电磁场与电磁波习题+问题课(一)

1.16(P32)：已知)2()()(222xyz czx z z e by xy e axz x e E z y x -+-++++=
，试
确定常数a 、b 、c
使E
为无源场。

（知识点：无散场定义（散度为0的矢量场为无散场）；
散度计算：z
E y E x E E z
y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ 。

关键点：无源场就是无散场，这里的源指通量源。

相关拓展：无散场又称无源场，无旋场又称保守场，无旋无散场又称调和场。

）
解：z
xyz czx z z y by xy x axz x z E y E x E E z y x ∂-+-∂+∂+∂+∂+∂=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)
2()()(222 cx
z b az x xy xc z b xy az x +-+++=-+-++++=21222122
若E 为无源场，即E
无无散场：0=⋅∇E
有2,1,201,02,02-=-==⇒=+=-=+c b a b a c
因此在2,1,2-=-==c b a 时E
为无源场。

)
1()2()2(++-++=b z a x c
1.18(P32)：（1）求矢量32222224z y x e y x e x e A z
y x ++=的散度；（2）求A ⋅∇对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A
对立方体表面的积分，验证散度定理。

（知识点：散度计算z
E y E x E E z y x ∂∂+
∂∂+∂∂=⋅∇ ；
散度定理：V E S E S
V
d d ⎰⎰⋅∇=⋅
;
体积分和面积分。

注意：“A
对立方体表面的积分”只能积分求得，不能用散度定理
来求。

因为题目的要求是要验证散度定理。

）
解：（1）矢量A
的散度：z A y A x A A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ z
z y x y y x x x ∂∂+∂∂+∂∂=32222224 2
2227222z y x y x x ++=
（2）A
⋅∇对中心在原点的一个单位立方体的积分
(3) A
对立方体表面的积分
24
1d d d )7222(d )7222(d 2
12121212
12
12
2222222=++=++=⋅∇⎰⎰⎰
⎰
⎰---z
y x z y x y x x V z y x y x x V A V
V
241d d 21d d 21d d 21d d 21d d )2124d d )2124d d d d d d d 212121212
212121212212121212221212121222121212132
22
1212
12132
2
=--+--+--=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰------------z y z y z x x z x x y x y x y x y x S
A S A S A S A S A S A S A S S S S S S S
）（）（）（）（（（后
前
右
左
下
上
即有V A S A S
V
d d ⎰⎰⋅∇=⋅
，得证散度定理。

1.22(P32)：求矢量2
xy e x e A y x +=沿圆周x 2+y 2=a 2的线积分，再
计算A
⨯∇对此圆面积的积分。

（知识点：直角坐标分量与圆柱坐标分量的转换：
ϕϕsin ,cos r y r x ==；
斯托克斯定理：S A l A C
S
d d ⎰⎰⨯∇=⋅。

）
解：矢量2
xy e x e A y x +=沿圆周x 2+y 2=a 2的线积分：
()
()
y
xy x x y e x e xy e x e l A y x C
C
y x d d d d d 22⎰⎰⎰
⎰+=++=⋅
由ϕϕsin ,cos a y a x ==得：
4
sin d sin cos cos d cos d 2
2220
20
a a a a a a l A C
πϕ
ϕϕϕϕπ
π=
+=⋅⎰⎰
⎰
利用斯托克斯定理S A l A C
S
d d ⎰⎰⨯∇=⋅
，知：
4d d 2
a l A S A C S π⎰⎰=⋅=⨯∇
2.3(P84) 电荷q 均匀分布在半径为a 的导体球面上，当导体球以角速度ω绕通过球心的z 轴旋转时，试计算导体球面上的面电流密度。

（知识点：电流密度与运动电荷密度的关系：v J ρ=;
线速度与角速度之间的关系：r v ω=。

）
解：导体球面选用球坐标系，任一点P 的位置矢量为r
，任一点
P 的线速度为： θωωsin r r v P == 即ϕθωe r v sin =
球面上任一点的电荷面密度2
4a q
S πρ=
因此，可知导体球面的电流面密度为ϕθωπρe r a
q
v J S S
sin 42
=
= 2.9(P84)：无限长线电荷通过点（6，8，0）且平行与z 轴，线电荷密度为ρl ，试求
P (x ,y ,x )处的电场强度E。

（知识点：高斯定理：⎰⎰==⋅S l l l
q S E 0
0d d ερε 。

）
解：对于无限长线电荷可用高斯定理⎰⎰==⋅S l l l q S E 0
0d d ερε
对于空间任意点P 有0
22d επρερπP l
S l P
R E l
l R E S E =⇒==⋅⎰
P 点到线电荷的位置矢量为)8()6(-+-=y e x e R y x P
则P 点处的电场强度
[]
(V/M)))8()6(()
8()6(222
200-+--+-==
=y e x e y x R R R e E E y x l P P P l R p
περεπρ
2.16（P85）：一个半径为a 的导体球带电量为q ，当球体以均匀
角速度ω绕一直径旋转时，试求球心处的磁感应强度B 。

(知识点：电流密度与运动电荷密度的关系：v J
ρ=;
磁感应强度表达式（比奥-萨伐儿定理）⎰
⨯=
V
V R
R
J B d 43
π
μ）
2.22(P86)：通过电流密为J
的均匀电流的长圆柱导体中有一平行
的圆柱形空腔，其横截面如图（见书）所示。

试计算各部分的磁感应强度，并证明空腔内的磁场是均匀的。

（知识点：安培环路定理:
⎰⎰
⋅==⋅S
C
S J I l B d d 00μμ.
关键点：空腔内电流为0，为方便应用安培环路定理把空腔补齐，假设空腔内同时有电流密度为J
的电流流进和流出，这样既不改变原本的电流分布，也可得到两个呈圆柱状分布的体电流。

） 解：设半径为b
的圆柱内有电流密度为J
的电流流出，半径为
a
的圆柱内有电流密度为J
的电流流进，空间各部分的磁感应强度
是这两部分电流激发的磁场叠加的结果。

在本题中r
JS
B JS S J I r B l B S
C πμμμμπ2d 2d 0000=⇒=⋅===⋅⎰⎰
半径为b 的圆柱中的电流激发的磁场为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥<=)(2)(2
200b r e r Jb b r e Jr B b b b b b ϕϕμμ
半径为a 的圆柱中的电流激发的磁场为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧≥'-<'-=)(2)(2
200a r e r Ja a r e Jr B a a a a a ϕϕμμ 空间任一点处的磁感应强度为b a B B B +=，由图可知空间可分为三
部分。

空腔内（b r a r b a
<<,）
()d e J r r e J e e Jr e e Jr e Jr e Jr B J a b J r J a r J b b a a
b ⨯=-⨯=⨯-⨯=+'-=2
22222000000μμμμμμϕϕ 导体内（b r a r b a <≥,）
ϕϕμμe Jr e r Ja B b a 2
2020+'-=
导体外（b r a r b a ≥≥,）
ϕϕμμe r Jb e r Ja B b
a
222020+'-=
3.13(P167)：在一块厚度为d 的导体板上，由两个半径分别为r 1和r 2的圆弧和夹角为α的两半径割出的一块扇形体，如图所示。

试求：（1）沿导体板厚度方向上的电阻；（2）两圆弧面间的电阻；（3）沿α方向的两电极见的电阻。

设导体板的电导率为σ。

(知识点：电导（电阻）的求解：R U E J I →→→→
R I J E U →→→→
⎰⎰⋅=⋅=C
S
l E U S J I d ,d ）。