高三数学专题复习应用题

高三数学专题复习

应用题

1． 提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x ≤200时，车流速度v 与车流密度x 满足．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0x

k x v --=25040)(千米/小时．

（Ⅰ）当0

（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到个位，参考数据）236.25≈2．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为

803

π立方米,且2l r ≥.假设该容器的建造

费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞千元.设该容器的建造费用为y 千元.

(Ⅰ)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域;

(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的r .

1． 提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x ≤200时，车流速度v 与车流密度x 满足．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0x

k x v --=25040)(千米/小时．

（Ⅰ）当0

（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：

辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到个位，参考数据）

236.25≈1．解：(1) 由题意：当0＜x ≤50时，v (x )＝30；

当50≤x ≤200时，由于，k

k x v --=25040)(再由已知可知，当x ＝200时，v (0)＝0，代入解得k ＝2000.

故函数v (x )的表达式为．………………6⎪⎩

⎪⎨⎧≤<--≤<=20050,250200040500,30)(x x x x v 分

(2) 依题意并由(1)可得， ⎪⎩

⎪⎨⎧≤<--≤<=20050,250200040500,30)(x x x x x x x f 当0≤x ≤50时，f (x )＝30x ，当x ＝50时取最大值1500. 当50

时，

20002000(250)20002504040(250)40250250250500000

12000[40(250)1200025012000120004000 2.2363056

()x

x x x x x x x f x --⨯-=--+⨯+

--=--+≤--=-≈-⨯==

取等号当且仅当，即250138x =-≈时，f (x )取最大值．x

x -=-250500000)250(40

（这里也可利用求导来求最大值）

综上，当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时．

………………14分

2．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右

两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为803

π立方米,且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞千元

.设该容器的建造费用为y 千元.

(Ⅰ)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域;

(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的r .

2. (Ⅰ)因为容器的体积为803

π立方米, 所以3243r r l ππ+=803π,解得280433

r l r =-, 由于2l r ≥,因此02r <≤.

所以圆柱的侧面积为2rl π=28042(33

r r r π-=2160833r r ππ-, 两端两个半球的表面积之和为24r π,

所以建造费用y =21608r r

ππ-+24cr π,定义域为(0,2]. (Ⅱ)因为'

y =216016r r ππ--+8cr π=328[(2)20]c r r π--,02r <≤ 由于c>3,所以c-2>0,所以

令'0y >得:

r >

令'0y <得:0r <<

(1)当932c <≤

时,2≥时,函数y 在(0,2)上是单调递减的,故建造费最小时r=2.

(2)当92

c >时,即02<<时,函数y 在(0,2)上是先减后增的,故建造费最小时

r =.