数理统计第八章 假设检验
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X 1500 H 0真 X U ~ N (0， 1)，其中 200，n 25； n n
H 0真时,
P{U z } ，其中z
K n
得到 T {t U
x 1500 z： ( x1， ， xn ) C}， 200 n
由观测值x1， …， xn检验假设H0：=0；H1：≠0 2、非参数假设检验
iid
检验假设H0： F(x)=F0(x;); H1： F(x)≠F0(x;)
1， ， n ~ ， 总体分布未知，由观测值x1，…， xn
iid
本课程主要讨论参数假设检验； 说明： (1)假设也称为统计假设； (2) H0称为原假设；H1称为备择假设； (3) 做假设检验的最终目的是作出推断：是接受原假设, 还是拒绝原假设而接受备择假设。
H 0真
02
2
2 nS
2
~ 2 (n)，
1 n 即可作相应的假设检验。其中S ( X i ) 2。 n i 1
8.3 双正态总体均值差与方差比的假设检验
一 、均值差的假设检验
设X 1， ， X n1 ~ N ( 1， ); Y1， ， Yn2
2 1 iid 2 N ( ， ~ 2 2 )， iid
由P{ T t / 2 (n1 n2 2)} ，即得拒绝域 T t / 2 (n1 n2 2). 而对应的单边问题的拒绝域分别是 T t (n1 n2 2)与T t (n1 n2 2)
2 3. 12 , 2 未知且不等 可考虑推求均值差的置信区间的问题
n1 1 Zi X i Yi n2 n1n2
iid
1
Y
j 1
n1
j
Y , i 1, ..., n1 , 则仍有
2 Z 2 1
n1 2 Z1, …, Zn ~ N ( , ). 其中, 1 2 , 2 未知 n2 问题还是回到单正态总体方差未知时均值是否为零的HT情形.
说明： (1) H0： =0；H1：u0称为双边HT问题；而 H0： = 0； H1： > 0(或< 0)，则称为单边问题； (2) H0： 0； H1：>0 或H0： 0；H1：<0 也称为单边HT问题，不过这是一个完备的HT问题。 (3)完备的单边HT问题与不完备的单边HT问题有相
显著性检验解题步骤简述:
做假设 ; 构造统计量 ; 推求拒绝域 ; 查表计算 ; 比较大小得结论.
8.2 单正态总体参数(均值与方差)的假设检验
一、 单总体均值的假设检验
设X 1， ，X n ~ N ( ， 2 ), 给定检验水平，由观测 值 x1， ，xn检验假设H 0： 0；H1： 0。
(1) n1=n2
此时，可令Zi=XiYi，i =1, …, n,
iid
2 2 2 2 则Z1, …, Zn ~ N ( , Z ). 其中， 1 2 , Z 1 2未知
于是问题回到了单正态总体方差未知时均值是否为零的HT 情形。 (2) n1n2 , 不妨假设n1< n2 此时, 可令(斯切非Scheffe法)
2 2 对于单边问题H 0： 2 0 ；H1： 2 0 ，
可解得拒绝域： 12 (n 1)；
2 2 而对单边问题H 0： 2 0 ；H1： 2 0 ， 2 可解得拒绝域： (n 1)。
2. 已知的情形
此时构造统计量
2 nS
按这种法则做出的检验称为“显著性检验”，此时称 为显著性水平或检验水平。
二、显著性检验法则的构造
构造统计量t =t(X1， …， Xn)， x1， …， xn为样本观测值， 令 T={t =t (x1， …， xn)满足某条件： (x1， …， xn) ∈ C}
于是
P{t ∈T|H0真} =P{(x1， …， xn) ∈C| H0真} = ；
工艺后，灯管寿命是否有显著提高。
解：经分析要检验的假设为 H 0： 1500；H1： 1500
由于拒绝H 0意味着接受H1： 1500，而 X 是的无偏估计， 故存在K 0，使 X 1500 K，从而，有
P{拒绝H 0 | H 0真} P{X 1500 K | 1500}
2. 2未知的情形 对于假设 H0：=0；H1：0，构造
X 0 H 0真 X T ~ t( n 1) S n S n
由 P{|T| t/2(n 1)} =，可得拒绝域 |T| t/2(n1)， 查表、计算，比较大小即得结论。 此时，对于单边问题H0：=0；H1：< 0， 有拒绝域 Tt(n1)=t1(n 1)；
(二)简单假设与复合假设
如果一个统计假设完全确定总体的分布，则称该假设 为简单假设，否则就称为复合假设。 例如对于 1 , , n ~ f ( x, ), 则称
H 0： 0是简单假设，而H1： 0或 H 0：F ( x) F0 ( x； )(未知)则都是复合假设。
对于假设 H 0： 2 02；H1： 2 02，构造 (n - 1)S2 02
H 0真
(n - 1)S2 2 ~ (n 1) 2
2 由P{ 12 / 2 (n 1)或 / 2 ( n 1)} 1
可得拒绝域
2 12 / 2 (n 1)或 / 2 ( n 1)。
对于 H0： = 0 ；H1： > 0，有拒绝域Tt(n1)。
二、 单总体方差的假设检验
设X 1， ，X n ~ N ( ， 2 )，给定检验水平 ，由观测 值x1， ， xn 检验假设
2 2 H 0： 2 0 ；H 1： 2 0 。 iid
1. 未知的情形
同的拒绝域，从而检验法一致。 ？
对于 H0： =0；H1：<0， 2已知，由
P{拒绝H 0 | H 0真} P{ X 0 K | 0 },
构造 X 0 U n
H 0真
Baidu Nhomakorabea
X n
1) ~ N (0，
iid
由P{ Uz } = ，可得拒绝域U z =z1 同理可知: 对于H0：=0；H1：>0，2已知的 情形，其拒绝域为 U z
iid
(三) 检验法则与拒绝域
以样本(1， …， n)出发制定一个法则，一旦观 测值(x1，…，xn)确定后，我们由这个法则就可作出 判断：是拒绝H0还是接受H0. 这种法则称为H0对H1的 一个检验法则，简称检验法。 样本观测值的全体组成样本空间S，把S分成两 个互不相交的子集C和C*，即S=C∪ C*， C∩C*=， 假设当(x1，…，xn)∈ C时，我们就拒绝H0；当
2 Z
二、 方差比的假设检验
设X1， ， X n1
2 N ( , ， Yn2 ~ 1 1 ); Y1， iid 2 N ( , ~ 2 2 )， iid
， xn1； y1， ， yn2 两样本独立，给定检验水平 ，由观测值 x1，
2 2 检验假设 H0： 12 2 ；H1： 12 2
显著性检验的思想和步骤：
(1)根据实际问题作出假设H0与H1；
(2)构造统计量，在H0真时其分布已知； (3)给定水平的值(一般为0.05，0.025，0.01，0.005等), 求出 H0对H1的拒绝域C；
(4)查表、计算得分位点和统计量的值； (5)比较统计量与分位点值的大小，得出结论，依据是小概率 原理。
(五) 显著性检验
对于给定的一对H0和H1，总可找出许多临界域， 人们自然希望找到这种临界域C，使得犯两类错误的 概率和 都很小。但在样本容量n一定时，这又是做 不到的，除非容量 n无限增大。
奈曼—皮尔逊 (Neyman—Pearson)提出了一个 原则：在控制犯第一类错误的概率的条件下，尽量 使犯第二类错误 小，这是最优检验 (MPT) ，但是有 时MPT法则很难找到，甚至不存在。在这种情况下， 我们不得不降低要求，另提一些原则。应用上常采纳 的原则是“只对加以限制，而不考虑 的大小”。
1. 1， 2未知的情形
构造
2 S1 F 2 S2
H 0真
2 S1 12 ~ F ( n1 1 ，n2 1) 2 2 S2 2
两样本独立，给定检验 水平，由观测值 x1， ， xn1； y1， , yn2 检验假设H 0：1 2；H1：1 2
2 1. 12， 2 已知的情形 构造统计量
U
X Y
H 0真 2 2
n1 n2
2 1
X Y ( 1 2 )
n1 n2
(x1，…，xn)∈ C*时，我们就接受H0. 子集C S就 称为检验的拒绝域(或临界域 )。
(四) 检验的两类错误
我们给出了H0对H1的某个检验法则，即给出了S 的一个划分：C与C*，由于样本的随机性，在进行判断 时，还可能犯错误。
{拒绝H0| H0真}={(x1， …， xn) ∈ C | H0真} ——第一类错误或“弃真” {接受H0| H0假}={(x1， …， xn) ∈ C*| H0假} ——第二类错误或“取伪” 这两个事件都是小概率事件，常记P{拒绝H0| H0真}=， P{接受H0| H0假}= ， ， 在0~1之间，通常不超过0.1。
2 1 2 2
~ N (0， 1)
由P{U z / 2 } ，即得拒绝域U z / 2；
而对应的单边问题的拒 绝域分别是 U z 与U z .
2 2. 12 2 未知的情形
构造 T
Sw
X Y 1 n1 1 n2
H 0真
X Y ( 1 2 ) ~ t ( n1 n2 2) S w 1 n1 1 n2
其中C {( x1， ， xn )：U z }, 简记为U z。
现给定 0.05，则查表得z z0.05 1.645, 计算得 x 1500 1675 1500 U 4.375 1.645 z 200 / 5 200 25
故观测值(x1，…，xn)∈C，可作出结论: 拒绝 H0 而接受H1: >1500，即认为采用新工艺后，灯管寿命有了显著提高.
第八章
假设检验
假设检验的基本思想和概念 参数假设检验
正态总体均值的假设检验 正态总体方差的假设检验
非参数假设检验 奈曼-皮尔逊引理和UMPT
8.1假设检验的基本概念和思想
一、基本概念
(一) 两类问题
1、参数假设检验
1 , , n ~ f ( x, ), 总体分布已知，参数未知，
iid
1. 2已知的情形 对于假设H0： = 0； H1： 0，构造
X 0 U n
H 0真
X ~ N (0， 1) n
由P{U z / 2 } ，可得拒绝域：U z / 2
查表，计算，比较大小，即得结论：
| X 0 | 若U z / 2，则拒绝H 0而接受 n H1： 0 ; 反之，接受H 0： 0。
t ∈ T通常用一个不等式来表示，这样就得到了一个检验法 则。现在，我们已经把S的划分转化为统计量 t 的值域空间 的划分, 这是一个把n维的问题转化为一维的问题。
例：设某厂生产一种灯管，其寿命X~ N( ， 40000),由以 往经验知平均寿命 =1500小时，现采用新工艺后，在所生 产的灯管中抽取25只，测得平均寿命1675小时，问采用新
H 0真时,
P{U z } ，其中z
K n
得到 T {t U
x 1500 z： ( x1， ， xn ) C}， 200 n
由观测值x1， …， xn检验假设H0：=0；H1：≠0 2、非参数假设检验
iid
检验假设H0： F(x)=F0(x;); H1： F(x)≠F0(x;)
1， ， n ~ ， 总体分布未知，由观测值x1，…， xn
iid
本课程主要讨论参数假设检验； 说明： (1)假设也称为统计假设； (2) H0称为原假设；H1称为备择假设； (3) 做假设检验的最终目的是作出推断：是接受原假设, 还是拒绝原假设而接受备择假设。
H 0真
02
2
2 nS
2
~ 2 (n)，
1 n 即可作相应的假设检验。其中S ( X i ) 2。 n i 1
8.3 双正态总体均值差与方差比的假设检验
一 、均值差的假设检验
设X 1， ， X n1 ~ N ( 1， ); Y1， ， Yn2
2 1 iid 2 N ( ， ~ 2 2 )， iid
由P{ T t / 2 (n1 n2 2)} ，即得拒绝域 T t / 2 (n1 n2 2). 而对应的单边问题的拒绝域分别是 T t (n1 n2 2)与T t (n1 n2 2)
2 3. 12 , 2 未知且不等 可考虑推求均值差的置信区间的问题
n1 1 Zi X i Yi n2 n1n2
iid
1
Y
j 1
n1
j
Y , i 1, ..., n1 , 则仍有
2 Z 2 1
n1 2 Z1, …, Zn ~ N ( , ). 其中, 1 2 , 2 未知 n2 问题还是回到单正态总体方差未知时均值是否为零的HT情形.
说明： (1) H0： =0；H1：u0称为双边HT问题；而 H0： = 0； H1： > 0(或< 0)，则称为单边问题； (2) H0： 0； H1：>0 或H0： 0；H1：<0 也称为单边HT问题，不过这是一个完备的HT问题。 (3)完备的单边HT问题与不完备的单边HT问题有相
显著性检验解题步骤简述:
做假设 ; 构造统计量 ; 推求拒绝域 ; 查表计算 ; 比较大小得结论.
8.2 单正态总体参数(均值与方差)的假设检验
一、 单总体均值的假设检验
设X 1， ，X n ~ N ( ， 2 ), 给定检验水平，由观测 值 x1， ，xn检验假设H 0： 0；H1： 0。
(1) n1=n2
此时，可令Zi=XiYi，i =1, …, n,
iid
2 2 2 2 则Z1, …, Zn ~ N ( , Z ). 其中， 1 2 , Z 1 2未知
于是问题回到了单正态总体方差未知时均值是否为零的HT 情形。 (2) n1n2 , 不妨假设n1< n2 此时, 可令(斯切非Scheffe法)
2 2 对于单边问题H 0： 2 0 ；H1： 2 0 ，
可解得拒绝域： 12 (n 1)；
2 2 而对单边问题H 0： 2 0 ；H1： 2 0 ， 2 可解得拒绝域： (n 1)。
2. 已知的情形
此时构造统计量
2 nS
按这种法则做出的检验称为“显著性检验”，此时称 为显著性水平或检验水平。
二、显著性检验法则的构造
构造统计量t =t(X1， …， Xn)， x1， …， xn为样本观测值， 令 T={t =t (x1， …， xn)满足某条件： (x1， …， xn) ∈ C}
于是
P{t ∈T|H0真} =P{(x1， …， xn) ∈C| H0真} = ；
工艺后，灯管寿命是否有显著提高。
解：经分析要检验的假设为 H 0： 1500；H1： 1500
由于拒绝H 0意味着接受H1： 1500，而 X 是的无偏估计， 故存在K 0，使 X 1500 K，从而，有
P{拒绝H 0 | H 0真} P{X 1500 K | 1500}
2. 2未知的情形 对于假设 H0：=0；H1：0，构造
X 0 H 0真 X T ~ t( n 1) S n S n
由 P{|T| t/2(n 1)} =，可得拒绝域 |T| t/2(n1)， 查表、计算，比较大小即得结论。 此时，对于单边问题H0：=0；H1：< 0， 有拒绝域 Tt(n1)=t1(n 1)；
(二)简单假设与复合假设
如果一个统计假设完全确定总体的分布，则称该假设 为简单假设，否则就称为复合假设。 例如对于 1 , , n ~ f ( x, ), 则称
H 0： 0是简单假设，而H1： 0或 H 0：F ( x) F0 ( x； )(未知)则都是复合假设。
对于假设 H 0： 2 02；H1： 2 02，构造 (n - 1)S2 02
H 0真
(n - 1)S2 2 ~ (n 1) 2
2 由P{ 12 / 2 (n 1)或 / 2 ( n 1)} 1
可得拒绝域
2 12 / 2 (n 1)或 / 2 ( n 1)。
对于 H0： = 0 ；H1： > 0，有拒绝域Tt(n1)。
二、 单总体方差的假设检验
设X 1， ，X n ~ N ( ， 2 )，给定检验水平 ，由观测 值x1， ， xn 检验假设
2 2 H 0： 2 0 ；H 1： 2 0 。 iid
1. 未知的情形
同的拒绝域，从而检验法一致。 ？
对于 H0： =0；H1：<0， 2已知，由
P{拒绝H 0 | H 0真} P{ X 0 K | 0 },
构造 X 0 U n
H 0真
Baidu Nhomakorabea
X n
1) ~ N (0，
iid
由P{ Uz } = ，可得拒绝域U z =z1 同理可知: 对于H0：=0；H1：>0，2已知的 情形，其拒绝域为 U z
iid
(三) 检验法则与拒绝域
以样本(1， …， n)出发制定一个法则，一旦观 测值(x1，…，xn)确定后，我们由这个法则就可作出 判断：是拒绝H0还是接受H0. 这种法则称为H0对H1的 一个检验法则，简称检验法。 样本观测值的全体组成样本空间S，把S分成两 个互不相交的子集C和C*，即S=C∪ C*， C∩C*=， 假设当(x1，…，xn)∈ C时，我们就拒绝H0；当
2 Z
二、 方差比的假设检验
设X1， ， X n1
2 N ( , ， Yn2 ~ 1 1 ); Y1， iid 2 N ( , ~ 2 2 )， iid
， xn1； y1， ， yn2 两样本独立，给定检验水平 ，由观测值 x1，
2 2 检验假设 H0： 12 2 ；H1： 12 2
显著性检验的思想和步骤：
(1)根据实际问题作出假设H0与H1；
(2)构造统计量，在H0真时其分布已知； (3)给定水平的值(一般为0.05，0.025，0.01，0.005等), 求出 H0对H1的拒绝域C；
(4)查表、计算得分位点和统计量的值； (5)比较统计量与分位点值的大小，得出结论，依据是小概率 原理。
(五) 显著性检验
对于给定的一对H0和H1，总可找出许多临界域， 人们自然希望找到这种临界域C，使得犯两类错误的 概率和 都很小。但在样本容量n一定时，这又是做 不到的，除非容量 n无限增大。
奈曼—皮尔逊 (Neyman—Pearson)提出了一个 原则：在控制犯第一类错误的概率的条件下，尽量 使犯第二类错误 小，这是最优检验 (MPT) ，但是有 时MPT法则很难找到，甚至不存在。在这种情况下， 我们不得不降低要求，另提一些原则。应用上常采纳 的原则是“只对加以限制，而不考虑 的大小”。
1. 1， 2未知的情形
构造
2 S1 F 2 S2
H 0真
2 S1 12 ~ F ( n1 1 ，n2 1) 2 2 S2 2
两样本独立，给定检验 水平，由观测值 x1， ， xn1； y1， , yn2 检验假设H 0：1 2；H1：1 2
2 1. 12， 2 已知的情形 构造统计量
U
X Y
H 0真 2 2
n1 n2
2 1
X Y ( 1 2 )
n1 n2
(x1，…，xn)∈ C*时，我们就接受H0. 子集C S就 称为检验的拒绝域(或临界域 )。
(四) 检验的两类错误
我们给出了H0对H1的某个检验法则，即给出了S 的一个划分：C与C*，由于样本的随机性，在进行判断 时，还可能犯错误。
{拒绝H0| H0真}={(x1， …， xn) ∈ C | H0真} ——第一类错误或“弃真” {接受H0| H0假}={(x1， …， xn) ∈ C*| H0假} ——第二类错误或“取伪” 这两个事件都是小概率事件，常记P{拒绝H0| H0真}=， P{接受H0| H0假}= ， ， 在0~1之间，通常不超过0.1。
2 1 2 2
~ N (0， 1)
由P{U z / 2 } ，即得拒绝域U z / 2；
而对应的单边问题的拒 绝域分别是 U z 与U z .
2 2. 12 2 未知的情形
构造 T
Sw
X Y 1 n1 1 n2
H 0真
X Y ( 1 2 ) ~ t ( n1 n2 2) S w 1 n1 1 n2
其中C {( x1， ， xn )：U z }, 简记为U z。
现给定 0.05，则查表得z z0.05 1.645, 计算得 x 1500 1675 1500 U 4.375 1.645 z 200 / 5 200 25
故观测值(x1，…，xn)∈C，可作出结论: 拒绝 H0 而接受H1: >1500，即认为采用新工艺后，灯管寿命有了显著提高.
第八章
假设检验
假设检验的基本思想和概念 参数假设检验
正态总体均值的假设检验 正态总体方差的假设检验
非参数假设检验 奈曼-皮尔逊引理和UMPT
8.1假设检验的基本概念和思想
一、基本概念
(一) 两类问题
1、参数假设检验
1 , , n ~ f ( x, ), 总体分布已知，参数未知，
iid
1. 2已知的情形 对于假设H0： = 0； H1： 0，构造
X 0 U n
H 0真
X ~ N (0， 1) n
由P{U z / 2 } ，可得拒绝域：U z / 2
查表，计算，比较大小，即得结论：
| X 0 | 若U z / 2，则拒绝H 0而接受 n H1： 0 ; 反之，接受H 0： 0。
t ∈ T通常用一个不等式来表示，这样就得到了一个检验法 则。现在，我们已经把S的划分转化为统计量 t 的值域空间 的划分, 这是一个把n维的问题转化为一维的问题。
例：设某厂生产一种灯管，其寿命X~ N( ， 40000),由以 往经验知平均寿命 =1500小时，现采用新工艺后，在所生 产的灯管中抽取25只，测得平均寿命1675小时，问采用新