第六章 随机数生成器
第六章 随机数生成器
不可少的 基本元素 （0，1）均匀分布随机数是产生其他许多分布 的随机数的基础 一个随机数序列必须满足两个重要的统计性质： 均匀性和独立性
随机数的性质
均匀性 如果将区间[0，1]分为n个等长的子区间，那 么在每个区间的期望观测次数为N/n，其中N 为观测的总次数 独立性 观测值落在某个特定区间的概率与以前的观测 值无关
线性同余随机数生成器（LCG）
Zi (aZi 1 c)(mod m)
其中，a称为乘法因子，c称为加法因子，m为 模数 当a=1时，为加同余法； 当c=0时，为乘同余法； 当a≠1、c≠0时，为混合同余法
例：
使用线性同余法产生随机数序列，其中Z0=27、 a=17、c=43、m=100。 解：Zk=(aZk-1+c)mod m Z1=(17×27+43) mod 100=502mod100=2 Z2=(17×2+43) mod 100=77mod100=77 Z3=(17×77+43) mod 100=1352mod100=52 …… U1=2/100=0.02, U2=77/100=0.77, U3=0.52
当Xi=Ui时，E(Ui) 1/ 2，V(Ui)=1/12 E ( X i X i j ) 1/ 4 所以， j 12E ( X i X i j ) 3 1/12
相关性检验
12 h j U1 kj U1 (k 1) j 3, h 1 k 0
定理：
LCG具有满周期，当且仅当以下3个条件成立：
1. m和c互质；
2. 存在一个质数q，能够同时整除m和a-1； 3. m和a-1能够被4整除。
用Python编程语言编写随机数生成器程序示例
用Python编程语言编写随机数生成器程序示例标题: 用Python编程语言编写随机数生成器程序示例介绍:这个示例程序将演示如何使用Python编程语言生成随机数。
随机数在很多领域都有应用，例如游戏开发、数据分析、密码学等。
我们将使用Python内置的random模块来生成随机数。
这个模块提供了多种生成随机数的方法。
以下是一个简单的示例代码，它将生成一个介于0和1之间的随机浮点数:```pythonimport randomrandom_number = random.random()print("随机数:", random_number)```在这个示例中，我们首先导入了random模块。
然后，使用random()函数来生成一个介于0和1之间的随机浮点数，并将结果保存在变量random_number中。
最后，我们使用print函数将随机数打印出来。
如果你需要生成一个特定范围内的随机整数，你可以使用randint()函数。
以下是一个示例代码，它将生成一个介于1和10之间的随机整数:```pythonimport randomrandom_integer = random.randint(1, 10)print("随机整数:", random_integer)```在这个示例中，我们使用randint()函数生成一个介于1和10之间的随机整数，并将结果保存在变量random_integer中。
除了这些方法，random模块还提供了其他许多生成随机数的函数，例如生成随机选择的样本、生成随机浮点数、生成随机字节等。
总结:这个示例程序展示了如何使用Python编程语言生成随机数。
通过使用random模块中提供的函数，我们可以轻松地生成随机数，并在不同的应用中使用它们。
无论是生成随机整数、浮点数还是随机选择样本等，Python的random模块都提供了丰富的函数来满足各种需求。
真随机数生成器原理-概述说明以及解释
真随机数生成器原理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在引言部分的概述中，我们将介绍真随机数生成器的原理。
随机数在许多领域中起着重要的作用，如密码学、模拟实验和数据加密等。
然而，传统的伪随机数生成器在生成随机数时存在一定的规律性和可预测性，这可能会导致数据的不安全性和模拟实验的误差。
因此，为了解决这一问题，真随机数生成器应运而生。
本文将深入探讨真随机数的定义、真随机数的重要性以及真随机数生成器的原理。
首先，我们将介绍真随机数的定义，即无法以任何方式预测或确定的数值。
接着，我们将探讨真随机数在密码学、模拟实验和数据加密等领域的重要性，说明为什么需要使用真随机数生成器。
随后，我们将详细讨论真随机数生成器的原理。
真随机数生成器是一种能够利用物理或环境噪声生成真正随机数的设备或算法。
我们将介绍一些常见的真随机数生成器方法，例如基于硬件设备的真随机数生成器和基于环境噪声的真随机数生成器。
我们将探究它们的工作原理和优缺点，并讨论如何确保生成的随机数具有高度的真实性和随机性。
最后，我们将总结本文的主要内容，并展望真随机数生成器的应用前景。
真随机数生成器在密码学中的应用可以加强数据的安全性，而在模拟实验中的应用可以提高结果的准确性。
此外，真随机数生成器还有望在数据加密、随机抽样和随机算法等领域发挥更重要的作用。
综上所述，真随机数生成器具有广泛的应用前景，值得进一步研究和探索。
通过本文的阅读，读者将能够了解到真随机数生成器的原理和应用，进一步认识到真随机数的重要性，并对相关领域的发展和应用提供有益的参考。
1.2 文章结构本文将从引言、正文和结论三个部分来探讨真随机数生成器的原理。
具体来说，文章结构如下：引言部分将简要介绍本文的背景和目的。
首先，我们会概述真随机数的定义以及其在各个领域的重要性。
接下来，我们会明确文章的结构，并简要介绍各个章节的内容。
正文部分将详细探讨真随机数生成器的原理。
首先，我们会对真随机数的定义进行进一步解释，包括其与伪随机数的区别和随机性的特征。
随机数生成器公式
随机数生成器公式随机数生成器公式，这玩意儿听起来是不是有点神秘又有点高大上？其实啊，它在我们的生活和学习中还挺常见的。
先来说说啥是随机数。
随机数啊，就像是老天爷闭着眼睛随便扔出来的数字，没有啥规律可言。
比如说抽奖的时候，电脑随机抽出的中奖号码，那就是随机数。
那随机数生成器公式是咋回事呢？简单来说，就是通过一些数学的方法和规则，让计算机或者其他工具能够“制造”出看起来像是随机出现的数字。
咱们就拿一个简单的例子来说吧。
假设我们要在 1 到 100 之间生成随机数，有一种常见的方法是用编程语言里的随机函数。
就像在Python 里，可以用“random.randint(1, 100)”这个命令，每次运行，它都会给出一个 1 到 100 之间的随机数。
我记得有一次，我们班上搞活动，要通过随机数来决定谁先上台表演节目。
我就用电脑上的随机数生成器来操作，同学们那叫一个紧张又兴奋，眼睛都紧紧盯着屏幕，等着看谁是那个幸运儿。
当第一个随机数出来的时候，被选中的同学先是一愣，然后满脸通红地走上台，大家都哈哈大笑。
再深入一点说，随机数生成器公式可不只是这么简单。
有些更复杂的公式，是为了让生成的随机数更符合真正的随机特性。
比如说，要避免出现连续出现相同数字的情况，或者要保证每个数字出现的概率都差不多。
还有啊，随机数生成器在科学研究里也大有用处。
比如说做模拟实验的时候，需要用随机数来模拟各种不确定的因素。
像研究天气变化、金融市场的波动，都得靠随机数生成器来帮忙。
在游戏开发中，随机数生成器也是不可或缺的。
想象一下，要是游戏里的怪物出现、宝藏掉落都是固定的，那多没意思啊！有了随机数，每次玩游戏都有新的惊喜和挑战。
不过，随机数生成器也不是完美无缺的。
有时候，由于算法的限制，可能会出现一些不太随机的情况。
比如说，在某些情况下，可能会出现一小段数字看起来有规律的现象。
总之，随机数生成器公式虽然看起来有点复杂，但它真的给我们的生活和各种领域带来了很多有趣和有用的东西。
概率模拟使用随机数生成器进行概率模拟
概率模拟使用随机数生成器进行概率模拟概率模拟：使用随机数生成器进行概率模拟概率模拟是一种通过生成随机事件来模拟研究概率问题的方法。
为了有效进行概率模拟，我们常常使用随机数生成器来产生符合一定概率分布的随机数。
本文将介绍概率模拟的基本原理，并详细说明如何使用随机数生成器进行概率模拟。
一、概率模拟基本原理概率模拟是基于概率论的一种分析方法，通过模拟随机事件的发生情况来预测其概率分布。
在现实世界中，很多事件的结果是不确定的，无法通过精确计算得到其概率。
这时候，我们可以通过随机数生成器模拟一系列随机事件，然后根据模拟结果统计频率，从而推断真实概率。
概率模拟的基本原理可以用以下步骤总结：1. 定义随机试验：明确研究对象、试验过程和结果。
2. 设定概率分布：根据实际情况，假设事件的概率分布。
3. 生成随机数：使用随机数生成器生成符合设定概率分布的随机数。
4. 进行模拟：多次独立地重复试验，并记录事件发生的频率。
5. 统计频率：根据模拟结果统计频率分布，推断真实概率。
二、随机数生成器的选择随机数生成器是概率模拟的关键工具，它能够生成满足特定概率分布的随机数序列。
在选择随机数生成器时，需要考虑以下几个因素：1. 均匀性：生成的随机数应该具有均匀分布特性，保证随机性。
2. 独立性：生成的随机数应该相互独立，避免序列中的随机数之间存在相关性。
3. 有效性：生成的随机数应该能够满足模拟的需求，有足够的精度和范围。
常用的随机数生成器包括线性同余法、Mersenne Twister算法等。
三、使用随机数生成器进行概率模拟的步骤使用随机数生成器进行概率模拟通常包括以下几个步骤：1. 确定模拟的随机事件和概率分布。
在进行概率模拟前，首先需要明确研究对象和所关注的随机事件，并根据实际情况设定相应的概率分布。
2. 设定随机数生成器参数。
根据所选择的随机数生成器，设定相应的参数，如随机数种子、生成的随机数范围等。
3. 生成随机数序列。
C语言程序设计 – 第 06 章课后习题
C语言程序设计– 第六章课后习题电子13-02班王双喜一、选择题1. C语言中一维数组的定义方式为：类型说明符数组名（C）A. [整型常量]B. [整型表达式]C. [整型常量]或[整型常量表达式]D. [常量表达式]2. C语言中引用数组元素时，下标表达式的类型为（C）A. 单精度型B. 双精度型C. 整型D. 指针型3. 若有定义：int a[3][4];，则对a数组元素的非法引用是（D）A. a[0][3*1]B. a[2][3]C. a[1+1][0]D. a[0][4]（解释：A、B、C均正确，D看起来引用不太妥当，但其亦有其意义（a[0][4]等价于a[1][0]））4. 若有定义：int a[][3] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};，则a数组的第一维大小是（C）A. 1B. 2C. 3D. 4（解释：共9个元素，除以3即可得第一维大小是3；若有余数，则应加1）5. 若有定义：int a[] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};，则值为5的表达式是（C）A. a[5]B. a[a[4]]C. a[a[3]]D. a[a[5]]6. 要求定义包含8个int类型元素的一维数组，以下错误的定义语句是（A）A. int N = 8;int a[N]; B. #define N 3while (a[2*N+2];C. int a[] = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};D. int a[1+7] = {0};（解释：数组的大小必须是整型常量或整型常量表达式）7. 若二维数组a有m列，则在a[i][j]前的元素个数为（A）A. i * m + jB. j * m + iC. i * m + i - 1D. i * m + j - 18. 下面是对数组s的初始化，其中不正确的是（D）A. char s[5] = {"abc"};B. char s[5] = {'a', 'b', 'c'};C. char s[5] = "";D. char s[5] = "abcdef";（解释：D中元素个数太多，算上'\0'共六个，非法）9. 下面程序段的运行结果是（B）char c[] = "\t\v\\\0will\n";printf("%d", strlen(c));A. 14B. 3C. 9D. 字符串中有非法字符，输出值不确定（解释：字符串中第四个是'\0'即结束标志，因此字符串长度是3）10. 判断字符串s1是否等于s2，应当使用（D）A. if (s1 == s2)B. if (s1 = s2)C. if (strcpy(s1, s2))D. if (strcmp(s1, s2) == 0)（解释：对于字符串来讲，其名字的内容是该字符串的起始地址，不能通过比较名字来比较相等，而应该用专用的函数进行逐字符匹配）二、写出程序的执行结果1. 程序一：# include <stdio.h>main(){int a[3][3] = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17};int sum = 0, i, j;for (i = 0; i < 3; i++)for (j = 0; j < 3; j++){a[i][j] = i + j;if (i == j) sum = sum + a[i][j];}printf("sum = %d", sum);}执行结果：打印sum = 6.（解释：a中各个元素的值是其行和列数字之和，sum内保存a中对角线元素之和，即sum = 0 + 2 + 4）2. 程序二：# include <stdio.h>main(){int i, j, row, col, max;int a[3][4] = {{1, 2, 3, 4}, {9, 8, 7, 6}, {-1, -2, 0, 5}};max = a[0][0]; row = 0; col = 0;for (i = 0; i < 3; i++)for (j = 0; j < 4; j++)if (a[i][j] > max){max = a[i][j];row = i;col = j;}printf("max = %d, row = %d, col = %d\n", max, row, col);}执行结果：打印max = 9, row = 1, col = 0.（解释：此程序的功能是逐行逐列扫描元素，总是将最大的元素赋给max，并保存该元素的行数和列数；因此执行完毕后，max是最大的元素(9)，row是其行数(1)，col是其列数(0)）3. 程序三：# include <stdio.h>main(){int a[4][4], i, j, k;for (i = 0; i < 4; i++)for (j = 0; j < 4; j++)a[i][j] = i - j;for (i = 0; i < 4; i++){for (j = 0; j <= i; j++)printf("%4d", a[i][j]);printf("\n");}}执行结果：第一行打印0；第二行打印1 0；第三行打印2 1 0；第四行打印3 2 1 0。
第六章伪随机序列生成器
n
l (n)
l ( n)
; n 1
l (n)
6.2 伪随机序列生成器的定义和性质
定义 6.5 一个伪随机序列生成器是一个确定性多项式 时间算法G满足下列两个条件： 1)延伸性，存在一个正整数函数 l (n) n(n 1,2,) 使得对一 切 x 0,1*有 G( x) l ( x ) ； 2)伪随机性，随机变量序列 G(U n ); n 1是伪随机的，即 U l ( n) ; n 1 是多项式时间不 它与均匀分布随机变量序列 可区分的。 生成器G的输入x称为它的种子，要求将长n比特的种 子延伸为长l(n)比特的序列，且该序列与长l(n)的随机 比特序列是多项式时间不可区分的。l(n)>n称为的延 伸因子。
i i i 1
(3)不可预测性。 定义 6.6 随机变量序列X n ; n 1称为多项式时间 不可预测的若对每个多项式时间概率算法M’， 每个正多项式p(n)和一切充分大的n有 1 1 PrM (1 , X ) next ( X ) （6.4） 2 p ( n) 定理 6.3 一个随机变量序列X ; n 1是伪随机的 （参看定义6.4）当且仅当它是多项式时间不 可预测的。 (4)单向函数性。 定理 6.4 设G为一延伸因子l(n)的伪随机序列生 成器，若对每对 x, y 0,1满足 x y ，定义函数 f ( x, y) G( x) ，则f为一强单向函数。
第六章 伪随机序列生成器
6．1 计算不可区分性
* 0 , 1 定义 6.1 一个概率分布族是由 的一个无穷 子集I，称为指标集，和每个指标 i I 对应一个 概率分布p ( x) : D [0,1], p ( x) 0, p ( x) 1 构成，其中 * 0 , 1 Di为 的一个有穷子集。 定义 6.2 两个随机变量族 X | x D , i I 和Y | y E , i I 称为多项式时间不可区分，若对每个多项 式时间概率算法M’，每个正多项式p(n)和一切 充分大的n有 PrM ' ( X i , i) 1 PrM ' (Yi , i) 1 1 （6.1） p( i )
随机数生成器原理
随机数生成器原理随机数生成器是计算机科学中一个非常重要的概念，它在密码学、模拟实验、统计学等领域都有着广泛的应用。
随机数生成器的原理是如何产生一系列看似无规律、不可预测的数字序列，这些数字序列被认为是随机的。
在现代计算机系统中，随机数生成器是一个至关重要的组成部分，它为计算机提供了随机性，使得计算机能够执行各种复杂的任务。
本文将介绍随机数生成器的原理及其在计算机科学中的应用。
随机数生成器的原理可以分为伪随机数生成器和真随机数生成器两种。
伪随机数生成器是通过一定的算法产生一系列近似随机的数字序列，这些数字序列在一定程度上具有随机性，但是其实质是确定性的。
真随机数生成器则是通过一些物理过程产生真正的随机性，比如利用量子力学的原理来产生随机数。
在实际应用中，由于真随机数生成器的成本较高，大部分情况下我们使用的是伪随机数生成器。
伪随机数生成器的原理是基于一个种子(seed)和一个确定性的算法来产生随机数序列。
种子是一个初始值，通过对种子进行一系列的数学运算，比如加法、乘法、取模等，就可以产生一系列的伪随机数。
在计算机中，通常使用当前的系统时间作为种子，以保证每次生成的随机数序列都是不同的。
当然，在一些特定的应用中，我们也可以自己指定种子来产生确定的随机数序列。
随机数生成器在计算机科学中有着广泛的应用。
在密码学中，随机数生成器被用来产生加密密钥，以保证数据的安全性。
在模拟实验中，随机数生成器可以用来模拟各种随机事件，比如赌博游戏、天气模拟等。
在统计学中，随机数生成器可以用来进行抽样调查，以获取一定的样本数据。
总的来说，随机数生成器在计算机科学中扮演着非常重要的角色。
在实际应用中，我们需要注意随机数生成器的质量。
一个好的随机数生成器应该具有均匀性、独立性和周期性。
均匀性是指随机数生成器产生的随机数应该服从均匀分布，即每个数值的概率应该是相同的。
独立性是指随机数生成器产生的随机数应该是相互独立的，一个随机数不应该受到其他随机数的影响。
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随机数的产生方法
物理方法：利用某些物理过程来产生均匀分布 随机数
随机数表：利用物理过程得到的大量随机数， 制成随机数表
随机数产生程序：按照一定的算法计算出具有 类似于均匀分布随机变量的独立取样值性质的 数
伪随机数
计算机产生随机数的要求
49
19
13
61
55
14
25
11
15
5
15
16
1
3
随机数的检验
为了检验产生的随机数序列是否满足均匀性和 独立性，有必要进行一系列的检验：
均匀性检验（频率检验） 序列检验 游程检验 相关性检验
均匀性检验
2检验
2 n (Oi Ei )2
i 1
Ei
其中，Oi为第i组中数据的观测值个数，Ei为第i 组中数据的期望个数，n为组数。
维均匀性，以此判断随机数序列的独立性。
假设Ui是独立同分布U(0,1)的随机变量，则构 造n个d维随机变量：
U1=(U1,U2,…,Ud), U2=(Ud+1,Ud+2,…,U2d),… 将[0,1]等分为k个子区间，则在d维空间中共有 kd个子区间，n个随机变量落在每个区间的个 数期望值（期望频度）为n/kd。设fj1,j2,…,jd为落 在子区间j1j2…jd的观测值个数（观测频度），
平方取中法
20世纪40年代由冯·诺依曼提出的第一个随机 数生成器
例：设有一个4位正整数Z0，对之取平方得到 一个8位正整数（如果不够8位数，可以在左侧 加上0补足8位）。而后取中间的4位获得一个 新的4位正整数Z1。将Z1/10000得到一个[0，1] 之间的小数，则获得第一个“随机数”U1。然 后基于Z1重复上述操作，得到Z2和U2，依次类 推……
2采样分布近似等于有n 1个自由度的 2分布
均匀性检验
2检验
H0：Ri服从U[0，1] H1：Ri不服从U[0，1] 检验方法：选定一个显著性水平 (如 =0.05)
如果2 k1,2,就接受H0，认为符合均匀性
序列检验
序列检验是运用 2检验来检验随机数序列的n
游程检验
aij, bi的取值见书第149，150页
如果n足够大(n≥4000)，R近似满足自由度为6 的 2分布。
相关性检验
0.12 0.01 0.23 0.28 0.89 0.31 0.64 0.28 0.83 0.93 0.99 0.15 0.33 0.35 0.91 0.41 0.60 0.27 0.75 0.88 0.68 0.49 0.05 0.43 0.95 0.58 0.19 0.36 0.69 0.87
例：使用不同种子的周期
使用乘同余法，对a=13、m=26=64且 Z0=1,2,3,4, 求产生器的周期。
i
Xi
Xi
Xi
Xi
0
1
2
3
4
1
13
26
39
52
2
41
18
59
36
3
21
42
63
20
4
17
34
51
4
5
29
58
23
6
57
50
43
7
37
10
47
8
33
2
35
9
45
7
10
9
27
11
53
31
12
序列检验
则
2 (d) kd n
kk
k
...
j1 1 j2 1 jd
(f j1 , j2 ,... jd
n kd
)2
2 (d)服从自由度为kd 1的 2分布。
游程检验
游程检验是一种对独立性假设的更为直接的检 验。
对Ui序列进行检验，以得到Ui的不间断子序列， 每个子序列都是Ui单调增长的最长子序列，每 个子序列称为游程。 例：[0.86], [0.11, 0.23], [0.03, 0.13], [0.06, 0.55, 0.64, 0.87], [0.10]
第六章 随机数生成器
随机数
在离散系统仿真中，随机数是一个必不可少的 基本元素
（0，1）均匀分布随机数是产生其他许多分布 的随机数的基础
一个随机数序列必须满足两个重要的统计性质： 均匀性和独立性
随机数的性质
均匀性 如果将区间[0，1]分为n个等长的子区间，那 么在每个区间的期望观测次数为N/n，其中N 为观测的总次数
游程检验
给定一个有n个Ui的序列，对长度为1,2,3,4,5,2，3，4，5
ri
长度
6的游程，
i=6，7，...
则可构造如下检验统计量：
1 6 6
R
n
i1
aij (ri nbi )(rj nb j )
j1
定理：
LCG具有满周期，当且仅当以下3个条件成立： 1. m和c互质； 2. 存在一个质数q，能够同时整除m和a-1； 3. m和a-1能够被4整除。
模数m的取值
为了使LCG的周期足够长，m的取值应该较大； 为了加快计算机的处理速度，选择m=2b，其
中b为计算机CPU一次能处理的最大位数；目 前b=32-1=31
产生的随机数要尽可能的逼近理想的均匀性和 独立性统计性质
产生的随机数要有足够长的周期 产生随机数的速度要快，占用的内存空间要小 随机数必须是可重复的
对于给定的起始点或初始条件，应当能够产生 相同的随机数序列，而且与正被仿真的系统完 全无关
产生随机数的算法是利用递推公式：
X n f ( X n1, X n2 ,..., X nk )
LCG的周期
用LCG方法产生的随机数序列会出现周期循环 的现象，一旦Zi取值和以前出现的某个值相同， 此后的随机数序列就开始循环。循环的长度称 为生成器的周期；
由于0≤Zi≤m-1，因此最大周期是m，称之为满 周期；
为了产生成百上千的随机数，必须采用周期足 够长的LCG，最好是满周期的生成器，这样对 随机数的均匀性也很有利。
线性同余随机数生成器（LCG）
Zi (aZi1 c)(mod m)
其中，a称为乘法因子，c称为加法因子，m为 模数
当a=1时，为加同余法； 当c=0时，为乘同余法； 当a≠1、c≠0时，为混合同余法
例：
使用线性同余法产生随机数序列，其中Z0=27、 a=17、c=43、m=100。
解：Zk=(aZk-1+c)mod m Z1=(17×27+43) mod 100=502mod100=2 Z2=(17×2+43) mod 100=77mod100=77 Z3=(17×77+43) mod 100=1352mod100=52 …… U1=2/100=0.02, U2=77/100=0.77, U3=0.52