2018年河南省高考数学一模试卷(理科)-(含解析)

2018年河南省高考数学一模试卷（理科）

一、选择题

1.已知集合A={x|x2−2x−3>0}，B=N，则集合(∁R A)∩B中元素的个数为()

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为()

2.若复数a+3i

1+2i

D. √13

A. −6

B. 13

C. 3

2

)，f(x0)<0，则()

3.已知f(x)=sinx−tanx，命题p：∃x0∈(0,π

2

)，f(x)≥0

A. p是假命题，￢p：∀x∈(0,π

2

)，f(x0)≥0

B. p是假命题，￢p：∃x0∈(0,π

2

)，f(x)≥0

C. p是真命题，￢p：∀x∈(0,π

2

)，f(x0)≥0

D. p是真命题，￢p：∃x0∈(0,π

2

4.已知程序框图如图，则输出i的值为()

A. 7

B. 9

C. 11

D. 13

5.2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1)班、(2)班，(3)班、(4)

班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中(1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有(

)

A. 18种

B. 24种

C. 48种

D. 36种

6.《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中

将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为

“阳马”，若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图

和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为( )

A. 1+√2

B. 1+2√2

C. 2+√2

D. 2+2√2

7. 设不等式组{x +y ≤4

y −x ≥0x −1≥0表示的平面区域为D ，若圆C ：(x +1)2+y 2=r 2(r >0)不

经过区域D 上的点，则r 的取值范围为( ) A. (0,√5)∪(√13,+∞) B. (√13,+∞) C. (0,√5) D. [√5,√13]

8. 若等边三角形ABC 的边长为3，平面内一点M 满足6CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )

A. −15

2

B. −2

C. 2

D. 15

2

9. 关于函数f(x)=3sin(2x −π

3)+1(x ∈R)，下列命题正确的是( )

A. 由f(x 1)=f(x 2)=1可得x 1−x 2是π的整数倍

B. y =f(x)的表达式可改写成f(x)=3cos(2x +π

6)+1 C. y =f(x)的图象关于点(3π

4,1)对称 D. y =f(x)的图象关于直线x =−π

12对称

10. 设函数f(x)=mx 2−mx −1，若对于x ∈[1,3]，f(x)<−m +4恒成立，则实数m

的取值范围为( )

A. (−∞,0]

B. [0,5

7)

C. (−∞,0)∪(0,57)

D. (−∞,5

7)

11. 设双曲线的方程为

x 2a 2

−y 2

b 2=1(a >0,b >0)，

若双曲线的渐近线被圆M ：x 2+y 2−10x =0所截得的两条弦长之和为12，已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sinP|

|sinA−sinB|的值等于( )

A. 3

5

B. √7

3

C. 5

3

D. √7

12. 已知定义在R 上的函数f(x)和g(x)分别满足f(x)=

f′(1)2

，e 2x−2+x 2−2f(0)⋅x ，

g′(x)+2g(x)<0，则下列不等式恒成立的是( ) A. g(2016)f(2)⋅g(2018) D. f(2)⋅g(2016)>g(2018) 二、填空题

13. 设a =∫(π

0cosx −sinx)dx ，则二项式(a √x −√x )6的展开式中含x 2项的系数为

______．

14. 若函数f(x)={ax(x +2),x <0x(x−b),x≥0

(a,b ∈R)为奇函数，则f(a +b)的值为______． 15. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，若有一半径为

2的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA 1的长度为______．

16. 如图，OA ，OB 为扇形湖面OAB 的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养

殖区−区域I 和区域Ⅱ，点C 在AB ⌢

上，∠COA =θ，CD//OA ，其中AC ⌢

，半径OC

及线段CD 需要用渔网制成.若∠AOB =π

3，OA =1，则所需渔网的最大长度为______．

三、解答题

17. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1<2，a n >0，6S n =a n 2

+3a n +2，n ∈N ∗．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若对∀n ∈N ∗，b n =(−1)n a n 2，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n ．

18. 如图所示，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直

角梯形，

AB//CD ，∠BAD =90∘，DC =DA =2AB =2√5，点E 为AD 的中点，BD ∩CE =H ，PH ⊥平面ABCD ，且PH =4. (1)求证：PC ⊥BD ；

(2)线段PC 上是否存在一点F ，使二面角B −DF −C

的余弦值是√15

15？若存在，请找出点F 的位置；若不

存在，请说明理由．

19. 某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，

其数学组成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示． (1)估计这次考试数学成绩的平均分和众数；

(2)假设在(90,100]段的学生中有3人得满分100分，有2人得99分，其余学生的数学成绩都不相同.现从90分以上的学生中任取4人，不同分数的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．