备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题11 含参数函数的单调区间问题

专题11 含参数函数的单调区间问题【热点聚焦与扩展】从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具.在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临分类讨论.1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间.即确定定义域→求出导函数→令()'0fx >解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格.2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对x 的限制有时会简化含参不等式的求解3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式4、关于分类讨论的时机与分界点的确定（1）分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，例如解不等式：0x a ->，其解集为(),a +∞，中间并没有进行分类讨论.思考：为什么？因为无论参数a 为何值，均是将a 移到不等号右侧出结果.所以不需要分类讨论，再例如解不等式20x a ->，第一步移项得：2x a >（同样无论a 为何值，均是这样变形），但是第二步不等式两边开方时发现a 的不同取值会导致不同结果，显然a 是负数时，不等式恒成立，而a 是正数时，需要开方进一步求解集，分类讨论由此开始.体会：什么时候开始分类讨论？简而言之，当参数的不同取值对下一步的影响不相同时，就是分类讨论开始的时机.所以一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的，而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果，就自然的进行分类讨论.（2）分界点的确定：分类讨论一定是按参数的符号分类么？不一定.要想找好分界点，首先要明确参数在问题中所扮演的角色.例如上面的不等式2x a >，a 所扮演的角色是被开方数，故能否开方是进行下一步的关键，那自然想到按a 的符号进行分类讨论. （3）当参数取值为一个特定值时，可将其代入条件进行求解（4）当参数a 扮演多个角色时，则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进行进一步的分类.【经典例题】例1【2019届高考二轮训练】已知函数f(x)＝x 2＋4x ＋aln x ，若函数f(x)在(1,2)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A. (－6，＋∞)B. (－∞，－16)C. (－∞，－16]∪[－6，＋∞)D. (－∞，－16)∪(－6，＋∞) 【答案】C例2【2019届河南省周口市高三上学期期末】已知函数()x xaf x e e =+（a R ∈）在区间[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()1,1-B. ()1,-+∞C. []1,1-D. (]0,+∞ 【答案】C【解析】当0a >时， x x a y e e =+在12lna ⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦，上为减函数，在12lna ⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦，上为增函数，且0xx a y e e =+>恒成立若函数()()xx af x e a R e=+∈在区间[]01，上单调递增， 则x xay e e =+在区间[]01，上单调递增， 则102lna ≤，解得](01 a ∈，当0a =时， ()xx x af x e e e=+=在区间[]01，上单调递增，满足条件当0a <时， x x a y e e =+在R 上单调递增，令0xxa y e e =+=，则x =则()xx af x e e=+在(0 ，上为减函数，在)[+∞，上为增函数则0，解得1a ≥- 综上所述，实数a 的取值范围[]11-， 故选C【名师点睛】本题考查知识点是函数的含绝对值的分类讨论。

结合对勾函数，指数函数单调性及单调性的性质，分别讨论0a >， 0a =， 0a <时，实数a 的取值范围，然后再综合讨论结果即可得到答案。

例3【2019届北京市北京19中高三十月月考】已知函数()2f x ax x =-,若对任意[)12,2,x x ∈+∞,且12x x ≠,不等式()()12120f x f x x x ->-恒成立,则实数a 的取值范围是A. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D. 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【点睛】本题考查由函数的单调性求有关参数问题.在判定函数的单调性时，要注意常见形式，如： ①若对任意[)12,2,x x ∈+∞,且12x x <，恒有()()12f x f x <，则函数()f x 在[)2,+∞单调递增； ②若对任意[)12,2,x x ∈+∞,且12x x ≠，恒有()()12120f x f x x x ->-，则函数()f x 在[)2,+∞单调递增；③若对任意[)12,2,x x ∈+∞,且12x x ≠，恒有()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦ ，则函数()f x 在[)2,+∞单调递增. 例4.若函数()()3242253f x x ax a x =---+恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围为（ ） A. 12a -≤≤ B. 21a -≤≤ C. 2a >或1a <- D. 1a >或2a <- 【答案】D【解析】因为函数()()3242253f x x ax a x =---+恰好有三个单调区间，所以()()2442f x x ax a =---'有两个不等零点，则()()()21616216120a a a a ∆=+-=-+>，解得1a >或2a <-.故选D.例5【2019届衡水金卷（四）】已知函数()32(0)f x ax bx x a =++>的导函数()'f x 在区间(],1-∞内单调递减，且实数a ， b 满足不等式2220b a a -++≥，则32b a --的取值范围为（ ） A. 3,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 3,62⎛⎤⎥⎝⎦ D. 13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C又32b a --的几何意义是表示平面区域内的动点Q(a,b)与定点P(2,3)连线的斜率，数形结合易知PB k 最大， PO k 最小，由方程组()23033{,1,36,22012PBa b B k b a a +=--∴-∴==-++=-， 33.22PO k -==-所以32b a --的取值范围为3,62⎛⎤⎥⎝⎦，故选C. 【名师点睛】本题的难点在于能够数形结合，看到不等式30a b +≤要联想到二元一次不等式对应的平面区域，看到不等式2220b a a -++≥要联想到二次不等式对应的曲线区域.如果这个地方不能想到数形结合，本题突破就不容易.数学的观察想象是数学能力的一个重要部分,在平时的学习中,要有意识的培养和运用.例6【2019届北京四中高三下第二次模拟】已知不等式12x m x -<-在[]0,2上恒成立，且函数()xf x e mx=-在()3,+∞上单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A. ()(),25,-∞⋃+∞B. ()(3,25,e ⎤-∞⋃⎦C. ()(2,25,e ⎤-∞⋃⎦D. ()(3,15,e ⎤-∞⋃⎦【答案】B【解析】【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质． 例7【2019届广东省江门市高三3月模拟】已知函数，若实数满足，则实数的取值范围为A. B.C.D.【答案】C【解析】由题意得函数的定义域为R ， ∵，∴函数为偶函数． 又当时，， ∴函数在上单调递增．∴，∴． ∴，即，解得，故实数的取值范围为．选C ．例8.()3211232f x x x ax =-++，若()f x 在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上存在单调递增区间，则a 的取值范围是_______ 【答案】19a >-【名师点睛】（1）已知在某区间的单调性求参数范围问题，其思路为通过导数将问题转化成为不等式恒成立或不等式能成立问题，进而求解，要注意已知函数()f x 单调递增（减）时，其导函数()'0fx ≥（0≤），勿忘等号. （2）在转化过程中要注意单调区间与不等式成立问题中也有一些区别，例如：若把本例的条件改为“在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调递增区间”，则在求解的过程中，靠不等式能成立问题的解法解出的a 的范围时19a ≥-，但当19a =-时，满足不等式的x 的解仅有23x =，不能成为单调区间，故19a =-舍去，答案依然为19a >-.例9【2019届北京市十一学校高三3月零模】设函数(),af x x x=-①若()f x 在区间[)1,+∞上不单调,实数a 的取值范围是______；②若1,a =且()()0f mx mf x +<对任意[)1,x ∈+∞恒成立,则实数m 的取值范围是______. 【答案】 (),1-∞- (),1-∞-【点睛】(1)若可导函数f(x)在(a ，b)上单调递增，则()f x '≥0在区间(a ，b)上恒成立；要检验()f x '=0。

(2)若可导函数f(x)在(a ，b)上单调递减，则()f x '≤0在区间(a ，b)上恒成立；要检验()f x '=0。

(3)可导函数f(x)在区间(a ，b)上为增函数是()f x '＞0的必要不充分条件.（4）可导函数f(x)在区间(a ，b)上不单调，则()f x '=0在区间(a ，b)上有奇次根。

例10【2019届新疆乌鲁木齐地区高三第一次监测】已知函数()()211xf x e ax a x =-++-的定义域为{|01}x x <<，其中R a ∈， 2.71828e =为自然对数的底数.（Ⅰ）设()g x 是函数()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性； （Ⅱ）若函数()f x 在区间()0,1上单调递增，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）21a e -≤≤+.【解析】试题分析：（1）对函数()g x 求导，研究这个函数的导函数，和正负，得到函数的单调性；（2）问题等价于()g x 大于等于0，分情况102a <≤， 2e a ≥， 122ea <<讨论函数的单调性和正负即可. 解析：（Ⅰ）∵()()'21xg x f x e ax a ==-++，∴()'2xg x e a =-；由于011xx e e <<⇔<<∴当1212a a ≤⇔≤时， ()'0g x >，此时()g x 在()0,1上单调递增； 当22ea e a ≥⇔≥时， ()'0g x <，此时()g x 在()0,1上单调递减；当122ea <<时， ()'0ln2g x x a >⇔>， ()'0ln2g x x a <⇔<，此时()g x 在()0,ln2a 上单调递减，在()ln2,1a 上单调递增（Ⅱ）依题意， ()0g x ≥对01x <<恒成立，由（Ⅰ）知，对01x << 当0a ≤时， ()()02020g x g a a >=+≥⇒-≤≤；令()32ln21h a a a a =-+ ()32ln22ln 1a a a =--+ 则()()()'32ln221ln 2ln2h a a l a =--+=-∴()1'022h a a >⇔<<， ()'022eh a a <⇔<< 又1522h ⎛⎫=⎪⎝⎭， 122e e h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()0h a >对122e a <<恒成立，∴此时()0g x > 综上： 21a e -≤≤+.【名师点睛】导数问题经常会遇见恒成立求参的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 ()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x > ，若()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为()()min max f x g x >（需在同一处取得最值）.【精选精练】1【2019届河北省邢台市高三上学期期末】若函数()211221af x x ax a a =-+-+-在[]1,2上单调递增，则()1f的取值范围为（ ）A. 10,7⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 1,7⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】根据题意得到()1202f x x a +'=-≥ 在[]1,2上恒成立，得到8a ≥， ()1110,17f a ⎛⎤=∈ ⎥-⎝⎦ 故答案为：A.2.【2019届河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次考评】已知()()2212ln 22f x x ax x x ax =+--在()0,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. {}1 B. {}1- C. (]0,1 D. [)1,0- 【答案】B当1x >时， 0lnx >，要使()0f x '≥恒成立，则0x a +≥恒成立1x a a +>+， 10a ∴+≥，解得1a ≥-当01x <<时， 0lnx <，要使()0f x '≥恒成立，则0x a +≤恒成立1x a a +<+， 10a ∴+≤，解得1a ≤-综上所述， 1a =- 故选B .3.【2019届高三二轮训练】若函数f (x)＝e x(－x 2＋2x ＋a)在区间[a ，a ＋1]上单调递增，则实数a 的最大值为________.【名师点睛】当()0f x '>在某个区间D 上恒成立 时，f(x)在区间D 上单调递增，当()0f x '<在某个区间D 上恒成立 时，f(x)在区间D 上单调递减.当f(x)在区间D 上单调递增时，导函数在区间D 上()0f x '≥，且要检验()0f x '=不恒恒成立。