数形结合在中学数学解题中的应用

数形结合在中学数学解题中的应用学生姓名:郝云霞 指导老师:屈俊摘要: 数形结合是一种重要的数学思想方法,其应用主要是借助形的直观性来阐明数之间的联系,其次是借助于数的精确性来阐明形的某些属性.数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,关键问题是代数问题与图形之间的互相转化.本文从五个方面研究了在遇到这些题型的时侯应该考虑用数形结合,使学生有用数形结合的意识.关键字: 数形结合 中学解题 应用 引言:在中学数学的学习中,解题是学习课程的一个重要的“实践性”环节,但学生解题时,往往比较局限,面对代数问题只会应用代数的知识去解决,没有将它转化为图形语言的意识,或者不能发现隐藏在代数问题中的某种几何特征.在面对几何问题时不能够借助所给的图形,找到图形中所蕴含的数量关系,反映几何图形的内在属性.如果学生在解题时能够应用数形结合换个角度看问题,就会在山重水复疑无路时,发现柳暗花明又一村.下面我将以具体的例子来讨论什么样的数学问题常用数形结合的思想来解决.正文:一.由对应建立起来的关系1. 实数与数轴上的点的对应关系【1】数轴是初中数学教材中数形结合的第一个实例, 它的建立不仅使最简单的形与实数间建立了一一对应关系, 而且揭示了数形间的内在联系, 使实数的很多性质可由数轴上相应 点的位置关系得到形象生动的说明,将负数、相反数、绝对值、有理数的大小比较等知识将数和形有机地融合在一起, 学生可以结合图形进行直观分析,以数和形为纽带,解决问题[2]. 例1.已知0,0,a ab a b ><>比较,,0,a b ,a b --的大小,用< 号连接.解:由 0,0a ab ><可得0,0a b >< 又因为a b > 所以由绝对值和相反数的几何意义可知,,0,,a b a b --在数轴上的位置如下图所示:-a ab-b由图可知0a b b a -<<<-<分析:此题是初一学生在学习了有理数一章后所遇到的题,由于初一的学生对数轴还不是很熟悉,学生大部分用的是赋值法,给a ,b 赋予特殊值,这样可以得到答案,但是通过这样的方法做选择题可以,做大题的严谨性就不强了,还有的同学赋值赋的自己也搞不清楚数代表的是哪个字母了,因为刚上初一的学生,对字母代表数这块的认识还不是很清楚,由于根深蒂固的思想认为b -一定代表负数,导致出错.利用这种方法就可以避免以上这种错误了. 2.平面上的点和有序实数对的对应关系平面直角坐标系可以看作是升级版的数轴,在直角坐标系中平面上的点和有序实数对是一一对应的.使数与形完美的结合在一起,达到了和谐的统一.在学习函数和方程等内容时,都是经过坐标系来实现的数与形的结合,从而对形的认识更为清晰深刻,对数的理解更为形象具体[3].例 2.已知()()(){}22,|234Q x y x y =++-<()()()221,|14P x y x y m ⎧⎫=++-≤⎨⎬⎩⎭且P Q Q ⋂= 求m 的取值范围.解:P 表示以()12,3O -为圆心2为半径圆的内部的点的集合Q 表示以()21,O m -为圆心12为半径圆面的点的集合P Q Q ⋂=转化为几何语言为圆2O 内含于圆1O⇔12OO R r <-即()()22112322m -++-<-解得553322m -<<+所以m 的取值范围为55|3322m m ⎧⎫⎪⎪-<<+⎨⎬⎪⎪⎩⎭3.函数与图像的对应关系函数通过直角坐标系实现了数（函数）和形（函数的图像）的结合函数的图像是函数关系的一种表示,它从形的方面来刻画函数的变化规律.函数的图像形象的显示了函数的性质,为研究函数提供了形的直观性,它是探求解题的途径,函数的解析式和函数的图像是函数关系式的主要表现形式,是指是相同的.解题时经常要相互转化【4】.例3.设()222f x x ax =-+ 当)1,x ∈++∞⎡⎣时()f x a >恒成立,求a 的取值范围.解: ()f x a >在)1,++∞⎡⎣上恒成立 ⇔2220x ax a -+->在)1,++∞⎡⎣恒成立.设()222g x x ax a =-+- 则⇔当)1,x ∈++∞⎡⎣时,()g x 的图像位于x 轴上方.如下图有两种情况:xy1234–1–2–3–4123–1–2–3a Oxy–1–2–3–41234123–1–2–3a Oyx123–1–2–3123–1–2–3o 2o 1O第一种情况需要满足:()()22420a a ∆=---< 解的()2,1a ∈-第二种情况需要满足:()0101g a ∆≥⎧⎪->⎨⎪<-⎩解的](3,2a ∈--综上a 的取值范围为()3,1a ∈-分析:我们知道二次函数求最值有很多种方法,但是我认为图像法师最好的方法,因为借助图形不管是否限定了定义域都可以一目了然,特别对限定了定义域的二次函数,用图像简洁明了.做此题的最关键的是能将()f x a >恒成立问题转化成()0g x >恒成立的问题. 4曲线和方程的对应关系曲线和方程是解析几何中两个重要的概念,它们有如下的关系:(1) 曲线上的点都是方程的解 (2)方程的解都在这条曲线上.因此在处理复杂方程的根时,可以看作是等号两边的两个函数图像的交点的问题,这样在求解方程的根时,可以避开复杂的计算,直接从图像上看出根的个数和大致范围[5]. 例4.已知01a << 则方程log xa a x =的实数根个数为( )A 1个B 2个C 3个D 1个或2个或3个分析:如果这个题从代数方面下手想,那么这道题将无法下手,如果换个角度, 从几何的角度看问题,把方程的根看作是()xf x a =与()log a g x x =两个图像的交点,那么就可以很快的做出这个题. 两个函数的图像如右图所示,由图可知:方程的根有两个,应选B .二:以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念1.复数复数的几何意义包括两方面的内容:（1）复数和复平面上的点一一对应（2）复数与复平面上从原点出发的向量一一对应.这就使得复数的问题可以从几何的角度来审视,可以通过数与形的互化来解题.例5.已知z ai b =+z C ∈且12z ≤ 求1z +的取值范围. 解: 12z ≤在复平面上对应的图形为以原点为圆心,以12为半径的圆面, 1z +表示复平面上z 对应的点与1-对应的点间的距离,如下图所示:由图可知1z +的最大值为32AC =x yg x ()=l og a xf x ()=ax1234–1–2–3–4–1–2–3–41234O yxCB A D-121-112O最小值为12AB =所以1z +的取值范围为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦分析:这是我家教的时候遇到的题,当时的学生是用代数的方法解决,他设z ai b =+则221122z a b ≤⇔+≤而()2211z a b +=++于是本体就转化为已知2212a b +≤求()221a b ++的取值范围,到这里就卡住了,在我给他讲了这个方法后,他对我说老师我觉得我的那种方法也有解了,22221124a b a b +≤⇔+≤从几何的角度看是 以原点为圆心半径为12的圆面上的点的集合.那么()221a b ++可以看成是点()1,0-到圆面上的点的距离由图同样可知最小值为12AB =最大值为32AC =综上1z +的取值范围为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦这两种方法都是用几何的方法解决了一个代数问题,而且归根结底是同一种方法,但是只要学生能体会这种思想有用这种方法的意识,那就是成功的. 2.三角函数高中三角函数是在单位圆中定义的,不仅定义了值如何算,而且还将对应的有向线段联系起来,在处理有关函数的单调区间的确定,或者比较函数值的大小等问题,一般借助单位圆或者三角函数的图像来处理[6].例6.在()0,2π内,使sin cos x x >的x 的取值范围是( )A 3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B 53,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D 57,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭解: ()sin cos 00,2x x x π>>∴∈ 由三角函数线的定义可知sin x MP =cos x OM = sin cos x x MP OM >⇔>结合图形可知3,44x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭选A 例7.已知函数()()11sin cos sin cos 22f x x x x x =+--则()f x 的值域是( ) ab–111–1C BA OyxPMOA []1,1-B 2,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C 21,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D 21,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 解:由()()11sin cos sin cos 22f x x x x x =+--可得 ()()()cos sin cos sin sin cos xx x f x xx x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩由此可得()f x 的图像是sin x cos x 图像下部分的图像.则由图像可得()f x的值域为21,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 应选C3.向量向量的坐标表示实际上是向量的代数表示,引入向量的坐标表示,可以使向量运算完全代数化,将数与形紧密的结合起来,这样可以使几何问题转化为代数问题.是数形结合以数助形的体现.解决方法就是建立直角坐标系,设出相关点的坐标,求出相关向量的坐标,利用向量的运算求出结果得出结论.例8.如下图所示 P 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点,四边形PECF 是矩形 求证:()1PA EF = ()2PA EF ⊥ 证明:以D 为坐标原点,DC 所在的直线所在的直线为x轴建立直角坐标系,设正方形的边长为1 DP λ=()02λ<<则()0,1A ()1,0C 22,22P λλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 2,02E λ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 21,2F λ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()1易得22,122AP λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 221,22CD λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭A P C P∴= 又 四边形PECF 是矩形 C P E F ∴= A P E F ∴=()2易得221,22EF λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭222222211211022222222AP EF λλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-+-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ AP EF ∴⊥即PA EF ⊥yxFEP DCBA例9.如图在四棱锥P ABCD -中PA ⊥平面ABCD 底面ABCD 是菱形2AB = 60BAD ∠=()1求证:BD ⊥平面PAC ()2若PA AB =求PB 与AC 所成角的余弦值. ()3当平面PBC 与平面PDC 垂直时,求PA 的长()1证明:ABCD BP PAC BD PA AC A ⇒⊥⎫⎪⊥⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⎪⋂=⎭是菱形面面面BD AC PA ABCD BD PA ABCD()2设AC BD O ⋂= 以O 为坐标原点 OB 所在的直线为x 轴, OC 所在的直线为y 轴, 过点O 平行与PA 的直线为z 轴 建立空间直角坐标系O xyz - 60BAD ∠=1OB OD ∴== 3A O C O == 则()0,3,2P - ()1,0,0B ()0,3,0A - ()0,3,0C则()1,3,2PB =- ()0,23,0AC = 设PB 与AC 所成角为θ则cos PB ACPB ACθ=⋅⋅易得6PB AC ⋅= 22PB = 23AC = 所以6cos 4θ=()3由()2可知()1,3,0BC =- 设()()0,3,0P t t ->则()1,3,BP t =--设平面PBC 的一个法向量为(),,m x y z =则030030BC m x y BP m x y tz ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=--+=⎪⎪⎩⎩令3y =则3x = 6z t = 所以63,3,m t ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 同上可得平面PD C 的一个法向量63,3,n t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 由于PBC PDC ⊥平面平面所以0m n ⋅= 即23660t-+= 得6t = 所以6PA =分析:例6和例7都从代数的角度解决了几何的问题,代数方法解决的时候,不用考虑所求的在几何图形的位置关系如何,做这种题的关键是把几何问题等价的转化为代数问题,经常用的转化有（1）要证AB CD AB CD =⇔=OzyxDCBAP(2)要证AB CD //⇔存在一实数0λ≠使=CD AB λ成立（3）要证AB CD CD=0AB ⊥⇔⋅（4）要证A ,B ,C 三点共线⇔存在一实数0λ≠使=BC AB λ成立(5) 要求直线AB 和CD 夹角可转化为cos AB CDAB CDθ=⋅⋅(6)要求二面角的平面角可以转化为两个面法向量的夹角[7] 三.所给的等式或者代数式的结构有明显的几何意义 1.绝对值模型x 的几何意义是x 数轴上对应的点到原点的距离,x a -的几何意义是x a 在数轴上对应的两点之间的距离.当直接去掉绝对值的难度比较大时,一般转化为几何意义来考虑[8]. 例10.已知 a b cx 都是实数,且a b c <<则x a x b x c -+-+-的最小值为( )解:由x a -的几何意义可知x a x b x c -+-+-的最小值的几何意义是在数轴上求一点x 使得它到a b c 3个点的距离之和最小.那么如下图所示,当这个点取在b 点的位置时,它到a b c 3个点的距离之和最小为c a -cbac-xx-a因为当点x 取在b 点以外的任何位置时,三条线段x a - x b - x c -都有重合的部分,因而长度总大于c a -分析:这是我带补习班给学生出的题,当时快下课了我提示学生用数形结合,到第二节课时,我检查学生的作业时,有的学生用绝对值的定义去绝对值,设()f x x a x b x c =-+-+- 将x 分为四个区间,然后得到不同区间()f x 对应的表达式,然后做出各个区间的图像,通过这样的数形结合来解的这道题.这种方法虽然也用了数形结合,但对于一道填空题来说未免有点小题大做了,而加上几何意义的数形结合则可以简单快捷的做出此题. 2.斜率模型 对于形如2121y y y x x -=-的式子,y 可以看成过()111,P x y ()222,P x y 两点直线的斜率.例11.求函数sin 2cos 2x y x +=-的值域.解: sin 2cos 2x y x +=-的值域可以看成是过()02,2P - ()cos ,sin P x x 两点斜率的取值范围.点()cos ,sin P x x 在单位圆221x y +=上,设过点0P 的圆的切线方程为()22y k x +=-所以有22211k OA OB k +===+化简得23830k k ++= 解的473k -±=于是得0473P A k --=0473P B k -+= 所以sin 2cos 2x y x +=-的值域为4747,33⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦分析:由于当时上高中的时候觉得这种方法很神奇,所以在给学生讲解时,我一般采用这种方法,但是我发现每次我讲完,在出练习题练习时,发现效果不是很好,学生虽然有用数形结合的意识,但在求解斜率和确定斜率范围时学生还是会出错,直到有一次我讲完时,有位学生说这种题型用有界性更好,因为对于sin cos c x dy a x b+=+题型只有当1a c ==时才可以用数形结合法,而且这种数形结合的计算量也不小.对于基础差的学生还是有界性更适用一些,通过这节课的讨论,我真正的体会到教学有法而教无定法这句话的含义,要根据学生的情况来确定所用的方法. 3.距离模型距离模型的主要主要包括两点间的距离公式和复数模这两种形式. 例12.函数()224131237f x x x x x =-++-+的最小值等于( )A2 B 22 C 42 D 23解:将函数式变形()()()()()2222203601f x x x =-+++-+-它表示x 轴上的点(),0P x 到平面上两点()2,3A -和()6,1B 的距离之和,求此函数的最值等价于求距离之和的最值,如右图利用三角形两边之和大于第三边可知()min 42f x AB ==⎡⎤⎣⎦例13.若1z =求6z i z -+-的最小值.解: 1z =表示的点为以原点为圆心的单位圆的圆周上,6z i z -+-表示单位圆上的点到()0,1A -和()6,0B 两点的距离之和,即637z i z AP BP AB -+-=+≥=xy–1–21212–1–2BA P 0OyxBA246–2–424–2–4OyxB 0,6()A 0.-1()PO所以6z i z -+-的最小值为374.勾股定理模型当题中有类似勾股定理形式时,可以利用勾股定理构造直角三角形,然后在利用构造的图形来解题,此方法常用来证明不等式[9].例14.已知a ,b ,c R +∈求证:()2222222a b b c a c a b c +++++≥++解:构造腰长为a b c ++的等腰Rt ABC 如下图所示: 由图易知22CM a b =+ 22MN b c =+ 因为两点之间线段最短所以 CM MN AN AC ++≥当且仅当M ,N 在A C 时等号成立.分析:由22a b +想到勾股定理,它是以a b 为边的直角三角形的斜边的表达式.而()2a b c ++则是以a b c ++为腰长的等腰直角三角形的斜边长.所以想到构造如上的图形.此题是一个轮换不等式,在学习了重要不等式后,证明过许多轮换不等式,有的学生会选择用重要不等式来证明,但运用图形证明直观简捷. 5.截距模型例15.设2z y x =-式中变量,x y 满足下列条件2132231x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则z 的最大值为( )解2132231x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的可行域如右图所示 2z y x =-表示斜率为12的直线与可行域有交点y 轴上的截距所取得值,当直线12y x =平移到点()3,7A 时max 27311z =⨯-=分析:截距模型是解决线性规划问题中经常要用到的,解决线性规划问题首先要根据题中的条件,列出所应满足的条件,然后根据条件,做出可行域或者能取得符合条件的点,再利用截距模型求出问题中的最值.四.数形结合在其他知识中的一些应用 1.集合图示法是集合的重要表示方法之一,对一些比较抽象或者所给的数量关系比较复杂的问题,在解题时若借助韦恩图,往往可以使问题直观化、形象化,从而灵活、直观、准确的获解[10]. 例16.若I 为全集,,M N I ⊆且M N N ⋂=则( )NMCBAc b aab cxyA 3,7()–1–2–3123456712345678910–1–2–3–4y=12x y=13x+2y-23=02x-y+1=0OA I I M N ⊇痧B I M N ⊆ðC I I M N ⊆痧D I M N ⊇ð 解:由韦恩图可知选项C 为正确答案. 2.数列数列可以看成是以n 为自变量的函数,等差数列可以看成是自然数n 的“一次函数”.等差数列的前n 项和可以看成是自然数n 的缺常数项的“二次函数”.等比数列可以看成是自然数n 的“指数函数”.在解决数列问题时可借助相应的函数图像来解决[11]. 例17.若数列{}n a 为等差数列 p a q = q a p = 求p q a +解:不妨设p q <由于等差数列中, n a 关于n 的图像是一条直线上均匀排开的一群孤立的点.故三点(),p q (),q p (),p qp q a ++ 共线.则由AB BC k k =所以p q a p p q q p p q q+--=-+-解得p q a +=0 3.排列组合许多排列组合问题存在着图形背景,借助图形的直观性是寻求解题思路的一种重要方法.通过图形给问题以直观描述.从数形结合中找出问题的逻辑关系,启发思维,难题巧解.比如利用捆绑法和插入法去解决的排列组合问题.还可以利用图形去发现做题的技巧和思路[12].例18.(1)把8本书排在书架上,有多少种排法?(2)把8本书排在上、下两格的书架上,每格4本,有多少种排法?(3) 把8本书排在书架上,上格1本,中格3本,下格4本, 有多少种排法?解: (1) 把8本书排在书架上做排列,有8840320A =种. (2) 第一步,把8本书取出4本在上格中做排列,有48A 种排法; 第二步,把剩下的4本,在下格中做排列, 有44A 种排法;整个过程是分布完成的,所以应该应用乘法原理.共有448440320A A =种. (3)同(2)的步骤可得有13487440320A A A =种.分析:以上的做法是学生们经常用的方法,简单明了,思维清晰,做完以后,有没有发现虽然是不同的3个题为什么得出相同的结果?是偶然还是必然?我们可以借助图形来看一下这个问题,以(3)为例进行分析,按题目的要求,排好后应该是: △ (上格) △(上格)△△ (中格) 把它摆成 △△(中格) 把它摆成yxC p+q,a p+q ()B q,p ()A p,q ()ONM I△△△ (下格) △△△(下格)△ △△ △△△ 在向左靠拢一下△△△△△△△△这样我们可以得出(3)其实归根究底,本质上是和(1)是一样的.(2)也一样.看来这样的结果是必然的,而且这样我们借助图形和比较还可以总结出分段排列问题的一个统一的解法:转化为对全元素的全排列的种数.五.图形的方法这里图形的方法并没有前面所述的原本数学中就规定有或者经过转化就有的图像或曲线的代数的问题,甚至是解题的思考过程.将题图形化、形象化、生动化出现逼真的情景,春风化雨,使题目显而易见的化难为易,得到解决[13].例19.一辆汽车从甲地到乙地,若把车速提高到原来的1.2倍,可以比原定的时间提前1小时到达.若原来行驶120千米后,再将速度提高到原来的1.25倍.则可提前40分钟到达,甲乙两地相距多少千米?解:设汽车从甲地到乙地原来的速度为v ,时间为t .1()s 2s 1t 2tvt 1=1h 0.2v 2()t t 50.25v t 4t 3=23h 120km s 4s 3 因为甲乙两地的路程是不变的所以12s s =1220.25vt v t t h ∴=⋅∴=126t t t h ∴=+= 由(2)可知340.25v t v t ∴⋅=⋅483t h ∴=()51258120453t t t t h v km h t ∴=-+=∴==/ 270s vt km ∴==分析:如果这道题从方程组的方面考虑则比较难,而且也只有在学习了解方程组后才可以求解,但如果从图形的方面考虑,则小学生也迅速而准确解这道题.做此题的关键要明白以速度和时间围成的矩形面积为路程,然后从图形中寻求关系解题.从五个方面总结了中学数学哪些知识经常用到数形结合的思想侯,我们不难发现,数形结合在中学解题中的应用主要包括两个方面以形助数和以数助形,这两种方面归根结底就是化归思想,把一个代数的问题经过化归转化成为一个几何问题,或者把一个几何问题转化成为一个代数问题[14].但在这个过程中最重要的就是转化的等价性和转化的桥梁[15].结束语:代数方法的特点是解题过程严密、规范、思路清晰,而几何方法具有直观、形象的优势.华罗庚教授评价说:“数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞;数无形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休;切莫忘,几何代数流一体,永远联系莫分离.”应用数形和结合的思想就能发扬这两种方法的优点,避免了呆板单调的做法.英文摘要:The number shape union in the middle school mathematics problem solving applicationStudent name HaoYunxia Guidance teacher Qu JunAbstract : The number shape union is a kind of important mathematics thought method, its application is the use of shape intuitive to clarify several links between, followed by a number ofprecision to elucidate the shape of certain properties. The number shape union thought, its essence is the abstract mathematical language and visual graphics combine, the key problem is the algebra problems and graphics conversion between. This paper discussed from five aspects in these questions, should consider using the number shape union, make students useful combination of number sense.Keywords: combination of high school problem solving application参考文献：[1]赵霞数形结合思想在解题中的应用[J] 考试(高考数学版) 2011[2]姜春桓初中数学数形结合的教学探讨[J] 考试周刊2011[3]张芝谈初中数学中的数形结合[J] 数学学习与研究2011[4]熊进褚伟新课程背景下数形结合思想的应用[J] 语数外学习2011[5]韦中庆数形结合思想在解题中的应用[J] 中学数学参考2011[6]李可进数形结合思想在解题中的应用举例[J] 新高考2011[7]王俊杰主编名师一号新课标A版必修4 [M][8]张朝亚巧用“数形结合”,妙解初中习题[J] 数理化解题研究2012[9]Stephanie J.Morris,The Pythagorean Theorem[J],Department of Mathematics Education J.Wilson,EMT 669[10]高明生利用韦恩图巧解几何问题[J] 2006[11]李少青谈数列中的思想[J] 新课程2012[12]孙维刚孙维刚谈立志成才[M] 北京大学出版社2006[13]Gianluca Fusai,Corridor options and arc-sine law[J]Ann.appl.probab.V olume 10,Number 2(2000) 634-663[14]郑毓信数学方法论(新版) [M] 广西教育出版社2003[15]张雄李得虎数学方法论与解题研究[M] 高等教育出版社2005。