导数典型例题 (1)

导数典型例题

高中数学导数的定义,公式及应用总结

导数的定义:

当自变量的增量Δx＝x－x0，Δx→0时函数增量Δy＝f（x）－ f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率).

函数y＝f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0［x0，f（x0）］点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性（单调性)的法则：设y＝f(x )在（a，b）内可导。如果在（a，b）内，f'（x）>0,则f（x）在这个区间是单调增加的（该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状）。如果在（a，b）内，f'（x）<0,则f（x）在这个区间是单调减小的。所以，当f'（x）=0时，y＝f(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值

求导数的步骤:

求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：

①求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) ②求平均变化率③取极限，得导数。

导数公式：

① C'=0(C为常数函数)；② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X的导数③ (sinx)' = cosx；(cosx)' = - sinx；(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 ⑤ (e^x)' = e^x；(a^x)' = a^xlna （ln为自然对数）(Inx)' = 1/x（ln为自然对数）(logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2)

导数的应用:

1．函数的单调性

(1)利用导数的符号判断函数的增减性利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想．一般地，在某个区间(a，b)内，如果f'(x)＞０，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)＜０，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减．如果在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)是常数函数．注意：在某个区间内，f'(x)＞０是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f'(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f'(x)≥0。(2)求函数单调区间的步骤（不要按图索骥缘木求鱼这样创新何言？1.定义最基础求法2.复合函数单调性) ①确定f(x)的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的x的范围．当f'(x)＞0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)＜0时，f(x)在相应区间上是减函数．

2．函数的极值

(1)函数的极值的判定①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点；②如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值.

3．求函数极值的步骤

①确定函数的定义域； ②求导数； ③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根； ④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 4．函数的最值

(1)如果f(x)在［a,b ］上的最大值（或最小值）是在(a ，b)内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在(a ，b)内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在［a ，b ］的端点a 或b 处取得，极值与最值是两个不同的概念． (2)求f(x)在[a ，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f(x)在(a ，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 5．生活中的优化问题

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题．解决这些问题具有非常现实的意义．这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题．

导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点.

一、与导数概念有关的问题

【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 A.0 B.1002 C.200 D.100！ 解法一 f ＇(0)=x

f x f x ∆-∆+→∆)

0()0(lim

=

x

x x x x ∆--∆-∆-∆∆→∆0

)100()2)(1(lim 0

Λ

=lim 0

→∆x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D.

解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D.

点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解.

【例2】 已知函数f (x )=n

n n k k n

n n n

x c n

x c k x c x c c 11212210

++++++ΛΛ，n ∈N *，则 x

x f x f x ∆∆--∆+→∆)

2()22(lim 0

= .

解 ∵

x

x f x f x ∆∆--∆+→∆)

2()22(lim 0

=2x

f x f x ∆-∆+→∆2)

2()22(lim

+

[]x

f x f x ∆--∆-+→∆-)

2()(2lim 0

=2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)，