函数的连续性的例题与习题
数学《函数的连续性》练习题
第四章 函数的连续性例1) ()21f x x =+在2x =处连续.2) 1sin 0()00x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续.2.已知2,0,(),0,,0,x x f x A x x B x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩讨论()f x 在0x =处的连续性及左右连续性.3. 1) 求2(1)()(1)x x f x x x -=-的间断点类型.2) 举例定义在R 上且在1x =，2x =处间断的函数.思考 有无在R 上定义但仅在1x =，2x =处连续的函数?（判断题举例用）3) 考察,;(),,x x f x x x ⎧=⎨-⎩为有理数为无理数的间断点.证明: Riemann 函数1,(,),()0,0,1p x p q q q R x x ⎧=⎪=⎨⎪=⎩既约或无理数,在(0,1)内任何无理点均连续，但在任何有理点均不连续.例12 确定,,a b c 的值，使2111,0()0011x ax bx c x x f x x x -≤-⎧⎪++<≠⎪=⎨=⎪⎪≥⎩在R 上连续.例.如何补充定义使函数f 连续. 1) 24()2x f x x -=- 2) 3tan sin ()x x f x x-=5. 若f 在0x 处连续, 则||f 在0x 处连续. 反之呢? 又2f 呢？(易考判断题)6.构造满足下列条件的R 上定义的函数1) 仅在1,2x =处不连续的函数;2) 仅在1,2x =处连续的函数;3) 仅在1()x n N n =∈处间断的函数.7. 若对任何0ε>,f 在[,]a b εε+-上连续,则f 在(,)a b 上连续.8. . 设()sin f x x =,,0,(),0,x x g x x x ππ-≤⎧=⎨+>⎩, 求证: (())f g x 在0x =处连续,而g 在0x =处间断.9. 设f 为R 上的单调函数,定义)0()(+=x f x g .证明:g 在R 上每一点都右连续.10. 证明: 方程cos x x x =在0到2π之间有实根.11. 设f 在[,]a b 上的连续，([,])[,]f a b a b ⊂，证明：存在0[,]x a b ∈，使得0()f x x =.12. 1) 验证函数()f x ax b =+ (0)a ≠在R 上一致连续.2) 验证函数1()sinf x x=在(,1)c (01)c <<上一致连续.13. 验证()ln f x x =在[1,)+∞上一致连续.14. 若函数f 在有限区间(,)a b 上一致连续，则f 在(,)a b 上必有界.15. ()sin f x x =在R 上一致连续，()f x =[,)a +∞ (0)a >上一致连续.16. 当I [,)a =+∞，举例说明乘积f g ⋅在I 上未必一致连续.17. 设0≠x 时, )()(x g x f ≡, 而)0()0(g f ≠. 证明: f 与g 两者中至多有一个在0=x 连续.18. 设f ,g 在点0x 连续, 证明:1) 若)()(00x g x f >, 则存在);(0δx U , 使在其内有)()(x g x f >;2) 若在某)(00x U 内有)()(x g x f >, 则)()(00x g x f ≥.19.证明：若f 在[,]a b 上连续,且对任何[,]x a b ∈,()0f x ≠,则f 在[,]a b 上 恒正或恒负.20. 设f 在],[b a 上连续,12,,...,[,]n x x x a b ∈.证明:存在],[b a ∈ξ,使得121()[()()()]n f f x f x f x nξ=++⋅⋅⋅+21.设f 在),[+∞a 上连续, 且)(lim x f x +∞→存在, 证明: f 在),[+∞a 上有界, 又f 在 ),[+∞a 上必有最大值或最小值吗?22. 证明: 2()f x x =在[,]a b (,)a b R ∀∈上一致连续,而在(,)-∞+∞上不一致连续.证明: ()f x =[1,)+∞上一致连续.证明: x x f cos )(=在),0[+∞上一致连续.证明: x x f =)(在),0[+∞上一致连续.计算极限：（直接写答案） 1) )1ln(15cos lim 20x x x e x x -+++→; 2) )(lim x x x x x -+++∞→; 3) )111111(lim 0xx x x x x x +--+++→; 4) 1lim ++++∞→x xx x x ;5) x x x cot 0)sin 1(lim +→. 例5 设f 、g 在区间I 上连续，记()max{(),()}F x f x g x =，()min{(),()}G x f x g x =证明：,F G 也都在I 上连续.例8 若f 在[,]a b 上连续且对任何[,]x a b ∈,()0f x ≠,则存在0c >, 使得 f 在[,]a b 上()0f x c ≥>或()0f x c ≤-<.例16 设f 在0x =处连续，且对任何,x y R ∈有()()()f x y f x f y +=+ 证明： 1) f 在R 上连续; 2) ()(1)f x f x =⋅.例17 设f 在R 上连续且lim (),lim ()x x f x A f x B →-∞→+∞==，求证：()f x 在R 上 一致连续.例19 设f 在R 上连续,g 在R 上一致连续且lim ()()0x f x g x →∞-=，求证： ()f x 在R 上一致连续.。
——函数的连续性
第四章 函数的连续性第一节 连续性的概念一、函数在一点的连续性 1、函数的直观图解2、函数在一点连续的定义 （1）极限形式定义定义1：设f 在0()U x 内有定义，若00lim ()()x x f x f x →=，则称f 在点0x 连续。
例、220(),lim ()lim 0(0)x x f x x f x x f →→====2()f x x ∴=在0x =处连续。
注：①讨论f 在点0x 连续，要求f 在0()U x （包括点0x ）由定义。
②f 在点0x 连续，意味着下面的运算法则成立()(l i m )l i mx x x x f x f x →→= （2）增量极限形式定义记自变量x （在点0x ）的增量0x x x =-，则0000()()()()y f x f x f x x f x y y =-=+-=-定义：若0lim 0x x y →=，则称()f x 在0x 处连续。
（3）εδ-语言定义若00,0,(,)x U x εδδ∀>∃>∀∈有0|()()|f x f x ε-<，则称()f x 在点0x 连续。
例、证明()()f x xD x =在0x =连续，其中1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，为狄利克雷函数。
（4）左、右极限形式定义定义2：设f 在在某区间0()U x +（或0()U x -）内由定义，且0l i m ()()x x f x f x +→=（或00lim ()()x x f x f x -→=） 则称f 在点0x 右（左）连续 （5）归结到数列极限定义f 在点0x 连续⇔000{}(),(),lim ()()n n n n x U x x x n f x f x →∞∀⊂→→∞=二、间断点及其分类 1、间断点定义定义3：设f 在某00()U x 内有定义，若f 在0x 无定义，或f 在0x 处有定义但是不连续，则称点0x 为f 的间断点或不连续点。
函数的极限及函数的连续性典型例题
函数的极限及函数的连续性（一）典型例题一、重点难点分析：①此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。
②要掌握常见的几种函数式变形求极限。
③函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。
④计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则。
⑤若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。
二、典型例题例1．求下列极限①②③④解析：①。
②。
③。
④。
例2．已知，求m,n。
解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式，∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根，∴ m=3代入求得n=-1。
例3．讨论函数的连续性。
解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，又，∴，∴ f(x)在x=1处连续。
由，从而f(x)在点x=-1处不连续。
∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。
例4．已知函数, (a,b为常数)。
试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。
解析：∵且，∴，∴a=1, b=0。
例5．求下列函数极限①②解析：①。
②。
例6．设，问常数k为何值时，有存在？解析：∵，。
要使存在，只需，∴ 2k=1，故时，存在。
例7．求函数在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限？解析：由，，∵，∴ f(x)在x=-1处极限不存在。
三、训练题：1．已知，则2．的值是_______。
3. 已知，则=______。
4．已知，2a+b=0，求a与b的值。
5．已知，求a的值。
参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0。
函数连续性判定方法例题和知识点总结
函数连续性判定方法例题和知识点总结在数学分析中，函数的连续性是一个重要的概念。
它不仅在理论研究中具有重要地位，而且在实际问题的解决中也有着广泛的应用。
本文将通过一些例题来详细讲解函数连续性的判定方法，并对相关知识点进行总结。
一、函数连续性的定义设函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 的某个邻域内有定义，如果当自变量的增量＄＼Delta x$ 趋近于零时，函数的增量＄＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＄也趋近于零，那么就称函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处连续。
用数学语言表示为：＄＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼Delta y ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0}f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0) ＝ 0$或者＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄如果函数在区间内的每一点都连续，就称函数在该区间上连续。
二、函数连续性的判定方法1、利用定义判定直接根据连续性的定义，计算函数在某点的极限是否等于该点的函数值。
例 1：判断函数＄f(x) ＝ x^2$ 在＄x ＝ 1$ 处的连续性。
解：＄＼lim_{x ＼to 1} f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1} x^2 ＝ 1^2 ＝ 1$，而＄f(1) ＝ 1^2 ＝ 1$，因为＄＼lim_{x ＼to 1} f(x) ＝ f(1)＄，所以函数＄f(x) ＝ x^2$ 在＄x ＝ 1$ 处连续。
2、左右极限相等且等于该点函数值如果函数在某点的左极限和右极限都存在且相等，并且等于该点的函数值，则函数在该点连续。
例 2：判断函数＄f(x) ＝＼begin{cases} x ＋ 1, ＆ x ＜ 1 ＼＼ 3, ＆x ＝ 1 ＼＼ x 1, ＆ x ＞ 1 ＼end{cases}＄在＄x ＝ 1$ 处的连续性。
解：左极限＄＼lim_{x ＼to 1^｝ f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1^｝（x ＋1) ＝ 2$，右极限＄＼lim_{x ＼to 1^＋｝ f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1^＋｝（x 1) ＝ 0$，因为左极限和右极限不相等，所以函数＄f(x)＄在＄x＝ 1$ 处不连续。
函数极限与连续习题加答案(供参考)
第一章 函数、极限与连续第一讲：函数一、是非题1．2x y =与x y =相同；（ ） 2.)1ln()22(2x x y x x +++=-是奇函数； （ ） 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ ） 4. )0(2>=x x y 是偶函数； （ ） 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ）6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个； （ ）7.复合函数)]([x g f 的定义域即)(x g 的定义域； （ ）8.)(x f y =在),(b a 内处处有定义，则)(x f 在),(b a 内一定有界。
（ ） 二、填空题1.函数)(x f y =与其反函数)(x y ϕ=的图形关于 对称；2.若)(x f 的定义域是]1,0[，则)1(2+x f 的定义域是 ；3.122+=x xy 的反函数是 ；4.1)(+=x x f ，211)(xx +=ϕ，则]1)([+x f ϕ＝ ， ]1)([+x f ϕ＝ ；5.)2(sin log 2+=x y 是由简单函数 和 复合而成；6.1)(2+=x x f ，x x 2sin )(=ϕ，则)0(f ＝ ，___________)1(=af ，___________)]([=x f ϕ。
三、选择题1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（ ）A 、x 3sinB 、13+xC 、x x +3D 、x x -32.设54)(2++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 应为（ ）A 、1B 、－1C 、2D 、－2 3.)sin()(2x x x f -=是（ ）A 、有界函数B 、周期函数C 、奇函数D 、偶函数 四、计算下列各题1.求定义域523arcsin3xx y -+-=2.求下列函数的定义域 (1)342+-=x x y (2)1142++-=x x y(3)1)2lg(++=x y (4)x y sin lg =3.设2)(x x f =，xe x g =)(，求)]([)],([)],([)],([x g g xf f x fg x g f ；4.判断下列函数的奇偶性(1)3)(-=x x f (2)xx f )54()(=(3) xxx f -+=11lg)( (4)x x x f sin )(=5.写出下列函数的复合过程(1))58(sin 3+=x y (2))5tan(32+=x y (3)212x y -= (4))3lg(x y -=6.设⎩⎨⎧≥<=.1,0,1,)(x x x x ϕ求)51(ϕ，)21(-ϕ，)2(-ϕ，并作出函数)(x y ϕ=的图形。
函数的连续性考试题及答案
函数的连续性考试题及答案一、选择题1. 函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上是：A. 连续的B. 可导的C. 不连续的D. 可积的答案：A2. 若函数f(x)在点x=a处连续，则下列说法正确的是：A. f(a)存在B. f(a)不存在C. f(a)=0D. f(a)=a答案：A3. 函数f(x) = sin(x)在实数域R上是：A. 连续的B. 可导的C. 不连续的D. 不可导的答案：A二、填空题4. 若函数f(x)在点x=a处连续，则______。
答案：f(a) = lim(x→a) f(x)5. 函数f(x) = x^3在x=0处的连续性是______。
答案：连续6. 函数f(x) = 1/x在x=0处的连续性是______。
答案：不连续三、解答题7. 判断函数f(x) = x^2 - 4x + 4在区间[1, 3]上的连续性，并说明理由。
答案：函数f(x) = x^2 - 4x + 4在区间[1, 3]上连续。
因为该函数为多项式函数，多项式函数在其定义域内处处连续。
8. 已知函数f(x) = x^2 + 3x + 2，求证f(x)在x=1处连续。
答案：要证明f(x)在x=1处连续，需要证明lim(x→1) f(x) =f(1)。
计算得：lim(x→1) (x^2 + 3x + 2) = 1^2 + 3*1 + 2 = 6f(1) = 1^2 + 3*1 + 2 = 6因为lim(x→1) f(x) = f(1)，所以f(x)在x=1处连续。
9. 判断函数f(x) = x^(1/3)在x=0处的连续性，并说明理由。
答案：函数f(x) = x^(1/3)在x=0处不连续。
理由是当x接近0时，f(x)接近0，但f(0)不存在，因为0的1/3次方是未定义的。
四、证明题10. 证明函数f(x) = x^2在x=0处连续。
答案：要证明f(x) = x^2在x=0处连续，需要证明lim(x→0)f(x) = f(0)。
函数连续性与间断点例题和知识点总结
函数连续性与间断点例题和知识点总结在数学分析中，函数的连续性与间断点是一个非常重要的概念。
理解它们对于解决各种数学问题，特别是涉及到函数的性质和极限的问题，具有关键作用。
下面我们将通过一些例题来深入探讨函数的连续性与间断点，并对相关知识点进行总结。
一、函数连续性的定义设函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量＄＼Delta x$ 趋近于零时，函数对应的增量＄＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＄也趋近于零，那么就称函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处连续。
用数学语言表示为：＄＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼Delta y ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0}f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0) ＝ 0$或者＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄二、函数连续性的条件1、函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处有定义。
2、＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x)＄存在。
3、＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄三、间断点的定义如果函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处不满足上述连续性的条件，那么就称点＄x_0$ 为函数＄f(x)＄的间断点。
四、间断点的类型1、可去间断点函数在该点处的左极限、右极限都存在且相等，但不等于该点的函数值，或者函数在该点无定义。
例如，函数＄f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄在＄x ＝ 1$ 处无定义，但＄＼lim_{x ＼to 1} ＼frac{x^2 1}｛x 1} ＝ 2$ ，所以＄x ＝ 1$ 是可去间断点。
2、跳跃间断点函数在该点处的左极限、右极限都存在，但不相等。
比如，函数＄f(x) ＝＼begin{cases} x ＋ 1, ＆ x ＜ 0 ＼＼ x 1, ＆ x＼geq 0 ＼end{cases}＄在＄x ＝ 0$ 处，左极限为＄1$ ，右极限为＄－1$ ，所以＄x ＝ 0$ 是跳跃间断点。
高等数学函数的极限与连续习题精选和答案
1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。
2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。
5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。
7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续 ∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,不一定取得最大值、最小值 二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则 （１）()xef 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x （3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n x n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()b ax x xx --+-+∞→1lim2()()()bax x x bax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim 222()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）． ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a13、=∞→x x x sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1sin lim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim=⋅=∞→∞→x x xx x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x()[]1)1(110)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x k kx x kxx e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、limsin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），lim sin(arccot )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。
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函数的连续性的例题与习题函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。
第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。
下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。
还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。
要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？一．函数的连续例（例（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照）设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且()f x 在0x =连续。
证明：()f x 在任意点x 处连续。
分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。
其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么在本题里，要证的是“()f x 在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点x ，用函数连续的定义来证明在x 处连续。
你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。
在本题中，提供了条件()()()f x y f x f y +=+，也就是()()()f x y f x f y +-=，你的脑海里就要想到，如果设y x =∆，那么就有 ()()()y f x x f x f x ∆=+∆-=∆；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：()f x 在0x =连续！它意味着：0lim (0)(0)x f x f ∆→+∆=。
证明的思路就此产生！证明：因为 ()()()f x y f x f y +=+，取0y =，则有 ()()(0)f x f x f =+，所以(0)0f =。
（#）对于固定的x （任意的！），若取y x =∆，有()()()y f x x f x f x ∆=+∆-=∆， （+）在（+）式两边取0x ∆→的极限，那么lim lim(()())lim ()x x x y f x x f x f x ∆→∆→∆→∆=+∆-=∆ ， （&）由已知条件：()f x 在0x =连续，所以0lim (0)(0)x f x f ∆→+∆=，代入（#）的结果，就有lim (0)lim ()(0)0x x f x f x f ∆→∆→+∆=∆==，但从（&）知，0lim lim ()x x y f x ∆→∆→∆=∆，所以lim 0x y ∆→∆=。
根据函数连续的定义E ，()f x 在任意点x 处连续。
你看，证明题并不难吧，但有个前提，必须有清晰的概念。
很多同学的数学只会“代公式套题型”，所以做计算题还可能对付一下。
其实计算也并不轻松。
例（例（一））设常数0a ≠，212(1)1()lim 1n n n n n x a x f x x ax +→∞+--=--，求()f x 的分段表达式，欲使()f x 连续，试确定a 的值。
分析：首先要注意，函数()f x 不是平常的形式，用一个明显的解析式表达出来，本题用一个极限形式来表示一个函数。
所以它要求先写出()f x 的分段表达式，这是本题的第一个任务；第二，要确定参数a 的数值，怎么确定呢？利用函数的连续性。
这里需要计算极限的基本功。
()f x 中出现了几个幂函数 221,,nnn x x x+，根据幂函数的性质，x 的大小对幂函数的变化趋势有根本性的影响，所以要分为||1,||1,1,1x x x x <>==-进行讨论。
所以本题的第一层考核的是对幂函数的认识与理解。
（1）||1x <： 221,,nnn x x x+都趋于零（当n →∞时），所以1()11f x -==-。
（2）||1x >： 此时221,,nnn x x x +都将趋于无穷大。
为此，要从分子，分母中提出最大项，约去相应的部分，来简化函数()f x ：2112122(1)11()lim11n n n n n n n a x x x f x x a x xx +++→∞-⎛⎫++ ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭。
（3）1x =： 11()a af x a a--==-； （4）1x =-： 1(1)(1)12(1)(1)()lim lim 1(1)1(1)n nn nn n a a f x a a →∞→∞-+----+--==-----， 极限不存在。
故得 ,11,1()1,||1,1x x a x f x ax x x >⎧⎪-⎪=⎪=⎨⎪<⎪<-⎪⎩。
欲使()f x 连续，即使()f x 在1x =连续，等价于11a a -=，故12a =。
例 （例（一））证明连续函数的局部保号性：设()f x 在0x x =处连续，且0()0f x >，那么存在0δ>，当0||x x δ-<时，()0f x >。
分析：这个性质公式我们一个事实，若连续函数在某点的函数值为正，那么在这个点附近的点的函数值也是正的，不会取负值。
这就是说，连续函数的函数值有“惯性”。
证明的过程很容易很简单，其实我们在证明极限的保号性时就已经用过。
证明：因为()f x 在0x x =处连续，所以对任给的0ε>，总存在0δ>，使得当0||x x δ-<时，恒有0|()()|f x f x ε-<，也就是 0()()f x f x εε-<-<。
（+）若取 0()0f x ε=>，在（+）式中取左边的那个不等式，就有 ()0f x >； 若取01()02f x ε=>，那么就有 01()()2f x f x >。
（不过，此时的0||x x δ-<中的δ要变小） 当然，你也可以取不同的0ε>，当然δ要变。
如果我们只需要证实()f x 的值为正，那么取0()0f x ε=>就已经够了。
例（例（一）） 设()f x 在区间[,]a b 上连续并大于零，证明1()f x 在[,]a b 也连续。
分析：我们需要证明的是：在[,]a b 上任取点0x ，对任给的0ε>，存在一个0δ>，使当0||x x δ-<时， 有011()()f x f x ε-<。
直接做下去，是有困难的，所以我们需要对上述不等式做点放大（这是一个基本功！）：002000|()()|2|()()|11()()()()()f x f x f x f x f x f x f x f x f x ε---=<< 注意，上面第一个不等号是因为我们在例中，已经证明了在0x 的一个邻域中有01()()2f x f x >！ 至此，一个完整的证明思路就形成了。
证明：对任一0[,]x a b ∈，0()0f x >，0x 是()f x 的连续点。
由局部保号性，存在0x 的邻域01(,)N x δ，使得01()()2f x f x >。
所以在这个邻域中，002000|()()|2|()()|11()()()()()f x f x f x f x f x f x f x f x f x ---=<； 由()f x 在区间[,]a b 上的连续性知，对于任给0ε>，存在20δ>，使得当02||x x δ-<时，有200()|()()|2f x f x f x ε-<。
我们取12min(,)δδδ=，那么在这个更小的邻域中，（即0||x x δ-<）有002000|()()|2|()()|11()()()()()f x f x f x f x f x f x f x f x f x ε---=<<， 则有函数的连续的定义知， 0x 是函数1()f x 的连续点；又由0x 的任意性，得1()f x 在区间[,]a b 也连续。
例 确定,a b 之值，使函数21,0()sin(),0x e x f x ax b x -⎧⎪>=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续。
解：在0x >和0x ≤两个区间里，对应的函数均为初等函数，它们都是连续函数。
所以，要使()f x 在整个实数域中连续，只需确定在0x =的连续性条件。
()f x 在0x =有定义，所以我们只需考虑它在0x =的极限。
0lim ()lim sin()sin x x f x ax b b --→→=+= 22211111lim ()lim lim 0lim x x x x xxx f x e e e +----→→→→====；由此得方程 sin 0b =， 容易解得： ,0,1,2,b k k π==±±，而对参数a ，连续性条件对它没有任何限制，所以a 可取任何实数。
例 设,0(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩，,1()1b x g x x <⎧⎪=≥，求,a b 之值，使()()f x g x +在实数域上连续。
解：两个函数的定义域不同，所以它们之和()()f x g x +这个新函数的定义域需要加以明确。
显然，需要考虑3个区间：0,01,1x x x <≤<≥：,0()(),01,1x e b x f x g x a x b x a x x ⎧+<⎪+=++≤<⎨+≥。
现在可以对2个分界点0,1x x ==处的连续性条件做研究了（定义问题已经解决）：lim(()())lim()1xx x f x g x e b b --→→+=+=+， 0lim(()())lim()x x f x g x a x b a b ++→→+=++=+， 故有方程 1a b b +=+， （1） 又 11lim(()())lim()1x x f x g x a x b a b --→→+=++=++，11lim(()()))1x x f x g x a x +→+→+=+=+，又有方程11a b a ++=+， （2）联立（1）（2），解得1,a b ==练习题1 设()f x 满足条件：12,x x ∀，有1212()()()f x x f x f x +=⋅，且()f x 在0x =处连续。
求证()f x 在整个实数域连续。
练习题2 设,1(),1x x f x a x <⎧=⎨≥⎩，,0()1,0b x g x x x ≤⎧=⎨+>⎩，求,a b 之值，使()()f x g x +在实数域上连续。