弹塑性力学部分习题(1)

§3-1 位移和（工程）应变 §3-2 应变张量和转动张量 §3-3 应变张量和转动张量的坐标变换式 §3-4 主应变、主应变方向、应变张量
的三个不变量
§3-5 变形协调条件（相容条件）
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第四章 应力应变关系（本构方程）
§4-1 应变能、应变能密度与弹性 材料的本构关系 §4-2 线弹性体的本构关系
弹塑性力学
第 六 章 弹性力学平面问题的直角坐标系解答 第 七 章 弹性力学平面问题的极坐标系解答 第 八 章 等截面直杆的扭转 第 九 章 空间轴对称问题 第 十 章 弹性力学问题的能量原理 第 十一 章 塑性力学基础知识
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参考书目
1.徐芝纶， 弹性力学：上册.第三版,高等教育 出版社.1990年
z
y
l
Fbz g
x
x
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题1-5 等截面直杆（无体力作用），杆轴 方向为 z 轴,已知直杆的位移解为
u kyz v kxz w k x, y
其中 k 为待定常数，(x‚y)为待定函数，
试写出应力分量的表达式和位移法方程。
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题1-6 半空间体在自重 g 和表面均布压力
O l
y
u

g 2E
2 lx
Βιβλιοθήκη Baidu

(x2

y2
)
,
v g l x y
E
h h 式中 E、 为弹性模量和泊松系数。
x
试（1）求应力分量和体积力分量；
（2）确定各边界上的面力。
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题1-11 设有一无限长的薄板，上下两端固 定，仅受竖向重力作用。求其位移解答。
§6-1平面问题的分类 §6-2平面问题的基本方程和边界条件 §6-3平面问题的基本解法 §6-4多项式应力函数运用举例
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第七章弹性力学平面问题的极坐 标系解答
§7-1平面极坐标下的基本公式 §7-2轴对称问题
§7-3轴对称应力问题——曲梁 的纯弯曲
§7-4圆孔的孔边应力集中问题 §7-5曲梁的一般弯曲 §7-6楔形体在楔顶或楔面受力
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题1-16 圆环匀速（）转动，圆盘密度为 ，且设 ur 表达式为
ur

C1r

C2 r

(1 2 ) 2r3
8E
b
ra
x
试由边界条件确定 C1
y
和 C2 。
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题1-17 图示无体力的矩形薄板，薄板内有 一个小圆孔（圆孔半径a 很小），且薄板受 纯剪切作用，试求孔边最大和最小应力。
EI
x
v =B1x(x-l)+B2x2(x-l) 。
l
y
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题2-6 设有一无限长的薄板，上下两端固
定，仅受竖向重力作用。利用Ritz 法求
其位移解答。
y
g
b
o
x
设位移的近似解为 u=0, v = B1 y(y-b)， 求其位移解答。
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q
xq y
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题1-18 图示一半径为a 的
圆盘（材料为E1,1）, 外 套以a r b 的圆环（材 料为E2, 2），在 r= b 处 作用外压q,设体积力为零,
试写出该问题解的表达式 以及确定表达式中待定系 数的条件
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q
a b
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题1-19 图示半无限平面薄板不计体力。已
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第八章 柱体的自由扭转问题
§8-1 位移法求解 §8-2 按应力函数求解 §8-3 薄膜比拟 §8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 §8-5 薄壁杆的自由扭转
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第九章 空间轴对称问题
本章讨论空间轴对称问题的基本方程和 一些轴对称问题的基本解。对于一般空间问 题的解法我们在第五章已有讨论，但一般空 间问题一般解（具体求解）通解讨论在杜庆 华等编著的“弹性理论”中有较多的论述。 我们不刻意从数学上论述一般空间问题一般 解的表达式，而对于空间轴对称问题作一些 讨论和举例。
（2）.若 ij = ji , ij = - j i , 则 ij ij = 0
题1-3 利用指标符号推导位移法基本方程
G2ui G u j, ji Fbi 0 在V上
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题1-4 等截面柱体在自重作用下，应力解为
x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz，试求位移。
知在边界上有平行边界的面力q 作用。应
力函数取为 (r, )= r2(Asin2 + B )/2
试（1）列出求解待定系数 A、B 的方程
式，（2）写出应力分量表达式。
q
y
r o
x
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题1-20 图示无体力的楔形体，顶端受集 中力偶作用，应力函数取为
(r, )= Acos2 + Bsin2 + C
§4-3 各向同性材料弹性常数
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第五章 线弹性力学问题的基本解 法和一般性原理
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
§5-2 位移法 §5-3 应力法
§5-4 线弹性力学的几个原理
§5-5 线弹性力学的几个简单
问题的求解
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第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
题2-7 1.试写出伽辽金法在梁弯曲问题的 求解方程。
2. 利用伽辽金法求图示简支梁的近似
解，设梁挠度的近似解为 v= B1 sin（x/l） 。
q
EI
x
l
y
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第十章 弹性力学的能量原理
§10-1 几个基本概念和术语 §10-2 虚功方程 §10-3 功的互等定理 §10-4 虚位移原理和最小势能原理 §10-5 虚应力原理和最小余能原理 §10-6 基于能量原理的近似解法
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第十一章 塑性力学基础
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型 §11-2 一维问题弹塑性分析
A
ly
B
P
Cx
C’
l
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题2-2 分别利用虚位移原理、最小势能原 理、虚应力原理和最小余能原理求解图示 桁架的内力。已知桁架各杆 EA 相同，材
料的弹性关系为 = E 。
A
y l
P
C
x
D
B
l
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题2-3 左图示梁受荷载
q
作用，试利用虚位移原 M
理 或最小势能原理导出
设： u = 0、 v = v(y)
y
g
b
o
x
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题1-12 试证明，如果体力虽然不是常量， 但却是有势力，即
X V , Y V
x
y
其中 V 是势函数，则应力分量亦可用应
力函数表示为
x

2
y 2
V , y

2
x2
V , xy
q 作用下的位移解为 u = v = 0,
w


1 2G
qh

z
g
2
h2 z2

试求 x/z (应力比).
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O
题1-7 图示梯形截面墙体完 h h 全置于水中，设水的密度为， A
B

x
试写出墙体各边的边界条件。 C y D
题1-8 图示薄板两端受均匀拉力作用，试 确定边界上 A点和O点的应力值。
EI
x
梁的平衡微分方程和力 y
l
的边界条件。
q
题2-4 利用最小余能
原理求左图示梁的弯
EI
x
矩。
l y
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题2-5 利用虚位移原理的近似法或Ritz 法
求解图示梁的挠曲线。
（1）悬臂梁受两 个集中力 P 作用。
PP
EI
l/2
l/2 x
y q
（2）简支梁受均布
荷载 q 作用,设：
M oy
试（1）列出求解待定系数 /2/2
A、B、C的方程式，（2）
写出应力分量表达式。
x
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第二部分 能量法内容
题2-1 图示结构各杆等 截面杆，截面面积为A, 结点C承受荷载P作用, 材料应力—应变关系分
别为（1） =E ，(2) =E 1/2 。试计算结构
的应变能U 和应变余能 Uc。
1 （1）. ij 2 (ui, j u j,i )
(i, j 1,2 ,3 )
（2）.
U0

1 2

ij
ij
(i, j 1,2,3)
（3）. Fi ni G ui, j u j,i ije
e 为体积应变
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题1-2 证明下面各式成立， （1）. eijk ai aj = 0
o
试（1）列出求解的待定

y
系数的方程式，（2）写 q
出应力分量表达式。
x
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题1-15 设弹性力学平面问题的体积力为 零，且设
（1） P sin , （2） Pr sin ,
r
试（1）检验该函数是否可以作为应力 函数；（2）如果能作为应力函数，求 应力分量的表达式。
§11-3 应力、应变偏量的不变量和等效应力 e 等效应变 e、罗德（Lode）参数
§11-4 屈服条件 §11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力 §11-6 弹塑性应力应变关系增量理论
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弹塑性力学部分习题
第一部分 静力法内容
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题 1-1 将下面各式展开

2
xy
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题1-13 试分析下列应力函数能解决什么 问题？设无体力作用。


3F 4c

xy

xy3 3c 2


q 2
y2
ox
2c
l
y
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题1-14 图示无限大楔形体受水平的常体 积力 q 作用,设应力函数为
ax 3 bx 2 y cxy 2 ey 3
量基本知识
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第二章 应力分析
§2-1 内力和外力 §2-2 应力矢量和应力张量 §2-3 应力分量转换公式 §2-4 主应力和应力主方向、应力张量
的不变量 §2-5 最大正应力和剪应力 §2-6 应力张量的分解
§2-7 平衡微分方程、力的边界条件
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第三章 应变分析
A q
ox

q
y
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题1-9 图示悬臂薄板，已知板内的应力分
量为 x=ax、y=a(2x+y-l-h)、xy=-ax, 其 中a为常数（设a 0）。其余应力分量为零。
求此薄板所受的体力、边界荷载和应变。
l
o
450
y
h
题1-9图 x
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题1-10 图示矩形薄板，厚度为单位1。 已知其位移分量表达式为
2.陆明万.罗学富,弹性理论基础,清华大学出版 社. 1990年
3.杜庆华.余寿文.姚振汉,弹性理论,科学出版社. 1986年
4.王龙甫,弹性理论.第二版,科学出版社. 1984年 5.吴家龙,弹性力学：高等教育出版社.2001年
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第一章 绪论
§1-1 弹塑性力学的任务和对象 §1-2 基本假设和基本规律 §1-3 弹性力学的研究方法 §1-4 弹性力学的发展梗概（略） §1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张