卢瑟福散射公式的实验验证

§2.4 类氢离子光谱类氢离子：类似氢原子那样的离子氢原子的结构：原子核带一个单位的正电荷，核外有一个电子绕核运动。

类氢离子：原子核带Z个单位的正电荷，核外有一个电子绕核运动。

相同处：核外有一个电子不同处：Z不同，核质量不同氦离子He+、锂离子Li++、铍离子Be+++……，目前利用加速器技术已能产生O7+、Cl16+、Ar17+那样的高Z的类氢离子。

类氢离子与氢原子的区别在于核电荷数和质量数不同，类氢离子核电荷数为Ze（Z=2，3，4等）。

一．氦离子(He+)光谱1897年，天文学家毕克林（Pickering）在星光谱中发现有一系列谱线非常类似氢光谱中的巴耳未线系的线系，称为毕克林线系，图2.4.1为两线系的比较图，图中较长的线代表巴耳末系的谱线，较短线代表毕克林线系的谱线。

图2.10 毕克林线系和巴耳末线系的比较图从图中我们可见，毕克林系可以分为两组：一组几乎与巴耳末线系的谱线相重合，但显然波长稍有差别（短）。

一组大约分布在两条相邻的巴耳末线系的谱线之间。

毕克林认为：毕克林线系也是氢光谱，是星体上一种特殊的氢所发的谱线。

里德伯根据毕克林系谱线，得到如下公式：)121(~22n R -=ν （ 27,4,25,3,25=n ） 此式与巴耳末公式相似，仅量子数n 中含有半整数。

当 5,4,3=n 等整数时，得到与巴耳末线系重合的那组谱线；当 5.4,5.3,5.2=n 等半整数时，得到夹在中间的那组谱线。

里德伯认为这些谱线都属于氢的，但在实验室中总是观察不到这类谱线，而只存在于宇宙星体光谱中，因此他认为这是星体特殊条件下存在的一种不同于地球上的氢，把它叫做宇宙氢。

但如果真的有宇宙氢存在，把毕克林线系当作氢的一个线系的话，玻尔理论是无法解释的。

二．玻尔理论对He +光谱的解释玻尔认为：毕克林线系属于氦离子He +。

氦离子He +与氢原子十分相似，不同之处仅仅是核的质量较大（4M H ），核电荷比氢大一倍。

若在玻尔有关氢原子的公式中，以Z=2代入，则玻尔理论完全适用于氦离子He +：244212122220n a Z n a Zn me h r n ⋅⇒⋅=⋅=ππε 2222222042/4)4(2n Rhc nZ Rhc n Z h me E n -⇒⋅-=⋅-=πεπ 2222232042/4)4(2n R nZ R n Z c h me T n -⇒⋅=⋅=πεπ )11(4)11(~22222nm R n m RZ hc E E He m n -⇒-=-=ν式中He R 表示He 的里德伯常数，对每一个m ，均有n =m +1、m +2、m +3……，代表He +的一个线系，当然其中也应包括毕克林线系。

若取m =4，则n =5、6、7……，则由玻尔理论可知：)121(~22kR He -=ν 29,4,27,3,252==n k ，毕克林线系。

由于m =4，n >4都是较高的激发态，所以在高温的星体中易于激发它们，这就是最先在星体光谱中发现它们的原因。

1912年，有人在氢中掺杂一些氦的实验中，发现了这些谱线，后来又在纯氦的实验装置中发现了这些谱线，而在纯氢的装置中始终找不到它们，这就完全证明了玻尔的观点。

由此可见，玻尔不仅成功地解释了类氢离子光谱，而且还正确地解释了曾经为实验家们所误解的事实。

当m 等于不同的整数时，将代表氦离子的各种谱线系，它们也陆续被发现： 1=m ， 4,3,2=n 远紫外区，1916年由赖曼发现；2=m ， 5,4,3=n 远紫外区，1916年由赖曼发现；3=m ， 6,5,4=n 4686λ系，1916年由福勒(Fowler)发现；4=m ， 7,6,5=n 毕克林系，1897年由毕克林发现；…………Li ++（Z=3）：)11(9~22n m R lI -=ν Be +++（Z=4）：)11(16~22n m R Be -=ν 一般：)11(~222n m Z R A -=ν比较H 的巴耳末线系：)121(~22n R H -=ν 和He+的毕克林线系：))2(121(~22n R He -=ν 发现当 10,8,6=n 等偶数时，毕克林线系与巴耳末线系几乎重合，但波长稍有差别。

这是由于两种原子的里德伯常数略有差别而引起的。

三．里德伯常数的变化不同的原子，R 值不同是由于原子核质量不同。

在前面曾假定原子核固定不动，这只有在原子核的质量与电子的质量相比可视为无限大时，才是正确的。

实际上，原子核的质量虽然远大于电子的质量，但不能把它视为无限大，它仍有运动，其运动引起的一些效应还是可以观察到的，毕克林线系和巴耳末线系的差别。

考虑到原子核的运动，原子中的运动就不再是电子绕核的圆周运动而是电子和原子核绕它们的质心运动，如图所示。

mM Mm +=μ ⇒ 折合质量 考虑到原子核的运动，只需将氢原子理论中的电子质量m 换为折合质量μ，则全部公式都是适用的。

原子的能量：rZe E 2402⋅-=πε 角动量角子化条件：πμω22h n r =牛顿第二定律：20224r Ze r πεωμ= 可见在以上三式中，只要用μ代替m ，就从原子核不动的情况过渡到了原子核运动的情况。

Z n me h r n 2222044⋅=ππε Zn e h r n 2222044⋅=⇒μππε c h me R R 32042)4(2πεπ==∞ ch e R R A 32042)4(2πεμπ==⇒ 22n Z hc R E n ⋅-=∞ 22nZ hc R E A n ⋅-=⇒ 22nZ R T n ⋅=∞ 22n Z R T A n ⋅=⇒ )()4(2)4(23204232042m M c h Mme c h e R A +==πεππεμπMm R M m c h me /1)/1()4(232042+=+=∞πεπ 当∞→M 时，可以认为核不动，这时17100973731.1-∞⨯=→m R R A ；若考虑核的运动，则)/1/(M m R R A +=∞，随原子核的质量而变。

例如：17100967758.1-⨯=m R H ，17100972227.1-⨯=m R HeHe R >H R ⇒ He ν~>H ν~，He λ<Hλ 故毕克林线系中相近于巴耳末线系的那一组谱线都比氢原子相应的谱线波长稍短些。

四、氢的同位素——氘的证实玻尔理论的成功，还有一个出色的例子，这就是证实了氘的存在。

1932年，美国化学家尤雷发现所摄赖曼线系的头四条谱线都是双线，并利用里德伯常数与原子核质量的相关性，肯定了氢的同位素——氘的存在。

例1：如果氘和氢各自的αH 线的波长分别是656.101nm 和656.280nm ,试确定氘和氢的质量比。

解：αH 线即巴耳末线系的第一条谱线365)9141(~H H H R R =-=ν H H H R 536~1==⇒νλ 其中HH M m R R +=∞1 365)9141(~D D D R R =-=ν D D D R 536~1==⇒νλ 其中D D M m R R +=∞1 )1(-=-D H H H H D M M M m λλλ 将18401=H M m 及D λ、H λ数字代入得：H D M M 2= 玻尔理论在解释氢原子光谱和类氢离子光谱等方面获得了令人信服的成功，也即是说氢原子光谱和类氢离子光谱对玻尔理论进行了很好的实验验证。

例2：已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子结构的“正电子素”或“电子偶素”。

试计算“正电子素”的（1）第一玻尔轨道半径，（2）基态能量，（3）电离电势和第一激发电势，（4）赖曼线系中的最长波长。

解：m mm mm 5.0=+=μ （1）2122220244n a Zn e h r n ==μππε nm a r 106.0211==⇒ （2）∞==R ch e R A 5.0)4(232042πεμπ222/5.0n hc R nZ hc R E A n ∞-=⋅-=eV hc R E 8.65.01-=-=⇒∞ （3）V eE E U 8.61=-=∞∞ eV eV hc R E 7.14/8.64/5.02-=-=-=∞V V V eE E U 1.57.18.6121=-=-= （4）8343)411(~1∞==-=R R R A A ν nm R 24338~111===⇒∞νλ§2.5 夫兰克-赫兹实验1913年，玻尔提出了一个氢原子模型，这已被氢原子光谱和其它原子光谱的实验规律所证实。

此外，还可以用其它方法来证实玻尔理论。

1914年，德国物理学家夫兰克和赫兹采取慢电子（几个到几十个电子伏特）与单元素气体原子碰撞的方法，观察测量到了汞的激发电位和电离电位，这就是著名的F-H 实验。

通过实验观测，直接证明了原子发生跃迁时吸收和发射的能量是分立的、不连续的；证明了原子能级的存在；为玻尔的原子结构理论的假说提供了有力的实验证据；为此他们分享了1925年的诺贝尔物理学奖。

他们的实验方法至今仍是探索原子结构的重要手段之一。

研究原子结构的主要途径有两个，一是利用光谱推测原子结构；二是利用碰撞研究原子的结构。

一、设计思想⎩⎨⎧--→)(,,,12211E E E E E E E E e e e ⎩⎨⎧->-<1212E E E E E E e e 原子能量不连续 ⇔ 原子吸收的能量不连续 ⇔ 电子失去的能量不连续 ⇔ 电子能量的变化不连续二、第一激发电势（共振电势、中肯电势）（1914）1．实验装置图2.11 夫兰克－赫兹实验示意图电压KG U ↑ ⇒ 电子的能量（KG e eU m E ==221υ）增加↑ ⇒ 电流A I ↑ 2．实验结果实验时，调节电位器，KG U 变⇒e E 变⇒A I 变。

记录A I 随KG U 的变化关系，如图2.5.2所示，横坐标是加速电压KG U ，纵坐标是板极电流A I 。

开始时，电流A I 随电压KG U 的增加而增加。

当KG U 增加到4.9V 时，A I 突然下降，不久又上升。

当KG U 增加到9.8V 时，A I 又突然下降，然后再上升。

当KG U 增加到14.7V 时，A I 又突然下降……请注意：电流突然下降时的电压相差都是4.9V ，即，KG 间的电压为4.9V 的整数倍时，电流突然下降。

3．分析和结论电子：受到加速电压的作用而加速⇒能量增加。

与Hg 原子相碰撞，有可能把能量传递给原子⇒能量减少。

原子：多数原子是处于基态的，在获得能量后就有可能跃迁到激发态上。

设原子基态能量为1E ，第一激发态能量为2E ，电子的能量为e E ，则⎩⎨⎧--→)(,,,12211E E E E E E E E e e e ⎩⎨⎧->-<1212E E E E E E e e 当KG U ＜4.9V 时，e E ＜4.9eV ，A I 随KG U 的增加而增加，说明电子的能量未损失，即汞原子不接受低于4.9eV 的能量。