高中数学排列组合讲义

高中数学排列组合

一．基础知识

1.分类计数原理：完成一件事情有n 类方法，在第一类办法里有m 1种不同的方法，在第二类办法里有m 2种不同的方法......在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N=m m m n +++...21种不同的方法。

2.分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法......做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N=m m m n ...21⨯⨯种不同的方法。

3.（1）排列：一般地，从n 个不同的元素中取出m （n m ≤）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

（2）排列数：一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m

n 表示

（3）)1...(2)(1(+---=m n n n n A m

n ）

若m=n ，得123)...2)(1(!∙∙--==n n n n A n

n ，左边表示n 个不同元素全部取出的排列数，称为全排列数。右边表示正整数1到n 的连乘积，称为n 的阶乘。

4.（1）组合：一般地，从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

（2）组合数：一般地，从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C m

n 表示 （3）组合数公式)!

(!!

m n m n A

A C m m

m n m

n -=

=

（4）常用性质：①C C m

n n m

n -= ②C C C m n m

n m

n 1

1-++=

5.相邻问题（捆绑问题）

n 个元素排列，其中的m 个元素要求相邻，把这m 个元素看成1个元素与其他n-m 个元素排列，在考虑这m 个元素自身的顺序即可，其结果是!)!1(m m n +- 6.相离问题（插空问题）

n 个元素排列，其中的m 个元素要求彼此互不相邻，先排其余的n-m 个元素，这n-m 个元素的每相邻的两个元素之间都有一个空，再加上两端，共有n-m+1个空，从这n-m+1个空中选m 个空去排要求彼此互不相邻的m 个元素就可以了，

其结果是A m

m n m n 1)!(+--

7.定位问题：（1）单定位：n 个元素排列，某个元素要求排在某个指定的位置上，等价于没有这个元素和没有这个位置，其结果是（n-1）!

（2）复定位：n 个元素排列，k 个元素要求排在m 个指定的位置上，先从这m 个位置中选出k 个位置去排这k 个元素，再排其余n-k 个元素即可，其结果是

)!(k n A

k m

-

8.平均分组问题：把n 个元素平均分成m 组，每组k （k=m

n

）个元素，共有不同的分法A

C

C C m m

k k

n k

k

n k

n

...

2--种

9.)(......*

2

2

21

1

1

)(N b C b

a

C b

a

C b

a

C a C b a n n n n r

r

n r n n n n n n

n n

∈++++++=---+

这个公式叫做二项式定理。右边的多项式叫做)(b a n

+的二项展开式，其中的系数),...,2,1,0(n r C r

n =叫做二项式系数。式中的b

a

C r

r

n r

n -叫做二项展开式的通项，

用T r 1+表示，它是展开式中的r+1项，即b

a C T r

r

n r n r -+=1

当n 依次取0,1,2,3，...时，)(b a n

+的展开式的二项式系数即为杨辉三角 常用性质：（1）二项式系数的和为2n

；（2）奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和