2016宁夏公务员考试行测常识备考：剩余定理之韩信点兵
韩信点兵
简介：韩信点兵又称为中国剩余定理，乃由于相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
韩信点兵是一个很有趣的猜数游戏，随便抓一把蚕豆粒，假若3个一数余1粒，5个一数余2粒，7个一数余2粒，那么所抓的蚕豆有多少粒?这类题目看起来是很难计算的，可是中国古时却流传着一种算法，它的名称也很多，宋朝周密叫它「鬼谷算」，又名「隔墙算」；杨辉叫它「剪管术」；而比较通行的名称是「韩信点兵」。
最初记述这类算法的是一本名叫「孙子算经」的书，后来在宋朝经过数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做「大衍求一术」，流传到西洋以后，外国化称它是「中国剩余定理」，在数学史上是极有名的问题。
至于它的算法，在「孙子算经」上就已经有了说明：“凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五”，而且还流传着这么一首歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
这就是韩信点兵的计算方法，《孙子算经》中给出了其中关键的步骤是：但在《孙子算经》中并没有说明求乘数的方法，直到1247年宋代数学家秦九韶在《数书九章》中才给出具体求法：70是5与7最小公倍的2倍，21、15分别是3与7、3与5最小公倍数的1倍。
秦九韶称这2、1、1的倍数为“乘率”，求出乘率，就可知乘数，意思是说：凡是用3个一数剩下的余数，将它用70去乘（因为70是5与7的倍数，而又是以3去除余1的），5个一数剩下的余数，将它用21去乘（因为21是3与7的倍数，又是以5去除余1的），7个一数剩下的余数，将它用15去乘（因为15是3与5的倍数，又是以7去除余1的），最后将70、5、15这些数加起来，若超过105，就再减掉105，所得的数便是原来的数了。
根据这个道理，你就可以很容易地把前面一个题目列成算式：1×70＋2×21＋2×15－105＝142－105＝37。
韩信点兵又称为中国剩余定理
簡介：韓信點兵又稱為中國剩餘定理，乃由於相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統御兵士多少，韓信答說，每3人一列餘1人、5人一列餘2人、7人一列餘4人、13人一列餘6人……。
劉邦茫然而不知其數。
韓信點兵是一個很有趣的猜數遊戲，隨便抓一把蠶豆粒，假若3個一數餘1粒，5個一數餘2粒，7個一數餘2粒，那麼所抓的蠶豆有多少粒?這類題目看起來是很難計算的，可是中國古時卻流傳著一種算法，它的名稱也很多，宋朝周密叫它「鬼谷算」，又名「隔牆算」；楊輝叫它「剪管術」；而比較通行的名稱是「韓信點兵」。
最初記述這類算法的是一本名叫「孫子算經」的書，後來在宋朝經過數學家秦九韶的推廣，又發現了一種算法，叫做「大衍求一術」，流傳到西洋以後，外國化稱它是「中國剩餘定理」，在數學史上是極有名的問題。
至於它的算法，在「孫子算經」上就已經有了說明：“凡三三數之剩一，則置七十；五五數之剩一，則置二十一；七七數之剩一，則置十五”，而且還流傳著這麼一首歌訣：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。
這就是韓信點兵的計算方法，《孫子算經》中給出了其中關鍵的步驟是：但在《孫子算經》中並沒有說明求乘數的方法，直到1247年宋代數學家秦九韶在《數書九章》中才給出具體求法：70是5與7最小公倍的2倍，21、15分別是3與7、3與5最小公倍數的1倍。
秦九韶稱這2、1、1的倍數為“乘率”，求出乘率，就可知乘數，意思是說：凡是用3個一數剩下的餘數，將它用70去乘（因為70是5與7的倍數，而又是以3去除餘1的），5個一數剩下的餘數，將它用21去乘（因為21是 3與 7的倍數，又是以5去除餘1的），7個一數剩下的餘數，將它用15去乘（因為15是3與5的倍數，又是以 7去除餘 1的），最後將70、5、15這些數加起來，若超過105，就再減掉105，所得的數便是原來的數了。
根據這個道理，你就可以很容易地把前面一個題目列成算式：1×70＋2×21＋2×15－105＝142－105＝37。
中国剩余定理与韩信点兵
中国剩余定理与韩信点兵例1：一个两位数，用它除58余2，除73余3，除85余1，这个两位数是多少？分析解答：用一个两位数除58余2，除73余3，除85余1，那么58-2=56，73-3=7 0，85-1=84能被这个两位数整除，这个两位数一定是56、70和84的公约数。
由可可见，56、70、84的两位数公约数是27=14，可见这个两位数是14。
例2：有一个数，除以3余数是1，除以4余数是3，这个数除以12余数是多少？分析解答：因为除以3余数是1的数是1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，…除以4余数是3的数是3，7，11，15，19，23，27，31…所以，同时符合除以3余数是1，除以4余数是3的数有7，19，31，…这些数除以12余数均为7。
例3：学习委员收买练习本的钱，她只记下四组各交的钱，第一组2.61元，第二组3.19元，第三组2.61元，第四组3.48元，又知道每本练习本价格都超过1角，全班共有_____人。
分析解答：根据题意得319-261=练习本单价第二、一组人数之差，348-319=练习本单价第四、二组人数之差。
即练习本单价第二、一组人数之差=58，练习本单价第四、二组人数之差=29，所以，练习本单价是58与29的公约数，这样，练习本的单价是29分，即0.29元。
因此，全班人数是[注]这里为了利用练习本单价是总价的公约数这一隐含条件，将小数化成整数来考虑，为解决问题提供了方便。
这里也可直接找261、319和348的公约数，但比较困难。
上述解法从一定意义上说是受了辗转相除法的启示。
拓展训练营：1、有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个。
这盒乒乓球至少有多少个?2、求被6除余4，被8除余6，被10除余8的最小整数。
3、一盒围棋子，三只三只数多二只，五只五只数多四只，七只七只数多六只，若此盒围棋子的个数在200到300之间，问有多少围棋子?4、求一数，使其被4除余2，被6除余4，被9除余8。
2016宁夏公务员考试行测备考技巧：剩余问题
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在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”意思就是，“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。
求适合这个条件的最小数？”类似于这个问题的题目，我们称之为剩余问题。
在《孙子算经》中给出了它的一种解法：三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。
将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。
列式计算就是：70×2＋21×3＋15×2=233，233大于105的2倍210，则所求最小的数就是233-105×2=23。
其中，70、21、15分别是从3、5、7的最小公倍数3×5×7=105中分别除以3、5、7再乘以相应的整数2、1、1得到的。
而70、21、15分别除以3、5、7，余数都是1。
在明朝时，数学家程大位把这一解法编成四句歌诀：三人同行七十（70）稀，五树梅花廿一（21）枝，七子团圆正月半（15），除百零五（105）便得知。
在公务员的考试中，也有类似的试题出现。
除了使用这种基本方法外，有些题目也有自己的性质，可以采取一些特别的方法。
例1：某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是（）A.140B.569C.712D.998解析：这道题的三个数分别相乘的结果比较大，都大于100；而三个数的公倍数则超过2000千，因此，用《孙子算经》来解计算量是很大的。
公务员考试行测：剩余定理之韩信点兵
辽宁中公教育：公考咨询交流、公考资讯早知道、公考资料获取，尽在中公网更多复习资料：/传说汉朝大将韩信用一种特殊方法清点士兵的人数。
他的方法是：让士兵先列成三列纵队(每行三人)，再列成五列纵队(每行五人)，最后列成七列纵队(每行七人)。
他只要知道这队士兵大约的人数，就可以根据这三次列队排在最后一行的士兵是几个人，而推算出这队士兵的准确人数。
韩信当时看到的三次列队，最后一行的士兵人数分别是2人、2人、4人，并知道这队士兵约在三四百人之间，你能很快推算出这队士兵的人数吗?如果你掌握了中国剩余定理，你是可以做到的，下面给大家介绍一下中国剩余定理的几种形式。
一.余同加余现在有一堆苹果，分给一群人，每个人分3个，剩两个，每个人分4个，剩两个，如何求苹果总数的表达式呢?我们来分析一下，根据已知条件我们可知苹果数除以3余2，除以4也余2，余数相同都为2，我们如果设苹果总数为X,说明(X-2)既能被3整除又能被4整除，也就是能被3和4的最小公倍数12整除，所以X-2=12N,X=12N+2，所以当余数相同时，表达式为除数的公倍数加上相同的余数，这就是余同加余的含义。
二.和同加和现在还是有一堆苹果，每个人分4个剩1个，每个人分3个剩2个，求苹果总数的表达式，分析一下题干，两种情况余数不同，但是除数与余数的和相同，都为5，除以4余1，是相当于除以4余5，除以3余2，相当于除以3余5，那么现在我们就把和同的形式转化成了余同的形式，根据上段的结论，苹果数的表达式X=12N+5，从而我们得出了第二个结论，当除数与余数的和相同时，就用除数的公倍数加上这个相同的和。
三.差同减差一堆苹果，每个人分4个剩3个，每个人分5个剩4个，求苹果总数的表达式，发现两种情况虽然余数不同，但是除数与余数的差值相同，每个人分4个剩3个，说明如果再有一个苹果就可以再分给一个人，也就相当于每个人分4个少1个，同理每个人分5个剩4辽宁中公教育：公考咨询交流、公考资讯早知道、公考资料获取，尽在中公网 个相当于每个人分5个少一个，说明苹果数除以4余-1，除以5余-1，现在我们就把差同的形式转化成了余同的形式了。
第三模块重点学习内容韩信点兵与中国剩余定理
《孙子算经》中的题目 孙子算经》
我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知数” 我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知数” 的题目： 的题目： 今有物不知其数， 今有物不知其数， 三三数之剩2 三三数之剩2， 五五数之剩3 五五数之剩3， 七七数之剩2 七七数之剩2， 问物几何？ 问物几何？ 这里面又有什么秘密呢？题目给出的条件， 这里面又有什么秘密呢？题目给出的条件，也仅仅是 作除法时的余数 余数。 作除法时的余数。
0≤r<b
当余数r =0时 整” 当余数 =0时，则 a=bq，称为 “a被b整除”，或“b ， 被 整除 的另一种表达形式。 ” 的另一种表达形式。
所以，带余除法是通常除法的推广。 所以，带余除法是通常除法的推广。
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回到求“用2除余1的数”的问题。 回到求“ 除余1的数”的问题。 设这样的数为x， 这里x是被除 设这样的数为 ，则 x = 2n1 + 1。这里 是被除 是除数， 是商， 是余数， 数，2是除数， n1 是商，1是余数，且 0 ≤ 1 < 2 。 就是“带余除法” x = 2n1 + 1(0 ≤ 1 < 2) 就是“带余除法”的式 子. 当取 组成上述数列
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所谓“带余除法” 是指整数的如下 除法” 所谓“带余除法”，是指整数的如下 “除法”： 整数
对任意给定被除数a，不为零的除数 ， 对任意给定被除数 ，不为零的除数b，必唯一存在商 q和余数 ，使 和余数r， 和余数
a = bq + r ,
a 整除a”，这是通常除法“ 整除 ，这是通常除法b = q “
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,… 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,
中国剩余定理的应用实例韩信点兵
中国剩余定理的应用实例——韩信点兵物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。
原题为："今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何?"这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。
如果三件三件地数，就会剩下两件;如果五件五件地数，就会剩下三件;如果七件七件地数，也会剩下两件。
问：这批物品共有多少件?变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2.求这个数。
这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23;23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。
这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。
如果没有这个特殊性，问题就不那么简单了，也更有趣儿得多。
我们换一个例子;韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人。
问：这队士兵至少有多少人?这个题目是要求出一个正数，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的数尽可能地小。
如果一位同学从来没有接触过这类问题，也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案。
例如我们从用3除余2这个条件开始。
满足这个条件的数是3n+2，其中n是非负整数。
要使3n+2还能满足用5除余3的条件，可以把n分别用1，2，3，…代入来试。
当n=1时，3n+2=5，5除以5不用余3，不合题意;当n=2时，3n+2=8，8除以5正好余3，可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件。
最后一个条件是用7除余4.8不满足这个条件。
我们要在8的基础上得到一个数，使之同时满足三个条件。
为此，我们想到，可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和。
因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3.于是我们让新数为8+15m，分别把m=1，2，…代进去试验。
当试到m=3时，得到8+15m=53，53除以7恰好余4，因而53合乎题目要求。
剩余定理
中国剩余定理【知识概要】在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立了卓绝的功劳。
据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7 报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。
这个故事中所说的韩信点兵的计算方法，现在被称为“中国剩余定理”。
我们现在一起来学习解决这类问题的特殊方法。
逐步满足条件法：当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意利用利用余数的性质，要加上已满足条件中除数的倍数。
一个数除以2个或3个不同的数，得到的余数相同，可以求这几个除数的公倍数．然后再加上余数得出该数．有些时候也需要使用一些小技巧，把该数加几，最后通过求公倍数等步骤得出原数【典型例题】例1、小明的妈妈将一堆鸡蛋放到包装箱中，12个装一箱，还多1个；18个装一箱，还是多1个。
这堆鸡蛋至少有多少个？练：图书室有一批新到的课外书，无论是分成5本一叠，还是分成8本一叠，最后都多出3本．这批新到的课外书至少有多少本？例2、王老师买来36支铅笔和40本练习本，平均奖给五(l)班的三好学生，结果铅笔多1支，练习本少2本。
五（1）班三好学生最多有多少人？练2、小明妈妈把33个桃子、48个苹果平均分给全家每个人，结果桃子少2个，苹果多3个，小明家有多少人？例3、把一堆桃子平均分给每只猴子，若每只猴子分了3个则余2个，若每只猴子分4个则余3个，若每只猴分6个则余5个。
这堆桃子至少有几个？练：有一批树苗，每捆5棵多1棵，每捆6棵多2棵，每捆7棵多3棵。
这批树苗至少有多少棵？例4、有一些糖果，平均分给3个小朋友多1块，平均分给4个小朋友多3块，平均分给5个小朋友少1块．这些糖果最少有多少块？练：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。
韩信点兵问题
韩信点兵问题韩信点兵问题又称“中国剩余定理”或“孙子定理”。
这种问题好多老师的讲解方法很笨拙，同学们做起来也很吃力，不少好学生在考试时，用了大量的时间研究这道题，为了提高我们的解题速度及正确率，现将我的经验和解题技巧提供给大家。
这类问题的解法根据是：1、如果被除数增加除数的若干倍，除数不变，那么余数不变。
例如：19÷7=2 (5)（19+2×7）÷7=4 (5)2、如果被除数扩大若干倍，除数不变，那么余数也扩大同样的倍数。
例如：20÷9=2 (2)（20×3）÷9=6 (6)例1、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1.求适合这些条件的最小数。
【5，6】=30 因为30÷7=4……2 不余1，要想余数为1，就得将余数2扩大4倍，即被除数扩大4倍，得30×4=120，所以120除以7余1。
【5，7】=35 因为 35÷6=5……5 ，要想余数为4，就得将余数5扩大2倍，那么被除数30就得扩大2倍，即35×2=70所以70÷6余4.【6，7】=42 因为42÷5=8……2 要想符合题中要求余3的话，余数2就得扩大4倍，即被除数扩大4倍，得42×4=168，168除以5余3.现找到的符合题中条件的一个数为：120+70+168=358 ，但不是最小的数，要想最小，就得减去除数5、6、7的最小公倍数，直到不够减为止。
【5，6，7】=210 ， 358-210=148 ，所以答案为148完整的算式为：【5，6】=30 30÷7=4……2 30×4=120【5，7】=35 35÷6=5……5 35×2=70【6，7】=42 42÷5=8……2 42×4=168【5，6，7】=210120+70+168=358 358-210=148答：符合条件的最小的数是148.注：也可能会出现四个除数，不管有几个除数，都是用其它几个数的最小公倍数除以另外一个数，再找符合该条件的余数的被除数。
公务员行测数学题--剩余定理
行测考试中关于剩余定理的巧妙应用中国古代着名数学着作<孙子算经>记载，"今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？"此问题为中国剩余定理的原型。
下面介绍公务员行测考试中常见的集中情况和中国剩余定理的巧妙应用，以及中国剩余定理在解决实际问题中的应用。
一.基本题型【例1】以上题为例：物品的个数满足除以3余2，除以5余3，除以7余2，则物品至少有多少个？（）A 21, B23 C37 D43解析：选B. 余数问题：待入排除法，选B.【例2：层层推进解法】以上题为例：物品的个数满足除以3余2，除以5余3，除以7余2，则物品有多少个？（）解析：满足除以3余2的最小数为2，在2的基础上每次加3，直到满足除以5余3，这个最小的数为8；在8的基础上每次加3、5的最小公倍数15，直到满足除以7余2，这个数最小为23,。
所以满足条件的最小自然数为23，而3、5、7的最小公倍数为105，所以满足条件的数可以表示为105N+23(n=0,1,2,3,。
)【例3：上海2011年3月19-61.】韩信故乡淮安民间留传着一则故事-----"韩信点兵"。
秦朝末年，楚汉相争。
有一次，韩信率1500名将士与楚军交战，战后检点人数。
他命将士3人一排，结果多出2名；命将士5人一排，结果多出3名；命将士7人一排，结果又多出2名，用兵如神的韩信立刻知道尚有将士人数。
已知尚有将士人数是下列四个数字中的一个。
则该数字是（）A868 B998 C1073 D1298解析：选C. 余数问题：待入排除法，选C.二：同余问题同余问题核心口诀（应先尝试代入法、试值法）同余问题：给出一个数除以几个不同的数的余数，反求这个数，称作同余问题"公倍数作周期：余同取余，和同加和，差同减差。
"1.余同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同此时该数可以选这个相同的余数，余同取余例："一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1"，则取1，表示为60n+12.和同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的和相同此时该数可以选这个相同的和数，和同加和例："一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1"，则取7，表示为60n+73.差同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的差相同此时该数可以选除数的最小公倍数减去这个相同的差数，差同减差例："一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3"，则取-3，表示为60n-3。
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信点兵
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所谓韩信点兵是指传说汉朝大将韩信用一种特殊方法清点士兵的人数。
他的方法是：让士兵先列成三列纵队(每行三人)，再列成五列纵队(每行五人)，最后列成七列纵队 (每行七人)。
他只要知道这队士兵大约的人数，就可以根据这三次列队排在最后1行的士兵是几个人，而推算出这队士兵的准确人数。
韩信当时看到的三次列队，最后一行的士兵人数分别是2人、2人、4人，并知道这队士兵约在三四百人之间，你能很快推算出这队士兵的人数吗?
如果你掌握了中国剩余定理，你是可以做到的，下面中公教育专家给大家介绍一下中国剩余定理的几种形式。
一.余同加余
现在有一堆苹果，分给一群人，每个人分3个，剩两个，每个人分4个，剩两个，如何求苹果总数的表达式呢?我们来分析一下，根据已知条件我们可知苹果数除以3余2，除以4也余2，余数相同都为2，我们如果设苹果总数为X,说明(X-2)既能被3整除又能被4整除，也就是能被3和4的最小公倍数12 整除，所以X-2=12N,X=12N+2，所以当余数相同时，表达式为除数的公倍数加上相同的余数，这就是余同加余的含义。
二.和同加和
现在还是有一堆苹果，每个人分4个剩1个，每个人分3个剩2个，求苹果总数的表达式，分析一下题干，两种情况余数不同，但是除数与余数的和相同，都为5，除以4余1，是相当于除以4余5，除以3余2，相当于除以3余5，那么现在我们就把和同的形式转化成了余同的形式，根据上段的结论，苹果数的表达式X=12N+5，从而我们得出了第二个结论，当除数与余数的和相同时，就用除数的公倍数加上这个相同的和。
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三.差同减差
一堆苹果，每个人分4个剩3个，每个人分5个剩4个，求苹果总数的表达式，发现两种情况虽然余数不同，但是除数与余数的差值相同，每个人分4个剩3个，说明如果再有一个苹果就可以再分给一个人，也就相当于每个人分4个少1个，同理每个人分5个剩4个相当于每个人分5个少一个，说明苹果数除以4余 -1，除以5余-1，现在我们就把差同的形式转化成了余同的形式了。
苹果数X=20N-1,从而得出了第三个结论，当除数与余数的差相同时，就用除数的公倍数加上这个相同的差。
四.逐步满足法
一堆苹果每个人分7个剩3个，每个人分3个剩2个，求苹果总数的表达式。
这道题余数不同，和不同，差也不同，这类问题只能用逐步满足法，也就是逐一满足条件，我们首先要找出符合题目中所有条件的最小数字，根据第一句话可知苹果数可表达为7N+3的形式，当N=2时符合第二个条件，所以满足条件的最小数为17，苹果总数的表达式为这个最小数加上除数的公倍数，即17+21N.
学习完这些理论，下面我们来解一下韩信点兵这个题目，根据已知条件可知人数除以3余2，除以5余2，除以7余4，根据前两个条件可知人数,可首先表示成15N+2，当N=2时，满足除以7余4，所以满足所有条件的最小数为32，人数的最终表达式为32加3、5、7的公倍数，即32+105N.又已知总人数在300到400之间，所以令N=3，总数为32+105×3=347.
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