《相似三角形的判定预备定理 》
相似三角形的判定预备定理
交边AC于点E.延长DE至点F，使DE=EF.求证：△CFE∽△ABC.
解：因为DE ∥ BC 所以：ADE ∽ ABC 因为：AD AE 且AD BD
BD EC
所以：AE EC
在ADE与CFE中
1 2 DE EF AE EF
所以△ADE≌△CFE（SAS） 即：△CFE∽△ABC
小结
回顾
制作钟岳梨
一、什么叫中位线？
2020年6月17日星期三
1
连接三角形两边中点的线段叫中位线
二、中位线定理
三角形的中位线平行且等于第三边的一半
三、平行线分线段成比例定理的推论
平行于三角形一边的直线截其它两边（或其 它两边的反向延长线），所得到线段对应成 比例 已知平行就有线段成比例
ED A.
四、结合两图，若DE平行BC，写出“上比下” B.
（三边对应成比例）
A
D
E
又 AD AE AB AC
过D点作DF∥AC交BC的延长线于F 所以DE F C
B
C
F
又 FC AD BC AB
所以ADE∽ ABC
结论
制作钟岳梨
3.4相§似预三角备形的定判定理的
2020年6月17日星期三
5
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边 的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似.
.C
AD AE
பைடு நூலகம்
AB AC
导 入 制作钟岳梨 3.4§相似三角形 的判定
一、相似三角形的定义：
2020年6月17日星期三
２
三边对应成比例，三角对应相等的两个三角形相似
A′
二、要证明两个三角形相似，必须证以下条件成立
3.4.1相似三角形的判定1(预备定理)
∴AE=CE
B
又DE=FE,∠AED=∠CEF
△ADE≌△CFE
E F
C
∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
∴△CFE∽△ABC
练习1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.正方形 EFCD的三个顶点E，F，D分别在边AB，BC，AC上. 已知AC=7.5，BC=5，求正方形的边长.
A
解：由题可知：△AED∽△ABC
“A”型 A
“X”型
D
E
D
E
O
B
C
（图1）
几何语言： ∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
B
（图2）
C
几何语言： ∵DE∥BC
∴△DOE∽△COE
例2 如图，点D为△ABC的边AB的中点，过 点D作DE∥BC，交边AC于点E.延长DE至点F， 使DE=EF.
A
求证：△CEF∽△ABC
思路
∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
AD ED AC BC
7.5 x x 7.5 5
解得 x=3
E
D
B
C
F
∴正方形的边长为3
如图所示，在△ABC中，点O是AC的中点，点M是AB
上的点，且
AM 1 BM 3
，作AG∥MN.
求 CN 的值.
BN
∵AG∥MN
A M
O
∴△BMN∽△BAG
B
∴△CON∽△CAG
C
N
G
如图所示，在△ABC中，点O是AC的中点，点M是AB
∴∠AOE+∠AOF=∠ACB+∠ACD，
∴∠EOF=∠BCD,
∴∠EAD=∠BAC,
课堂小结：本节课你学到了什么？
九年级数学上册《相似三角形判定的预备定理》教案、教学设计
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握相似三角形的定义，能够准确识别相似三角形。
2.掌握相似三角形的判定方法，特别是预备定理的应用。
3.学会运用相似三角形的性质解决实际问题，如计算未知长度、证明线段平行等。
九年级数学上册《相似三角形判定的预备定理》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
在本章节《相似三角形判定的预备定理》的教学中，学生将掌握以下知识与技能：
1.理解并掌握相似三角形的定义，能够准确区分和识别相似三角形。
2.掌握并运用相似三角形的判定方法，如AA、SSS、SAS等，能够解决实际问题。
3.学会使用相似三角形的性质进行问题求解，如对应边成比例、对应角相等等。
2.相似三角形的判定方法：
- AA（角角相似）：如果两个三角形中有两组角对应相等，则这两个三角形相似。
- SSS（边边相似）：如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
- SAS（边角相似）：如果两个三角形中有两组对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。
3.相似三角形的性质：
-对应角相等，对应边成比例。
5.培养学生的创新意识，鼓励他们在学习过程中提出不同的观点和解决问题的方法，培养他们的创新思维。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的几何基础，他们已经掌握了三角形的基本概念、全等三角形的判定及应用等知识。在此基础上，本章节《相似三角形判定的预备定理》的学习，对学生来说既是对已有知识的巩固，也是对几何思维能力的进一步提升。学生在这个阶段，正处于形象思维向抽象思维过渡的关键时期，他们对几何图形的观察、分析、推理能力有待加强。因此，在教学过程中，教师需关注以下学情：
相似三角形的预备定理
相似
∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C， AD AE
A
过E作EF∥AB交BC于F，则 AE BF
AB AC
AC BC
∵四边形DBFE是平行四边形，∴DE=BF.
D
E
AE DE AD AE DE
AC BC
AB AC BC
∴△ADE∽△ABC.
B
FC
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构
1.（2010 ·滨州中考）如图,A、B两点被池塘隔开,在AB
外取一点C,连结AC、BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作
MN∥AB交BC于N，量得MN=38cm,则AB的长为
.
1.已知EF∥BC,求证: BD DC EG GF
A
E
F
G
F
GE
.已知EF∥BC,FG∥DC,
求证:
相似三角形的判定
提出问题：
如图，在∆ABC中，点D是边AB的 中点，DE∥BC，DE交AC于点E ， ∆ADE与∆ABC有什么关系？
A
D B
E C
思考:
改变点D在AB上的位置，请猜想 ∆ADE与∆ABC是否相似? 说明理由.
如图，DE∥BC，△ADE与△ABC有什么关系?说明理由.
证明:在△ADE与△ABC中，∠A= ∠A
解析：与△ABC相似的三角形有3个:
△ADE
△GFC
△GOE
D
A G
O
E
B
F
C
4.如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
∠BAC=45°,∠ACB=40°. (1)求∠AED和∠ADE的大小; (2)求DE的长.
相似三角形的预备定理PPT课件
AD:DB=3:2，则EC:BC=_3_:_5___。
B
D
第29页/共44页
A
E
C
7．如图，DE∥BC， （1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值； （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7， 求AE和BC的长．
第30页/共44页
8．如图，在□ABCD中，EF∥AB，
DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
A
1.5
∴四边形DFCE为平行四边形 ∴FC=DE=2，EC=DF=6
∵DF∥AC
D
E
2
6
6
∴△BDF∽△BAC
B
3
F2 C
∴BBCF
DF AC
∴
3
3
2
6 AC
∴ AC=10 ∴AE=AC-CE=10-6=4
第39页/共44页
拓展提高：
D
A E
B
2份 M 3份 C
5份
2.如图：在△ABC中，点M是BC上任一点，
D
E
B
C
∴△ADE∽△ABC
第14页/共44页
变式3：若点D是BA延长线上的
一点,过点D作DE∥BC，与CA的
延长线交于点E，△ADE与
△ABC相似吗?
E
D
A
∵ DE∥BC
G
F
∴△ADE ∽ △ABC B
C
第15页/共44页
• 如图，已知DE ∥ BC,
• 则．．．．．．
C E
A
DB
若DE ∥ BC则
第28页/共44页
5、如图，在 ABCD中，E是边BC上的一点，
且 BE:EC=3:2 ， 连 接 AE 、 BD 交 于 点 F ， 则
九年级数学上册《相似三角形判定的预备定理》优秀教学案例
3.撰写一篇学习心得，总结自己在学习相似三角形过程中的收获和体会。
五、案例亮点
1.生活化的情景创设，激发学生学习兴趣
本案例以学生熟悉的生活场景为背景，将相似三角形的知识与实际生活相结合，让学生在轻松愉快的氛围中感受几何学的魅力。这种情景创设不仅有助于激发学生的学习兴趣，还能提高他们运用几何知识解决实际问题的能力。
4.通过课堂练习、课后作业和小组讨论等多种形式，巩固所学知识，提高学生的几何解题技巧。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对几何学的兴趣，激发他们探索数学知识的热情，树立学好数学的信心。
2.通过对相似三角形判定方法的学习，让学生认识到几何知识在生活中的重要性，提高他们对数学学科的价值认同。
3.培养学生的耐心和毅力，使他们学会面对困难和挑战时，保持积极的心态，勇于克服问题。
4.反思与评价，促进学生的自我提升
在教学过程中，本案例注重学生的反思与评价，让学生在学习过程中不断总结自己的优点和不足，为后续学习制定合理的学习计划。这种教学策略有助于提高学生的自主学习能力和自我提升意识。
5.重视知识的应用与拓展，提升学生的数学素养
本案例在教授相似三角形判定方法的基础上，强调其在实际问题中的应用，引导学生将所学知识拓展到生活实际和其他几何知识中。这种教学方式有助于提高学生的数学素养，培养他们运用几何知识解决复杂问题的能力。
在小组合作过程中，学生可以相互交流思路、分享经验，共同解决问题。同时，我会引导学生在小组内进行角色分工，确保每个成员都能积极参与，发挥自己的优势，共同为完成学习任务贡献力量。
（四）反思与评价
教学反思是提高教学效果的重要手段。在本章节的教学结束后，我将组织学生进行反思与评价，总结自己在学习相似三角形判定方法过程中的收获和不足。
相似三角形判定-预备定理
创设情景 明确目标
最简单的就是相似三角形．如果∠A ＝∠A1，∠B＝∠B1
AC AB BC ，∠C＝∠C1， ＝ ＝AC ， A1 B1 B1C1 1 1
那么△ABC与△A1B1C1相似吗？我们还有其他方法判定两 个三角形相似吗？
已知：DE//BC，且DE分别交AB、AC于D，E .猜 想：△ADE与△ABC有什么关系?并证明。 A 相似。 D B 12
DE AE BC AC
AD AE DE AB AC BC
3
F
B
∴ △ADE与△ABC的对应边成比例 ∴ △ADE ∽ △ABC
三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似，
知识要点
平行于三角形一边的定理 A型 平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
你还能画出其 他图形吗？
4. 如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线 上一点，BC=OB，CE是⊙O的切线，切点为 D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则 2 CD∶DE的值是_______ ．
达标检测 反思目标 5. 如图5，已知菱形ABCD内接于△AEF， AE=5cm，AF=4cm，求菱形的边长.
20 解：求菱形的边长为 cm． 9
证明: ∵ DE // BC
E C
∴∠1 =∠B，∠2 =∠C
且 ∠A= ∠A
∴ △ADE与△ABC的对应角相等
过E作EF//AB交BC于F 又∵ DE // BC BF AE AD AE ∴ AB AC BC AC A
D 2 E C ∴ 四边形DBFE是平行四边形 ∴ DE=BF , ∴ ∴
即： E D 在△ABC中， 如果DE∥BC， C B 那么 AD AE DE , AB AC BC , （上比全， 全比上） AB AC BC AD AE DE
九年级数学《相似三角形判定预备定理》课件
便于找出相似三角形的对应角和对 应边.
即写成△ABC∽△A′B′C′，表 明对应关系是唯一确定的，即A与 A′、B与B′、C与C′分别对应.如果 仅说“这两个三角形相似”,没有 用“∽”表示的，则没有说明对应 关系.
师友展示
相似三角形的相似比
将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为
∴ AD AE , FC AD . AB AC BC AB
因为四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC， DE AD . BC AB
AD AE DE . AB AC BC
又∵∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC.
A
D B
F
E C
归纳总结
A
D B
E C A
B D
K1
,即
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
=
K1
△A′B′C′∽△ABC的相似比记为 练习
，K 2
即
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
=Leabharlann K23.已知△ABC∽△DEF，AB=2，DE=3则△ABC与△DEF的相似比 K1 和△DEF与△ABC的相似比 K2 是否相等？如果不相等，K1和K2满足什么
关系？如果AB=2，DE=2呢？说明这两个三角形是什么关系？
合作探究，学会质疑
根据自学思考题，师友对议再组议交流上面问题
师友展示
C
A
B
C′
A′
B′
图1
如图1，△ABC与△A′B′C′相 似. 则图1中的两个三角形记作 “△ABC∽△A′B′C′”，读作 “△ABC相似于△A′B′C′”，“∽” 叫相似符号.
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18.5.1相似三角形的判定——预备定理
【教学目标】
知识技能：掌握用相似三角形的定义和预备定理判断两个三角形相似
过程方法：在探索相似三角形判定定理过程中，体现解决问题的方法
情感态度：在探索相似图形的性质过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．
【教学重点】预备定理的证明与应用
【教学难点】预备定理的证明
【教学过程】
一.复习引入
活动1
回顾相似三角形的定义，定义既是判定也是性质；平行线分线段成比例
出示问题：如图,DE//BC, △ADE 与△ABC 有什么关系?说明理由.
学生猜想：相似。
能得到△ADE ∽△ABC 吗？
教师活动:教师出示并提出问题，组织学生思考．
（1）△ADE 与△ABC 满足“对应角相等”吗？为什么？
（2）△ADE 与△ABC 满足对应边成比例吗？由“DE ∥BC ”的条件可得到哪些线段的比相等？
（3）根据以前学习的知识如何把DE 移到BC 上去？（作辅助线DF ∥AC ）
学生活动:学生小组讨论：要证△ADE ∽△ABC
只需证∠A=∠A ，∠B=∠2，∠C=∠3←——由平行得
=AD AE DE AB AC BC ⎫=⎬⎭
由DE ∥BC 得相似定义 只需证出：DE AD BC AB
=或DE AE BC AC = 由于DE 、BC 不在同一直线上，故可以通过做辅助线平移DE ，将DE 、BC 放在同一直线上
证明： 过D 点作DF ∥AC 交BC 于F ∵DE ∥BC ，DF ∥AC ∴四边形DFCE 是□ ∴DE=CF ∵DF ∥AC ∴CF AD BC BD
= ∴DE AD BC BD
= ∵DE ∥BC ∴=AD AE BD AC
∵DE ∥BC
∴∠A=∠A ，∠1=∠B ，∠2=∠C ∴△ADE ∽△ABC BC DE AC AE AB AD ==∴
B
分析完后由学生口述再ppt 出示过程
由此可得：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似。
拓展： 思考： 若条件不变，图形如图所示，结论是否仍然成立？依然成立
几何画板演示
教师活动:板书课题“相似三角形的判定”
二、形成新知：
活动2 归纳总结：判定三角形相似的（预备）定理： 文字语言：平行于三角形一边的直线,截其他两边所得的三角形与原来三角形相似。
图形语言：
符号语言：∵DE ∥BC
∴△ADE ∽△ABC
三、例题讲解与巩固
活动3
练习： 1、下列各图都满足DE ∥BC ，是否都有△ADE ∽△ABC ？
设计意图：预备定理的简单识别。
2、如图，在△ABC 中，DG ∥EH ∥FI ∥BC ，
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG ：BC=_____
设计意图：1）三角形相似具有传递性 2）平行线分线段成比例
3.如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形（ ）
A 1对
B 2对
C 3对
D 4对
设计意图：预备定理在平行四边形中应用
E B C A
D E B C A D
E B C A D
4.如图,已知DE ∥BC,AE=5cm,EC=3cm,BC=7cm,∠BAC=450,∠ACB=400.
(1)求∠AED 和∠ADE 的大小; (2)求DE 的长.
设计意图：训练学生标图及预备定理在求边角时应用
例：已知：如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AN 交DE 于M. 求证：=DM EM BN CN . 证明：∵DE ∥BC ∴△ADM ∽△ABN
△AME ∽△ANC
∴
DM AM BN AN = ME AM CN AN
= ∴DM ME BN CN = 设计意图：预备定理在证明题简单应用，通过中间比证明比例式成立
四、课堂小结 知识：相似三角形判定方法
1、(定义) 对应角相等且三组对应边的比相等；
2、（预备定理）平行于三角形一边的直线,截其他两边所得的三角形与原三角形相似 方法：1)从复杂图形找基本图形，A 字形和8字形
2）传递性：相似三角形和比例式。
板书设计
18.5.1相似三角形的判定(一)
预备定理：
文字语言：平行于三角形一边的直线,截其他两边所得的三角形与原来三角形相似 图形语言：
符号语言：∵DE ∥BC
∴△ADE ∽△ABC
E B C A
D E B C A D
M E N B C
A
D
18.5.1相似三角形的判定
——预备定理
庞会波
2016.4.20。