基于非线性薛定谔方程的畸形波理论及其应用(张解放, 戴朝卿, 王悦悦)思维导图
两类非线性波动方程的精确解与怪波中期报告
两类非线性波动方程的精确解与怪波中期报告
本中期报告主要介绍两类非线性波动方程的精确解和怪波现象的研
究进展。
具体内容如下：
1. KdV方程和NLS方程的精确解
KdV方程和NLS方程都是重要的非线性波动方程，它们在物理学和
数学上都具有广泛的应用。
近年来，研究人员通过不同的方法，发现了
这两个方程的不同类型的精确解。
其中包括孤子、鬼波、无穷孤立子等。
我们在研究KdV方程的精确解时，主要关注的是孤子解。
通过借鉴Lax对点积算子的定义，将KdV方程的解表示为Lax对点积算子与一个特殊的向量的乘积形式，得到了其一维孤子解。
而对于NLS方程，研究人
员则从另一个角度出发，通过使用几何代数的方法，指出了其两维孤子
解和鬼波解。
2. 怪波现象的研究进展
在非线性波动方程中，怪波现象是极具挑战性的研究问题之一。
通
过对非线性波动方程中的如孤子解、无穷孤立子解等不同类型精确解的
研究，我们发现其中存在着怪波现象。
最近几年的研究表明，这些怪波
不仅仅是非线性波动方程中的“负面能量波”，而且它们还具有很多神
奇的性质，如变形、旋转、破碎等现象。
尽管近年来研究人员在怪波现象的研究中取得了不少进展，但仍有
很多问题需要解决，例如怎样才能预测和控制怪波的产生。
因此，我们
相信研究非线性波动方程和怪波现象的探索之路还有很长的路要走。
一些非线性发展方程的有界钟状代数孤立波解
一些非线性发展方程的有界钟状代数孤立波解
李向正
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2012(25)4
【摘要】本文以非线性发展方程的有界钟状代数孤波解为研究对象,以Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov(简称KPP)方程、组合KdV-mKdV方程和mKdV方程为例,利用平面动力系统知识,分析有界钟状代数孤立波解出现的条件,提出求解的方法,称之为代数孤波解解法(简称ASW解法),分别获得这三个方程的代数孤立波解.
【总页数】6页(P875-880)
【关键词】同宿轨;平面动力系统;代数孤立波解
【作者】李向正
【作者单位】河南科技大学数学与统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.2
【相关文献】
1.非线性发展方程的代数孤立波解 [J], 王淑香
2.mBBM方程的钟状代数孤立波解 [J], 李向正
3.辅助方程法解的推广及其非线性发展方程的精确孤立波解 [J], 乌敦其其格
4.非线性发展方程的代数孤立波解 [J], 王淑香
5.一些非线性发展方程孤立波解的分析 [J], 刘晓平;刘春平
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非线性物理
孤立子（Soliton）：孤立子（或孤立波）是一种非线性效应，它能够保持 其速度和形状长时间传播。孤立子理论在光纤通信，蛋白质和DNA作用机 理，以及弦论中都有重要应用。
模式形成（Pattern formation）
课程名称：非线性物理
教学参考书：
Nonlinear Physics
总学时：30
非线性物理概论，陆同兴 编著，中国科学技术大学出版社。 非线性物理学，席得勋 编著，南京大学出版社。 非线性物理理论及应用，周凌云等 编著，科学出版社。 非线性动力学与混沌基础，刘秉正 编著，东北师范大学出版社。 非线性物理学，卓崇培 主编，天津科学技术出版社。
绪论：何为非线性和非线性科学？
二十世纪初量子力学和相对论的创立，因为提出了突破人 们传统思维的新概念，将人类的世界观推进到超越经典的领 域，而被公认为是物理学或更确切地说是科学的两次革命。 牛顿创立的经典力学被发现并不始终是正确的。当深入到微 观尺度（<10-10m），应该取代为量子力学，当物体的速度 接近于光速（～10 8m/s），则相对论是正确的。
客观世界本来就是非线性的、复杂的。非线性物理就是一 门以非线性系统的普遍规律及客观世界的复杂性本身为研究 对象的学科，它在上一世纪八十和九十年代蓬勃发展，也将 成为新世纪物理学研究的最前沿。
目前非线性物理学中研究得最为广泛的领域主要有以下方面：
混沌理论（Chaos theory）：混沌是一种源自于（非线性的）决定性规律 的无序状态。混沌的最大特点是具有高度初值敏感性，无论多么微小的微 扰，在足够长的时间後都会使系统彻底的偏离原来的状态。大气就是典型 的混沌系统，因而长期天气预报是不可能的。
（2＋1）维非线性薛定谔方程的线畸形波及其传播特性
（2＋1）维非线性薛定谔方程的线畸形波及其传播特性楼吉辉;胡文成;赵辟;张解放【期刊名称】《商丘师范学院学报》【年(卷),期】2013(29)6【摘要】We propose a unified theory, that is similarity transformation, to construct exact optical rogue wave solutions of (2 +1) dimensional nonlinear Schrödinger equation.Moreover, we investigate propagation dynamics of the first -order and second -order optical rogue wave in the optical fiber amplifier .Finally, we introduce the concept of linear rouge wave which will give edification in theory and practical application .%采用一个通用的理论，即用相似变换的方法，研究构建了（2＋1）维非线性薛定谔方程的精确畸形波解，并进一步讨论了一阶、二阶光学畸形波的传输特性，我们提出的线畸形波概念在理论和应用方面都具有启迪价值。
【总页数】5页(P34-38)【作者】楼吉辉;胡文成;赵辟;张解放【作者单位】浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004;浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004;浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004;浙江传媒学院互联网与社会研究中心，浙江杭州 310018; 浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004【正文语种】中文【中图分类】O411.1【相关文献】1.(2+1)维五次非线性薛定谔方程的无穷序列新解 [J], 阿如娜;套格图桑2.具有分布系数的(2+1)维非线性薛定谔方程的精确自相似解 [J], 费金喜3.（2＋1）维非线性薛定谔方程的怪波解 [J], 程丽;张翼4.(2+1)维非线性薛定谔方程的Peregrine-like有理解 [J], 肖世校;贺为5.变系数(2+1)维非线性薛定谔方程中奇异结构孤子(英文) [J], 徐四六;陈顺芳;孙运周因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
薛定谔方程课件
2m
t
如势函数不是时间的函数，即 U U(r)
用分离变量法将波函数写为：
(r)
(r)f
(t)
代入薛定谔方程得：
1
2 2m
2
U(r)
i
f
1 (t)
f(t) t
16
1
2 2m
2
U(r)
i
f
1 (t)
f(t) t
方程左边只是空间坐标的函数，
右边只是时间的函数，
只有两边都等于一个常数等式才能成立。
i
Et
2
(r )
2
与时间无关
18
定义能量算符,动量算符和坐标算符
例：能量、动量和坐标算符对沿x方向传播
自由平面波波函数 的作用
19
利用对应关系得“算符关系等式” • 把“算符关系等式”作用在波函数上得 到 三维情况：
20
哈密顿量
粒子的总能量
若
称 为能量算符
用哈密顿量表示薛定谔方程
21
能量算符的本征值问题 本征值取分立值时的本征值问题 n —量子数 {E1，E2，….，En，….}—能量本征值谱
沿x方向运动的自由粒子束可用单色平面波来描写， 其波函数为：
(
x,
t
)
e i 2
0
(t
x
)
h p
E h
(x,
t
)
0e
i
(
Et
px
)
3
考虑到自由粒子沿
r
方向传播的三维情况，
波函数可写为：
(r,
t)
0e
i
(
Et
pr
)
几类非线性薛定谔方程显式怪波解及其动力学行为.pptx
首先利用直接构造法获得了广义非线性薛定谔方程中心可控的 怪波解。通过改变参数,怪波解的中心位置可以移动。
其次研究系统参数对怪波的影响,结果发现非线性参数会影响怪 波的宽度,随着参数的增加怪波的宽度不断增加,这就意味着怪 波覆盖的范围增大。最后,当非线性参数取负值时,可以获得几 类奇异的怪波。
第四部分利用相似变换的方法得到了非线性变系数薛定谔方程 的怪波解,同时也分析了参数对怪波的宽度及中心的影响。进一 步,分析了参数对怪波高度的影响,随着一些参数的增加或减小, 怪波的高度也相应的减小或增大,所以可以通过调节参数法研究扰动的薛定谔方程中孤子和怪 波的传播规律。在扰动下,光滑孤子可以稳定的传播,而怪波不 能稳定传播,很容易发生坍塌和扩散。
进一步,发现怪波对参数的敏感性很强,改变参数可以使怪波传 播的发生巨大改变。因此可以通过调节参数减弱怪波的传播。
第六部分是总结与展望。
几类非线性薛定谔方程显式怪波解及 其动力学行为
本文利用不同方法构造出非线性薛定谔方程的怪波解,并利用数 值模拟的方法研究怪波在扰动下的传播规律。本论文的安排如 下:第一部分介绍了研究背景,意义及研究现状。
第二部分介绍了非线性薛定谔方程和怪波的相关预备知识。第 三部分研究了广义非线性薛定谔方程的怪波解。
求非线性薛定谔方程的行波解的一种新途径
数 变换 关 系 ， 据 Ｎ 根 ＫＧ 方 程 的 已 知 解 ， 获得 ＮＬ Ｓ方 程 系 统 丰 富 的 显 式 精 确 行 波 解 ， 包括 孤 波 解 ， 期 波 解 ， 周
雅 可 比 椭 圆 函数 解 ．
［ 关键词］ 变映射法 ； Ｓ方程 ；非线性 Ｋｌ ｎ ｏ ｒｏ Ｎ 形 ＮＬ ｅ —Ｇ ｄ ｎ（ ＫＧ） ｉ 方程 ； 行波解 ［ ｏ］Ｏ ３ ６ ／．ｓｎ １Ｏ —６ ７ ．０ ０ ０ ． ０ ｄｉｌ ． ９ ９ｊｉ ．Ｏ ８ ０ ２ ２ １ ． ３０ ３ ｓ ［ 中图分类号］ ７ ． ９ ０１ ５ ２ ［ 文献标识码］ Ａ ［ 文章 编号］０ ８ ６ ７ （０ ０ Ｏ一Ｏ ０ 一Ｏ １０－ ０２２１）３ ｏ７ ３
（）式 可 以行 波 约 化 为 非 线 性 常微 分 方 程 ２
０ 引 言
非 线性 现 象 的 研 究是 各 个 自然 科 学 领域 。 包 括 社 会 也
Ｆｎ “ Ｕ ， 。 ， ）＝ ０ （ 。 …
（） ４
其 中 ”表 示 ｄ ． ／ 为获 得 系 统 （ ）的行 波 解 。 如 下 ２ 作
变换 ：
“（ 一 “ （ ） ９ （ ９ （） ５
科 学领 域 所 十 分 关 心 的 问题 ． 理 、 学 、 物 、 讯 工 程 ， 物 化 生 通 甚 至社 会 的 经 济 问题 等都 存 在 着 大 量 的 、 要 的 非 线 性 问 重
题． 这些 问题 的研 究 最 终 可 用 非 线 性 偏 微 分 方 程 这 个 数 学
２１ ０ ０年 ６月
郧 阳 师 范 高等 专 科 学校 学报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ａ ｇＴｅ ｃ ｅｓＣｏｌｇ ｏ ｒ ａ ｏ Ｙｕ ｙ ｎ ａ ｈ ｒ ｌ ｅ ｅ第 ３ 第 Nhomakorabea期 Ｏ卷
非线性薛定谔方程
非线性薛定谔方程非线性薛定谔方程是一种常用于研究物理系统中的量子力学模型。
它描述了一个粒子在一个势能场中的运动，并且可以用来研究多种物理现象，包括光学振荡器，原子内能级的调控，以及量子极化等。
非线性薛定谔方程可以用来描述多种物理系统，包括光学振荡器，原子内能级的调控，以及量子极化等。
非线性薛定谔方程通常用来描述物理系统中量子力学效应的演化，这些效应是由于粒子之间的相互作用而产生的。
由于它的非线性性质，非线性薛定谔方程往往难以直接解决，因此，研究人员常常使用数值方法来解决这个方程。
然而，尽管如此，非线性薛定谔方程仍然是一个非常重要的工具，用于研究物理系统中的量子力学效应。
非线性薛定谔方程的应用非常广泛，它可以用来描述多种物理系统。
例如，在光学领域，非线性薛定谔方程可以用来研究光学振荡器的特性。
在原子物理领域，它可以用来研究原子内能级的调控以及量子极化等。
此外，非线性薛定谔方程还可以用来研究超导体，半导体，以及生物分子等。
非线性薛定谔方程是一个非常强大的工具，它可以用来描述物理系统中量子力学效应的演化。
然而，由于它的非线性性质，非线性薛定谔方程往往难以直接解决，因此，研究人员常常使用数值方法来解决这个方程。
尽管如此，非线性薛定谔方程仍然是一个非常重要的工具，在许多不同的物理领域中都有广泛的应用。
非线性薛定谔方程的解决通常使用数值方法，因为直接解决这个方程往往是困难的。
常用的数值方法包括谱方法，时域有限差分法，时间步长自适应谱方法等。
这些方法都有各自的优缺点，在不同的应用场景中表现不同。
例如，谱方法通常比较精确，但是计算时间较长，而时域有限差分法则计算速度快，但是精度较低。
因此，在使用数值方法解决非线性薛定谔方程时，需要根据实际应用场景选择合适的方法。