足球排名问题优秀论文

B题足球比赛的排名问题组号：14足球比赛的排名问题摘要本文讨论问题是足球比赛的排名方案。

本文求解这一问题用到的数学方法主要是是层次分析法。

文中利用层次分析法，根据题中给出的足球比赛成绩求出了足球比赛的排名顺序，并且运用矩阵论、图论等方面的知识验证了利用层次分析法进行足球比赛的排名是较为科学的。

本文考虑了比赛可能出现的两种情况：一种情况是偶然因素，某支球队侥幸获胜或发挥失常，导致比赛成绩不能反映各足球队的真实水平，或者是在比赛成绩中出现了一些相互矛盾的结果，另一种情况是比赛场次安排不够完全，即存在某几个球队之间的优劣无法比较的情况。

前者反映在层次分析法的一致性比率上，后者反映在所构造的图的连通性上。

最后我们应用建立的模型求出了题中所给的12支球队的排名情况，从左到右为第一名至第十二名：7 3 1 9 10 8 2 12 6 5 11 4。

此外，使用本文建立的数学模型的前提是数据必须是不可约的（即构造的判断矩阵是连通的），且数据必须满足层次分析法的一致性比率。

关键词：足球赛排名层次分析法矩阵图论一、问题重述按照题中要求，本文需要依据所给出的足球队比赛成绩给出反映球队真实实力的成绩排名。

这就需要建立一个数学模型，可以根据足球队的比赛成绩得到足球队的实力排名，而且这一模型应该有较好的健壮性。

应该满足以下几点要求：（1） 科学合理；（2） 保持一定的一致性；（3） 能够克服数据残缺；（4） 能够判断成绩表的可约性；（5） 结果具有稳定性。

要求（1）科学合理，即球队的成绩排名是从足球队比赛成绩中得来的，符合比赛结果。

要求（2）保持一定的一致性，即足球队比赛成绩可能存在偶然因素，或数据不完美，导致球队的成绩排名不精确，但是误差应该是在一个可以控制的范围。

要求（3） 能够克服数据残缺，即某两个球队之间并没有直接进行比赛，但是可以通过整体数据判断出两球队能力之别。

要求（4） 能够判断成绩表的可约性，不可约即不会出现有某些球队之间无法比较实力的现象。

要求（5） 结果具有稳定性，即改动少数几组比赛结果不会对最后排名造成很大的影响。

二、模型假设与符号说明模型假设：a) 参赛球队的实力各不相同，即不存在实力相同的两支球队；b) 题中数据比较完善，根据题中所给数据是可以给出一个可信度较高的排名顺序的；c) 足球比赛中球队的综合能力发挥失常或发挥超常是偶然的小概率事件。

符号说明： 1. 向量1*w n 表示球队实力向量，且1*w n 的元素i w 越大说明球队i 的实力越强。

2.矩阵()*ij n n A a =是根据层次分析法的原理构造的判断矩阵。

若比赛中没有任何偶然因素，数据也没有残缺，则有ij i j a w w =÷。

且矩阵()*ij n n A a =是正互反对称的。

（正互反对称即规定矩阵元素ij a >0；*1ij ji a a =；9ij a ≤） 3.比赛成绩的可约时，判断矩阵()*ij n n A a =所对应的无向图是不连通的。

此时矩阵()*ij n n A a =所对应的无向图有多个连通分支，这时无法得出所有参赛队之间的能力比较。

4.max λ为矩阵()*ij n n A a =的最大特征根，称为主特征根。

max λ对应的特征向量为主特征向量。

5.球队i T 的净胜球数即i T 比赛中i T 进球个数减去比赛时对方进球的个数，球队i T 的净胜场数即i T 比赛中赢的场数减去输的场数。

三、模型的建立（一）、根据足球队比赛成绩表构造判断矩阵A本题解决排名问题的模型是层析分析法模型，此法中需要构造的判断矩阵为()*ij n nA a =。

现规定ija 的取值如下（一） 若i T 与jT 互胜场次相等，则1、 净胜球=0时令1ij ji a a ==；2、 i T 净胜球多时等价于i T 净胜jT 一场做处理。

（二）若i T 净胜jT k 场（k>0）,则1、 ij b ={2,149, 4.k k k ≤≤>2、ij m =i T 胜jT 平均每场净胜球数；1,2;0,02;1,0.ij ij ijm m m >≤≤-<⎧⎪⎨⎪⎩3、ij ij ija b d =+，1/ji ija a =。

ij d =（三） 若i T 与jT 无比赛成绩，则ji ij a a ==。

（四）ii a =1这种方式设置ija 是合理的。

这保证了以下几点：i. 在同样的净胜场数下，可以根据具体比赛比分来衡量球队实力； ii. 在不同的净胜场数下，优先考虑净胜场数，再考虑在比赛中的比分；iii. 确保在两支球队的比赛中，净胜场数多的球队排名在净胜场数少的球队之后。

（因为当k=1时，ij b =2，又因为ijd >-1，所以最终ija >=1。

）（二）、检测判断矩阵A 的可约性定义:若两个队之间没有打比赛，我们称之为数据（成绩）残缺，对于两队成绩残缺，只能通过它们同其他队的比赛成绩来判断它们的实力对比。

如果残缺元素过多，就有可能导致参赛队分成两组，组与组之间没有比赛，称这种情况为成绩表可约。

我们知道，在成绩表可约的情况下，是不能给成绩排名次的。

通过图论知识，本文将判断成绩表是否可约转化为判断图（将）是否不连通，这里的图就是以判断矩阵A 作为邻接矩阵所构造出的图。

判断图的连通性原理利用了B=A+A2+A3+...+An-1求连接矩阵的方法。

这里k A 是第k 个矩阵（k=0，1，2···n-1），其中元素ij a 表示从i T 出发通过k-1步到达j T 这种方式的路径数目。

若()110n k ij k a -==∑（()k ija 表示矩阵k A 的元素ij a ），则i T 节点与j T 节点不连通。

我们通过编写C 语言程序实现了基于邻接矩阵来判断图的连通性，也就是可以得出成绩表是否可约。

由程序调试结果可知，该成绩表不可约，也就是可以进行排名次。

（程序见附录）（三）、构造辅助矩阵A 令辅助矩阵A的元素ij a 为,01,,A 00.ij ij i j i i a a ij m i j m i a≠≠+==⎧⎪=⎨⎪⎩ 且ij 其中为的第行的个数0，a构造辅助矩阵的依据： 定义{,0;,0ij ij ij ij a a ij p a c ≠==（其中ij P 为正数）： 如果这样得到的矩阵()ijn nC c ⨯=的主特征向量w ，当/i j i j p w w =时，我们认为这种补残所得出的数据是准确的。

若有{,0;/,0.ij ij i j ij a a ij w w a c ≠==,0,;0,0,;1,,0ij ij ij ii a a i j ij a i j m i j m A i a ≠≠=≠+=⎧⎪=⎨⎪⎩ 是的第行的个数。

()ij n nC c ⨯=()ij n nAa ⨯=则Cw w λ=等价于Aw w λ= 证明：11,01,01,01,01,0,1,0,1,01,0,1,01,0,/ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij nnnij j ij j i j jj j a j a nnnnnij j i ij j ij j ij a j a j a i jj a i jj a nnnij j i i ij j j a i jj a j a i jw Cw c w a w w w w a w w a w a w w a w w w a w λ==≠===≠===≠≠=≠====≠≠===≠≠===+⨯=+=++=++=+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑1ni i i ij j j w m w aw Aw=+==∑四、算法结果和解法分析（一）、计算A的主特征根max λ和主特征向量w 用MATLAB 计算得：max λ=13.6145，主特征向量为：T w=(0.3239 0.2499 0.3793 0.0964 0.1240 0.1291 0.6202 0.2664 0.2713 0.2693 0.1215 0.1757)（二）、按w 各分量由大到小的顺序对参赛各队排名次结果为：731910821265114T ,T ,T ,T ,T ,T ,T ,T ,T ,T ,T ,T （三）、排名的合理性要求无残缺的判断矩阵A 的主特征向量就是排名向量的说明：先假定比赛无残缺，此时算法中AA = . 根据判断矩阵A 的构造准则，矩阵元素ij a 表示的是i T 与j T 的实力对比。

若向量w 是排名向量（元素值大者实力强），那么ij a 就应该与/i j w w 吻合。

而由于构造的判断矩阵A 为一致矩阵（由于一致矩阵的性质，故存在一个向量w ，使得ij a =/i j w w 成立，且一致矩阵的最大特征值为矩阵的阶数，其余特征根均为0）进而我们有1(/),1,2,...,nij i i i ww w n w i n =∙=∙=∑即Aw nw =。

那么可知向量w 就应该是特征值12所对应的特征向量。

（四）、对判断矩阵A 的一致性检验（1）、计算得判断矩阵A 的最大特征值max λ=13.6145。

（2）、求一致性指标C.I.（Consistency Index ）： C.I.=max 1nn λ-- =13.614512121--=0.14678（3）、查表求相应的平均随机一致性指标R.I.（Random Index ）。

一致性随机指标表如下（4）、计算一致性比率C.R.：..0.14678..0.0953.. 1.54C I C R R I ===（12n =时，.. 1.54R I =）五、灵敏度分析将题目中的某些数据进行很小的修改，观察修改后成绩排名的变化，并对此进行分析。

修改数据后的排名与原排名的比较见下表：主特征向量依次为：T w=(0.3239 0.2499 0.3793 0.0964 0.1240 0.1291 0.6202 0.2664 0.2713 0.2693 0.1215 0.1757)T w=(0.3181 0.2450 0.4229 0.0961 0.1225 0.1272 0.6009 0.2674 0.2674 0.2699 0.1173 0.1696)T w=(0.3404 0.2512 0.3531 0.0958 0.1243 0.1298 0.6266 0.2658 0.2711 0.2676 0.1225 0.1771)T w=(0.3041 0.2518 0.3810 0.0974 0.1250 0.1300 0.6230 0.2666 0.2768 0.2716 0.1238 0.1791)T w=(0.3213 0.2480 0.3757 0.0955 0.1165 0.1255 0.6217 0.2672 0.2736 0.2703 0.1358 0.1772)T w=(0.3250 0.2515 0.3819 0.0967 0.1218 0.1465 0.6164 0.2656 0.2694 0.2684 0.1200 0.1734)（1）、由表中第二行数据可以看出，经过小的数据改动，足球队成绩排名出现了小小的变化。