高中数学教学论文 《高次方程的解法》
高次方程分式方程无理方程的解法教程
高次方程分式方程无理方程的解法教程高次方程的解法教程：高次方程是指方程中的最高次项的指数大于1的方程。
一般来说，高次方程的解法相对比较复杂，需要通过一定的代数运算和分解因式的方法逐步求解。
以下是一个示例来说明解高次方程的步骤：假设我们要解方程：x^3-5x^2+6x=0第一步：因式分解观察方程，我们可以发现x是公因子，所以我们可以将方程进行因式分解，得到：x(x^2-5x+6)=0第二步：化简因式继续观察因式(x^2-5x+6)，我们可以发现它可以被进一步分解成(x-2)(x-3)，所以方程可以进一步化简为：x(x-2)(x-3)=0第三步：等式成立条件我们知道，一个数的乘积等于0的时候，其中至少有一个因子等于0。
所以我们得到以下三个解：x=0,x-2=0,x-3=0解得：x=0,x=2,x=3因此，方程的解是x=0,x=2,x=3分式方程的解法教程：分式方程是指方程中含有分式的方程，需要通过合理的方法消去分式并求出方程的解。
以下是一个示例来说明解分式方程的步骤：假设我们要解方程：2/(x-1)+3/(x+2)=1第一步：通分观察方程，我们可以发现，左边的两个分式的分母互为相反数，所以我们可以通过通分来消去分母。
将方程两边乘以(x-1)(x+2)，得到：2(x+2)+3(x-1)=(x-1)(x+2)第二步：化简将方程进行化简，得到：2x+4+3x-3=x^2+x-2第三步：整理将方程整理为标准形式，得到：x^2-x-3=0第四步：因式分解或使用求根公式我们可以尝试将方程进行因式分解或使用求根公式来求解。
这里我们使用求根公式来求解。
根据求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)，我们可以得到：x=(1±√(1+12))/2计算得到：x=(1±√13)/2因此，方程的解是x=(1+√13)/2,x=(1-√13)/2无理方程的解法教程：无理方程是指方程中含有无理数的方程，需要通过合理的方法化简方程并求出方程的解。
高次方程及解法
高次方程及解法 江苏省通州高级中学 徐嘉伟 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。
由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。
对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。
对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。
一、±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。
求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后依次求根。
“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。
例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（x+1），∴（x3+3x2-6x-8）÷(x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。
数学与应用数学毕业论文-高阶常微分方程的解法
设 , , , 是特征方程的 个互不相等的根,则相应地方程(3)有如下 个解： .由于
而最后一个行列式是著名的范德蒙德行列式,它等于 ,由于假设 ,故此行列式不等于零,从而 ,于是解组 线性无关，即 在区间 上线性无关，从而构成方程的基本解组。
如果 均为实数,则方程(3)的通解可表示为
由于一阶常系数齐次线性微分方程 ,有形如 的解,且它的通解就是 .因此，我们对于方程(3)也去试求指数函数形式的解 其中 是待定常数,可以是实数,也可以是复数.
将 代入方程(3)中，有
= ,
其中 是 的n次多项式.可得, 为方程(3)的解的充要条件是 是代数方程 的根.我们称它为方程(3)的特征方程,它的根就称为特征根.下面根据特征根的不同情况分别进行讨论.
根据非齐次线性微分方程的叠加原理,方程 与 的解之和必为方程(3)的解.
4.2拉普拉斯变换法
常系数线性微分方程还可以应用拉普拉斯变换法进行求解,
由积分 所定义的确定复平面 上的复变数 的函数 ,称为函数 的拉普拉斯变换法,其中 在 有定义,且满足 ,里 为某两个正常数,我们将称 为原函数,而 称为像函数.
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我们讨论如下的 阶线性微分方程
(1)
其中 及 都是区间 上的连续函数.这样的方程我们称它为 阶非齐次线性微分方程,简称非齐次线性微分方程.
高次方程及其解法
高次方程及其解法求解程序编辑高次方程的根的求解，可以利用bairstow法，通过简单的matlab程序，求得方程的所有复根（实根和虚根）2定义编辑整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程。
3一般形式编辑高次方程的一般形式为anx^n+an-1x^n-1+-------+a1x+a0=高次方程等式两边同时除以最高项系数，得：anx^n/an+an-1x^n-1/an+--------+a1x/an+a0/an=0所以高次方程一般形式又可写为x^n+bnx^n-1+-------b1x+b0=04其它相关编辑解法思想通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．根与系数按这个高次方程的形式x^n+bn-1x^n-1+-------b1x+b0=0，那么有所有根相加等于系数bn-1的相反数所有根两两相乘再相加等于系数bn-2所有根三三相乘再相加等于系数bn-3的相反数依次类推，直到所有根相乘，等于（-1）^nb0成果伽罗华（Galois，1811——1832），法国数学家。
伽罗华15岁进入巴黎有名公立中学学习，偏爱数学。
后来想进工科大学，两次落榜只进一所代等的预备学校，此时，他专攻五次方程代数解法。
第一年写了四篇文章，1828年，17岁的伽罗华写了《关于五次方程的代数解法问题》等两篇论文送交法国科学院，但被柯西（Cauchy,1789——1875）遗失，后来，他又把一篇文章送给傅利（Fourier，1768——1830）。
不久，傅利就去世了，也就不了了之。
1831年，伽罗华完成了《关于用根式解方程的可解性条件》一文，院士普阿松（Poisson，1781-1840）的审查意见却是“完全不能理解”，予以退回。
伽罗华不幸因决斗受重伤于1832年5月31日离世，时年不满21岁，在决斗前夜，他深知为女友决斗而死毫无意义，但又不甘示弱，当晚他精神高度紧张和极度不安，连呼“我没有时间了！”匆忙之中，把他关于方程论的发现草草写成几页说明寄给他的朋友，并附有如下一段话：“你可以公开地请求雅可比（Jacobi）或高斯，不是对于这些定理的真实性而是对于其重要性表示意见，将来我希望有人会发现这堆东西注释出来对于他们是有益的。
高次方程的解法
高次方程的解法高次方程是指次数大于等于2的方程，例如二次方程、三次方程、四次方程等。
解高次方程是数学中的基本技能之一，能够帮助我们研究各种实际问题。
本文将介绍几种解高次方程的方法，包括因式分解、配方法、提取公因式和根的公式等。
一、因式分解法当高次方程可因式分解时，我们可以通过因式分解的方式求解方程。
举个例子，考虑解二次方程x^2 - 5x + 6 = 0。
首先，我们观察方程中的常数项6，寻找其因数。
可以得知6的因数有1、2、3和6。
然后我们将这些因数带入方程，并观察是否能够满足等式。
不难发现，当将2和3带入方程时，等式成立。
因此，我们可以得出以下因式分解形式：(x - 2)(x - 3) = 0。
由因式分解的性质可知，当一个方程的乘积等于0时，其中一个因式等于0。
因此，我们可以得到两个解：x - 2 = 0 和 x - 3 = 0。
进一步求解可得x的值，即x = 2和x = 3。
因此，原方程的解为x = 2和x = 3。
二、配方法对于一些特殊的高次方程，我们可以通过配方法来求解。
配方法适用于二次方程以及一些特殊的三次方程，例如x^2 + bx + c = 0。
我们仍以二次方程为例进行讲解。
考虑解方程x^2 - 8x + 12 = 0。
首先，我们观察方程中的系数，将常数项12分解为两个数的乘积，这里可以分解为2和6。
然后我们观察方程中的一次项系数-8，将其写成-2和-6之和。
然后将方程重新写成完全平方的形式：(x - 2)(x - 6) = 0。
继续通过因式分解的性质可以得到x的两个解：x - 2 = 0 和 x - 6 = 0。
求解可得x = 2和x = 6。
因此，原方程的解为x = 2和x = 6。
三、提取公因式法当高次方程中存在公因式时，我们可以通过提取公因式的方式简化方程，并进一步求解。
举个例子，考虑解方程x^3 - 4x^2 + 4x = 0。
首先，我们观察方程中的每一项，可以发现每一项都含有x。
高次方程的解法
高次方程是指方程中最高次数的项大于等于2的方程。
高次方程的解法较为复杂，需要运用代数的知识和数学推导方法。
本文将介绍高次方程的解法。
一般来说，高次方程的解法可以分为两种：一种是可以直接求解得到解析解的方程，另一种是无法得到解析解，只能通过数值逼近的方法求解。
对于可直接求解得到解析解的高次方程，我们可以通过一系列的代数操作将方程化简为一元二次方程、三次方程或四次方程等可以直接求根的方程。
例如，对于二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以使用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a来求解方程的根。
而对于三次方程和四次方程，我们可以使用卡尔达诺公式和费拉里公式来求解方程的根。
然而，对于高于四次的高次方程，我们无法直接求解得到解析解。
这是由于高于四次的高次方程在一般意义上是不可解的。
对于这种情况，我们可以通过数值逼近的方法来求解方程的近似解。
常用的方法有二分法、牛顿迭代法和割线法等。
这些方法通过不断的迭代计算，逐渐逼近方程的解，并可能得到任意精度的解。
除了上述的解法之外，高次方程还存在一些特殊的解法。
例如，对于特殊形式的高次方程，我们可以使用因式分解的方法来求解。
对于齐次方程，我们可以使用换元的方法将方程转化为更简单的形式。
对于含有参数的高次方程，我们可以通过改变参数的值来研究方程解的变化规律。
除了解析解和数值逼近的方法之外，我们还可以使用图像分析的方法来研究高次方程的解的性质。
通过绘制方程的图像，我们可以获得方程解的一些性质，例如解的个数、解的分布等。
这对于我们理解方程的解具有重要的启示作用。
综上所述，高次方程的解法包括可直接求解得到解析解的方程、通过数值逼近方法求解的方程，以及一些特殊解法和图像分析方法。
对于高次方程的解法，我们需要灵活运用代数的知识和数学推导方法，并结合具体的问题进行分析和求解。
通过研究高次方程的解法，我们可以进一步深入理解和探索数学的奥秘。
高次方程的求解
高次方程的求解许多数学家曾为探求三次方程的解法奥秘进行过不懈的努力。
漫漫时间长河中，除了取得个别方程的特解外，都没有人能取得实质性的进展，有人怀疑这样的公式解是否存在。
然而，16世纪在意大利最为古老的波伦亚大学，有一位数学教授费洛依旧执着地追求着。
公元1505年，费洛宣布，他找到形如x3+px=q的一个特别情形的解法。
费洛当时没有公开发表自己的成果，以至于人们至今还无法完全解开费洛解法之谜。
人们似乎确切地知道，费洛曾把自己的方法传授给一个得意门生，威尼斯的佛罗雷都斯。
与此同时，在意大利北部的布里西亚，一个从没进过校门的“结巴”也找到了三次方程的解法，他就是当时颇有名气的年轻人塔塔里亚。
他幼年丧父，家境贫寒，自己还受过九死一生的磨难。
伤痛、恐惧和惊吓，留给他一个口齿不灵的结巴毛病。
后来他干脆改名为“塔塔里亚”，即意大利语“结巴”的意思。
塔塔里亚天资聪敏，勤奋好学。
他研究物理，钻研数学，很快地显露出超人的才华，尤其是他发表的一些论文，思路奇特，见地高远，表现了他相当深的数学造诣，从而一时间遐迩闻名。
塔塔里亚的自学成才，受到了当时科班出生的一些人的轻视和妒忌。
公元1530年，布里西亚的一位数学教师科拉向塔塔里亚提出了两道挑战性的问题，想以此难倒对方，这两道题是：（1）求一个数，其立方加上平方的3倍等于5。
（2）求三个数，其中第二个数比第一个数大2倍，第三个数又比每二个数大2，它们的积为1000。
这实际是两道求三次方程实根的问题，前一个问题方程是x3+3x2-5=0，后一个问题的方程是x3+6x2+8x-1000=0。
塔塔里亚求出了这两个方程的实根，从而赢得了这场挑战，并为此名声大震。
消息传到波利亚，费洛的学生费罗雷都斯听到在布里西亚，居然也有人会解三次方程，心中感到有点不是滋味。
他原以为自己得名师单传，此生此世该是只此一家，别无分店。
不料半路杀出一个“程咬金”，而且还是一个不登大雅之堂的小人物，怎能使人信服？于是几经协商，终于决定于1535年2月22日在意大利第二大城市米兰，公开举行数学竞赛。
高次方程及其解法
高次方程及其解法2009-12-06 11:35:27| 分类：学生园地| 标签：|字号大中小订阅1.一元n次方程：（1）标准形式： a0x n+a1x n-1+a2x n-2+…+a n-1x+a n=0(a0≠0)，当n≥3时叫做高次方程.（2）解法思想：高次方程解法的基本思想是降次，降次的方法有因式分解法和换元法.2.高次方程根的存在定理设多项式f(x)=a0x n+a1x n-1+a2x n-2+…+a n-1x+a n(a0≠0)（1）因式定理：多项式f(x)含有因式x-a的充要条件是f(a)=0.（2）实系数方程虚根成对定理：如果方程f(x)=0的系数都是实数，且方程有一个虚根a+bi(a，b∈R且≠0)，那么它必定还有另一个根a-bi.（3）有理系数方程无理根或虚根存在定理：如果方程f(x)=0的系数都是有理数，①若a+√b是方程的根，那么a-√b 必也是它的根（其中，a是有理数、√b是无理数）；②若√a+√b是方程的根，那么√a-√b，-√a+√b，-√a-√b必也是它的根（其中，√a、√b都是无数）；③若方程有一个虚根√a+√bi(a，b∈R且b≠0)，那么√a-bi，-√a+√bi，-√a-√bi必也是它的根（其中，√a、√b都是无理数）.（4）整系数方程有理根存在定理：①如果方程f(x)=0的系数都是整数，那么方程有理根仅能是这样的分数p/q，其分子p是方程常数项的约数，分母q是方程最高次项的约数；②在整系数方程f(x)=0中，如果α是方程的整数根，那么二比值f(1)/(α-1)和f(-1)/(α+1)都是整数；③在整系数方程f(x)=0中，如果f(0)与f(1)都是奇数，那么该方程无整数根；④最高次项的系数为1的整系数方程f(x)=0的有理根都是整数.如果方程没有整数根，那么它也没有有理根.3. 一元n次方程的解法：（1）一元n次方程a0x n+a1x n-1+a2x n-2+…+a n-1x+a n=0(a0≠0)的解法通常用验根法、因式分解法和换元法. （2）特殊的高次方程的解法：①二项方程ax n+b=0(a≠0)可用复数开n次方的方法求解；②三项方程ax2n+bx n+c=0(a≠0)可用换元法求解，先令x n=y,解二次方程ay2+by+c=0(a≠0),然后求x；③倒数方程ax n+bx n-1+c x-2+…+cx2+bx+a=0(其特点是距首末两项等远的项系数相等，a≠0)通常用换元法降次后求解.注：倒数方程具有性质：①倒数方程没有x=0的根；②如果α是倒数方程的根，那么α的倒数1/α也是该方程的根；③奇次倒数方程必有x=-1的根.例题解答：。
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高次方程的解法
有很多中学生一谈起高次方程，就好比见天书一样。
其实高次方程没什么难的，学数学应该学会举一反三。
我们知道初中学了一元二次方程，有些学生只把二次方程的求根公式记住了，但这个求根公式怎么推导的呢，他没有理解。
其实学数学应该学会理解，注重理解，而不在于死记公式。
比如说我们学了一元二次方程，重要的不是这个求根公式，而是一元二次方程有几种解法。
一元二次方程有以下几种解法：
1、配方法（二次方程是配平方法）：这一方法虽然是很好理解的，但我通过在网上了解有很多学生对一方法根本就不懂。
因为我问到他们时，他们绝大多数都是只会这个求根公式，一问起是怎么推导的，他们根本就不知道。
其实二次方程的求根公式就是用配方法导出来的，配方法是解方程的里面的，尤其是解高次方程里面的最重要的一个方法。
如果能够彻底理解这一方法，不仅是二次方程这块好掌握，对以后解高次方程也有很大帮助。
比如说对于二次方程ax2+bx+c=0，我们知道可用配平方（完全平方公式）法配成缺少一次项系数的二次方程，即配成关于x的一次代数式的完全平方的行式，这样就可以通过直接开平方法解出此方程。
那么二次方程我们能用配方法求解，我们是不是就考虑举一反三，三次方程ax3+bx2+cx+d=0是不是也可以采取配方来解，当然对于三次方程就应该是配立方法了。
通过研究对于某些特殊的三次方程是可以通过配立方法来求解的，为什么说是要特殊的三次方程呢，因为三次方程和二次方程不一样，它有三个带未知数x的项，这样用配立方法化把二次项系数去掉的同时，不一定一次项系数也同时去掉。
所以对于某特殊的三次方程也适用于配方法的。
比如说x3+6x2+12x+9=0，通过配立方法，可以化成完全立方的形式（x+2）3+1=0，这样就可以解得该方程有一实根X=-3，所以我们学了二次方程的配方法后，可以把这种方法推广到三次方程，甚至更高次数的方程上（例如某些四次方程可以通过配四次方法来解……）。
所以如果能够举一反三，学了二次方程以后。
对于某些特殊的高次方程也应该会解。
2、因式分解法：这种方法适合一些根为整数的方程。
可以解一些特殊的二次方程。
比如说方程x2+x-2=0，可以分解因式为（x+2）(x-1)=0，那可以解得X1=-2，X2=1。
同样我们应该考虑二次以上次数的方程也有可能适用此法。
比如说一元三次方程x3+18x2+72x+64=0，仔细观察这个方程，发现该方程的三次项和常数项可以组合，用立方和公式公解，18x2+72x 这一部分可以提取公因式x，那么这两个代数式分解之后有公因式（x+4），那么又可以提取公因式（x+4），从而求出该一元三次方程的根。
综上所述，二次方程的某些方法，是可以推广到某些特殊的高次方程上面的。
学了二次方程，如果会举一反三，对某些高次方程应该轻而易举就会解出来的。
其实不论二次方程的配平方法或者是因式分解法，其主旨思想都是降次，把二次降为一次就解出来了。
实际上解高次方程的主旨思想也是降次，如果是三次的就想办法降为一次的或两次的。
关键是怎么降次，降次的方法，下面通过举例说一下某些特殊高次方程的几种解法。
1、换元法：
例如四次方程(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=0，可以分成
(x+2)(x+3)和(x+1) (x+4)两个因式，
然后这两个因式分别乘出，得到
（x2+5x+6）(x2+5x+4)+1=0，
设x2+5x=y，代入方程，得：（y+6）(y+4)+1=0，
最后整理得，y2+10y+25=0，解得y1=y2=-5，
然后代入x2+5x=y，得x2+5x=-5，
再解这个二次方程，即可求出原方程的四个实数根。
2、配方法：
例如四次方程x4+6x3+13x2+12x+4=0，这个方程如果不仔细看，好像是看着很乱，找不到求解的头绪，其实如果试用配方法解，应该是很容易的。
先通过配平方法将三次项式系数化掉，
即（x2+3x）2+4x2+12x+4=0，
然后观察正好后面的系数比和括号里的一样，
即（x2+3x）2+4（x2+3x）+4=0，
这样就可以用换元法，把四次方程化成二次方程，最后求出原方程的根。
通过这个例子我们可以看出，对于某些最高次数为合数的N次方程，不仅可以考虑使用配N次方的方法，也可以考虑使用配N的因数次方的方法。
例如四次方程可以考虑配平方的方法，六次方程可以考虑配二次方或者是三次方的方法，九次方程可以考虑配三次方的方法等等……。
3、因式分解法：
例如解三次方程x3+x2+3x+27=0，可以分解因式为
（x+3）(x2-3x+9)+x(x+3)=0，
提取公式因式(x+3)，得（x+3）(x2-2x+9)=0，
然后就通过解x2-2x+9=0、x+3=0这两个方程，
解原方程只有一个实根x=-3。
以上这些解高次方程的方法仔细想一下，都来自于解二次方程的方法。
所以学数学应该学会举一反三。
下面出几道题供学生练习参考
解下列方程：
1、（x+1) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)+9=0
2、 x3+8x2-4x-32=0
3、 x4+2x3-x2+2x+1=0
4、 x3+6x2+11x+6=0。