0.25＝4.5 无论股票价格是上升还是下降，在期权 有效期的末尾，该组合的价值总是$4.5。
第五讲期权定价理论I二叉树模型
记每步时长为Δt，那么单步二叉树模型下的期权价格 为：
f=e-rΔt[pfu +(1-p)fd] 其中，p=(erΔt-d)/(u-d)。由此可以计算出期初和第一步
到期时各个节点的期权价值：
fu=e-rΔt[pfuu+(1-p)fud] fd=e-rΔt[pfud+(1-p)fdd]
f=e-rΔt[pfu+(1-p)fd] 把fu和fd代入f可得：
f=e-2rΔt[ p2 fuu+2p(1-p)fud+(1-p)2 fdd] 因此，期权的价格为期权预期收益以无风险利率进行
贴现的现值。 想象一下，三步二叉树模型下期权的定价问题。
16
（四）看跌期权的情形
例5：考虑如下图11.7两年期的欧式看跌股票期 权，执行价格为52元，股票的当期价格为50元， 假设时期分为两步，每步期长为1年，且每步 股票价格要么上涨20%，要么下跌20%，无风 险利率为5%。
23
（七）Δ
回忆：Δ是什么？ Δ=(fu–fd)/(S0u-S0d) 什么意思？ Δ为期权价格变化与标的股票价格的变化之比； Δ为我们针对每个期权空头而持有的股票数量，
目的是构建一个无风险资产组合。 Δ对冲（delta hedging）通常是指构建一个无风险
对冲。看涨期权的Δ为正，看跌期权的Δ为负。 计算图11.1和11.7中的Δ。
26
4. 期货期权的定价 在风险中性世界里，期货的价格增长率为0。假设期货
的为期F0，初因价此格，为F0，时间长度为Δt的期货的期望价格也 E(FT)=pF0u+(1-p)F0d=F0 p=(1-d)/(u-d) 例10：一个期货的当前价格为31，波动率为30%，无风
二叉树模型u和d公式
二叉树模型u和d公式
二叉树模型是计算机科学中常用的数据结构之一，它由节点和边组成，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
在二叉树模型中，我们可以使用一些公式来描述和操作这些节点，其中包括u和d公式。
第一个公式是u公式，它用来计算二叉树中节点的数量。
对于一个二叉树来说，u公式可以表示为：
u = n + 1
其中，u表示节点的数量，n表示叶子节点的数量。
这个公式的原理是，一个二叉树中的节点数量等于叶子节点数量加一。
这是因为在一个二叉树中，每个节点都有两个子节点，除了叶子节点，它们没有子节点。
所以，节点数量等于叶子节点数量加上根节点。
第二个公式是d公式，它用来计算二叉树中的边的数量。
对于一个二叉树来说，d公式可以表示为：
d = n
其中，d表示边的数量，n表示叶子节点的数量。
这个公式的原理
是，一个二叉树中的边的数量等于叶子节点的数量。
这是因为每个节点都有一条边与其父节点相连，除了根节点没有父节点外，其余节点都有一条边与其父节点相连。
所以，边的数量等于叶子节点的数量。
通过u和d公式，我们可以方便地计算二叉树中节点和边的数量。
这对于分析和设计二叉树算法非常有用。
另外，还可以通过这些公式来验证二叉树的正确性，例如检查节点和边的数量是否满足这些公式。
除了u和d公式外，还有其他一些常用的公式可以用来描述和操作二叉树模型，例如高度公式、深度公式等。
这些公式可以帮助我们更好地理解和使用二叉树这一重要的数据结构。
《二叉树模型》课件
二叉树的分类
01 满二叉树
如果一个二叉树的每个节点都有两个子节点，则 该二叉树称为满二叉树。
02 完全二叉树
如果一个二叉树的最后一层是满的，且除了最后 一层外，其他各层的节点数达到最大，则该二叉 树称为完全二叉树。
03 平衡二叉树
平衡二叉树是一种特殊的完全二叉树，它的左右 子树的高度差不超过1。
二叉树的应用场景
详细描述
在n叉树模型中，每个节点可以拥有任意数 量的子节点，而不仅仅是两个。这种模型在 处理具有多个分支的数据结构时非常有用， 例如决策树和知识图谱。n叉树模型在搜索 、排序和数据压缩等领域有广泛应用。
B树模型
要点一
总结词
B树模型是一种自平衡的多路搜索树，用于数据库和文件系 统的索引。
要点二
详细描述
详细描述
二叉树的插入操作包括节点的添加和位置调整两个步骤。在添加节点时，需要找到合适 的位置将其插入到二叉树中，并保持二叉树的平衡性。位置调整是为了维护二叉树的性
质，确保每个节点的左子树和右子树的高度差不超过1。
插入操作的时间复杂度
总结词
插入操作的时间复杂度取决于具体的实现方式和数据结构。
详细描述
在平衡二叉树中，插入操作的时间复杂度为O(log n)，其中n为二叉树中节点的数量。而在一般的二 叉树中，插入操作的时间复杂度可能达到O(n)，因为可能需要遍历整棵树才能找到合适的位置插入新 节点。因此，选择合适的二叉树数据结构和算法对于提高插入操作的效率至关重要。
05
二叉树算法的应用
堆排序算法
平衡二叉树的性质：平衡二叉树具有以下性质：1）它的左右子树的高度差不超过1；2）它的左 子树和右子树都是平衡二叉树；3）它的左子树和右子树的节点数相差不超过1。
CRR二叉树模型及例题
CRR 二叉树模型CRR 二叉树模型(Cox-Ross-Rubinstein 模型)，简称CRR 模型。
第1步：确定p,u,d 参数。
tt t r e d e u d u d e p ∆-∆∆==--=σσ其中, t ∆为把时间分成的许多小的时间段; 上升的比率为u,它的概率为p; 下降的比率为d,它的概率为1-p; r 为利率;σ为标准差;第2步：二叉树结构。
当时间为0时，证券价格为S ，时间为t ∆时，证券价格要么上涨到Su ，要么下跌到Sd;时间为2t ∆时，证券价格就有3种可能，分别为22,,Sd Sud Su ，以此类推，在时间i t ∆，证券价格有i+1种可能，用公式表示为j i j d Su -其中，j=0,1,2,3,…,i=1,2,3,…。
第3步：根据二叉树进行倒推定价。
在二叉树模型中，期权定价从树形图末端开始，采用倒推定价法进行。
由于在T 时刻欧式看跌期权现金流为max(K-S T ,0)，求解T-t ∆时刻每一节点上的期权价格时都可以通过将T 时刻齐全现金流预期值以无风险收益率进行贴现求出。
假设将欧式看跌期权的存续期分成N 个长度为t ∆的小区间，设)0,0(i j N i f j i ≤≤≤≤-表示在时刻i t ∆第j 个节点处的欧式看跌期权价格，也称j i f -为节点（i,j ）的期权价值，同时j i j d Su -表示节点（i,j ）处的标的价格，欧式看跌期权到期价值是max(K-S T ,0),所以有)0,max(,j N j j N d Su K f --=其中，j=0,1,2,3,…,N 。
当时间从i t ∆变到（i+1）t ∆时，从节点（i,j ）移动到（i+1,j+1）的概率为p,移动到（i+1,j ）的概率为（1-p ）,则在风险中性情况下i j N i f p pf e f j i j i t r j i ≤≤-≤≤-+=+++∆-0,10],)1([,11,1,当我们选择的时间间隔足够小时，就可以求出欧式看跌期权的精确值。
二叉树定价模型知识讲解
二叉树定价模型期权定价的二叉树模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomial tree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。
本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。
8.1一步二叉树模型我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。
例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。
在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。
由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。
这是最简单的二叉树模型。
一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。
经过一个时间步（至到期日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。
我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。
为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。
构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。
如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。
根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有由此可得(8.1)上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。
在这种情况下，该组合是无风险的。
以表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为 ,又注意到该组合的当前价值是，故有即将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为(8.2)(8.3)需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足： .现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
注意： d < exp(r*T) < u 以避免套利 构筑一个无风险的组合，价值为：
V = hS - C
到期时价值为：
Vu = hSu - Cu Vd = hSd – Cd 令 Vu = Vd，可以解得 h （对冲比率, hedge ratio）。
h Cu Cd Su Sd
二叉树模型
Binomial Trees
单步二叉树模型
条件和假设
一个时期， 二种结果（状态） S = 当前股票价格 u = 1 + 股票上涨的收益率 d = 1 +股票下跌的收益率 r = 无风险利率
一个时期后到期的看涨期权的价格
Cu = Max(0,Su - X) 或 Cd = Max(0,Sd – X)
Cu
pCu2
(1 1 r
p)Cud
=
(.6)56.25+(.4)0.0 1.07
31.54
Cd
pCdu
(1 p)Cd2 1 r
(.6)0.0 (.4)0.0 1.07
0.0
因而，期权现在的价值为：
C pCu (1 p)Cd 1 r
(.6)31.54 (.4)0.0 17.69 1.07
从期权到期向前倒推一步，可以求得期权在 这些节点上的理论价值，即：
Cu
pC u 2
(1 p)Cud 1 r
Cd
pCdu
(1
p)C d
2
1 r
则现在的期权价值为
C pCu (1 p)Cd 1 r
或者：
C p2Cu2 2p(1 p)Cud (1 p)2Cd2 (1 r)2
p*Su + (1 – p) * Sd = S * exp( r*T)
p = ( exp(r*T) – d ) / ( u – d )
例-2 现实世界和风险中性世界
假设贵班和隔壁班比赛，贵班赢的概率为3/4， 若你做庄开赌，则赌你们班赢的赔率应该是多 少？ 1： 4/3 合适吗？
例
S = 100, X = 100, u = 1.25, d = 0.80, r = .07 先求得 Cu, Cd, h, 和 p:
4.46%，低于无风险利率。
两步二叉树模型
n 现在我们让二叉树再伸展一步，则股票价格在两步之 后变成 Su2 ，Sud 或 Sd2。
n 期权在两步之后的可能价值为：
C u 2 Max[0, Su 2 X] C ud Max[0, Sud X] Cd 2 Max[0, Sd 2 X]
Cu = Max(0,100(1.25) - 100) = Max(0,125 - 100) = 25
Cd = Max(0,100(.80) - 100) = Max(0,80 - 100) = 0 h = (25 - 0)/(125 - 80) = .556 p = (1.07 - 0.80)/(1.25 - 0.80) = .6
•不同状态下的对冲比率是不一样的：
h
Cu Su
Cd Sd
,
hu
Cu2 Su 2
Cud Sud
,
hd
Cud Sud
C d
2
Sd2
例 S＝100， u＝.25， d＝.20， 则
Su2 = 100(1.25)2 = 156.25 Sud = 100(1.25)(.80) = 100 Sd2 = 100(.80)2 = 64 到期时，期权价值为：
Cu2 Max[0, Su 2 X] Max[0,156. 25 100] 56.25 Cud Max[0, Sud X] Max[0,100 100] 0.0 Cd2 Max[0, Sd 2 X] Max[0,64 100] 0.0
一步之后，期权的价值为：
$40,600 到期时你仍将得到 $44,500，收益为 9.6%，高
于无风险利率。
则所有的市场参与者都将仿效（做空期权做多 股票），使期权价格回落。
反之如果期权被低估：
假定看涨期权的价格为$13 你可以以$100 的价格做空556股股票，以$13 的价
格买入1000个期权，收入$42,600。 到期时你将付出$44,500。 这等于你借入$42,600，偿还$44,500，隐含利率为
注意：公式中并没有出现股票价格上升和下降 的概率；即期权的价值和 它们无关。
事实上，p是股票价格上升的“风险中 性”(Risk Neutral)概率。
风险中性概率
风险中性世界（投资者只所有投资的预期收益 都等于无风险收益率）
风险中性概率即风险中性世界隐含的概率
例
股票价格为 S， T时间Fra bibliotek股票价格或者上涨为 Su （设概率为p）或者下跌为 Sd， 则应有：
应用于看跌期权
步骤相同，但用看跌期权的损益公式代替看 涨期权的损益公式。在上述例子中，到期时， 看跌期权价值为：
因为无风险，该组合收益为无风险利率。因 此
V exp(r*t) = Vu (or Vd)
代入 V 和 Vu
(hS - C) exp(r*T) = hSu – Cu
因此期权的理论价值为：
C ( p * Cu (1 p) * Cd ) * er*T 其中 p=( er*T -d)/(u-d)
组合价值= 556($125) - 1,000($25) = $44,500
若股票下跌至$80
组合价值= 556($80) - 1,000($0) = $44,480
收益为7％，等于无风险利率。
如果期权被高估：
假定看涨期权的价格为 $15.00 则最初的投资为 556($100) - 1,000($15.00) =
代入公式:
C (.6)25 (.4)0.0 14.02 1.07
则无风险组合为
1000 个期权的空头和1000×h = 1000(.556) = 556 股股票的多头。
开始的价值（投资）: V = 556($100) 1,000($14.02) = $41,580.
若股票上涨至$125