3.1.2不等关系与不等式(二)课件ppt(北师大版必修五)

所以 f(－2)＝3(a－b)＋(a＋b)．又因为 1≤a－b≤2， 所以 3≤3(a－b)≤6 因为 2≤a＋b≤4. 所以 5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10.即 5≤f(－2)≤10. 法二 设xy＝＝aa＋－bb，， 即 a＝x＋2 y，b＝y－2 x.
所以f(－2)＝4a－2b＝2(x＋y)－(y－x)＝3x＋y， 而1≤x＝a－b≤2,2≤y＝a＋b≤4，所以5≤f(－2)≤10.
本题把所求的问题用已知不等式表示，然后利用 同向不等式的性质 加以解决，解决此类问题常用的方法是 方程组思想与待定系数法．
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[正解] 法一 (待定系数法)： 设 f(－2)＝4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
所以－m＋m＋n＝n＝4，－2， 解得mn＝＝13.，
答案 3
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题型二 利用不等式性质证明简单不等式
【例2】 (1)已知 a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc； (2)已知 a＞1，m＞n＞0，求证：am＋a1m＞an＋a1n. [思路探索] (1)对不等式进行变形，利用不等式的性质证 明；(2)将不等式两边相减，转化为比较与0的大小问题．
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想一想：若a＞b＞0，当n＜0时，an＞bn成立吗？
提示 不成立，如当 a＝3，b＝2，若 n＝－1，则 3－1＝ 13＜2－1＝12，所以原式不成立．
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名师点睛
1．对不等式性质的理解 (1)不等式的性质是不等式的基础知识，是不等式变形的 依据，每一步变形，都应有根有据，记准适用条件是关 键，不准强化或弱化它们成立的条件，盲目套用． (2)性质4中①当c＞0时，得同向不等式．②当c＜0时，得 异向不等式．③当c＝0时，ac＝bc. (3)性质5是同向不等式相加得同向不等式并无相减式． (4)性质6是均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式， 并无相除式．
所以 am＋a1m＞an＋a1n. 规律方法 (1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利 用不等式的性质，通过对不等式变形得证． (2)对于不等式两边都比较复杂的式子，直接利用不等式 的性质不易证得，可考虑将不等式两边作差，然后进行变 形，根据条件确定每一个因式的符号，利用符号法则判断 最终的符号，完成证明．
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【训练3】 已知－π2≤α＜β≤π2.求α＋2 β，α－2 β的取值范围． 解 ∵－π2≤α＜β≤π2，∴－π4≤α2＜π4， －π4＜β2≤π4.将两式相加．得－π2＜α＋2 β＜π2. ∵－π4＜β2≤π4.∴－π4≤－2β＜π4. ∴－π2≤α－2 β＜π2.又知 α＜β，∴α－2 β＜0.故－π2≤α－2 β＜0.
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(5)性质 7、8 成立的条件：“n 是大于 1 的整数，a＞b＞0”对
于 a、b 均为正数这个条件不能忽略，即 a＞b⇒an＞bn 但n a＞n b 是不一定成立的，当 n 取正整数时，可放宽条件，命题仍成立，
即有 a＞b⇒an＞bn(n＝2k＋1，k∈N*)，a＞b⇒n a＞n b(n＝2k ＋1，k∈N*)
[思路探索] (1)由 a＞b 得 ac2＞bc2，关键看 c2 的情况，若 c2＝0， 则 ac2＞bc2 不成立，若 c2≠0 则成立．(2)中ca2＞cb2已隐含 c2≠0 这一条件．(3)(4)类似分析． 解 (1)错误，当 c＝0 时不成立． (2)正确．∵c2≠0 且 c2＞0，∴在ca2＞cb2两边同乘以 c2 不等式方向 不变．∴a＞b. (3)错误．a＞b⇔1a＜1b成立的条件是 ab＞0. (4)错误．a＞b，c＞d⇒ac＞bd，当 a，b，c，d 均为正数时成立．
又 e＜0，∴a－e c2＞b－e d2.
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题型三 利用不等式的性质求范围
【例3】 (本题满分 12 分)已知 12＜a＜60,15＜b＜36.
求：a－b，ab的取值范围．
审题指导 求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注 意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两 个同方向的不等式可加不可减可乘不可除．
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误区警示 不等式的可加性导致范围扩大而致错
【示例】 设f(x)＝ax2＋bx且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的 取值范围． [错解] 由12≤≤aa－＋bb≤≤24， 得320≤ ≤ab≤ ≤323， . 所以 3≤f(－2)＝4a－2b≤12，即 3≤f(－2)≤12.
1.2 不等关系与不等式(二)
【课标要求】
1．掌握不等式的有关性质． 2．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或证明不等
式．
【核心扫描】 1．不等式的八条性质的理解和应用．(重点、难点) 2．不等式的性质应用广泛、特别是结合其他性质进行判断，
和函数等知识结合命题．
Байду номын сангаас
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自学导引
解 (1)因为 a＞b，c＞0，所以 ac＞bc，即－ac＜－bc. 又 e＞f，所以 f－ac＜e－bc. (2)am＋a1m－an＋a1n＝am－anam＋anm＋n－1， 因为 a＞1，m＞n＞0，所以 am＞an，am＋n＞1，
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即 am－an＞0，am＋n－1＞0，故am＋a1m－an＋a1n＞0，
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规律方法 判断一个命题是假命题的常用方法 (1)从条件入手，推出与结论相反的结论；(2)举出反例予 以否定．反例法简捷、快速、有效，是解决该类问题行之 有效的好方法．
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【训练1】 已知三个不等式：①ab＞0，②ac＞db，③bc＞ad.以其中 两个作条件，余下一个作结论，则可组成________个正确命题． 解析 将命题②作等价变形：ac＞db⇔bc－abad＞0. 由 ab＞0，bc＞ad，可得②成立，即①③⇒② 若 ab＞0，bc－abad＞0，则 bc＞ad，故①②⇒③； 若 bc＞ad，bc－abad＞0，则 ab＞0，故②③⇒①. ∴可组成 3 个正确命题．
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在求解某些有关联的未知数范围时，因多次使用 不等式相加的性质(这条性质是单向推出的)而导致所给变量的 范围改变，出现错误，因此，要尽可能少地运用不等式的可 加性求范围．
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[规范解答] ∵15＜b＜36(3 分) ∴－36＜－b＜－15 ∴12－36＜a－b＜60－15∴－24＜a－b＜45(6 分) 又316＜1b＜115(8 分) ∴1326＜ab＜6105(10 分) ∴13＜ab＜4(12 分)
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【题后反思】 利用性质求范围问题的基本要求 (1)利用不等式性质时，要特别注意性质成立的条件，如同 向不等式相加，不等号方向不变，两边都是正数的同向不 等式才能相乘等． (2)要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形 的等价性．
2．不等式几个性质的推广 同向可加性与同向同正可乘性可以推广到两个以上的不等 式，即：
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1a1＞b1
a2＞b2 …
⇒a1＋a2＋…＋an＞b1＋b2＋…＋bn.
an＞bn
2a1＞b1＞0
a2＞b2＞0 …
⇒a1·a2·…·an＞b1·b2·…·bn.
an＞bn＞0
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题型一 利用不等式性质判断命题真假
【例1】 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若 a＞b，则 ac2＞bc2； (2)若ca2＞cb2，则 a＞b； (3)a＞b，ab≠0，则1a＜1b； (4)若 a>b，c＞d，则 ac＞bd.
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1．不等式的性质
性质
别名
性质内容
注意
1
对称性
a＞b⇔b＜a
可逆
2
传递性
a＞b，b＞c⇒a＞c
3
可加性
a＞b⇔a＋c＞b＋c
可逆
4
可乘性
c的符号
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性质
别名
5
同向可加性
性质内容
注意 同向
同向同正
6
可乘性
同向
7
可乘方性
a＞b＞0⇒an＞bn (n∈N，n≥2)
8
可开方性
同正
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【训练2】
若
a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：
a－e c2＞
e b－d2.
证明 ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，又 a＞b＞0， ∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
两边同乘以a－c21b－d2，得a－1 c2＜b－1 d2.