康普顿散射公式
康普顿散射公式
康普顿散射公式
康普顿散射公式是物理学中用于研究电磁波在某一物体表面上
反射或折射时，定义某种反射率或折射率的方程。
它是由美国物理学家Willard Harrison Cowperthwaite在1931年提出的，又被称为Cowperthwaite公式。
它的最大作用是可以用来预测某物体表面反射或折射的波的大小，也可以推断物体的表面属性。
康普顿散射公式的基本形式是：S=S0+S1(1-g)+S2(1+g)+S3，其中S为反射率或折射率，S0、S1、S2、S3为常数，g为微分系数。
该公式是根据反射或折射时光源和物体之间的位置和方向等条件来定
义的。
因为康普顿散射公式是一个多项式，在某种特定条件下，前4项可以认为是最重要的，所以可以简化为：S=S0+S1(1-g)+S2(1+g)。
康普顿散射公式计算的反射率或折射率会受到物体的表面属性
的影响，这就意味着，当物体的表面纹理凹凸不平时，其反射率会有所变化。
康普顿散射公式被广泛应用于多学科研究中，包括材料物理学、复合材料等。
它也被用于模拟某种物质表面反射或折射的光线，从而更好地了解物质的特性。
另外，康普顿散射公式也用于物理学的研究和机器视觉中，可以通过计算物体表面的反射率或折射率来模拟真实世界的物理现象，这有助于模拟特定的材料有关的参数和物理属性。
总之，康普顿散射公式是一个能够推断某物体表面反射或折射的
波的大小、推断物体表面属性以及模拟特定材料有关参数和物理属性的重要公式。
它已经在多学科研究中得到广泛应用，成为物理研究的重要工具。
康普顿 二次散射 推导
由于论文中使用的散射光子数计算式是在仅考虑一次散射时得到的，我们下面计算了二次散射可能引起的修正。
附录A ：二次散射微分散射截面的推导
以下推导采用自然单位制。
康普顿散射的树图为：
由QED 二阶微扰得到的微分散射截面在电子静止参考系中的表达式为：
⎪⎭⎫
⎝⎛-+=Ωθωωωωωωασ
22222
sin '''2m d d 又有：ωωθ1'1)cos 1(1-=-m
代入得到： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=Ωθθωθωθωασ
2222
cos )cos 1()cos 1(]1/)cos 1([1
2m m m m m d d 在实验中，MeV m keV 511.0,20=≈ω
考虑二次散射：
则一个光子经过两次散射到达θ角的微分散射截面：
112112122
12112122
0)(cos ))cos(1())cos(1(]1/))cos(1('[12cos )cos 1()cos 1(]1/)cos 1([1
2ϕϕθϕθωϕθωϕθωαϕϕωϕωϕωασ
πd m m m m m m m m m m d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--++--+--∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=Ω⎰由于式中含有222
)2(m α数量级的因子，而2
22
)2(m α<<1，因此二次散射引起的修正很小，可
以忽略高次散射，只计一次散射的结果。
康普顿散射
N
p
(θ
)
=
N (θ )R(θ )η(θ
)
4π Ω
将式（6）代入式（11）则有：
N p (θ )
=
dσ (θ ) dΩ
R(θ )η(θ )
4π Ω
N 0 N eΩf
由式（12）可得：
dσ (θ ) =
N p (θ )
dΩ R(θ )η(θ )4πN0 Ne f
（8） （9） （10） （11） （12） （13）
般用相对比较性求得微分截面的相对值 dσ (θ ) / dσ (θ0 ) ，如假定散射角θ = 0° 的微分散射 dΩ dΩ
截面的相对值为 1，其它散射角θ 的微分散射截面与其之比为
dσ (θ ) / dσ (θ0 ) = N p (θ ) / N p (θ0 ) dΩ dΩ R(θ )η(θ ) R(θ0 )η(θ0 )
别取：θ = 20°,40°,60°,80°,100°,120° 。
5. 测量上述散射角的本底谱。取下散射棒，记下和步骤 4 中相同时间内相同道数区间的本 底面积。
6. 导出微分散射截面与散射角θ 的关系，以及散射 γ 光子的能量与散射角θ 的关系。
思考题 1. 分析本实验的主要误差来源，试述有限立体角的影响和减少实验误差的方法。 2. 讨论实验值与理论值不完全符合的原因。
（14）
由式（14）可看出，实验测量的就是 N p (θ ) 。由表 1 和表 2 给出的数据，用内插法或作图
法求出 R(θ ) ，η(θ ) ，R(θ0 ) ，η(θ0 ) ，就可以求出微分散射截面的相对值。注意， N p (θ )
和 N p (θ0 ) 的测量条件必须相同。
E/Mev
η(θ )
康普顿效应散射公式推导过程
康普顿效应散射公式推导过程在物理学的奇妙世界里，康普顿效应可是个相当有趣且重要的概念。
咱们今天就来好好唠唠康普顿效应散射公式的推导过程。
先来说说啥是康普顿效应。
想象一下，有一束 X 射线照到一块物质上，然后就发生了散射。
散射出来的 X 射线波长跟原来入射的波长不太一样，而且这个变化还跟散射角有关系。
这就挺神奇的，对吧？那咱们开始推导这个散射公式。
咱先假设入射的 X 射线光子能量是E = hν，动量是p = hν / c 。
这里的 h 是普朗克常量，ν 是频率，c 是真空中的光速。
当它和一个静止的自由电子发生碰撞时，根据动量守恒和能量守恒，就能得出一系列式子。
碰撞后，光子的能量变成了E' = hν' ，动量变成了p' = hν' / c 。
电子获得了一定的能量和动量。
设电子获得的能量是 E_e ，动量是p_e 。
根据动量守恒，在 X 方向上，有hν / c = hν' cosθ + p_e cosφ ；在 Y方向上，有0 = hν' sinθ - p_e sinφ 。
再结合能量守恒 E + m₀c² = E' + E_e 。
这里面 m₀是电子的静止质量。
经过一番复杂但有趣的数学运算和推导，最终就能得出康普顿效应的散射公式：Δλ = λ' - λ = (h / m₀c) (1 - cosθ)这就是康普顿效应散射公式啦！我还记得之前给学生们讲这个的时候，有个小家伙瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想啊，以后你要是去医院拍 X 光片，医生能通过这个原理更清楚地看到你的骨头有没有问题呢！”这孩子似懂非懂地点点头。
其实啊，康普顿效应的应用可不止在医学上。
在材料科学、天文学等领域都有着重要的作用。
通过对康普顿效应散射公式的推导和理解，我们能更深入地探索微观世界的奥秘，感受物理的魅力。
所以，同学们，可别小看了这个公式，它背后隐藏着无尽的知识和可能！希望大家能在物理的海洋里畅游，发现更多的精彩！。
量子习题解答
n 0,1,2,3...
8、氢原子： 氢原子能级：
me4 1 1 En 2 13.6 2 (e V) 2 2 2 (4 0 ) n n
轨道角动量
L l (l 1)
轨道角动量沿磁场方向分量：Lz m 主量子数 轨道量子数 轨道磁量子数
n=1,2,3…
l=0,1,2,3…,n-1 ml=-l,-(l-1),…,0,1,..,l
h 0 ( 1 cos ) m0 c
4、不确定关系(1927)：
h 2
x p x (或, 或h) 位臵动量不确定关系： 2
能量时间不确定关系：Et / 2
5、氢原子光谱(1913) 谱线的波数
1 1 R ( 2 2 ) T ( m) T ( n) m n
玻尔磁子
电子自旋磁矩在磁场中的能量 Es B B
e B 9.27 10 24 J / T 2me
10、多电子原子的电子组态 电子的状态用4 个量子数n,l,ml,ms确定。n相同 的状态组成一壳层，可容纳2n2个电子；l相同 的状态组成一次壳层，可容纳2（2l+1)个电子。 基态原子电子组态遵循两个规律： （1）能量最低原理，即电子总处于可能最 低的能级。一般n越大，l越大，能量就越高。 （2）泡利不相容原理(1921)，不可能有两个 或两个以上的电子处在同一量子状态。即不 能有两个电子具有相同的n, l, ml , ms。
解： 光子的散射角 θ π 时电子获得的能量最大， v 电子的反冲速度沿入射光子的运动方向.设 为入 pe 射光的频率，为散射光的频率， 为反冲电子的动 v 量。 1 由能量守恒有： h(v v) Ek
由动量守恒有: 2 式得 由1 、
1康普顿散射量子解释
hν
c
n
+
mV
mc2 = h(ν 0 −ν ) + mec2
（1） 能量守恒
(mV )2 = ( hν 0 )2 + ( hν )2 − 2 hν 0 hν cosθ （2） 动量守恒
c
c
cc
（1） 2– （2）× c2 得出：
m
2
c
4
(1
−
V c
2 2
)
=
me2c
4
−
2h
2ν
0ν
(1
−
cosθ
)
+
2mec
2
h(ν
0
−ν
)
（3）
m=
me
1−V 2 / c2
将（4）带入（3）式：
（4）
me2c4 = me2c4 − 2h2ν 0ν (1− cosθ ) + 2mec2h(ν 0 −ν ) （5）
c(ν 0 −ν ) = h (1− cosθ )
（6）νLeabharlann 0 ⋅ν mec散射的光子
c − c = h (1− cosθ ) ν ν 0 mec
E
=
hν
=
hc λ
=
6.63×10−34 × 3×108 0.71×10-10
= 2.8×10-15 J ≡ 1.75×104 eV
轻质量原子内
电子的能量~eV量级
电子的相对论质量：
m=
me
1−V 2 / c2
系统能量守恒：
hν 0 + mec2 = hν + mc2
系统动量守恒：
20-3康谱顿效应
例题4、康普顿效应的主要特点是 例题 、康普顿效应的主要特点是:[D] (A)散射光的波长均比入射光的波长短，且随散射角增大而减 散射光的波长均比入射光的波长短， 散射光的波长均比入射光的波长短 但与散射体的性质无关． 小，但与散射体的性质无关． (B)散射光的波长均与入射光的波长相同，与散射角、散射体 散射光的波长均与入射光的波长相同， 散射光的波长均与入射光的波长相同 与散射角、 性质无关． 性质无关． (C)散射光中既有与入射光波长相同的，也有比入射光波长长 散射光中既有与入射光波长相同的， 散射光中既有与入射光波长相同的 的和比入射光波长短的.这与散射体性质有关 这与散射体性质有关． 的和比入射光波长短的 这与散射体性质有关． (D)散射光中有些波长比入射光的波长长，且随散射角增大而 散射光中有些波长比入射光的波长长， 散射光中有些波长比入射光的波长长 增大，有些散射光波长与入射光波长相同． 增大，有些散射光波长与入射光波长相同．这都与散射体的性质 无关． 无关．
四、光的波-粒二象性 光的波光不仅具有波动性，还具有粒子性。这种双重性称为波– 光不仅具有波动性，还具有粒子性。这种双重性称为波– 粒二象性。 粒二象性。 波动性和粒子性之间的联系如下： 波动性和粒子性之间的联系如下：
hc mϕ = 2 = 2 c c hν h p = mϕc = = c λ
分别为光子的质量和动量。 mϕ p 分别为光子的质量和动量。
θ
x Pe
散射后X射线波长的改变为 解 (1)散射后 射线波长的改变为 散射后
∆λ =
2h m0c
sin
2ϕ 2
=
2×6.63×10−34 J ⋅s 9.11×10−31 kg×3×108 m⋅s−1
sin2 π 4
康普顿效应
4.康普顿散射公式
假设光子与电子发生 完全弹性碰撞。
h 0 p0 e0 c
e m0
h p e c
j
自由电子（静止）
能量守恒
动量守恒
h 0 m 0c
2
h e0 e mv c c
m m0 / 1v
2
反冲电子质量
/c
2
解得： Δλ
λ λ0
c ν
c ν0
12
h m 0c
( 1 cos θ) λ ( 1 cos θ)
c
λc
h m0 c
2 .34 10
m 为康普顿波长
5.说明几点
P
mv
'
其中
'
由
'
h m 0c
1 cos
j
求得
(j 90 )
（2）由动量守恒的矢量图知 P ' 1 1 P ' tg tg ' P 解（1） 由
' h
h m 0c
P
2
1 cos
j ,已知 j
mv
mec 根据：E k h h ' 9 . 42 10 17 ( J ) 1 P ' 44 . 0 （2） tg P
4.P150-22 设康普顿效应中入射 X 射线波长 =0.70nm ，散射线与入射线相垂直，求反冲电子 的动能 Ek；反冲电子的运动方向偏离入射 X 射线 的夹角 ( h 6 . 63 10 34 J s ; m e 9 . 11 10 31 kg ). 。
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1 2
m
um2
A
★光电子的最大初动能只与入射光的频率有关， 与光的强度无关。
★红限频率:
当 电A子时的，能量不足以克服逸出功而发生光电效
h
应，所以存在红限频率.
0 A
h
光量子假设解释了光电效应的全部实验规律。但是， 1910年以前，并未被物理学界接受。
光电效应对于光的本质的认识和量子论的发展曾 起过重要的作用。
Mλ
关外 灾
难
R瑞 J利：M--(金T ) 斯C34T
维恩 维恩：M
(T
)
C15e
C2 T
o 1 2 3 45
λ (μ m) 6 7 89
二.普朗克的能量子假说
1.普朗克假设（1900年）
能量子假说：黑体在辐射频率为 的电磁波的能量只能为最小能量 h的整数倍,最小能量称为能量 子,即
《量子物理基础》主要内容
第一讲 早期的量子理论 第二讲 定态的薛定谔方程 第三讲 量子力学应用初步
第一讲
早期的量子理论
11月16日
本次课内容
§19-1 黑体辐射 普朗克的能量子假说 §19-2 光的波粒二象性 §19-3 康普顿效应 §19-5 氢原子的波尔理论
课本 pp217—250；练习册 第十八单元
h ,
h 6.631034 J s，h 称为普
朗克常数。
2.普朗克公式（1900-12-14）
普朗克在德国物理学会上报告了与全波段实验结果极为 符合的普朗克公式：
2hc2 1 M (T ) 5 ehc/ kT 1
由普朗克公式，可以导出维恩公式和瑞利-金斯公式 （参阅其他同类课本）。
In a thermogram, film sensitive to infrared Radiation reverals the location of regisions of sigficent thermal energy transport. The white areas are the regisions of greatest heat loss to cold ambient air.
1 2
mvm2
eU c
（3）存在红限频率 0。
截止电压Uc与频率 的实验规
律（右图）：
Uc= K - U0
其中K 为斜率，普适常数U0 为截
距, 与材料有关直线与横坐标的
交点就是红限频率0
0
U0 K
（4）光电效应是瞬时发生的
1 2
mvm2
eU c
ek
eU 0
只要入射光频率>0，无
能量不连续的概念与经典物理学是完全不相容的！ 普朗克本人也有很多的困惑和彷徨 ····
普朗克获得1918年诺贝尔物理学奖。
§19-2 光的波粒二象性
一 光电效应 爱因斯坦方程
实验规律:
（1）用光强I一定的某种频率的光
照射，得到的饱和光电流强度 Im
是一定的，光强越大，饱和光电流 强度也越大。
（2）存在遏止电势差Uc
解：根据维恩位移定律 Tm b
可得太阳表面温度
T
b
m
2.898 10 8 465 109
6232(K )
维恩位移定 律和斯特藩玻耳兹曼定律 是测量高温、 遥感和红外追 踪等技术的物 理基础。
A hand-held night vision, a view at night using this device
其中h 是普朗克常数。
（2）光量子具有“整体性”。 一个光子只能整个地被电子吸收 或放出。
爱因斯坦对光电效应的解释：
★光照射到金属表面时，一个光子的能量可以立 即被金属中的一个自由电子吸收。但只有当入射光 的频率足够高(每个光量子的能量 h足够大时)， 电子才有可能克服 逸出功逸出金属表面。
h
“两朵乌云”
十九世纪末，经典物理已相当成熟，对 物理现象本质的认识似乎已经完成。“但 是，在晴朗的天空中，还有两朵小小的令 人不安的乌云”。
相对论
？热辐射的 紫外灾难
量子论
§19-1 黑体辐射 普朗克的能量子假说 一 黑体辐射的实验规律
热辐射 物体在任何温度下都向外辐射电磁波
平衡热辐射
物体具有稳定温度时
康普顿散射是说明光的粒子性 的另一个重要的实验。
康普顿观察X射线通过物质散射 时，发现散射的波长发生变化的现 象。
光子和自由电子作弹性碰撞： 能量守恒、动量守恒。
1927诺贝尔物理学奖
康普顿实验装置示意图
光阑
晶体
B1 B2
A
φ
石墨体
X射线谱仪
C
G
X 射线管
R
散射光中除了和入射光波长λ相 同的射线之外，还出现一种波长 λ’大于λ的新的射线，这种现象叫 做康普顿效应。
发射电磁辐射能量
吸收电磁辐射能量
相等
绝对黑体 如果一个物体能 全部吸收投射在它上面的辐 射而无反射，这种物体称为 绝对黑体，简称黑体。
1．维恩位移定律
(黑体辐射的实验规律) 辐射最强的频率m 与
黑体温度T 之间
Tm b
b= 2.898×10-3m·K
例：(光测高温法)视太阳为黑体，测得辐射本领的峰值 在 m 465nm 计算太阳表面的温度。
爱因斯坦为此获1921诺贝尔物理学奖。
光子的能量、质量和动量
光子能量： h
h 光子质量： m c2 c2
光子有动量？
p mc h h
c
因为： m m0 2
1 c2
由于光子速度恒为C，所以 光子的“静止质量”为零.
§19-3 康普顿效应 “光子有动量！”
效
的
康普顿实验指出
散射X射线的波长中有两个峰值 和 且 与散射角有关
论光多微弱，从光照射阴极
到光电子逸出，驰豫时间不
超过10-9s
以上这些实验规律与经典 电磁波的概念完全不同，经 典波的能量是连续地分布在 空间的。
爱因斯坦方程
光量子假设（1905）
（1）电磁辐射由以光速c 运动的
局限于空间某一小范围的光量子 （光子)组成，每一个光量子的能
量 与辐射频率 的关系为 = h
φ=135 O
o
波长λ（A）
φ=90 O
φ=0 O φ=45 O
0.750
... .. ..............................................................................
0.700
应 (d)
普 顿 (c) 度
康强
对 (b)
石 (a) 墨相