自动控制原理07
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自动控制原理ZKYL07-01.详解
18
量化误差 计算机的字长总是有限的，因此量化单位q不可 能无限小，这势必会导致量化误差的出现。一般来 讲，量化过程有两种：
（1）只舍不入量化 只舍不入量化近似于一个取整函数，即小于量化 单位q的部分，一律舍去。量化误差 e x* (t ) x * (t ) ， x*(t)为量化前的采样信号, x * (t ) 为量化后的采样信号。 e取0~q间的任意值且机会相等，故e是[0, q]上的随机 变量称为量化噪声。量化特性曲线如图：
2
7-1 离散系统的基本概念
如果控制系统中的所有信号都是时间变量 的连续函数，则称为连续（时间）系统。 如果控制系统中有一处或几处信号是一串 脉冲或数码，或者说，这些信号仅定义在离散 时间上，则称为离散（时间）系统。
3
7-1 离散系统的基本概念
根据离散信号形式的不同，离散系统又 可以分为两种： 离散信号是脉冲序列形式的，称为采 样控制系统或脉冲控制系统； 离散信号是数码形式的，称为数字控制 系统或计算机控制系统。
14
数字控制系统中的A/D和D/A
数字控制系统中传递的离散信号是数码形式。
e(t) (1)
A/D
e * (t )
数字控制器
u * (t )
D/A
un (t )
A/D ： A/D 转换器将模拟信号转变成离散数字信号。 它包括两个过程：一是采样过程，与前述相同；二 是量化过程，即编码过程。任何离散信号在计算机 中都要转换成二进制数，才能被计算机识别，采样 * * e ( t ) e 信号e*(t)经量化后变成数字信号 。 (t ) 的断续性 还表现在幅值上。
11
2、数字控制系统
数字控制系统是一种以数字计算机为控 制器去控制具有连续工作状态的被控对象的 闭环控制系统，因此，数字控制系统包括工 作于离散状态下的数字计算机和工作于连续 状态下的被控对象两大部分。 由于数字控制系统的一系列优点及计算 机技术的发展，该种系统在军事、航空及工 业过程控制领域内都得到了广泛的应用。
量化误差 计算机的字长总是有限的，因此量化单位q不可 能无限小，这势必会导致量化误差的出现。一般来 讲，量化过程有两种：
（1）只舍不入量化 只舍不入量化近似于一个取整函数，即小于量化 单位q的部分，一律舍去。量化误差 e x* (t ) x * (t ) ， x*(t)为量化前的采样信号, x * (t ) 为量化后的采样信号。 e取0~q间的任意值且机会相等，故e是[0, q]上的随机 变量称为量化噪声。量化特性曲线如图：
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7-1 离散系统的基本概念
如果控制系统中的所有信号都是时间变量 的连续函数，则称为连续（时间）系统。 如果控制系统中有一处或几处信号是一串 脉冲或数码，或者说，这些信号仅定义在离散 时间上，则称为离散（时间）系统。
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7-1 离散系统的基本概念
根据离散信号形式的不同，离散系统又 可以分为两种： 离散信号是脉冲序列形式的，称为采 样控制系统或脉冲控制系统； 离散信号是数码形式的，称为数字控制 系统或计算机控制系统。
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数字控制系统中的A/D和D/A
数字控制系统中传递的离散信号是数码形式。
e(t) (1)
A/D
e * (t )
数字控制器
u * (t )
D/A
un (t )
A/D ： A/D 转换器将模拟信号转变成离散数字信号。 它包括两个过程：一是采样过程，与前述相同；二 是量化过程，即编码过程。任何离散信号在计算机 中都要转换成二进制数，才能被计算机识别，采样 * * e ( t ) e 信号e*(t)经量化后变成数字信号 。 (t ) 的断续性 还表现在幅值上。
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2、数字控制系统
数字控制系统是一种以数字计算机为控 制器去控制具有连续工作状态的被控对象的 闭环控制系统，因此，数字控制系统包括工 作于离散状态下的数字计算机和工作于连续 状态下的被控对象两大部分。 由于数字控制系统的一系列优点及计算 机技术的发展，该种系统在军事、航空及工 业过程控制领域内都得到了广泛的应用。
自动控制原理第07讲
执行器
接收控制器的输出信号，驱动被控对象执行相应的动作。 执行器种类繁多，如电动执行器、气动执行器和液压执行 器等。
测量元件
用于测量被控对象的参数，如流量计、温度计和压力计等 。测量元件的精度和可靠性对控制系统的性能具有重要影 响。
控制系统的软件实现
控制算法
根据控制理论，设计控制算法以实现控制目标。常用的控制算法有 PID控制算法、模糊控制算法和神经网络控制算法等。
控制系统软件
基于控制算法，开发控制系统软件，实现控制系统的各项功能。控制 系统软件通常采用模块化设计，便于维护和升级。
嵌入式系统
将控制系统软件嵌入到嵌入式系统中，实现控制系统的硬件与软件的 分离。嵌入式系统具有实时性、可靠性和低功耗等特点。
人机界面
设计人机界面，方便用户对控制系统进行监控和操作。人机界面应具 有直观、易用和可靠等特点。
控制系统的稳定性分析
稳定性是控制系统的重要性能 指标，本讲介绍了如何通过时 域法和频域法分析系统的稳定 性。
控制系统的性能指标
性能指标包括稳态误差、动态 误差、响应速度和超调量等， 这些指标用于评估控制系统的 性能。
控制系统的校正与优化
通过引入校正装置和优化算法 ，可以改善控制系统的性能， 以满足实际应用的需求。
自动控制系统的分类
总结词
根据不同的分类标准，自动控制系统可以分 为多种类型。按输入量分类可分为定值控制 系统、随动系统和程序控制系统；按系统特 性分类可分为线性系统和非线性系统；按系 统参数是否随时间变化分类可分为时变系统 和时不变系统。
详细描述
根据输入量是否恒定，自动控制系统可以分 为定值控制系统、随动系统和程序控制系统 。在定值控制系统中，设定值是恒定的，系 统需要克服各种干扰因素，使输出值保持恒 定。随动系统则是根据设定值的变化而变化 ，系统需要快速跟踪设定值的变化。程序控
自动控制原理第七章
作用后，运动仍然保持原来的频率和振幅，即这种周期运动 具有稳定性，这种现象称为自持振荡，这是非线性系统独有 的现象。
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
9
4、非线性系统不适用叠加原理
在线性系统中，若干个信号作用于系统上，我们可以分 别求单独信号作用的响应，然后再叠加就可以求出总的响应。
这给分析综合线性系统带来了很大方便。通常在典型输入函
<<自动控制原理>>第七章
22
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
23Leabharlann 二、相平面图的分析 1．线性系统奇点的类型 假设奇点在相平面的原点上， f ( x, x) 是解析函数，可用泰勒 级数将其在原点附近展开：
f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) x 0 x 0 x x 0 x g ( x, x ) x x x 0 x 0 x 0 其中，g ( x, x) 是包含 x, x 二次以上的项，在原点附近，x, x 都很小，g ( x, x) 可以忽略。注意到在奇点处有
即
dx d ( x) dx dx
表示在 ( x, x) 点和 ( x, x) 点相轨迹曲线的斜率大小相等，符 号相反，故关于 x 轴对称。
2013-12-13 <<自动控制原理>>第七章 14
若 f ( x, x)是 x 的奇函数，即 f ( x, x) f ( x, x)
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
17
c.系统的状态沿相轨迹曲线转移的方向
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
9
4、非线性系统不适用叠加原理
在线性系统中，若干个信号作用于系统上，我们可以分 别求单独信号作用的响应，然后再叠加就可以求出总的响应。
这给分析综合线性系统带来了很大方便。通常在典型输入函
<<自动控制原理>>第七章
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2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
23Leabharlann 二、相平面图的分析 1．线性系统奇点的类型 假设奇点在相平面的原点上， f ( x, x) 是解析函数，可用泰勒 级数将其在原点附近展开：
f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) x 0 x 0 x x 0 x g ( x, x ) x x x 0 x 0 x 0 其中，g ( x, x) 是包含 x, x 二次以上的项，在原点附近，x, x 都很小，g ( x, x) 可以忽略。注意到在奇点处有
即
dx d ( x) dx dx
表示在 ( x, x) 点和 ( x, x) 点相轨迹曲线的斜率大小相等，符 号相反，故关于 x 轴对称。
2013-12-13 <<自动控制原理>>第七章 14
若 f ( x, x)是 x 的奇函数，即 f ( x, x) f ( x, x)
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
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c.系统的状态沿相轨迹曲线转移的方向
自动控制原理07
P132 • T3-1 • T3-2
1) 2)
Part7.2 一阶系统的时域分析
• 一阶系统的数学模型 • 一阶系统的单位阶跃响应 • 一阶系统的单位脉冲响应 • 一阶系统的单位斜坡、单位加速度响应
1 一阶系统的数学模型
在实际工程中，有许多高阶系统的特性可以用一阶系统来 近似。
研究图示RC一阶控制系统电路，其运动微分方程为
T c(t ) c(t ) r (t )
td 0.69T tr 2.20T
ts 3T , 对应5%的误差带 ts 4T , 对应5%的误差带
峰值时间t p和超调量 %都不存在
3.一阶系统的单位斜坡响应
r(t ) t , 1 R(s) 2 s
1 1 C ( s) 2 Ts 1 s 1 T T 2 s s s 1 T
第7讲
Part7.1 典型输入信号与时域性能指标 Part7.2 一阶系统的时域分析
确定了系统的数学模型后，采用各种方法对系 统进行分析，确定其性能（动态性能、稳态性能）是 否满足预先的设计要求。
经典控制理论中，常用分析法：时域分析法、根轨 迹法和频域分析法
时域分析法就是根据控制系统的时间响应来分析系 统的动态性能、稳定性和稳态性能。 它具有直观和准确的优点，尤其适用于低阶系统。
Part7.1 典型输入信号与时域性能指标
7.1.1 典型输入信号 1.阶跃信号
卸载加载 A=1时称为单位阶跃信号
r (t ) 1(t ) 1 R( s) s
2.脉冲信号
单位脉冲信号
r (t )
1 h
r (t ) (t )
R( s ) 1
r (t )
鉴于工程上无法得到理想的脉冲函数，常 用具有一定脉宽h和有限幅度的矩形脉动 函数来代替。
1) 2)
Part7.2 一阶系统的时域分析
• 一阶系统的数学模型 • 一阶系统的单位阶跃响应 • 一阶系统的单位脉冲响应 • 一阶系统的单位斜坡、单位加速度响应
1 一阶系统的数学模型
在实际工程中，有许多高阶系统的特性可以用一阶系统来 近似。
研究图示RC一阶控制系统电路，其运动微分方程为
T c(t ) c(t ) r (t )
td 0.69T tr 2.20T
ts 3T , 对应5%的误差带 ts 4T , 对应5%的误差带
峰值时间t p和超调量 %都不存在
3.一阶系统的单位斜坡响应
r(t ) t , 1 R(s) 2 s
1 1 C ( s) 2 Ts 1 s 1 T T 2 s s s 1 T
第7讲
Part7.1 典型输入信号与时域性能指标 Part7.2 一阶系统的时域分析
确定了系统的数学模型后，采用各种方法对系 统进行分析，确定其性能（动态性能、稳态性能）是 否满足预先的设计要求。
经典控制理论中，常用分析法：时域分析法、根轨 迹法和频域分析法
时域分析法就是根据控制系统的时间响应来分析系 统的动态性能、稳定性和稳态性能。 它具有直观和准确的优点，尤其适用于低阶系统。
Part7.1 典型输入信号与时域性能指标
7.1.1 典型输入信号 1.阶跃信号
卸载加载 A=1时称为单位阶跃信号
r (t ) 1(t ) 1 R( s) s
2.脉冲信号
单位脉冲信号
r (t )
1 h
r (t ) (t )
R( s ) 1
r (t )
鉴于工程上无法得到理想的脉冲函数，常 用具有一定脉宽h和有限幅度的矩形脉动 函数来代替。
自动控制原理_第7章_2
振荡次数
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7.4.1 由相平面图求取系统运动 的时间解
平面）上的相轨迹，求取 x 关于 由相平面（ x - x
t 的函数关系式 x(t ) 。 本课程介绍两种方法：
x 求时域解 【1】 根据 t x
x x t
x t （近似式） x
20
x
AB x BC x
15
【例7-7】
画出二阶线性系统的相轨迹。
x 0 x 2n x
2 n
n 特取 0.5 ，
x0 xx x x x
1。
1 x x a 1
x dx x dx x
x x a x
16
a 1
奇点
0,0
或
3,0
6
4
相轨迹通过
相轨迹通过
x 轴处的斜率
x 轴处的斜率为 ， 即相轨迹与
x
x 轴垂直相交。
, x) dx f (x dx x
0
x
7
5
相轨迹的运动方向
0 ，相轨迹从左向右 在相平面的上半平面，x
运动；
0 ，相轨迹从右向左 在相平面的下半平面，x
x0 。绘制系统
的相轨迹图。
10
和 根据给定的微分方程式分别求出 x
得到相轨迹方程。 继续分析上一个例子。
x 关于时间
t 的函数关系，然后再从这两个关系式中消去变量 t ，
11
x
x
2
2M x x0
x
0
x0
x
0
x0
x
M 0
M 0
12
2
等倾线法
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7.4.1 由相平面图求取系统运动 的时间解
平面）上的相轨迹，求取 x 关于 由相平面（ x - x
t 的函数关系式 x(t ) 。 本课程介绍两种方法：
x 求时域解 【1】 根据 t x
x x t
x t （近似式） x
20
x
AB x BC x
15
【例7-7】
画出二阶线性系统的相轨迹。
x 0 x 2n x
2 n
n 特取 0.5 ，
x0 xx x x x
1。
1 x x a 1
x dx x dx x
x x a x
16
a 1
奇点
0,0
或
3,0
6
4
相轨迹通过
相轨迹通过
x 轴处的斜率
x 轴处的斜率为 ， 即相轨迹与
x
x 轴垂直相交。
, x) dx f (x dx x
0
x
7
5
相轨迹的运动方向
0 ，相轨迹从左向右 在相平面的上半平面，x
运动；
0 ，相轨迹从右向左 在相平面的下半平面，x
x0 。绘制系统
的相轨迹图。
10
和 根据给定的微分方程式分别求出 x
得到相轨迹方程。 继续分析上一个例子。
x 关于时间
t 的函数关系，然后再从这两个关系式中消去变量 t ，
11
x
x
2
2M x x0
x
0
x0
x
0
x0
x
M 0
M 0
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2
等倾线法
自动控制原理第七章习题答案
⑷ c(k 2) 5c(k 1) 6c(k) cos k ， c(0) c(1) 0 。 2
解：⑴ c(k 2) 6c(k 1) 8c(k) r(k) ， c(0) c(1) 0 ；
C(z)
1
z z z z ；
(z 2)(z 4) z 1 3(z 1) 2(z 2) 6(z 4)
c(nt) 1 (2 3 2n 4n ) ， n 0 。 6
⑵ c(k 2) 2c(k 1) c(k) r(k) ， c(0) c(1) 0；
C(z)
1 (z 1)2
Tz (z 1)2
； c(nT )
d dz
T zn (z 1)2
z 1
d dz
bc
；
E(z)
(k1ecT
k2ebT
k3eaT )z 2 (k1e(ab)T k2e(ac)T (z eaT )(z ebT )(z ecT )
k3e(bc)T )z
。
7-2 采样周期为 T ，试求下列函数的 Z 变换： ⑴ e(nT ) an ； ⑵ e(t) t 2e3t ；
Z[t f (t)] T z d F(z) 。 dz
证明：由 Z 变换的定义及等值变换进行证明得，
Z[t f (t)] nT f (nT )zn T z
d f (nT )zn T z d
f (nT )zn T z d F(z) 。
n0
n0 d z
1
1
1
；
(b a)(c a)(s a) (a b)(c b)(s b) (a c)(b c)(s c)
自动控制原理 第七章 非线性
x x x 0 , x(t0 ) x0 , x (t0 ) x0
将它写成微分方程组：
dx
.
x
dt.
dx
x
.
x
dt
容易求出奇点为（0，0）。
图 例7-2的根轨迹
ABCDO对应.初始条件为
x(0) 2, x(0) 7
EFO对应初.始条件为：
x(0) 0, x(0) 10
从相轨迹图可以直观地看到： 所有的相轨迹都最终收敛到 奇点（0，0），这说明系统 是渐近稳定的；可以证明， 每一条相轨迹都是向心螺旋 线，这说明系统的运动过程 是衰减振荡的。
3）相轨迹图形特征
如果微分方程满足解的存在性和唯一性条件， 那么，相轨迹（场）图一定有如下基本特征：
1)任一普通点有且只有一条相轨迹通过（解 的存在性和唯一性）；
2)相轨迹必垂直通过轴； 3)轴上方的相轨迹从左向右运动，轴下方的 相轨迹从右向左运动。
Байду номын сангаас
例7-2 作出下列二阶系统的相轨迹
.. .
..
线性系统如果某系统在某初始条件下的响应 过程为衰减振荡，则其在任何输入信号及初始条 件下该系统的暂态响应均为衰减振荡形式。例：
x& x x2 x(0) x0
（1）当初始条件xo ＜1时,1－xo＞0,上式 x(t) 具有负的特征根,其暂 态过程按指数规律衰 减,该系统稳定。
（ 2 ） 当 xo=1 时 ,1xo=0,上式的特征根为 o 零,其暂态过程为一常 量。
x a xa x a
此处： x 输入 y 输出 k 比例系数
y
ym
a
k
x
0a
ym
饱和非线性对系统的影响：
自动控制原理教案(电气07专业)PPT资料198页
给给
给给
给给
给给给
给给
给给给
给给给给
给给 给给
给给 给给 给给
给给给给给给
图1-4 微型计算机控制机床（闭环系统）
在图1-4中，引入了反馈测量元件，闭环控制系统由 于有“反馈”作用的存在，具有自动修正被控制量出 现偏差的能力，可以修正元件参数变化及外界扰动 引起的误差，所以其控制效果好，精度高。闭环控 制系统不足之处，除了结构复杂，成本较高外，一 个主要的问题是由于反馈的存在，控制系统可能出 现“振荡”。
3 复合控制系统
复合控制是闭环控制和开环控制相结合的一种方式。 它是在闭环控制等基础上增加一个干扰信号的补偿 控制，以提高控制系统的抗干扰能力。
给给给给
给给给给
给给给
—
给给给给 给给给给
给给给给
图1-5 复合控制系统框图
增加干扰信号的补偿控制作用，可以在干扰对被控 量产生不利影响的同时及时提供控制作用以抵消此 不利影响。纯闭环控制则要等待该不利影响反映到 被控信号之后才引起控制作用，对干扰的反应较慢。 两者的结合既能得到高精度控制，又能提高抗干扰 能力。
本章提要
本章提要：本章将讨论自动控制的基本 概念，自动控制系统的分类，对控制系 统的基本要求，自动控制的历史等问题。
1.1自动控制的基本原理
自动控制作为一种技术手段已经广泛地应用于工业、 农业、国防乃至日常生活和社会科学许多领域。
所谓自动控制就是指在脱离人的直接干预，利用控 制装置（简称控制器）使被控对象（如设备生产过 程等）的工作状态或简称被控量（如温度、压力、 流量、速度、pH值等）按照预定的规律运行。实 现上述控制目的，由相互制约的各部分按一定规律 组成的具有特定功能的整体称为自动控制系统。
自动控制原理第七章
自持振荡问题 根据以前的分析可知，线性系统可能会 包含二阶振荡环节，但是，由于信号或功率 在传递过程中必然出现损耗，实际工程中绝 对不存在无阻尼情况。但在非线性系统中， 即使没有外部作用，系统也有可能产生一定 频率和振幅的周期运动。并且当系统受到扰 动后，运动仍能保持原来的频率和振幅，因 此这种周期运动具有稳定性。非线性系统出 现的这种周期运动称为自持振荡。
第七章
非线性控制系统的 分析方法
本章目录
第一节 非线性控制系统概念 第二节 描述函数法 第三节 非线性系统的描述函数法分析 第四节 改善非线性系统性能的方法 第五节 相平面分析法 第六节 非线性系统的相平面分析 本章小结
在自动控制系统中，如有一个或一个以 上的环节具有非线性特性时，该自动控制系 统就称为非线性控制系统。 所谓非线性环节就是指环节的输入和输 出之间的静特性不是线性的。 在本章中，我们将讨论非线性控制系统 的分析方法。
稳定性问题 对于线性系统，若它一个平衡状态是稳 定的，可以推出其所有的平衡状态都有是稳 定的。而对于非线性系统，它的某些平衡状 态可能是稳定的，但另外一些平衡状态却可 能是不稳定的。 线性系统的稳定性只与系统的结构形式 和参数有关，而与外作用及初始条件无关。 非线性系统的稳定性不但与系统的结构形式 和参数有关，还与外作用及初始条件有关。
y B
-c
0 c x
-B
图7-05 间隙非线性
三、非线性控制系统的特殊性
叠加原理不能应用于非线性控制系统 对于线性系统，描述其运动的数学模型 是线性微分方程，因此可以应用叠加原理， 进一步还可引入传递函数、频率特性、根轨 迹等概念。由于线性系统的运动特征与输入 的大小及初始状态无关，通常可在典型输入 函数和零初始条件下对系统进行分析。但对 于非线性系统，则不能应用叠加原理，因此 也就不能应用上述概念和方法对其运行状态 进行分析。
自动控制原理第七章非线性系统ppt课件
7.1.3 非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无 法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
4M
sin t
故理想继电器特性的描述函数为
N ( A)
Y1 A
1
4M
A
请牢记！
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
2.饱和特性
当输入为x(t)＝Asinωt，且A大于线性区宽度a 时，
饱和特性的输出波形如图7-10所示。
y
x
N
M
k 0a
x
yy
0 ψ1
π
2π
ωt
0 x
ψ1
π
A sin 1
x(t) Asint
则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级 数：
y(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt ) n1
若系统满足上述第二个条件，则有A0=0
An
1
2 y(t ) cos ntd t
0
Bn
1
2 y(t ) sin ntd t
0
由于在傅氏级数中n越大,谐波分量的频率越高，An，Bn
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(3) 负虚轴 s=jω
奈奎斯特曲线
F ( s ) 1 + G( s ) H ( s ) 1+ G 0 ( s )
(1) 奈奎斯特围线г在F(s)平面的映射
可以由其在G0(s)的映射求得，它
们之间相差一个右移单位。 (2) 奈奎斯特围线г在G0(s)的映射曲线
成为奈奎斯特曲线
(3) г 的映射围线г ′在F(s)平面，即 1+G0(s)平面上对原点的包围，相
0.707+j0.707
1
1
1
-45º
0º
F (s4 ) F ( s1 )
1
0.707-j0.707 -j
F ( s3 )
1
1 1
1
45º 90º
135º
-0.707-j0.707
Contour B
F (s2 )
A pole inside clockwise red contour. Blue
contour encircles origin once c.clockwise
5 s( s 1)(2 s 1) 5 j 5(1 j )(1 j 2 ) G( j ) j (1 j )(1 j 2 ) (1 2 )(1 4 2 ) G( s )
15 5(1 2 2 ) j 2 2 (1 )(1 4 ) (1 2 )(1 4 2 )
2.5 1.5811
求与实轴的交点
Im[G0 ( j 2.5)] 5.06
如果有一条S平面的封闭围线г能包围整个右半平面，则在F(s)平面上映
射围线г’包围原点的次数N应该为：
jω
N=Z-P=闭环右极点-开环右极点
A (2)
σ
(1) r (3)
奈奎斯特围线
该封闭曲线按顺时针方向包围整个右半s平面。 (1) 正虚轴 s=jω (2) s=Rejө ω ω: 0→+∞ R→+∞ ө: +90°→-90° ω: -∞→0
4.5
奈奎斯特稳定性判据
基于系统闭环特征方程和开环传递函数来判别系统的稳定性，是
基于系统的闭环传递函数、开环传递函数是已知的前提下完成的
1933 年，乃奎斯特(Nyquist) 提出了另一种判定闭环系统稳定性的
方法，称为乃奎斯特稳定判据，简称乃氏判据。 这个判据的主要特点是利用开环频率特性判定闭环系统的稳定性。
此外，乃氏稳定判据还能够指出稳定的程度，揭示改善系统稳定性的方
法。因此，乃氏稳定判据在频率域控制理论中有着重要的地位。
4.5.1 幅角原理
s j
F ( s) 1 2 s
F ( s) 1
2 2 2 1 2 j j 2 2 2
Im S平面 F(s)平面
v0 K0 90v v 0
终点
0 90( n m )
开环系统奈奎斯特曲线绘制方法复习(2)
K s 2 (T1 s 1)(T2 s 1)
G1 G1
G1 ( s )
G1 ( j 0) 180 G1 ( j) 0 360
Phase
180º 135º 90º
s3
1
Contour A
s4
F(s) plane
F(s)
0.707+j0.707
1
1
1
45º
0º
F (s2 ) F ( s1 )
1
0.707-j0.707 -j
F ( s3 )
1
1 1
1
-45º -90º
-135º
-0.707-j0.707
Contour B
F (s4 )
例：设开环传递函数如下，试用奈奎斯特稳定性判据 判别闭环系统的稳定性
G( s) H ( s)
1 ( 1s 1)( 2 s 1)
解:
P=0 N=0
Z=P+N=0
闭环系统在右半s平面不
存在极点，闭环系统是稳定
的。
例：设开环传递函数如下，试用奈奎斯特稳定性判据 判别闭环系统的稳定性
52 G0 ( s ) ( s 2)( s 2 2 s 5)
解
G( j 0) 90 G( j) 0 270
渐近线： 与实轴交点：
Re[G( j 0)] 15
2 0.707 15 10 Re[G( j 0.707)] (1 0.5)(1 4 0.5) 3
Im[ G( j )] 0
1
K ( s 1) G2 ( s ) 2 s (T1 s 1)(T2 s 1)(T3 s 1)
G2 ( j 0) 180
G2 G2 ( 180) G2 G2 ( 180)
G2 ( j) 0 360
开环系统奈奎斯特曲线绘制方法复习(3)
52(10 4 2 ) Re[G0 ( j )] 2 2 2 (4 2 ) (5 ) 4 52( 3 9 ) Im[G0 ( j )] 2 2 2 (4 2 ) (5 ) 4
求与虚轴的交点
52(10 4 2 ) Re[G0 ( j )] =0 2 2 2 2 (4 ) (5 ) 4
F ( s ) u jv
jω A (-1,j1)
Re
A(0,-j1)
S平面在F(s)平面上的映射
j
j
j
s-plane
F(s)-plane
D A F(s)=2s+1
1 B -1
A
2j
D
-1 C
3
-j C
B -2j
围线包围零极点不同情况下的映射情况
F (s) s 2
s plane
s2
1 zero in exterior of contour A clockwise
Contour B does not contain origin
1 pole in exterior of contour A
counterclockwise
Contour B does not contain origin
4.5.2
奈奎斯特稳定判据
闭环传递函数
B( s ) G0 ( s ) G ( s ) H ( s ) A( s ) G0 ( s ) B( s ) W ( s) 1 G0 ( s ) A( s ) B( s ) F ( s ) 1+ G 0 ( s ) 1 B( s ) A( s ) B( s ) A( s ) A( s )
如果系统开环传递函数在右半s平面内有P个极点，且
奈奎斯特曲线对(-1,j0)点的包围次数为N(N＞0表示顺时针， N＜0表示逆时针)，则系统闭环特征方程在右半s平面内的根 数为：
Z=N+P 若Z=0，闭环系统稳定；否则不稳定。
开环系统奈奎斯特曲线绘制方法复习(1)
K (T1T2 ) K G( s ) v s (T1 s 1)(T2 s 1) s v ( s 1 T1 )( s 1 T2 )
F (s2 ) F ( s1 )
F ( s3 )
1
F (s4 )
3
-0.707-j0.707
1.47
-28.70º
F(s)的零点不在红色围线的包围中,蓝色围线
围线B
不包围坐标的原点
F ( s) s
s plane
s2
s1
1
Points
-1 -0.707+j0.707 j
Magnitude
1 1 1
辅助函数
1) F(s) 的零点为闭环传递函数的极点(闭环特征方程的根)，F(s)的极
点为开环传递函数的极点； 2) 因为开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等于分子多项式的
阶次，故F(s)的零点和极点数相同；
3) 闭环系统稳定，则F(s)的零点必须全部在S平面的左半部。
柯西幅角定理应用的设想
F ( s) A( s ) B( s ) 1+ G 0 ( s ) A( s )
F(s)的一个零点被红色围线顺时针包围的情况下，
蓝色围线顺时针包围坐标原点一次
F ( s) s 1
s plane
s2
s1
1
Points
-1 -0.707+j0.707 j
Magnitude
1 1 1
Phase
-180º -135º -90º
s3
1
Contour A
s4
F(s) plane
F(s)
2 52(2 j ) (5 ) 2 j 2 2 2 (4 2 ) (5 ) 4
52(10 4 2 ) 52( 3 9 ) j 2 2 2 2 2 2 2 2 (4 ) (5 ) 4 (4 ) (5 ) 4
v
0
I II III
起点
G( j )
K (1 jT1 )(1 jT1 ) K j (1 jT1 )(1 jT1 )
G( j 0)
K0 90
G( j )
0 180 0 270
K ( j )2 (1 jT1 )(1 jT1 ) 180 0 360 K ( j )3 (1 jT1 )(1 jT1 ) 270 0 450
j
s平面
s1
1
z1
Im
F(s)平面
F
p2
2