第6章不等式推理与证明第5讲综合法与分析法反证法知能训练轻松闯关理北师大版
高考数学北师大(理)一轮复习课件：7.4 综合法、分析法、反证法
找出某个结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证
明这个中间结论,从而使原命题得证. 3 .当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中
所需知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、
绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.
考点1
考点2
考点3
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考点1
考点2
考点3
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思考综合法的适用题型是哪些?综合法证明问题是怎样实现的?
解题心得1 .综合法的适用范围是:(1)定义明确的问题,如证明函 数的单调性、奇偶性等,求证没有限制条件的等式或不等式.(2)已 知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.
(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要
条件.×( )
(3)用反证法证明结论“a>b ”时,应假设“a<b ”. ×( )
(4)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾. ( × )
(5)在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综
合法展现解决问题的过程. ( √ )
(6)证明不等式
最合适的方法是分析
法√. ( )
知识梳理
考点自诊
随堂巩固
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2 .若a,b ,c是不全相等的实数,求证:a2+b 2+c 2>ab+bc+ca. 证
明过程如下:
因为a,b ,c∈R ,所以a2+b 2≥2 ab ,b 2+c 2≥2 bc ,c2+a 2≥2 ac.
又因为a,b ,c不全相等,
2 .综合法是一种由因索果的证明方法,其逻辑依据也是三段论式
近年高考数学复习 第6章 不等式、推理与证明 第5节 综合法与分析法、反证法教师用书 文 北师大版
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第五节综合法与分析法、反证法［考纲传真］ 1.了解直接证明的两种基本方法-—分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
2。
了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点．1．综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法．2．分析法从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这样的思维方法称为分析法．3．反证法(1)定义：在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．（2)反证法的证明步骤是：①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设,肯定结论．1．（思考辨析）判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”）（1）综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．( )(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件．（）（3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．（)（4）在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( )[答案］(1）√（2）×(3）×(4）√2．要证明错误!＋错误!〈2错误!,可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )A．综合法B．分析法C．反证法D．归纳法B[要证明错误!＋错误!<2错误!成立，可采用分析法对不等式两边平方后再证明．]3．用反证法证明命题:“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根A[“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根"的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根"，故选A。
高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第5讲综合法与分析法反证法知能训练轻松闯关理北师大版
第讲综合法与分析法、反证法．(·高考山东卷)用反证法证明命题：“设，为实数，则方程＋＋＝至少有一个实根”时，要做的假设是( )．方程＋＋＝没有实根．方程＋＋＝至多有一个实根．方程＋＋＝至多有两个实根．方程＋＋＝恰好有两个实根解析：选.依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程＋＋＝至少有一个实根的反面是方程＋＋＝没有实根，故应选.．若，∈，则下面四个式子中恒成立的是( )．＋≥(－－)．(＋)><．＋> 解析：选.在中，因为＋－(－－)＝(－＋)＋(＋＋)＝(－)＋(＋)≥，所以＋≥(－－)恒成立．．(·河北省衡水中学一模)某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一个人说了真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是( )．乙．甲．丁．丙解析：选.假如甲说了真话，则乙、丙、丁都说了假话，那么丙不是小偷，丁不是小偷，丁偷了珠宝，显然矛盾，故甲说了假话，即甲是小偷，故选.．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设>>，且＋＋＝，求证：<”索的因应是( )．－>．－>．(－)(－)<．(－)(－)>解析：选<⇔－<⇔(＋)－<⇔＋＋－－<⇔－＋＋<⇔－－>⇔(－)(＋)>⇔(－)(－)>.故选.．(·银川模拟)设，，是不全相等的正数，给出下列判断：①(－)＋(－)＋(－)≠；②>，<及＝中至少有一个成立；③≠，≠，≠不能同时成立，其中正确判断的个数为( )．．．．解析：选.①②正确；③中，≠，≠，≠可以同时成立，如＝，＝，＝，故正确的判断有个．．设()是定义在上的奇函数，且当≥时，()是递减的，若＋>，则()＋()的值( )．恒等于零．恒为负值．无法确定正负．恒为正值解析：选.由()是定义在上的奇函数，且当≥时，()单调递减，可知()是上的单调递减函数，由＋>，可知>－，()<(－)＝－()，则()＋()<.．用反证法证明命题“，∈，可以被整除，那么，中至少有一个能被整除”，那么假设的内容是．解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故应假设“，中没有一个能被整除”．答案：，中没有一个能被整除．下列条件：①>，②<，③>，>，④<，<，其中能使＋≥成立的条件的序号是．解析：要使＋≥，只需>且>成立，即，不为且同号即可，故①③④能使＋≥成立．答案：①③④．(·高考课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过，，三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为．解析：由题意可推断：甲没去过城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过，城市，而乙“没去过城市”，说明乙去过城市，由此可知，乙去过的城市为.答案：．已知点(，)为函数＝图像上的点，(，)为函数＝图像上的点，其中∈*，设＝－，则与＋的大小关系为．解析：由条件得＝－＝－＝，所以随的增大而减小，所以＋<.答案：＋<.如图，在四棱锥中，⊥底面，是直角梯形，⊥，∥，＝＝＝，是的中点．()求证：∥平面；()求证：平面⊥平面.证明：()作线段的中点，连接，(图略)，则＝，∥，所以四边形是平行四边形，则∥.又∥，且∩＝，所以平面∥平面.又在平面内，所以∥平面.()因为⊥底面，所以⊥，因为是直角梯形，且＝＝＝，所以＝，＝.因为＝＋，所以⊥，因为∩＝，所以⊥平面，因为⊂平面，所以平面⊥平面.．已知函数()＝(＋)，()＝＋－＋，函数＝()与函数＝()的图像在交点(，)处有公共切线．()求，的值；()证明：()≤()．解：()′()＝，′()＝－＋，由题意得解得＝，＝.()证明：令()＝()－()＝(＋)－＋－(>－)．′()＝－＋－＝.()在(－，)上为增函数，在(，＋∞)上为减函数．()＝()＝，()≤()＝，即()≤()．．(·山西省质量监测)对累乘运算Π有如下定义：Π＝··…·，则下列命题中的真命题是( )．Π),\(＝))不能被整除) （－）,Π(,\( ),\(＝)) （－）)＝．Π),\(＝))(－)不能被整除．Π),\(＝))(－)Π),\(＝))＝Π),\(＝))解析：选.Π),\(＝))(－)Π),\(＝))＝(×××…× )×(×××…× )＝×××…×。
高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第5讲 综合法与分析法、反证法知能训练轻松闯关 文 北师大版
第5讲综合法与分析法、反证法1．(2014·高考山东卷)用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A.依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.2．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )A．lg(1＋a2)>0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab>2b2 D.ab<a＋1 b＋1解析：选B.在B中，因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b ＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．3．(2016·河北省衡水中学一模)某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一个人说了真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是( )A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选A.假如甲说了真话，则乙、丙、丁都说了假话，那么丙不是小偷，丁不是小偷，丁偷了珠宝，显然矛盾，故甲说了假话，即甲是小偷，故选A.4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3 a”索的因应是( )A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：选C.b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.故选C.5．(2016·银川模拟)设a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b，a<b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立，其中正确判断的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.①②正确；③中，a≠b，b≠c，a≠c可以同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3，故正确的判断有2个．6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)是递减的，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负解析：选A.由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0. 7．用反证法证明命题“a ，b ∈R ，ab 可以被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是________． 解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故应假设“a ，b 中没有一个能被5整除”． 答案：a ，b 中没有一个能被5整除8．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b≥2成立的条件的序号是________．解析：要使b a ＋a b ≥2，只需b a >0且a b >0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④能使b a ＋a b≥2成立．答案：①③④9．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________． 解析：由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A. 答案：A10．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图像上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图像上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．解析：由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n，所以c n 随n 的增大而减小，所以c n ＋1<c n . 答案：c n ＋1<c n11．已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝a ＋bx －12x 2＋13x 3，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图像在交点(0，0)处有公共切线． (1)求a ，b 的值；(2)证明：f (x )≤g (x )．解：(1)f ′(x )＝11＋x，g ′(x )＝b －x ＋x 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＝f （0），f ′（0）＝g ′（0），解得a ＝0，b ＝1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln(x ＋1)－13x 3＋12x 2－x (x >－1)．h ′(x )＝1x ＋1－x 2＋x －1＝－x 3x ＋1.h (x )在(－1，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h (x )max ＝h (0)＝0， h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤g (x )．1．(2016·山西省质量监测)对累乘运算Π有如下定义：Πnk ＝1a k ＝a 1·a 2·…·a n ，则下列命题中的真命题是( )A ．Π1 007k ＝12k 不能被10100整除B.Π2 015k ＝1 （4k －2）Π2 014k ＝1 （2k －1）＝22 015C ．Π1 008k ＝1 (2k －1)不能被5100整除D ．Π1 008k ＝1 (2k －1)Π1 007k ＝12k ＝Π2 015k ＝1k解析：选 D.Π1 008k ＝1 (2k －1)Π1 007k ＝12k ＝(1×3×5×…×2 015)×(2×4×6×…×2 014)＝1×2×3×…×2 014×2 015＝Π2 015k ＝1k ，故选D.2．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. (1)求证：tan B ＝3tan A ；(2)若cos C ＝55，求A 的值．解：(1)证明：因为AB →·AC →＝3BA →·BC →，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，由正弦定理知AC sin B ＝BCsin A，从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又0<A ＋B <π，所以cos A >0，cos B >0， 所以tan B ＝3tan A .(2)因为cos C ＝55，0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝255， 从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2， 即tan(A ＋B )＝－2， 即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2，由(1)得4tan A 1－3tan 2A＝－2， 解得tan A ＝1或－13.因为cos A >0，所以tan A ＝1，所以A ＝π4.3．设f (x )是定义在D 上的函数，若对任何实数α∈(0，1)以及D 中的任意两数x 1，x 2，恒有f (αx 1＋(1－α)x 2)≤αf (x 1)＋(1－α)f (x 2)，则称f (x )为定义在D 上的C 函数．(1)证明函数f 1(x )＝x 2是定义域上的C 函数；(2)判断函数f 2(x )＝1x(x <0)是否为定义域上的C 函数，请说明理由． 解：(1)证明：对任意实数x 1，x 2及α∈(0，1)，有 f (αx 1＋(1－α)x 2)－αf (x 1)－(1－α)f (x 2)＝[αx 1＋(1－α)x 2]2－αx 21－(1－α)x 22＝－α(1－α)x 21－α(1－α)x 22＋2α(1－α)x 1x 2＝－α(1－α)(x 1－x 2)2≤0，即f (αx 1＋(1－α)x 2)≤αf (x 1)＋(1－α)f (x 2)，所以f 1(x )＝x 2是定义域上的C 函数．(2)f 2(x )＝1x(x <0)不是定义域上的C 函数，证明如下(举反例)：取x 1＝－3，x 2＝－1，α＝12，则f (αx 1＋(1－α)x 2)－αf (x 1)－(1－α)f (x 2)＝f (－2)－12f (－3)－12f (－1)＝－12＋16＋12>0，即f (αx 1＋(1－α)x 2)>αf (x 1)＋(1－α)f (x 2)，所以f 2(x )＝1x(x <0)不是定义域上的C 函数．。
2021高考数学复习第7章不等式、推理与证明第5节综合法、分析法、反证法、数学归纳法教学案理北师大版
第五节综合法、分析法、反证法、数学归纳法[最新考纲] 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.3.了解数学归纳法的原理.4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．综合法、分析法内容综合法分析法定义从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法实质由因导果执果索因框图表示P⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Q n⇒QQ⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件文字语言因为……所以……或由……得……要证……只需证……即证……(1)反证法的定义：在假定命题结论的反面成立的前提下,经过推理,若推出的结果与定义、公理、定理矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断定命题结论成立的方法叫反证法．(2)反证法的证题步骤：①作出否定结论的假设；②进行推理,导出矛盾；③否定假设,肯定结论．3．数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0,k∈N＋)时命题成立,证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n ＝1时结论成立．( ) (2)综合法是直接证明,分析法是间接证明．( )(3)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件．( ) (4)用反证法证明结论“a >b ”时,应假设“a <b ”．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材改编1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时,第一步检验n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [凸n 边形边数最小时是三角形,故第一步检验n ＝3.]2．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根,那么a ,b ,c 中至少有一个是偶数．用反证法证明时,下列假设正确的是( )A ．假设a ,b ,c 都是偶数B ．假设a ,b ,c 都不是偶数C ．假设a ,b ,c 至多有一个偶数D ．假设a ,b ,c 至多有两个偶数B [“至少有一个”的否定为“都不是”,故B 正确．]3．若P ＝a ＋6＋a ＋7,Q ＝a ＋8＋a ＋5(a ≥0),则P ,Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P ＝Q C ．P <QD ．不能确定A [假设P >Q ,只需P 2>Q 2,即2a ＋13＋2a ＋6a ＋7>2a ＋13＋2a ＋8a ＋5,只需a 2＋13a ＋42>a 2＋13a ＋40.因为42>40成立,所以P >Q 成立．故选A.]4．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1,n ∈N ＋,且a 1＝2,则a 2＝________,a 3＝________,a 4＝________,猜想a n ＝________.3 4 5 n ＋1 [易得a 2＝3,a 3＝4,a 4＝5,故猜想a n ＝n ＋1.]考点1 综合法的应用掌握综合法证明问题的思路综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列中间推理,最后导出所要求证结论的真实性．设a ,b ,c 均为正数,且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.[证明] (1)由a 2＋b 2≥2ab ,b 2＋c 2≥2bc ,c 2＋a 2≥2ac , 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca , 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1,即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1, 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1, 即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a ,b ,c 均为正数,a 2b ＋b ≥2a ,b 2c ＋c ≥2b ,c 2a ＋a ≥2c , 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c ), 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c ,所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. [母题探究] 本例的条件不变,证明a 2＋b 2＋c 2≥13.[证明] 因为a ＋b ＋c ＝1,所以1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac , 因为2ab ≤a 2＋b 2,2bc ≤b 2＋c 2,2ac ≤a 2＋c 2, 所以2ab ＋2bc ＋2ac ≤2(a 2＋b 2＋c 2), 所以1≤a 2＋b 2＋c 2＋2(a 2＋b 2＋c 2), 即a 2＋b 2＋c 2≥13.(1)不等式的证明常借助基本不等式,注意其使用的前提条件“一正、二定、三相等”；(2) 应用重要不等式a 2＋b 2≥2ab 放缩时要注意待证不等式的方向性．在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos2B ＝1.(1)求证：a ,b ,c 成等差数列；(2)若C ＝2π3,求证：5a ＝3b .[证明] (1)由已知得sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B , 因为sin B ≠0,所以sin A ＋sinC ＝2sin B , 由正弦定理, 得a ＋c ＝2b ,即a ,b ,c 成等差数列．(2)由C ＝2π3,c ＝2b －a 及余弦定理得(2b －a )2＝a 2＋b 2＋ab ,即有5ab －3b 2＝0, 即5a ＝3b .考点2 分析法的应用分析法证明问题的思路及适用范围利用分析法证明问题,先从结论入手,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件；当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,常考虑用分析法．已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 成等差数列,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. [证明] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c, 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3, 也就是c a ＋b ＋ab ＋c＝1,只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c ), 需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2,又△ABC 三内角A ,B ,C 成等差数列,故B ＝60°, 由余弦定理,得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°, 即b 2＝c 2＋a 2－ac , 故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立． 于是原等式成立．(1)用分析法证明时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等,逐步分析,直到一个明显成立的结论．(2)证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,如本例中,通过分析法找出与结论等价(或充分)的中间结论“c 2＋a 2＝ac ＋b 2”,然后通过综合法证明这个中间结论,从而使原命题得证．若a ,b ∈(1,＋∞),证明a ＋b ＜1＋ab .[证明] 要证a ＋b ＜1＋ab , 只需证(a ＋b )2＜(1＋ab )2, 只需证a ＋b －1－ab ＜0, 即证(a －1)(1－b )＜0.因为a ＞1,b ＞1,所以a －1＞0,1－b ＜0, 即(a －1)(1－b )＜0成立, 所以原不等式成立． 考点3 反证法的应用用反证法证明问题的步骤(1)反设：假定所要证的结论不成立,而设结论的反面成立．(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾,矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾．(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立,从而肯定了原命题成立．(命题成立)设a >0,b >0,且a ＋b ＝1a ＋1b.证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．[证明] 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab,a >0,b >0,得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1, 有a ＋b ≥2ab ＝2, 即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立, 则由a 2＋a <2及a >0, 得0<a <1； 同理,0<b <1, 从而ab <1, 这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．(1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时,宜用反证法来证．(2)在使用反证法证明数学命题时,反设必须恰当,如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等．等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝1＋2,S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N ＋),求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，所以d ＝2,故a n ＝2n －1＋2,S n ＝n (n ＋2)(n ∈N ＋)． (2)证明：由(1)得b n ＝S nn＝n ＋2,假设数列{b n }中存在三项b p ,b q ,b r (p ,q ,r ∈N ＋,且互不相等)成等比数列,则b 2q ＝b p b r . 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2), 所以(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0, 因为p ,q ,r ∈N ＋,所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，所以⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ,(p －r )2＝0,所以p ＝r ,与p ≠r 矛盾,所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列． 考点4 数学归纳法的应用(1)应用数学归纳法证明不等式应注意的问题①当遇到与正整数n 有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法．②用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立,推证n ＝k ＋1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法．(2)利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题,其基本模式是“归纳—猜想—证明”,即先由合情推理发现结论,然后经逻辑推理论证结论的正确性．(2019·浙江高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3＝4,a 4＝S 3.数列{b n }满足：对每个n ∈N ＋,S n ＋b n ,S n ＋1＋b n ,S n ＋2＋b n 成等比数列．(1)求数列{a n },{b n }的通项公式；(2)记c n ＝a n2b n,n ∈N ＋,证明：c 1＋c 2＋…＋c n ＜2n ,n ∈N ＋. [解] (1)设数列{a n }的公差为d , 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝4，a 1＋3d ＝3a 1＋3d ，解得a 1＝0,d ＝2, ∴a n ＝2n －2,n ∈N ＋. ∴S n ＝n 2－n ,n ∈N ＋.∵数列{b n }满足：对每个n ∈N ＋,S n ＋b n ,S n ＋1＋b n ,S n ＋2＋b n 成等比数列, ∴(S n ＋1＋b n )2＝(S n ＋b n )(S n ＋2＋b n ), 解得b n ＝1d(S 2n ＋2－S n S n ＋2),即b n ＝n 2＋n ,n ∈N ＋. (2)证明：c n ＝a n2b n ＝2n －22n n ＋1＝n －1n n ＋1,n ∈N ＋,用数学归纳法证明：①当n ＝1时,c 1＝0＜2,不等式成立； ②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时不等式成立, 即c 1＋c 2＋…＋c k ＜2k , 则当n ＝k ＋1时,c 1＋c 2＋…＋c k ＋c k ＋1＜2k ＋k k ＋1k ＋2＜2k ＋1k ＋1＜2k ＋2k ＋1＋k＝2k ＋2(k ＋1－k )＝2k ＋1,即n ＝k ＋1时,不等式也成立． 由①②得c 1＋c 2＋…＋c n ＜2n ,n ∈N ＋.用数学归纳法证明与n 有关的不等式,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化．[教师备选例题]1．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n 2n ＋2＝n4n ＋1(n ∈N ＋)．[证明] ①当n ＝1时,左边＝12×1×2×1＋2＝18,右边＝14×1＋1＝18,左边＝右边,所以等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1,k ∈N ＋)时等式成立,即有 12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k ＋2＝k4k ＋1, 则当n ＝k ＋1时,12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k 2k ＋2＋12k ＋1[2k ＋1＋2]＝k 4k ＋1＋14k ＋1k ＋2＝k k ＋2＋14k ＋1k ＋2＝k ＋124k ＋1k ＋2＝k ＋14k ＋2＝k ＋14[k ＋1＋1].所以当n ＝k ＋1时,等式也成立． 由①②可知对于一切n ∈N ＋等式都成立．2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知对任意的n ∈N ＋,点(n ,S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1,b ,r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时,记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋),证明：对任意的n ∈N ＋,不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立． [解] (1)由题意得,S n ＝b n＋r , 当n ≥2时,S n －1＝bn －1＋r . 所以a n ＝S n －S n －1＝bn －1(b －1)．由于b ＞0,且b ≠1,所以n ≥2时,数列{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝S 1＝b ＋r ,a 2＝b (b －1), 所以a 2a 1＝b ,即b b －1b ＋r＝b ,解得r ＝－1.(2)证明：由(1)及b ＝2知a n ＝2n －1.因此b n ＝2n (n ∈N ＋),所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.①当n ＝1时,左式＝32,右式＝2,左式＞右式,所以结论成立．②假设n ＝k (k ≥1,k ∈N ＋)时结论成立, 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1, 则当n ＝k ＋1时,2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋1＞k ＋1·2k ＋32k ＋1＝2k ＋32k ＋1, 要证当n ＝k ＋1时结论成立, 只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2,即证2k ＋32≥k ＋1k ＋2,由基本不等式得 2k ＋32＝k ＋1＋k ＋22≥k ＋1k ＋2成立,故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立,所以当n ＝k ＋1时,结论成立．由①②可知,n ∈N ＋时, 不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立． 已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3,g (n )＝32－12n2,n ∈N ＋.(1)当n ＝1,2,3时,试比较f (n )与g (n )的大小关系； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系,并给出证明． [解] (1)当n ＝1时,f (1)＝1,g (1)＝1, 所以f (1)＝g (1)；当n ＝2时,f (2)＝98,g (2)＝118,所以f (2)＜g (2)；当n ＝3时,f (3)＝251216,g (3)＝312216,所以f (3)＜g (3)．(2)由(1)猜想,f (n )≤g (n ),用数学归纳法证明．①当n ＝1,2,3时,不等式显然成立． ②假设当n ＝k (k ＞3,k ∈N ＋)时不等式成立, 即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3＜32－12k 2,则当n ＝k ＋1时,f (k ＋1)＝f (k )＋1k ＋13＜32－12k2＋1k ＋13.因为12k ＋12－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12k2－1k ＋13＝k ＋32k ＋13－12k2 ＝－3k －12k ＋13k2＜0,所以f (k ＋1)＜32－12k ＋12＝g (k ＋1)．由①②可知,对一切n ∈N ＋,都有f (n )≤g (n )成立．。
2019一轮北师大版(理)数学训练：第6章 第5节 课时分层训练36 综合法与分析法、反证法 含解析
课时分层训练(三十六) 综合法与分析法、反证法A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的个数有() A．2个B．3个C．4个D．5个D[由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确．]2．用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理实数根，则a，b，c中至少有一个是偶数．下列假设中正确的是()【导学号：57962314】A．假设a，b，c至多有一个是偶数B．假设a，b，c至多有两个偶数C．假设a，b，c都是偶数D．假设a，b，c都不是偶数D[“至少有一个”的否定为“一个都没有”，即假设a，b，c都不是偶数．] 3．若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是()【导学号：57962315】A．ac2<bc2B．a2>ab>b2C.1a<1b D．ba>abB[a2－ab＝a(a－b)，∵a<b<0，∴a－b<0，∴a2－ab>0，∴a2>ab.①又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，②由①②得a2>ab>b2.]4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0C [由题意知b 2－ac <3a ⇐b 2－ac <3a 2 ⇐(a ＋c )2－ac <3a 2 ⇐a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0 ⇐－2a 2＋ac ＋c 2<0 ⇐2a 2－ac －c 2>0⇐(a －c )(2a ＋c )>0⇐(a －c )(a －b )>0.]5．设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋xy ( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2C [因为x >0，y >0，z >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋y z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋z y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y z ＋z y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋z x ≥6，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2.] 二、填空题6．用反证法证明“若x 2－1＝0，则x ＝－1或x ＝1”时，应假设__________.【导学号：57962316】x ≠－1且x ≠1 [“x ＝－1或x ＝1”的否定是“x ≠－1且x ≠1”．] 7．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是__________.【导学号：57962317】m <n [法一(取特殊值法)：取a ＝2，b ＝1，得m <n .法二(分析法)：a －b <a －b ⇐b ＋a －b >a ⇐a <b ＋2b ·a －b ＋a －b ⇐2b ·a －b >0，显然成立．]8．下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b ≥2成立的条件的个数是__________．3 [要使b a ＋a b ≥2，只要b a >0，且ab >0，即a ，b 不为0且同号即可，故有3个．] 三、解答题9．已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . [证明] 要证明2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b 成立， 只需证：2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0， 即2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)≥0， 即(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0.8分∵a ≥b >0，∴a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0， 从而(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0成立， ∴2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .12分 10. (2017·南昌一模)如图6-5-1，四棱锥S -ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ＝1，DC ＝SD ＝2，M ，N 分别为SA ，SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE ＝2EB .图6-5-1(1)证明：MN ∥平面ABCD ； (2)证明：DE ⊥平面SBC .[证明] (1)连接AC ，∵M ，N 分别为SA ，SC 的中点，∴MN ∥AC ， 又∵MN ⊆/平面ABCD ，AC 平面ABCD ，∴MN ∥平面ABCD .5分(2)连接BD ，∵BD 2＝12＋12＝2，BC 2＝12＋(2－1)2＝2， BD 2＋BC 2＝2＋2＝4＝DC 2，∴BD ⊥BC . 又SD ⊥底面ABCD ，BC底面ABCD ，∴SD ⊥BC ，∴SD ∩BD ＝D ，∴BC ⊥平面SDB .8分∵DE平面SDB ，∴BC ⊥DE .又BS ＝SD 2＋BD 2＝4＋2＝6， 当SE ＝2EB 时，EB ＝63，在△EBD 与△DBS 中，EB BD ＝632＝33，BD BS ＝26＝33，∴EB BD ＝BDBS .10分又∠EBD ＝∠DBS ，∴△EBD ∽△DBS ， ∴∠DEB ＝∠SDB ＝90°，即DE ⊥BS ， ∵BS ∩BC ＝B ，∴DE ⊥平面SBC .12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤AA [∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数．∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，即A ≤B ≤C .] 2．在不等边三角形ABC 中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足__________．a 2>b 2＋c 2[由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0，得b 2＋c 2－a 2<0，即a 2>b 2＋c 2.]3．若f (x )的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ](a <b )，则称函数f (x )是[a ，b ]上的“四维光军”函数．(1)设g (x )＝12x 2－x ＋32是[1，b ]上的“四维光军”函数，求常数b 的值；(2)是否存在常数a ，b (a >－2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间[a ，b ]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.【导学号：57962318】[解] (1)由题设得g (x )＝12(x －1)2＋1，其图像的对称轴为x ＝1，区间[1，b ]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b ]上递增.2分由“四维光军”函数的定义可知，g (1)＝1，g (b )＝b ， 即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3. 因为b >1，所以b ＝3. 5分 (2)假设函数h (x )＝1x ＋2在区间[a ，b ](a >－2)上是“四维光军”函数， 因为h (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上递减， 所以有⎩⎨⎧h (a )＝b ，h (b )＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，10分解得a ＝b ，这与已知矛盾．故不存在. 12分。
高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第5讲 综合法与分析法、反证法课件 理 北师大版
(3)反证法证题的一般思路 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主要 依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是 A， 或者是非 A，即在同一讨论过程中，A 和非 A 有且仅有一个 是正确的，不能有第三种情况出现．
1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；
③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间
考点三 反证法 设{an}是公比为 q 的等比数列． (1)推导{an}的前 n 项和公式； (2)设 q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
[解] (1)设{an}的前 n 项和为 Sn， 当 q＝1 时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1； 当 q≠1 时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，① qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，② ①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn， 所以 Sn＝a1（11－－qqn），
3.已知 a1＋a2＋a3＋a4>100，求证：a1，a2，a3，
a4 中至少有一个数大于 25. 证明： 假设 a1，a2，a3，a4 均不大于 25， 即 a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，则 a1＋a2＋a3＋a4≤25 ＋25＋25＋25＝100， 这与已知 a1＋a2＋a3＋a4>100 矛盾，故假设错误．所以 a1， a2，a3，a4 中至少有一个数大于 25.
法二：由两直线平行可知 bcos B－acos A＝0，
由余弦定理，得
a·b2＋
c2－
a2＝
a2＋ b·
c2－
b2，
2bc
2ac
所以 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
所以 c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，
高考复习数学(北师大版)第6章 第5节 综合法与分析法、反证法
第五节综合法与分析法、反证法[考纲传真] 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．1．综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法．2．分析法从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这样的思维方法称为分析法．3．反证法(1)定义：在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．(2)反证法的证明步骤是：①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．( )(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．要证明3＋7<25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( ) A ．综合法 B ．分析法 C ．反证法D ．归纳法B [要证明3＋7<25成立，可采用分析法对不等式两边平方后再证明．] 3．用反证法证明命题：“已知a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根A [“方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”的反面是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”，故选A.]4．已知a ，b ，x 均为正数，且a >b ，则b a 与b ＋x a ＋x的大小关系是__________.【导学号：66482310】b ＋x a ＋x >b a [∵b ＋x a ＋x －b a ＝x (a －b )(a ＋x )a >0， ∴b ＋x a ＋x >b a.] 5．(教材改编)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为__________三角形．等边 [由题意2B ＝A ＋C ，又A＋B＋C＝π，∴B＝π3，又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∴A＝C，∴A＝B＝C＝π3，∴△ABC为等边三角形．]11111C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．[证明](1)如图所示，因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1. 2分在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，4分所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面. 5分(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q ∈EF ，所以Q ∈β，则Q 是α与β的公共点. 8分 同理，P 点也是α与β的公共点. 9分 所以α∩β＝PQ . 又A 1C ∩β＝R ，所以R ∈A 1C ，则R ∈α且R ∈β，则R ∈PQ ，故P ，Q ，R 三点共线. 12分[规律方法] 综合法是“由因导果”的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，常与分析法结合使用，用分析法探路，综合法书写，但要注意有关定理、性质、结论题设条件的正确运用．[变式训练1] 已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝a ＋bx －12x 2＋13x 3，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图像在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤g (x ).【导学号：66482311】[解] (1)f ′(x )＝11＋x ，g ′(x )＝b －x ＋x 2，2分由题意得⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝f (0)，f ′(0)＝g ′(0)，解得a ＝0，b ＝1. 5分 (2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x ) ＝ln(x ＋1)－13x 3＋12x 2－x (x >－1)．h ′(x )＝1x ＋1－x 2＋x －1＝－x 3x ＋1. 8分所以h (x )在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h (x )max ＝h (0)＝0，h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤g (x ). 12分已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.[证明] 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a ＋ 2. 2分因为a >0，故只需要证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22， 即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，8分 从而只需要证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需要证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立. 12分 [规律方法] 1.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．2．分析法的特点和思路是“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“欲证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性．[变式训练2]已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.【导学号：66482312】[证明]要证1a＋b ＋1b＋c＝3a＋b＋c，即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，也就是ca＋b＋ab＋c＝1，3分只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，5分又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2ac cos60°，10分即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立. 12分设{a n}是公比为q的等比数列．(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{a n＋1}不是等比数列．[解](1)设{a n}的前n项和为S n，当q＝1时，S n＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，S n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，①qS n＝a1q＋a1q2＋…＋a1q n，②①－②得，(1－q)S n＝a1－a1q n，∴S n ＝a 1(1－q n)1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q，q ≠1.5分(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1. 8分 ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列. 12分 [规律方法] 用反证法证明问题的步骤：(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立；(否定结论) (2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)[变式训练3] 已知a ≥－1，求证三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根.【导学号：66482313】[证明] 假设三个方程都没有实数根，则 ⎩⎪⎨⎪⎧(4a )2－4(－4a ＋3)<0，(a －1)2－4a 2<0，(2a )2－4×(－2a )<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－32<a <12，a >13或a <－1，－2<a <0，6分∴－32<a <－1. 10分这与已知a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故原结论成立. 12分[思想与方法]1．综合法与分析法的关系：分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用．2．反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法证明的关键：①准确反设；②从否定的结论正确推理；③得出矛盾．[易错与防范]1．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P ，再说明所要证明的数学问题成立．2．利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．。
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第5讲综合法与分析法、反证法1．(2014·高考山东卷)用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A.依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.2．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )A．lg(1＋a2)>0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab>2b2 D.ab<a＋1 b＋1解析：选B.在B中，因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b ＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．3．(2016·河北省衡水中学一模)某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一个人说了真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是( )A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选A.假如甲说了真话，则乙、丙、丁都说了假话，那么丙不是小偷，丁不是小偷，丁偷了珠宝，显然矛盾，故甲说了假话，即甲是小偷，故选A.4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3 a”索的因应是( )A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：选C.b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.故选C.5．(2016·银川模拟)设a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b，a<b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立，其中正确判断的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.①②正确；③中，a≠b，b≠c，a≠c可以同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3，故正确的判断有2个．6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)是递减的，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负解析：选A.由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0. 7．用反证法证明命题“a ，b ∈R ，ab 可以被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是________． 解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故应假设“a ，b 中没有一个能被5整除”． 答案：a ，b 中没有一个能被5整除8．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b≥2成立的条件的序号是________．解析：要使b a ＋a b ≥2，只需b a >0且a b >0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④能使b a ＋a b≥2成立．答案：①③④9．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________． 解析：由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A. 答案：A10．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图像上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图像上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．解析：由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n，所以c n 随n 的增大而减小，所以c n ＋1<c n . 答案：c n ＋1<c n11.如图，在四棱锥P ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 的中点． (1)求证：EC ∥平面PAD ；(2)求证：平面EAC ⊥平面PBC .证明：(1)作线段AB 的中点F ，连接EF ，CF (图略)， 则AF ＝CD ，AF ∥CD ，所以四边形ADCF 是平行四边形， 则CF ∥AD .又EF ∥AP ，且CF ∩EF ＝F ， 所以平面CFE ∥平面PAD . 又EC 在平面CEF 内， 所以EC ∥平面PAD .(2)因为PC ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥AC ，因为ABCD 是直角梯形，且AB ＝2AD ＝2CD ＝2， 所以AC ＝2，BC ＝ 2.因为AB 2＝AC 2＋BC 2，所以AC ⊥BC ， 因为PC ∩BC ＝C ，所以AC ⊥平面PBC ，因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC .12．已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝a ＋bx －12x 2＋13x 3，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图像在交点(0，0)处有公共切线． (1)求a ，b 的值；(2)证明：f (x )≤g (x )．解：(1)f ′(x )＝11＋x，g ′(x )＝b －x ＋x 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＝f （0），f ′（0）＝g ′（0），解得a ＝0，b ＝1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln(x ＋1)－13x 3＋12x 2－x (x >－1)．h ′(x )＝1x ＋1－x 2＋x －1＝－x 3x ＋1.h (x )在(－1，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h (x )max ＝h (0)＝0，h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤g (x )．1．(2016·山西省质量监测)对累乘运算Π有如下定义：Πnk ＝1a k ＝a 1·a 2·…·a n ，则下列命题中的真命题是( )A ．Π1 007k ＝12k 不能被10100整除B.Π 2 015k ＝1 （4k －2）Π 2 014k ＝1 （2k －1）＝22 015C ．Π 1 008k ＝1(2k －1)不能被5100整除D ．Π1 008k ＝1(2k －1)Π1 007k ＝12k ＝Π2 015k ＝1k解析：选 D.Π1 008k ＝1(2k －1)Π1 007k ＝12k ＝(1×3×5×…×2 015)×(2×4×6×…×2 014)＝1×2×3×…×2 014×2 015＝Π2 015k ＝1k ，故选D.2．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则△A 2B 2C 2是________三角形．(填锐角、直角、钝角)解析：由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1， 得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形． 答案：钝角3．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →.(1)求证：tan B ＝3tan A ；(2)若cos C ＝55，求A 的值．解：(1)证明：因为AB →·AC →＝3BA →·BC →，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ， 即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ， 由正弦定理知AC sin B ＝BCsin A，从而sin B cos A ＝3sin A cos B ， 又0<A ＋B <π，所以cos A >0，cos B >0， 所以tan B ＝3tan A .(2)因为cos C ＝55，0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝255， 从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2， 即tan(A ＋B )＝－2， 即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2，由(1)得4tan A 1－3tan 2A＝－2， 解得tan A ＝1或－13.因为cos A >0，所以tan A ＝1，所以A ＝π4.4．设f (x )是定义在D 上的函数，若对任何实数α∈(0，1)以及D 中的任意两数x 1，x 2，恒有f (αx 1＋(1－α)x 2)≤αf (x 1)＋(1－α)f (x 2)，则称f (x )为定义在D 上的C 函数．(1)证明函数f 1(x )＝x 2是定义域上的C 函数；(2)判断函数f 2(x )＝1x(x <0)是否为定义域上的C 函数，请说明理由． 解：(1)证明：对任意实数x 1，x 2及α∈(0，1)，有 f (αx 1＋(1－α)x 2)－αf (x 1)－(1－α)f (x 2)＝[αx 1＋(1－α)x 2]2－αx 21－(1－α)x 22＝－α(1－α)x 21－α(1－α)x 22＋2α(1－α)x 1x 2＝－α(1－α)(x 1－x 2)2≤0，即f (αx 1＋(1－α)x 2)≤αf (x 1)＋(1－α)f (x 2)，所以f 1(x )＝x 2是定义域上的C 函数．(2)f 2(x )＝1x(x <0)不是定义域上的C 函数，证明如下(举反例)：取x 1＝－3，x 2＝－1，α＝12，则f (αx 1＋(1－α)x 2)－αf (x 1)－(1－α)f (x 2)＝f (－2)－12f (－3)－12f (－1)＝－12＋16＋12>0，即f (αx 1＋(1－α)x 2)>αf (x 1)＋(1－α)f (x 2)，所以f 2(x )＝1x(x <0)不是定义域上的C 函数．。