广东省广州市普通高中2017高考高三数学第一次模拟试题精选：平面向量01 含答案

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广州市重点学校备战2017高考高三数学一轮复习试题精选：平面向量01 含解析

平面向量01一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形,222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形2．若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的（A ）充分而不必要条件 (B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件3．已知︱OA ︱=1,︱OB ︱=3,OB OA •=0，点C 在∠AOB 内,且∠AOC =30°,设OC =m OA +n OB (m 、n ∈R ），则nm 等于A 。

31B 。

3C 。

33D.34．已知向量a 与b 的夹角为120o ,3,13,a a b =+=则b等于（A ）5 (B ）4 （C)3 （D ）1 解析：向量a与b的夹角为120o，3,13,a a b =+=3||||cos120||2a b a b b ⋅=⋅⋅︒=-,222||||2||a b a a b b +=+⋅+，∴ 21393||||b b =-+，则b=－1(舍去)或b =4，选B 。

5．如图所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD = A.12BC BA -+ B 。

12BC BA -- C 。

12BC BA - D 。

12BC BA +解析:BA BC BD CB CD 21+-=+=，故选A.6．已知向量(3,1)a =,b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b =，则b =A ．(31,2） B ．(13,2） C ．（133,4） D ．（1,0)7．已知非零向量a 、b ，若a ＋2b 与a －2b 互相垂直，则=b aADCB图A. 41B 。

2017广一模文科数学

2017年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的虚部是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22．已知集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．已知tanθ=2，且θ∈，则cos2θ=（）A．B．C． D．4．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知函数f（x）=，则f（f（3））=（）A．B．C． D．﹣36．已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=2，则|PF2|等于（）A．4 B．6 C．8 D．107．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．9．设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，直线y=与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递减C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递增12．已知函数f（x）=+cos（x﹣），则的值为（）A．2016 B．1008 C．504 D．0二、填空题：本小题共4题，每小题5分．13．已知向量=（1，2），=（x，﹣1），若∥（﹣），则•= ．14．若一个圆的圆心是抛物线x2=4y的焦点，且该圆与直线y=x+3相切，则该圆的标准方程是．15．满足不等式组的点（x，y）组成的图形的面积是5，则实数a的值为．16．在△ABC中，∠ACB=60°，BC＞1，AC=AB+，当△ABC的周长最短时，BC的长是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．18．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（Ⅲ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：（其中n=a+b+c+d为样本容量）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC 边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为，求点B到平面ADE的距离．20．已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．21．已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥时，f（x）＞e﹣x．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．2017年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的虚部是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==1﹣i的虚部是﹣1．故选：B．2．已知集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】集合的表示法．【分析】集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则x2+ax=0的解为0，1，利用韦达定理，求出a的值．【解答】解：由题意，0+1=﹣a，∴a=﹣1，故选A．3．已知tanθ=2，且θ∈，则cos2θ=（）A．B．C． D．【考点】二倍角的余弦．【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求cosθ，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：∵tanθ=2，且θ∈，∴cosθ===，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故选：C．4．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】循环结构．【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果；直到满足判断框中的条件，执行输出．【解答】解：经过第一次循环得到的结果为k=0，n=16，经过第二次循环得到的结果为k=1，n=49，经过第三次循环得到的结果为k=2，n=148，经过第四次循环得到的结果为k=3，n=445，满足判断框中的条件，执行“是”输出的k为3故选B5．已知函数f（x）=，则f（f（3））=（）A．B．C． D．﹣3【考点】函数的值．【分析】由解析式先求出f（3），由指数的运算法则求出（f（3））的值．【解答】解：由题意知，f（x）=，则f（3）=1﹣，所以f（f（3））==4•=，故选A．6．已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=2，则|PF2|等于（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|．【解答】解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得=，∴a=3．由双曲线的定义可得|PF2|﹣2=6，∴|PF2|=8，故选C．7．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】列举出所有情况，求出满足条件的概率即可．【解答】解：由题意得：正面不能相邻，即正反正反，反正反正，3反一正，全反，其中3反一正中有反反反正，反反正反，反正反反，正反反反，故共7中情况，故P==，故选：B．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，作出图形，可得结论．【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为C．故选：C．9．设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，导函数等于﹣1求得点（x0，f（x0））的横坐标，进一步求得f（x0）的值，可得结论．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2，∴f′（x）=3x2+2ax，∵函数在点（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，∴3x02+2ax0=﹣1，∵x0+x03+ax02=0，解得x0=±1．当x0=1时，f（x0）=﹣1，当x0=﹣1时，f（x0）=1．故选：D．10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O 的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，PC为球O的直径，求出PC，可得球O的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：由题意，PC为球O的直径，PC==2，∴球O的半径为，∴球O的表面积为4π•5=20π，故选C．11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，直线y=与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递减C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递增【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】根据两角和的正弦函数化简解析式，由条件和诱导公式求出φ的值，由条件和周期共识求出ω的值，根据正弦函数的单调性和选项判断即可．【解答】解：由题意得，f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=[sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）]=，∵函数f（x）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，∴，则，又0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）==，∵y=与f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，∴T=，则ω=4，即f（x）=，由得4x∈（0，π），则f（x）在上不是单调函数，排除A、C；由得4x∈，则f（x）在上是增函数，排除B，故选：D．12．已知函数f（x）=+cos（x﹣），则的值为（）A．2016 B．1008 C．504 D．0【考点】数列的求和．【分析】函数f（x）=+cos（x﹣），可得f（x）+f（1﹣x）=0，即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=+cos（x﹣），∴f（x）+f（1﹣x）=+cos（x﹣）++=1+0=1，则=2016=1008．故选：B．二、填空题：本小题共4题，每小题5分．13．已知向量=（1，2），=（x，﹣1），若∥（﹣），则•= ．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：=（1﹣x，3），∵∥（﹣），∴2（1﹣x）﹣3=0，解得x=﹣．则•=﹣﹣2=﹣．故答案为：﹣．14．若一个圆的圆心是抛物线x2=4y的焦点，且该圆与直线y=x+3相切，则该圆的标准方程是x2+（y﹣1）2=2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点即圆心坐标，利用切线的性质计算点C到切线的距离即为半径，从而得出圆的方程．【解答】解：抛物线的标准方程为：x2=4y，∴抛物线的焦点为F（0，1）．即圆C的圆心为C（0，1）．∵圆C与直线y=x+3相切，∴圆C的半径为点C到直线y=x+3的距离d==．∴圆C的方程为x2+（y﹣1）2=2．故答案为：x2+（y﹣1）2=2．15．满足不等式组的点（x，y）组成的图形的面积是5，则实数a的值为 3 ．【考点】简单线性规划；二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据题意，将不等式组表示的平面区域表示出来，分析可得必有a＞1，此时阴影部分的面积S=×2×1+×（a﹣1）×[a+1﹣（3﹣a）]=5，解可得a 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，不等式组⇔或；其表示的平面区域如图阴影部分所示：当a≤1时，其阴影部分面积S＜S△AOB=×2×1=1，不合题意，必有a＞1，当a＞1时，阴影部分面积S=×2×1+×（a﹣1）×[a+1﹣（3﹣a）]=5，解可得a=3或﹣1（舍）；故答案为：3．16．在△ABC中，∠ACB=60°，BC＞1，AC=AB+，当△ABC的周长最短时，BC的长是+1 ．【考点】三角形中的几何计算．【分析】设A，B，C所对的边a，b，c，则根据余弦定理可得a2+b2+c2=2abcosC，以及b=c+可得c的长，再利用均值不等式即可求出答案．【解答】解：设A，B，C所对的边a，b，c，则根据余弦定理可得a2+b2+c2=2abcosC，将b=c+代入上式，可得a2+c+=ac+，化简可得c=，所以△ABC的周长l=a+b+c=++a，化简可得l=3（a﹣1）++，因为a＞1，所以由均值不等式可得3（a﹣1）=时，即6（a﹣1）2=3，解得a=+1时，△ABC的周长最短，故答案为：+1．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）S n=2a n﹣2（n∈N*），可得n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，再利用等比数列的通项公式即可得出．（II）利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）∵S n=2a n﹣2（n∈N*），∴n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1=2．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2），化为：a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，公比为2．∴a n=2n．（II）S n==2n+1﹣2．∴数列{S n}的前n项和T n=﹣2n=2n+2﹣4﹣2n．18．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（Ⅲ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：（其中n=a+b+c+d为样本容量）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）利用（0.012+0.032+0.052）×5+0.076×（x﹣205）=0.5，即可估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）求出甲，乙两条流水线生产的不合格的概率，即可得出结论；（Ⅲ）计算可得K2的近似值，结合参考数值可得结论．【解答】解：（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x，因为0.48=（0.012+0.032+0.052）×5＜0.5＜（0.012+0.032+0.052+0.076）×5=0.86，…则（0.012+0.032+0.052）×5+0.076×（x﹣205）=0.5，…解得．…（Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为，…乙流水线生产的产品为不合格品的概率为，…于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：．…（Ⅲ）2×2列联表：甲生产线乙生产线合计合格品354075不合格品151025合计5050100…则，…因为1.3＜2.072，所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”．…19．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为，求点B到平面ADE的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由题意结合面面垂直的性质可得BD⊥DC，有DC⊥平面ABD，进一步得到DC⊥AB，再由线面垂直的判定可得AB⊥平面ADC；（Ⅱ）由（Ⅰ）知DC⊥平面ABD，可得AC在平面ABD内的正投影为AD，求解直角三角形得到AB的值，然后利用等积法求得点B到平面ADE的距离．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，又BD⊥DC，∴DC⊥平面ABD，∵AB⊂平面ABD，∴DC⊥AB，又∵折叠前后均有AD⊥AB，DC∩AD=D，∴AB⊥平面ADC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DC⊥平面ABD，所以AC在平面ABD内的正投影为AD，即∠CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成角．依题意，AD=1，∴．设AB=x（x＞0），则，∵△ABD～△BDC，∴，即，解得，故．由于AB⊥平面ADC，AB⊥AC，E为BC的中点，由平面几何知识得AE=，同理DE=，∴．∵DC⊥平面ABD，∴．设点B到平面ADE的距离为d，则，∴，即点B到平面ADE的距离为．20．已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．设直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），直线AQ的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2）．由，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k ﹣4=0．由点A（2，1）在椭圆C上，求出．同理，由此能求出直线PQ的斜率为定值．法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PA的斜率，直线QA的斜率．由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知，再由点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，能求出直线PQ的斜率为定值．法三：设直线PQ的方程为y=kx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+b，y2=kx2+b，直线PA的斜率，直线QA的斜率．由∠PAQ 的角平分线总垂直于x轴，知=，由，得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣8=0，由此利用韦达定理能求出直线PQ的斜率为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），所以，．…因为a2=b2+c2，解得a2=8，b2=2，…所以椭圆C的方程为．…（Ⅱ）解法一：因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．设直线PA的斜率为k，则直线AQ的斜率为﹣k．…所以直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），直线AQ的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2）．设点P（x P，y P），Q（x Q，y Q），由，消去y，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0．①因为点A（2，1）在椭圆C上，所以x=2是方程①的一个根，则，…所以．…同理．…所以．…又．…所以直线PQ的斜率为．…所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…解法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PA的斜率，直线QA的斜率．因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k PA=﹣k QA，即，①…因为点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，所以，②．③由②得，得，④…同理由③得，⑤…由①④⑤得，化简得x1y2+x2y1+（x1+x2）+2（y1+y2）+4=0，⑥…由①得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0，⑦…⑥﹣⑦得x1+x2=﹣2（y1+y2）．…②﹣③得，得．…所以直线PQ的斜率为为定值．…解法三：设直线PQ的方程为y=kx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+b，y2=kx2+b，直线PA的斜率，直线QA的斜率．…因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k PA=﹣k QA，即=，…化简得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0．把y1=kx1+b，y2=kx2+b代入上式，并化简得2kx1x2+（b﹣1﹣2k）（x1+x2）﹣4b+4=0．（*）…由，消去y得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣8=0，（**）则，…代入（*）得，…整理得（2k﹣1）（b+2k﹣1）=0，所以或b=1﹣2k．…若b=1﹣2k，可得方程（**）的一个根为2，不合题意．…若时，合题意．所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…21．已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥时，f（x）＞e﹣x．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）法一：求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；法二：求出a=﹣xlnx，令g（x）=﹣xlnx，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）问题转化为xlnx+a＞xe﹣x，令h（x）=xlnx+a，令φ（x）=xe﹣x，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）法1：函数的定义域为（0，+∞）．由，得．…因为a＞0，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…当x=a时，[f（x）]min=lna+1．…当lna+1≤0，即0＜a≤时，又f（1）=ln1+a=a＞0，则函数f（x）有零点．…所以实数a的取值范围为．…法2：函数的定义域为（0，+∞）．由，得a=﹣xlnx．…令g（x）=﹣xlnx，则g'（x）=﹣（lnx+1）．当时，g'（x）＞0；当时，g'（x）＜0．所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．…故时，函数g（x）取得最大值．…因而函数有零点，则．…所以实数a的取值范围为．…（Ⅱ）要证明当时，f（x）＞e﹣x，即证明当x＞0，时，，即xlnx+a＞xe﹣x．…令h（x）=xlnx+a，则h'（x）=lnx+1．当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增．当时，．…于是，当时，．①…令φ（x）=xe﹣x，则φ'（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x）．当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．所以函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当x=1时，．…于是，当x＞0时，．②…显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．…故当时，f（x）＞e﹣x．…选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）将直线l的参数方程消去t参数，可得直线l的普通方程，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，带入ρ=2cos（θ﹣）可得曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）法一：设曲线C上的点为，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值．法二：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0，当直线l'与圆C相切时，得，点到直线的距离公式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t参数，得x+y﹣4=0，∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0．由=．得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）法1：设曲线C上的点为，则点P到直线l的距离为==当时，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为；法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．当直线l'与圆C相切时，得，解得b=0或b=﹣4（舍去）．∴直线l'的方程为x+y=0．那么：直线l与直线l'的距离为故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；（Ⅱ）基本基本不等式的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，解得，所以；②当时，得a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣2，所以；③当时，得a﹣（1﹣2a）＜3，解得，所以；综上所述，实数a的取值范围是．（Ⅱ）因为a≥1，x∈R，所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2．2017年3月27日。

2017年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)(解析版)

2017年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 •复数（1+i ） 2^-的共轭复数是（）A . 1+i B. 1 - i C.— 1+iD .— 1- i2•若集合 M={x|| x| < 1} , N={y|y=x 2, | x| < 1}，贝U （）A . M=NB . M? N C. N? MD . M A N=?13.已知等比数列{a n }的各项都为正数，且33,^屯*刃成等差数列，则 J?"的值是（）线C 的左，右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|=7,则|PR|等于（）A . 1B. 13C. 4 或 10 D . 1 或 13C<- D.--5.已知双曲线C，•-「的一条渐近线方程为2x+3y=0, F 1，F 2分别是双曲A 1B . n=5，贝U 输出k 的值为6 •如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为|■，则该几何体的俯视图可以是7•五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着•那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A J B•陽C l D.詈2 28. 已知F i，F2分别是椭圆C:丄厂+-一=1 （a>b>0）的左、右焦点，椭圆C上存在点P使/RPR为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A. （〔，1）B. （=1）C. （0, ：一）D. （0,丄）9. 已知p：? x>0，e x- ax v 1 成立，q：函数f （x）=-（a- 1）x是减函数，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑. 若三棱锥P- ABC为鳖臑, PA!平面ABC，PA=AB=2 AC=4,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上, 则球O的表面积为（）A. 8 nB. 12 nC. 20 nD. 24 n11. 若直线y=1与函数f （x）=2sin2x的图象相交于点P （X1, y", Q （x2, y2）, |2TT且|X1-刈―-，则线段PQ与函数f （x）的图象所围成的图形面积是（）2兀 l 兀L 2兀L 兀LA. 十-■:B. 一于一：C. :■- ■- :D. ' :' ■-:□ - 1 2016 v12 .已知函数f （x）=£ -討十亡，则£ F〔諾汁）的值为（）A. 0B. 504C. 1008D. 2016二、填空题：本小题共4题，每小题5分.13. ___________________________________________________________ 已知|：|=1, |"£|，且；丄(；-E),则向量7与向量包的夹角是___________________ . 14. (3-x) n的展开式中各项系数和为64,则x3的系数为 _ (用数字填写答案)「2’ x<015. 已知函数f (x) =i，若|f (a) | >2,则实数a的取值范围I l-lo是___ .16. 设S n为数列｛a n｝的前n项和，已知a1=2,对任意p、q € N*，都有a p+q=a p+a q，则f (n) ="' • (n€ N*)的最小值为_______ .n+1三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，在△ ABC中，点P 在BC边上，/ PAC=60, PC=2 AF+AC=4.(I )求/ ACP(n ) 若厶APB的面积是匚丄，求sin/ BAP.A18 .近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“ 618期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为6,对服务的满意率为0.75,其中对商品和服务都满意的交易为80次.(I )根据已知条件完成下面的2X2列联表，并回答能否有99%的把握认为网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？对服务满意对服务不满合计意对商品满意80对商品不满意合计200(n)若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望E X.附：K2-n (ad-bc) 2>)Cc+d) (a+ri (Hd)(其中n=a+b+c+d为样本谷量)P (K2》k) 0.150.100.050.0250.010k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63519. 如图1，在直角梯形ABCD中，AD// BC, AB丄BC, BD丄DC,点E是BC边的中点，将△ ABD沿BD折起，使平面ABD丄平面BCD,连接AE, AC, DE,得到如图2所示的几何体.(I ) 求证：AB丄平面ADC;(n) 若AD=1,二面角C- AB- D的平面角的正切值为.门，求二面角B-AD -E的余弦值.@ 1 @ 220. 过点P (a,- 2)作抛物线C: /=4y的两条切线，切点分别为A (x i, y i), B (X2, y2).(I ) 证明：x i x2+y i y2 为定值；(n)记厶PAB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a,试判断以PM为直径的圆是否恒过点F?并说明理由.21. 已知函数f (x) =lnx+于0).(I )若函数f (x)有零点，求实数a的取值范围; (n ) 证明：当a》二，b> 1 时，f (Inb)>丄.B b 选修4-4:坐标系与参数方程22. 在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为-'(t为参数)l.y=l+t点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：p =2】cos( (I )求直线I的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(n)求曲线C上的点到直线I的距离的最大值.选修4-5:不等式选讲23. 已知函数f (x) =|x+a- 1|+| x-2a| .(I )若f (1)v 3,求实数a的取值范围;(n )若a> 1, x€ R,求证：f (x)A2.在以坐标原兀一-).2017年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.91 •复数（1+i ） 2+-〒-的共轭复数是（）A . 1+i B. 1 - i C.— 1+i D .— 1- i 【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 【解答】解：（1+i ） 2+亍=2i+ 「 =2i+1 — i=1+i 的共轭复数是1 — i .故选：B.2.若集合 M={x|| x| < 1} , N={y|y=x 2, | x| < 1}，则（）A . M=NB . M? N C. N? M D . M n N=?【考点】集合的表示法. 【分析】化简N ,即可得出结论.【解答】解：由题意，N={y|y=W ，|x| < 1}={y| 0<y < 1}， ••• N? M ，故选C .的值是（）A .丄B . --y 1【考点】等比数列的通项公式.【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，且q >0，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出 q ,由等比数列的通项公式化简所求的式3.已知等比数列{a n }的各项都为正数，且33, St 了 + a C-成等差数列，则一D<-子，化简后即可求值.【解答】解：设等比数列｛an｝的公比为q,且q>0,T出，二、「、成等差数列，] n [ 22X可耳§二ny1■呂4，贝U 二曰j + %，化简得，q2-q -仁0,解得q==则，•直屮a §二勺+陶=1=」或7 •日4+曰6幻q+^q J真十' 2，4.阅读如图的程序框图.若输入n=5,贝U输出k的值为（故选A.【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量k，n的值，模拟程序的运行过程，可得答案.【解答】解：第一次执行循环体，n=16，不满足退出循环的条件，k=1 ；第二次执行循环体，n=49,不满足退出循环的条件，k=2;第三次执行循环体，n=148,不满足退出循环的条件，k=3;第四次执行循环体，n=445,满足退出循环的条件，故输出k值为3，故选：B5•已知双曲线C：•二—的一条渐近线方程为2x+3y=0, F i，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=7,则|P冏等于（）A. 1B. 13C. 4 或10D. 1 或13【考点】双曲线的简单性质.【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出a,由双曲线的定义求出|PE|.【解答】解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得二=二，二a=3.由双曲线的定义可得|| P呵-7|=6,二| PF?|=1或13,故选C.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为|■，则该几何体的俯视图可以是( )D.|.--'【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P-ABCD作出图形，可得结论.【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P-ABCD如图所示,该几何体的俯视图为D .【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】求出基本事件的个数，即可求出没有相邻的两个人站起来的概率. 【解答】解：五个人的编号为1，2，3, 4，5.由题意，所有事件，共有25=32种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有（1），（2），（3））（4），（5），（1，3），（1，4））（2，4），（2，5），（3，5），再加上没有人站起来的可能有1种，共11种情况, •••没有相邻的两个人站起来的概率为丄二,故选：C.存在点P 使/F 1PF 2为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）V2 1. V21A . （丁，1） B-（反，1） C （0,右）D . （0,匚）【考点】椭圆的简单性质.7•五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）16A . B.1532 C.1132D. 8.已知F 1, 冋分别是椭圆C： 2 2七+《=1 （a > b > 0）的左、右焦点，椭圆 a b故选：D .【分析】由/ F1PF2为钝角，得到"？卜片V0有解，转化为c2>x o2+y o2有解，求出X02+y。

【数学】广东省广州市2017届高考一模试卷(文)(解析版)

广东省广州市2017年高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的虚部是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22．已知集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．已知tanθ=2，且θ∈，则cos2θ=（）A．B．C．D．4．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知函数f（x）=，则f（f（3））=（）A．B．C．D．﹣36．已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=2，则|PF2|等于（）A．4 B．6 C．8 D．107．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．9．设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，P A⊥平面ABC，P A=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，直线y=与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递减C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递增12．已知函数f（x）=+cos（x﹣），则的值为（）A．2016 B．1008 C．504 D．0二、填空题：本小题共4题，每小题5分．13．已知向量=（1，2），=（x，﹣1），若∥（﹣），则•=．14．若一个圆的圆心是抛物线x2=4y的焦点，且该圆与直线y=x+3相切，则该圆的标准方程是．15．满足不等式组的点（x，y）组成的图形的面积是5，则实数a的值为．16．在△ABC中，∠ACB=60°，BC＞1，AC=AB+，当△ABC的周长最短时，BC的长是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．18．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（Ⅲ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？附：（其中n=a+b+c+d为样本容量）19．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为，求点B到平面ADE 的距离．20．已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠P AQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．21．已知函数f（x）=ln x+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥时，f（x）＞e﹣x．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．参考答案一、选择题1．B【解析】复数==1﹣i的虚部是﹣1．故选：B．2．A【解析】由题意，0+1=﹣a，∴a=﹣1，故选A．3．C【解析】∵tanθ=2，且θ∈，∴cosθ===，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故选：C．4．B【解析】经过第一次循环得到的结果为k=0，n=16，经过第二次循环得到的结果为k=1，n=49，经过第三次循环得到的结果为k=2，n=148，经过第四次循环得到的结果为k=3，n=445，满足判断框中的条件，执行“是”输出的k为3 故选B5．A【解析】由题意知，f（x）=，则f（3）=1﹣，所以f（f（3））==4•=，故选A．6．C【解析】由双曲线的方程、渐近线的方程可得=，∴a=3．由双曲线的定义可得|PF2|﹣2=6，∴|PF2|=8，故选C．7．B【解析】由题意得：正面不能相邻，即正反正反，反正反正，3反一正，全反，其中3反一正中有反反反正，反反正反，反正反反，正反反反，故共7中情况，故P==，故选：B．8．C【解析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为C．故选：C．9．D【解析】∵f（x）=x3+ax2，∴f′（x）=3x2+2ax，∵函数在点（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，∴3x02+2ax0=﹣1，∵x0+x03+ax02=0，解得x0=±1．当x0=1时，f（x0）=﹣1，当x0=﹣1时，f（x0）=1．故选：D．10．C【解析】由题意，PC为球O的直径，PC==2，∴球O的半径为，∴球O的表面积为4π•5=20π，故选C．11．D【解析】由题意得，f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=[sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）]=，∵函数f（x）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，∴，则，又0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）==，∵y=与f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，∴T=，则ω=4，即f（x）=，由得4x∈（0，π），则f（x）在上不是单调函数，排除A、C；由得4x∈，则f（x）在上是增函数，排除B，故选：D．12．B【解析】∵函数f（x）=+cos（x﹣），∴f（x）+f（1﹣x）=+cos（x﹣）++=1+0=1，则=2016=1008．故选：B．二、填空题13．【解析】=（1﹣x，3），∵∥（﹣），∴2（1﹣x）﹣3=0，解得x=﹣．则•=﹣﹣2=﹣．故答案为：﹣．14．x2+（y﹣1）2=2【解析】抛物线的标准方程为：x2=4y，∴抛物线的焦点为F（0，1）．即圆C的圆心为C（0，1）．∵圆C与直线y=x+3相切，∴圆C的半径为点C到直线y=x+3的距离d==．∴圆C的方程为x2+（y﹣1）2=2．故答案为：x2+（y﹣1）2=2．15．3【解析】根据题意，不等式组⇔或；其表示的平面区域如图阴影部分所示：当a≤1时，其阴影部分面积S＜S△AOB=×2×1=1，不合题意，必有a＞1，当a＞1时，阴影部分面积S=×2×1+×（a﹣1）×[a+1﹣（3﹣a）]=5，解可得a=3或﹣1（舍）；故答案为：3．16．+1【解析】设A，B，C所对的边a，b，c，则根据余弦定理可得a2+b2+c2=2ab cos C，将b=c+代入上式，可得a2+c+=ac+，化简可得c=，所以△ABC的周长l=a+b+c=++a，化简可得l=3（a﹣1）++，因为a＞1，所以由均值不等式可得3（a﹣1）=时，即6（a﹣1）2=3，解得a=+1时，△ABC的周长最短，故答案为：+1．三、解答题17．解：（I）∵S n=2a n﹣2（n∈N*），∴n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1=2．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2），化为：a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，公比为2．∴a n=2n．（II）S n==2n+1﹣2．∴数列{S n}的前n项和T n=﹣2n=2n+2﹣4﹣2n．18．解：（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x，因为0.48=（0.012+0.032+0.052）×5＜0.5＜（0.012+0.032+0.052+0.076）×5=0.86，则（0.012+0.032+0.052）×5+0.076×（x﹣205）=0.5，解得．（Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为，乙流水线生产的产品为不合格品的概率为，于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：．（Ⅲ）2×2列联表：则，因为1.3＜2.072，所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”．19．（Ⅰ）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，又BD⊥DC，∴DC⊥平面ABD，∵AB⊂平面ABD，∴DC⊥AB，又∵折叠前后均有AD⊥AB，DC∩AD=D，∴AB⊥平面ADC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DC⊥平面ABD，所以AC在平面ABD内的正投影为AD，即∠CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成角．依题意，AD=1，∴．设AB=x（x＞0），则，∵△ABD～△BDC，∴，即，解得，故．由于AB⊥平面ADC，AB⊥AC，E为BC的中点，由平面几何知识得AE=，同理DE=，∴．∵DC⊥平面ABD，∴．设点B到平面ADE的距离为d，则，∴，即点B到平面ADE的距离为．20．解：（Ⅰ）因为椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），所以，．因为a2=b2+c2，解得a2=8，b2=2，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）解法一：因为∠P AQ的角平分线总垂直于x轴，所以P A与AQ所在直线关于直线x=2对称．设直线P A的斜率为k，则直线AQ的斜率为﹣k．所以直线P A的方程为y﹣1=k（x﹣2），直线AQ的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2）．设点P（x P，y P），Q（x Q，y Q），由，消去y，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0．①因为点A（2，1）在椭圆C上，所以x=2是方程①的一个根，则，所以．同理．所以．又．所以直线PQ的斜率为．所以直线PQ的斜率为定值，该值为．解法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线P A的斜率，直线QA的斜率．因为∠P AQ的角平分线总垂直于x轴，所以P A与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k P A=﹣k QA，即，①因为点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，所以，②．③由②得，得，④同理由③得，⑤由①④⑤得，化简得x1y2+x2y1+（x1+x2）+2（y1+y2）+4=0，⑥由①得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0，⑦⑥﹣⑦得x1+x2=﹣2（y1+y2）．②﹣③得，得．所以直线PQ的斜率为为定值．解法三：设直线PQ的方程为y=kx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+b，y2=kx2+b，直线P A的斜率，直线QA的斜率．因为∠P AQ的角平分线总垂直于x轴，所以P A与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k P A=﹣k QA，即=，化简得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0．把y1=kx1+b，y2=kx2+b代入上式，并化简得2kx1x2+（b﹣1﹣2k）（x1+x2）﹣4b+4=0．（*）由，消去y得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣8=0，（**）则，代入（*）得，整理得（2k﹣1）（b+2k﹣1）=0，所以或b=1﹣2k．若b=1﹣2k，可得方程（**）的一个根为2，不合题意．若时，符合题意．所以直线PQ的斜率为定值，该值为．21．解：（Ⅰ）法1：函数的定义域为（0，+∞）．由，得．因为a＞0，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．当x=a时，[f（x）]min=ln a+1．当ln a+1≤0，即0＜a≤时，又f（1）=ln1+a=a＞0，则函数f（x）有零点．所以实数a的取值范围为．法2：函数的定义域为（0，+∞）．由，得a=﹣x ln x．令g（x）=﹣x ln x，则g'（x）=﹣（ln x+1）．当时，g'（x）＞0；当时，g'（x）＜0．所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．故时，函数g（x）取得最大值．因而函数有零点，则．所以实数a的取值范围为．（Ⅱ）要证明当时，f（x）＞e﹣x，即证明当x＞0，时，，即x ln x+a＞x e﹣x．令h（x）=x ln x+a，则h'（x）=ln x+1．当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增．当时，．于是，当时，．①令φ（x）=x e﹣x，则φ'（x）=e﹣x﹣x e﹣x=e﹣x（1﹣x）．当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．所以函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当x=1时，．于是，当x＞0时，．②显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．故当时，f（x）＞e﹣x．22．解：（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t参数，得x+y﹣4=0，∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0．由=．得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）法1：设曲线C上的点为，则点P到直线l的距离为==当时，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为；法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．当直线l'与圆C相切时，得，解得b=0或b=﹣4（舍去）．∴直线l'的方程为x+y=0．那么：直线l与直线l'的距离为故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．23．解：（Ⅰ）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，解得，所以；②当时，得a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣2，所以；③当时，得a﹣（1﹣2a）＜3，解得，所以；综上所述，实数a的取值范围是．（Ⅱ）因为a≥1，x∈R，所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2．。

广东省广州市高考数学一模试卷(理科)(解析版)知识交流

2017年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（1+i）2+的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．若集合M={x||x|≤1}，N={y|y=x2，|x|≤1}，则（）A．M=N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N=∅3．已知等比数列{a n}的各项都为正数，且a3，成等差数列，则的值是（）A．B．C．D．4．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=7，则|PF2|等于（）A．1 B．13 C．4或10 D．1或136．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．7．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．8．已知F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（，1）B．（，1）C．（0，）D．（0，）9．已知p：∃x＞0，e x﹣ax＜1成立，q：函数f（x）=﹣（a﹣1）x是减函数，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π11．若直线y=1与函数f（x）=2sin2x的图象相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），且|x1﹣x2|=，则线段PQ与函数f（x）的图象所围成的图形面积是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=x3﹣，则的值为（）A．0 B．504 C．1008 D．2016二、填空题：本小题共4题，每小题5分．13．已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角是．14．（3﹣x）n的展开式中各项系数和为64，则x3的系数为（用数字填写答案）15．已知函数f（x）=，若|f（a）|≥2，则实数a的取值范围是．16．设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1=2，对任意p、q∈N*，都有a p=a p+a q，+q则f（n）=（n∈N*）的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4．（Ⅰ）求∠ACP；（Ⅱ）若△APB的面积是，求sin∠BAP．18．近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？对服务满意对服务不满合计意对商品满意80对商品不满意合计200（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX．附：K2=（其中n=a+b+c+d为样本容量）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.010k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63519．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，二面角C﹣AB﹣D 的平面角的正切值为，求二面角B﹣AD ﹣E的余弦值．20．过点P（a，﹣2）作抛物线C：x2=4y的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）证明：x1x2+y1y2为定值；（Ⅱ）记△PAB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是否恒过点F？并说明理由．21．已知函数f（x）=lnx +．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．2017年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（1+i）2+的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：（1+i）2+=2i+=2i+1﹣i=1+i的共轭复数是1﹣i．故选：B．2．若集合M={x||x|≤1}，N={y|y=x2，|x|≤1}，则（）A．M=N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N=∅【考点】集合的表示法．【分析】化简N，即可得出结论．【解答】解：由题意，N={y|y=x2，|x|≤1}={y|0≤y≤1}，∴N⊆M，故选C．3．已知等比数列{a n}的各项都为正数，且a3，成等差数列，则的值是（）A．B．C．D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出q，由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，∵a3，成等差数列，∴，则，化简得，q2﹣q﹣1=0，解得q=，则q=，∴====，故选A．4．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量k，n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，n=16，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体，n=49，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体，n=148，不满足退出循环的条件，k=3；第四次执行循环体，n=445，满足退出循环的条件，故输出k值为3，故选：B5．已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=7，则|PF2|等于（）A．1 B．13 C．4或10 D．1或13【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|．【解答】解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得=，∴a=3．由双曲线的定义可得||PF2|﹣7|=6，∴|PF2|=1或13，故选C．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，作出图形，可得结论．【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为D．故选：D．7．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】求出基本事件的个数，即可求出没有相邻的两个人站起来的概率．【解答】解：五个人的编号为1，2，3，4，5．由题意，所有事件，共有25=32种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有（1），（2），（3），（4），（5），（1，3），（1，4），（2，4），（2，5），（3，5），再加上没有人站起来的可能有1种，共11种情况，∴没有相邻的两个人站起来的概率为，故选：C．8．已知F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（，1）B．（，1）C．（0，）D．（0，）【考点】椭圆的简单性质．【分析】由∠F1PF2为钝角，得到•＜0有解，转化为c2＞x02+y02有解，求出x02+y02的最小值后求得椭圆离心率的取值范围．【解答】解：设P（x0，y0），则|x0|＜a，又F1（﹣c，0），F2（c，0），又∠F1PF2为钝角，当且仅当•＜0有解，即（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=（﹣c﹣x0）（c﹣x0）+y02＜0，即有c2＞x02+y02有解，即c2＞（x02+y02）min．又y02=b2﹣x02，∴x02+y02=b2+x02∈[b2，a2），即（x02+y02）min=b2．故c2＞b2，c2＞a2﹣c2，∴＞，即e＞，又0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：A．9．已知p：∃x＞0，e x﹣ax＜1成立，q：函数f（x）=﹣（a﹣1）x是减函数，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用导数研究p的单调性可得a＞0．q：函数f（x）=﹣（a﹣1）x是减函数，则a﹣1＞1，解得a＞2．即可判断出结论．【解答】解：p：∃x＞0，e x﹣ax＜1成立，则a，令f（x）=，则f′（x）=．令g（x）=e x x﹣e x+1，则g（0）=0，g′（x）=xe x＞0，∴g（x）＞0，∴f′（x）＞0，∴a＞0．q：函数f（x）=﹣（a﹣1）x是减函数，则a﹣1＞1，解得a＞2．则p是q的必要不充分条件．故选：B．10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，PC为球O的直径，求出PC，可得球O的半径，即可求出球O 的表面积．【解答】解：由题意，PC为球O的直径，PC==2，∴球O的半径为，∴球O的表面积为4π•5=20π，故选C．11．若直线y=1与函数f（x）=2sin2x的图象相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），且|x1﹣x2|=，则线段PQ与函数f（x）的图象所围成的图形面积是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据直线y=1与函数f（x）=2sin2x的图象相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），求解x1，x2的值，利用定积分即可求解线段PQ与函数f（x）的图象所围成的图形面积．【解答】解：函数f（x）=2sin2x，周期T=π，令2sin2x=1，解得：x=或，直线y=1与函数f（x）=2sin2x的图象相交于点从左向右依次是，，…，∵|x1﹣x2|=令x1=，x2=，可得：线段PQ与函数f（x）的图象所围成的图形面积S=﹣2﹣2=．故选A12．已知函数f（x）=x3﹣，则的值为（）A．0 B．504 C．1008 D．2016【考点】数列的求和．【分析】使用二项式定理化简得f（x）═（x﹣）3+．根据与互为相反数便可得出答案．【解答】解：f（x）=x3﹣=x3﹣x2+x﹣+=（x﹣）3+．∵+=0，k=1，2，…2016．∴（﹣）3+（）3=0，k=1，2，…2016．∴==504．故选：B．二、填空题：本小题共4题，每小题5分．13．已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角是．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由条件利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义求得cosθ的值，可得向量与向量的夹角θ的值．【解答】解：设向量与向量的夹角是θ，则由题意可得•（﹣）=﹣=1﹣1××cosθ=0，求得cosθ=，可得θ=，故答案为：．14．（3﹣x）n的展开式中各项系数和为64，则x3的系数为﹣540（用数字填写答案）【考点】二项式系数的性质．【分析】令x=1，则2n=64，解得n=6．再利用通项公式即可得出．【解答】解：令x=1，则2n=64，解得n=6．==（﹣1）r•36﹣r•x r，（3﹣x）6的通项公式为：T r+1令r=3，则x3的系数为﹣=﹣540．故答案为：﹣540．15．已知函数f（x）=，若|f（a）|≥2，则实数a的取值范围是．【考点】函数的值．【分析】根据解析式对a分类讨论，分别列出不等式后，由指数、对数函数的性质求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意知，f（x）=，①当a≤0时，不等式|f（a）|≥2为|21﹣a|≥2，则21﹣a≥2，即1﹣a≥1，解得a≤0；②当a＞0时，不等式|f（a）|≥2为，则或，即或，解得0＜a或a≥8；综上可得，实数a的取值范围是，故答案为：．16．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1=2，对任意p 、q ∈N *，都有a p +q =a p +a q ，则f （n ）=（n ∈N *）的最小值为．【考点】数列的求和．【分析】对任意p 、q ∈N *，都有a p +q =a p +a q ，令p=n ，q=1，可得a n +1=a n +a 1，则﹣a n =2，利用等差数列的求和公式可得S n ．f （n ）===n +1+﹣1，令g （x ）=x +（x ≥1），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：∵对任意p 、q ∈N *，都有a p +q =a p +a q ，令p=n ，q=1，可得a n +1=a n +a 1，则﹣a n =2，∴数列{a n }是等差数列，公差为2． ∴S n =2n +=n +n 2．则f （n ）===n +1+﹣1，令g （x ）=x +（x ≥1），则g′（x ）=1﹣=，可得x ∈[1，时，函数g （x ）单调递减；x ∈时，函数g （x ）单调递增．又f （7）=14+，f （8）=14+． ∴f （7）＜f （8）． ∴f （n ）=（n ∈N *）的最小值为．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在△ABC 中，点P 在BC 边上，∠PAC=60°，PC=2，AP +AC=4．（Ⅰ）求∠ACP ；（Ⅱ）若△APB 的面积是，求sin ∠BAP ．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）在△APC中，由余弦定理得AP2﹣4AP+4=0，解得AP=2，可得△APC是等边三角形，即可得解．（Ⅱ）法1：由已知可求∠APB=120°．利用三角形面积公式可求PB=3．进而利用余弦定理可求AB，在△APB中，由正弦定理可求sin∠BAP=的值．法2：作AD⊥BC，垂足为D，可求：，利用三角形面积公式可求PB，进而可求BD，AB，利用三角函数的定义可求，．利用两角差的正弦函数公式可求sin ∠BAP=sin（∠BAD﹣30°）的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△APC中，因为∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4，由余弦定理得PC2=AP2+AC2﹣2•AP•AC•cos∠PAC，…所以22=AP2+（4﹣AP）2﹣2•AP•（4﹣AP）•cos60°，整理得AP2﹣4AP+4=0，…解得AP=2．…所以AC=2．…所以△APC是等边三角形．…所以∠ACP=60°．…（Ⅱ）法1：由于∠APB是△APC的外角，所以∠APB=120°．…因为△APB的面积是，所以．…所以PB=3．…在△APB中，AB2=AP2+PB2﹣2•AP•PB•cos∠APB=22+32﹣2×2×3×cos120°=19，所以．…在△APB中，由正弦定理得，…所以sin∠BAP==．…法2：作AD⊥BC，垂足为D，因为△APC是边长为2的等边三角形，所以．…因为△APB 的面积是，所以．…所以PB=3．…所以BD=4．在Rt△ADB 中，，…所以，．所以sin∠BAP=sin（∠BAD﹣30°）=sin∠BADcos30°﹣cos∠BADsin30°…==．…18．近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？对服务满意对服务不满合计意对商品满意80对商品不满意合计200（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX．附：K2=（其中n=a+b+c+d为样本容量）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.010k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）利用数据直接填写联列表即可，求出X2，即可回答是否有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关；（Ⅱ）由题意可得X的可能值，分别可求其概率，可得分布列，进而可得数学期望．．【解答】解：（Ⅰ）2×2列联表：对服务满意对服务不满意合计对商品满意8040120对商品不满意701080合计15050200…，…因为11.111＞6.635，所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”．…（Ⅱ）每次购物时，对商品和服务都满意的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3．…；；．…X的分布列为：X0123P…所以．…19．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为，求二面角B﹣AD ﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明DC⊥AB．AD⊥AB即可得AB⊥平面ADC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB⊥平面ADC，即二面角C﹣AB﹣D的平面角为∠CAD二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为，解得AB，如图所示，建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出平面BAD的法向量，平面ADE的法向量，即可得二面角B﹣AD﹣E的余弦值【解答】解：（Ⅰ）因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，又BD⊥DC，所以DC⊥平面ABD．…因为AB⊂平面ABD，所以DC⊥AB．…又因为折叠前后均有AD⊥AB，DC∩AD=D，…所以AB⊥平面ADC．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB⊥平面ADC，所以二面角C﹣AB﹣D的平面角为∠CAD．…又DC⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，所以DC⊥AD．依题意．…因为AD=1，所以．设AB=x（x＞0），则．依题意△ABD～△BDC，所以，即．…解得，故．…如图所示，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），，，，，所以，．由（Ⅰ）知平面BAD的法向量．…设平面ADE的法向量由得令，得，所以．…所以．…由图可知二面角B﹣AD﹣E的平面角为锐角，所以二面角B﹣AD﹣E的余弦值为．…20．过点P（a，﹣2）作抛物线C：x2=4y的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）证明：x1x2+y1y2为定值；（Ⅱ）记△PAB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是否恒过点F？并说明理由．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（Ⅰ）求导，求得直线PA的方程，将P代入直线方程，求得，同理可知．则x1，x2是方程x2﹣2ax﹣8=0的两个根，则由韦达定理求得x1x2，y1y2的值，即可求证x1x2+y1y2为定值；设切线方程，代入抛物线方程，由△=0，则k1k2=﹣2，分别求得切线方程，代入即可求证x1x2+y1y2为定值；（Ⅱ）直线PA的垂直平分线方程为，同理求得直线PB 的垂直平分线方程，求得M坐标，抛物线C的焦点为F（0，1），则，则．则以PM为直径的圆恒过点F．【解答】解：（Ⅰ）证明：法1：由x2=4y，得，所以．所以直线PA的斜率为．因为点A（x1，y1）和B（x2，y2）在抛物线C上，所以，．所以直线PA的方程为．…因为点P（a，﹣2）在直线PA上，所以，即．…同理，．…所以x1，x2是方程x2﹣2ax﹣8=0的两个根．所以x1x2=﹣8．…又，…所以x1x2+y1y2=﹣4为定值．…法2：设过点P（a，﹣2）且与抛物线C相切的切线方程为y+2=k（x﹣a），…，消去y得x2﹣4kx+4ka+8=0，由△=16k2﹣4（4ak+8）=0，化简得k2﹣ak﹣2=0．…所以k1k2=﹣2．…由x2=4y，得，所以．所以直线PA的斜率为，直线PB的斜率为．所以，即x1x2=﹣8．…又，…所以x1x2+y1y2=﹣4为定值．…（Ⅱ）法1：直线PA的垂直平分线方程为，…由于，，所以直线PA的垂直平分线方程为．①…同理直线PB的垂直平分线方程为．②…由①②解得，，所以点．…抛物线C的焦点为F（0，1），则．由于，…所以．所以以PM为直径的圆恒过点F．…另法：以PM为直径的圆的方程为．…把点F（0，1）代入上方程，知点F的坐标是方程的解．所以以PM为直径的圆恒过点F．…法2：设点M的坐标为（m，n），则△PAB的外接圆方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2=（m﹣a）2+（n+2）2，由于点A（x1，y1），B（x2，y2）在该圆上，则，．两式相减得（x1﹣x2）（x1+x2﹣2m）+（y1﹣y2）（y1+y2﹣2n）=0，①…由（Ⅰ）知，代入上式得，…当x1≠x2时，得8a﹣4m+a3﹣2an=0，②假设以PM为直径的圆恒过点F，则，即（﹣m，n﹣1）•（﹣a，﹣3）=0，得ma﹣3（n﹣1）=0，③…由②③解得，…所以点．…当x1=x2时，则a=0，点M（0，1）．所以以PM为直径的圆恒过点F．…21．已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）法一：求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可；法二：求出a=﹣xlnx，令g（x）=﹣xlnx，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可；（Ⅱ）令h（x）=xlnx+a，通过讨论a的范围，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）法1：函数的定义域为（0，+∞）．由，得．…因为a＞0，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…当x=a时，[f（x）]min=lna+1．…当lna+1≤0，即0＜a≤时，又f（1）=ln1+a=a＞0，则函数f（x）有零点．…所以实数a的取值范围为．…法2：函数的定义域为（0，+∞）．由，得a=﹣xlnx．…令g（x）=﹣xlnx，则g'（x）=﹣（lnx+1）．当时，g'（x）＞0；当时，g'（x）＜0．所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．…故时，函数g（x）取得最大值．…因而函数有零点，则．…所以实数a的取值范围为．…（Ⅱ）证明：令h（x）=xlnx+a，则h'（x）=lnx+1．当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增．当时，．…于是，当a≥时，．①…令φ（x）=xe﹣x，则φ'（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x）．当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．所以函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当x=1时，．…于是，当x＞0时，．②…显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．故当x＞0，时，xlnx+a＞xe﹣x．…因为b＞1，所以lnb＞0．所以lnb•ln（lnb）+a＞lnb•e﹣lnb．…所以，即．…选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）将直线l的参数方程消去t参数，可得直线l的普通方程，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，带入ρ=2cos（θ﹣）可得曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）法一：设曲线C上的点为，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值．法二：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0，当直线l'与圆C相切时，得，点到直线的距离公式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t参数，得x+y﹣4=0，∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0．由=．得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）法1：设曲线C上的点为，则点P到直线l的距离为==当时，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为；法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．当直线l'与圆C相切时，得，解得b=0或b=﹣4（舍去）．∴直线l'的方程为x+y=0．那么：直线l与直线l'的距离为故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；（Ⅱ）基本基本不等式的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，解得，所以；②当时，得a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣2，所以；③当时，得a﹣（1﹣2a）＜3，解得，所以；综上所述，实数a的取值范围是．（Ⅱ）因为a≥1，x∈R，所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2．2017年3月25日。

2017年广州市一模理科数学试题答案

绝密 ★ 启用前2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数()221i 1i+++的共轭复数是（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- （2）若集合}{1M x x =≤，}{2,1N y y x x ==≤，则（A ）M N = （B ）M N ⊆ （C ）N M ⊆ （D ）M N =∅I （3）已知等比数列{}n a 的各项都为正数, 且35412a ,a ,a 成等差数列,则3546a a a a ++的值是（A ）512 （B ）512 （C ）352- （D ）352+ （4）阅读如图的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（5）已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F ,2F 分别是双曲线C 的左，右焦点, 点P 在双曲线C 上, 且17PF =, 则2PF 等于（A）1（B）13（C）4或10（D）1或13（6）如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图,且该几何体的体积为83, 则该几何体的俯视图可以是（7）五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为（A）12（B）1532（C）1132（D）516（8）已知1F,2F分别是椭圆C()2222:10x ya ba b+=>>的左, 右焦点, 椭圆C上存在点P使12F PF∠为钝角, 则椭圆C的离心率的取值范围是（A）22⎛⎫⎪⎪⎝⎭（B）1,12⎛⎫⎪⎝⎭（C）20,2⎛⎝⎭（D）10,2⎛⎫⎪⎝⎭（9）已知:0,1xp x e ax∃>-<成立, :q函数()()1xf x a=--是减函数, 则p是q的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（10）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥-P ABC为鳖臑, PA⊥平面ABC, 2PA AB==，4AC=, 三棱锥-P ABC的四个顶点都在球O的球面上, 则球O的表面积为（A）8π（B）12π（C）20π（D）24π（11）若直线1y=与函数()2sin2f x x=的图象相交于点()11,P x y，()22,Q x y，且12x x-=23π，则线段PQ与函数()f x的图象所围成的图形面积是（A）233π+（B）33π（C）2323π（D）323π（12）已知函数()32331248f x x x x=-++, 则201612017kkf=⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为（A）0（B）504（C）1008（D）2016P CBA第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

广东省广州市高考一模数学(文科)试卷有答案

广东省广州市2017年高考一模数学（文科）试卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数21i+的虚部是（） A ．2- B ．1-C ．1D ．22．已知集合}{}{200,1x x ax +==，则实数a 的值为（） A ．1-B ．0C ．1D ．23．已知tan 2θ=，且θ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，则cos2θ=（）A ．45B ．35C ．35-D ．45-4．阅读如图的程序框图．若输入5n =，则输出k 的值为（） A ．2B ．3C ．4D ．55．已知函数()122,0,1log ,0,x x f x x x +⎧≤=⎨->⎩则()()3f f =（）A ．43B ．23C ．43-D ．3-6．已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230x y +=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且12PF =，则2PF 等于（） A ．4B ．6C ．8D ．107．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（） A ．14B ．716C ．12D ．9168．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为8，则该几何体的俯视图可以是（）9．设函数()32f x x ax =+，若曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线方程为0x y +=，则点P 的坐标为（）A ．()0,0B ．()1,1-C ．()1,1-D ．()1,1-或()1,1-10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，4AC =，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（）A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π11．已知函数()()()()sin cos 0,0πf x x x =ω+φ+ω+φω><φ<是奇函数，直线y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则（） A ．()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在π3π,88⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在π3π,88⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增12．已知函数()π1cos 212x f x x x +⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭，则201612017k k f =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑的值为（） A ．2 016 B ．1 008 C ．504D ．0二、填空题：本小题共4题，每小题5分．13．已知向量a ()1,2=，b (),1x =-，若a //()-a b ，则⋅a b =__________．14．若一个圆的圆心是抛物线24x y =的焦点，且该圆与直线3y x =+相切，则该圆的标准方程是__________．15．满足不等式组(1)(3)00x y x y x a-++-≥⎧⎨≤≤⎩的点(),x y 组成的图形的面积是5，则实数a 的值是__________．16．在△ABC 中，160,1,2ACB BC AC AB ︒∠=>=+，当△ABC 的周长最短时，BC 的长是__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-（n ∈*N ）（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n S 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(]195,210内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．（Ⅰ）根据图１，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5 000件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（Ⅲ）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++（其中n a b c d=+++为样本容量）19．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将ABD∆沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若1=AD，AC与其在平面ABD B到平面ADE的距离．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且过点()2,1A（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若,P Q 是椭圆C 上的两个动点，且使PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 21．已知函数()ln (0)af x x a x=+> （Ⅰ）若函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）证明：当2ea ≥时，()e xf x ->．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,(1,x t t y t =-⎧⎨=+⎩为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线π:4C ⎛⎫ρ=θ- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值选修4-5：不等式选讲23．已知函数()12f x x a x a =+-+-．（Ⅰ）若()13f <，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若1,a x ≥∈R ，求证：()2f x ≥．广东省广州市2017年高考一模数学（文科）试卷答案一、选择题 1~5．BACBA 6~10．CBCDC 11~12．DB 二、填空题 13．52-14．()2212x y +-= 15．316．1+三、解答题 17．解：（Ⅰ）∵S n =2a n ﹣2（n ∈N *），∴n=1时，a 1=2a 1﹣2，解得a 1=2．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2﹣（2a n ﹣1﹣2），化为：a n =2a n ﹣1， ∴数列{a n }是等比数列，公比为2． ∴a n =2n ．所以1222n nn a -=⨯=（n ∈N *）．（Ⅱ）S n ==2n +1﹣2．∴数列{S n }的前n 项和T n =﹣2n=2n +2﹣4﹣2n ．18．解：（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ，因为()()0.480.0120.0320.05250.50.0120.0320.0520.07650.86=++⨯<<+++⨯=，则()()0.0120.0320.05250.0762050.5,x ++⨯+⨯-=解得390019x =．（Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为153,5010P ==甲乙流水线生产的产品为不合格品的概率为()10.0120.02855P =+⨯=乙，于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：315000=1500,5000=1000105⨯⨯．（Ⅲ）22⨯列联表：…………………………10分则()2210035060041.3505075253K ⨯-==≈⨯⨯⨯，因为1.3 2.072,<所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”． 19．解：（Ⅰ）证明∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，又BD ⊥DC ，∴DC ⊥平面ABD ．因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB 又因为折叠前后均有AD ⊥AB ，DC ∩AD D = 所以AB ⊥平面ADC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知DC ⊥平面ABD ，所以AC 在平面ABD 内的正投影为AD ，即∠CAD 为AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角．依题意tan CDCAD AD∠=因为1,AD =所以CD =设()0AB x x =>，则BD = 因为△ABD ～△BDC ，所以AB DCAD BD=，即1x =，解得x3AB BD BC ===．由于AB ⊥平面ADC ，AB ⊥AC ，E 为BC 的中点，由平面几何知识得AE 322BC ==，同理DE 322BC ==，所以．因为DC ⊥平面ABD，所以13A BCD ABD V CD S -=⋅=．设点B 到平面ADE 的距离为d ，则11326ADE B ADE A BDE A BCD d S V V V ---⋅====，所以2d =，即点B 到平面ADE的距离为2． 20．解：（Ⅰ）因为椭圆C，且过点()2,1A ，所以22411a b +=，c a = 因为222a b c =+，解得28a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22182x y +=．（Ⅱ）解法一：因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称．设直线PA 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为k -．所以直线PA 的方程为()12y k x -=-，直线AQ 的方程为()12y k x -=--．设点(),P P P x y ，(),Q Q Q x y ，由()2212,1,82y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()()222214168161640k x k k x k k +--+--=．①因为点()2,1A 在椭圆C 上，所以2x =是方程①的一个根，则2216164214P k k x k --=+，所以2288214P k k x k --=+．同理2288214Q k k x k+-=+．所以21614P Q kx x k -=-+．又()28414P Q P Q ky y k x x k -=+-=-+．所以直线PQ 的斜率为12P Q PQ P Qy y k x x -==-．所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12．法2：设点()()1122,,,P x y Q x y ，则直线PA 的斜率1112PA y k x -=-，直线QA 的斜率2212QA y k x -=-．因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称．所以PA QA k k =-，即1112y x --22102y x -+=-，① 因为点()()1122,,,P x y Q x y 在椭圆C 上，所以2211182x y +=，②2222182x y +=．③ 由②得()()22114410x y -+-=，得()111112241y x x y -+=--+，④ 同理由③得()222212241y x x y -+=--+，⑤ 由①④⑤得()()12122204141x x y y +++=++，化简得()()12211212240x y x y x x y y ++++++=，⑥ 由①得()()12211212240x y x y x x y y +-+-++=，⑦⑥-⑦得()12122x x y y +=-+．②-③得22221212082x x y y --+=，得()12121212142y y x x x x y y -+=-=-+．所以直线PQ 的斜率为121212PQ y y k x x -==-为定值．法3：设直线PQ 的方程为y kx b =+，点()()1122,,,P x y Q x y ，则1122,y kx b y kx b =+=+，直线PA 的斜率1112PA y k x -=-，直线QA 的斜率2212QA y k x -=-．因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称．所以PA QA k k =-，即1112y x --2212y x -=--，化简得()()12211212240x y x y x x y y +-+-++=．把1122,y kx b y kx b =+=+代入上式，并化简得()()1212212440kx x b k x x b +--+-+=．（*）由22,1,82y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222418480k x kbx b +++-=，（**）则2121222848,4141kb b x x x x k k -+=-=++，代入（*）得()()2222488124404141k b kb b k b k k -----+=++，整理得()()21210k b k -+-=，所以12k =或12b k =-．若12b k =-，可得方程（**）的一个根为2，不合题意．若12k =时，合题意．所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12． 21．解：（Ⅰ）法1：函数()ln af x x x=+的定义域为()0,+∞．由()ln af x x x=+，得()221a x a f x x x x -'=-=．因为0a >，则()0,x a ∈时，()0f x '<；(),x a ∈+∞时，()0f x '>．所以函数()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增．当x a =时，()min ln 1f x a ⎡⎤=+⎣⎦．当ln 10a +≤，即0a <≤1e时，又()1ln10f a a =+=>，则函数()f x 有零点．所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤⎥⎝⎦．法2：函数()ln af x x x=+的定义域为()0,+∞．由()ln 0af x x x=+=，得ln a x x =-．令()ln g x x x =-，则()()ln 1g x x '=-+．当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<．所以函数()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减故1x e =时，函数()g x 取得最大值1111ln g e e e e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．因而函数()ln a f x x x =+有零点，则10a e<≤．所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤⎥⎝⎦．（Ⅱ）要证明当2a e ≥时，()xf x e ->，即证明当0,x >2a e ≥时，ln x ax e x-+>，即ln x x x a xe -+>．令()ln h x x x a =+，则()ln 1h x x '=+．当10x e <<时，()0f x '<；当1x e>时，()0f x '>．所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．当1x e=时，()min1h x a e ⎡⎤=-+⎣⎦．于是，当2a e≥时，()11.h x a e e ≥-+≥①令()xx xe ϕ-=，则()()1xx x x exe e x ϕ---'=-=-．当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．所以函数()x ϕ在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．当1x =时，()max 1x e ϕ⎡⎤=⎣⎦．于是，当0x >时，()1.x eϕ≤②显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．故当2a e≥时，()xf x e ->． 22．解：（Ⅰ）由直线l 的参数方程3,1,x t y t =-⎧⎨=+⎩消去t 得40x y +-=，所以直线l 的普通方程为40x y +-=．由4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos cos sin sin 2cos 2sin 44ππθθθθ⎫=+=+⎪⎭，得22cos 2sin ρρθρθ=+．将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入上式，得曲线C 的直角坐标方程为2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=．（Ⅱ）法1：设曲线C上的点为()1,1P αα，则点P 到直线l的距离为d =当sin 14πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，max d =，所以曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为法2：设与直线l 平行的直线为:0l x y b '++=，当直线l '与圆C=解得0b =或4b =-（舍去），所以直线l '的方程为0x y +=．所以直线l 与直线l '的距离为d ==所以曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为 23．解：（Ⅰ）因为()13f <，所以123a a +-<．①当0a ≤时，得()123a a -+-<，解得23a >-，所以203a -<≤；②当102a <<时，得()123a a +-<，解得2a >-，所以102a <<；③当12a ≥时，得()123a a --<，解得43a <，所以1423a ≤<；综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．（Ⅱ）因为1,a x ≥∈R ，所以()()()1212f x x a x a x a x a =+-+-≥+---31a =-31a =-2≥．广东省广州市2017年高考一模数学（文科）试卷解析一、选择题1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==1﹣i的虚部是﹣1．故选：B．2．【考点】集合的表示法．【分析】集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则x2+ax=0的解为0，1，利用韦达定理，求出a的值．【解答】解：由题意，0+1=﹣a，∴a=﹣1，故选A．3．【考点】二倍角的余弦．【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求cosθ，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：∵tanθ=2，且θ∈，4．【考点】循环结构．【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果；直到满足判断框中的条件，执行输出．【解答】解：经过第一次循环得到的结果为k=0，n=16，经过第二次循环得到的结果为k=1，n=49，经过第三次循环得到的结果为k=2，n=148，经过第四次循环得到的结果为k=3，n=445，满足判断框中的条件，执行“是”输出的k为3故选B5．【考点】函数的值．【分析】由解析式先求出f（3），由指数的运算法则求出（f（3））的值．【解答】解：由题意知，f（x）=，则f（3）=1﹣，所以f（f（3））==4•=，故选A．6．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|．【解答】解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得=，∴a=3．由双曲线的定义可得|PF2|﹣2=6，∴|PF2|=8，故选C．7．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】列举出所有情况，求出满足条件的概率即可．【解答】解：由题意得：正面不能相邻，即正反正反，反正反正，3反一正，全反，其中3反一正中有反反反正，反反正反，反正反反，正反反反，故共7中情况，故P==，故选：B．8．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，作出图形，可得结论．【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为C．故选：C．9．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，导函数等于﹣1求得点（x0，f（x0））的横坐标，进一步求得f（x0）的值，可得结论．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2，∴f′（x）=3x2+2ax，∵函数在点（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，∴3x02+2ax0=﹣1，∵x0+x03+ax02=0，解得x0=±1．当x0=1时，f（x0）=﹣1，当x0=﹣1时，f（x0）=1．故选：D．10．【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，PC为球O的直径，求出PC，可得球O的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：由题意，PC为球O的直径，PC==2，∴球O的半径为，∴球O的表面积为4π•5=20π，故选C．11．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】根据两角和的正弦函数化简解析式，由条件和诱导公式求出φ的值，由条件和周期共识求出ω的值，根据正弦函数的单调性和选项判断即可．【解答】解：由题意得，f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）= [sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）]=，∵函数f（x）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，∴，则，又0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）==，∵y=与f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，∴T=，则ω=4，即f（x）=，由得4x∈（0，π），则f（x）在上不是单调函数，排除A、C；由得4x∈，则f（x）在上是增函数，排除B，故选：D．12．【考点】数列的求和．【分析】函数f（x）=+cos（x﹣），可得f（x）+f（1﹣x）=0，即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=+cos（x﹣），∴f（x）+f（1﹣x）=+cos（x﹣）++=1+0=1，则=2016=1008．故选：B．二、填空题13．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：=（1﹣x，3），∵∥（﹣），∴2（1﹣x）﹣3=0，解得x=﹣．则•=﹣﹣2=﹣．故答案为：﹣．14．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点即圆心坐标，利用切线的性质计算点C到切线的距离即为半径，从而得出圆的方程．【解答】解：抛物线的标准方程为：x2=4y，∴抛物线的焦点为F（0，1）．即圆C的圆心为C（0，1）．∵圆C与直线y=x+3相切，∴圆C的半径为点C到直线y=x+3的距离d==．∴圆C的方程为x2+（y﹣1）2=2．故答案为：x2+（y﹣1）2=2．15．【考点】简单线性规划；二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据题意，将不等式组表示的平面区域表示出来，分析可得必有a＞1，此时阴影部分的面积S=×2×1+×（a﹣1）×[a+1﹣（3﹣a）]=5，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，不等式组⇔或；其表示的平面区域如图阴影部分所示：=×2×1=1，不合题意，当a≤1时，其阴影部分面积S＜S△AOB必有a＞1，当a＞1时，阴影部分面积S=×2×1+×（a﹣1）×[a+1﹣（3﹣a）]=5，解可得a=3或﹣1（舍）；故答案为：3．16．【考点】三角形中的几何计算．【分析】设A，B，C所对的边a，b，c，则根据余弦定理可得a2+b2+c2=2abcosC，以及b=c+可得c的长，再利用均值不等式即可求出答案．【解答】解：设A，B，C所对的边a，b，c，则根据余弦定理可得a2+b2+c2=2abcosC，将b=c+代入上式，可得a2+c+=ac+，化简可得c=，所以△ABC的周长l=a+b+c=++a，化简可得l=3（a﹣1）++，因为a＞1，所以由均值不等式可得3（a﹣1）=时，即6（a﹣1）2=3，解得a=+1时，△ABC的周长最短，故答案为： +1．三、解答题17．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）S n=2a n﹣2（n∈N*），可得n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，再利用等比数列的通项公式即可得出．（II）利用等比数列的求和公式即可得出．18．【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）利用（0.012+0.032+0.052）×5+0.076×（x﹣205）=0.5，即可估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）求出甲，乙两条流水线生产的不合格的概率，即可得出结论；（Ⅲ）计算可得K2的近似值，结合参考数值可得结论．19．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由题意结合面面垂直的性质可得BD⊥DC，有DC⊥平面ABD，进一步得到DC⊥AB，再由线面垂直的判定可得AB⊥平面ADC；（Ⅱ）由（Ⅰ）知DC⊥平面ABD，可得AC在平面ABD内的正投影为AD，求解直角三角形得到AB的值，然后利用等积法求得点B到平面ADE的距离．20．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．设直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），直线AQ的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2）．由，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0．由点A（2，1）在椭圆C上，求出．同理，由此能求出直线PQ的斜率为定值．法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PA的斜率，直线QA的斜率．由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知，再由点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，能求出直线PQ的斜率为定值．法三：设直线PQ的方程为y=kx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+b，y2=kx2+b，直线PA的斜率，直线QA的斜率．由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知=，由，得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣8=0，由此利用韦达定理能求出直线PQ的斜率为定值．21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）法一：求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；法二：求出a=﹣xlnx，令g（x）=﹣xlnx，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）问题转化为xlnx+a＞xe﹣x，令h（x）=xlnx+a，令φ（x）=xe﹣x，根据函数的单调性证明即可．22．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）将直线l的参数方程消去t参数，可得直线l的普通方程，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，带入ρ=2cos（θ﹣）可得曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）法一：设曲线C上的点为，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值．法二：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0，当直线l'与圆C相切时，得，点到直线的距离公式可得最大值．23．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；（Ⅱ）基本基本不等式的性质证明即可．。

广东省广州市普通高中2017高考高三数学第一次模拟试题精选：数列01 Word版含答案

数列011、若函数()f x 满足)9(2)10(+=+x f x f ，且1)0(=f ，则=)10(f _ 【答案】102【解析】令9x t +=，则9x t =-，所以由)9(2)10(+=+x f x f 得(1)2()f t f t +=，即(1)2()f t f t +=，即数列{()}f t 的公比为 2 不设1(0)a f =，则有11(10)a f =，所以由10111a a q =，即10112a =，所以10(10)2f =。

2、等差数列{}n a 中，67812a a a ++=，则该数列的前13项的和13S = 【答案】52【解析】在等差数列，67812a a a ++=得7312a =，即74a =。

所以11371313()1321345222a a a S +⨯===⨯=。

3、若等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，1442=+a a ，770S =，则数列}{n a 的通项公式为【答案】32n a n =-（*N n ∈）【解析】在等差数列中，设公差为d ，则由2414a a +=，770S =得12414a d +=，71767702S a d ⨯=+=，即1310a d +=，解得11,3a d ==，所以13(1)n a n n =+-=-*N n ∈。

4、若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列，则此等比数列的公比为（写出一个即可）．【答案】21-2或-【解析】设三个互不相等的实数为,,a d a a d -+。

（d ≠0）交换这三个数的位置后： ①若a 是等比中项，则222()()a a d a d a d =-+=-，解得d=0，不符合； ②若a d -是等比中项则2()()a d a a d -=+，解得3d a =，此时三个数为,2,4a a a -，公比为﹣2或三个数为4,2,a a a -，公比为12-． ③若a+d 是等比中项，则同理得到公比为2-，或公比为12-．所以此等比数列的公比是2-或12-5、正六边形111111F E D C B A 的边长为1，它的6条对角线又围成了一个正六边形222222F E D C B A ，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是．【解析】在Rt △A 1B 1A 2中，∠A 1B 1A 2=30︒，A 1B 1=1，∴A 1A 2=31= A 2F 2，又易知这些正六边形的边长组成等比数列，公比为31=q ，故所有所有这些六边形的面积和=211q s -=43911631243=-⨯⨯。

2017届广州市普通高中毕业班综合测试(一) 理科数学一模试题及答案

(Ⅱ) 若 AD = 1 ，二面角 C − AB − D 的平面角的正切值为 6 ，求二面角 B − AD − E
的余弦值.
A
D
A
B
E
图1
D
C
B
图E2
C
（20）（本小题满分 12 分）
过点 P (a, −2) 作抛物线 C : x2 = 4 y 的两条切线, 切点分别为 A( x1, y1 ) , B ( x2, y2 ) .
.（用数字填写答案）
（15）已知函数
f
(x)
=
21−x ,
x 0, 若 f (a) 2 , 则实数 a 的取值范围是
.
1− log2 x, x 0,
（16）设 Sn 为数列an 的前 n 项和, 已知 a1 = 2 , 对任意 p, q N * , 都有 ap+q = ap + aq ，
（3）已知等比数列an 的各项都为正数,
且
a3
,
1 2
a5
,a4
成等差数列,
则 a3 + a5 的值是 a4 + a6
（A） 5 −1 2
（B） 5 +1 2
（C） 3 − 5 2
（D） 3 +入 n = 5 , 则输出 k 的值为
（A） 2
（B） 3
（C） 4
则球 O 的表面积为
（A） 8
（B）12
（C） 20
（D） 24
（11）若直线 y = 1 与函数 f ( x) = 2sin 2x 的图象相交于点 P ( x1, y1 ) ， Q ( x2, y2 ) ，且
x1 − x2
=
2 ，则线段 PQ 与函数 3

2017年3月广东省高考数学模拟考试(附答案)

2017年3月广东省高考模拟考试数学第Ⅰ卷（选择题共60分）x x④ycosA ．π3B ．2π3C ．5π6D ．4π39．在长方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，直线A 1C 与平面BC 1D 交于点M ，则M 为1BC D △的（） A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心10．若定义在R 上的奇函数()y f x =的图象关义在R 于直线1x =对称，且当01<≤x 时，3()log f x x =，则方程3(x)1(0)f f +=在区间(2012,2014)内所有实根之和为（） A ．4 022B ．4 024C ．4 026D ．4 02811．双曲线22221x y a b+=(0)a >的右焦点0(,)F c ，方程220+-=ax bx c 的两根为2，l x x ,则点12(,)P x x 可能在（）A ．圆222+=x y 上B ．圆223+=x y 上C ．圆224+=x y 上D ．圆225+=x y 上12．已知函数()=f x 1,x 00,x 0x x ⎧+≠⎪⎨⎪=⎩，则关于x 的方程20(x)(x)f bf c ++=有5个不同实数解的充要条件是（）A ．2b <-且c >0B ．2b >-且c <0C ．2b <-且c =0D ．2b ≥-且c =0第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数()lg f x x =，若33()()3f a f b +=，则ab 的值为_______．14．执行右边的框图所描述的算法程序，记输出的一列数为12,,,n a a a ⋯,n ∈*N .若输人2λ=，则8a =_______．15．若直线1 1=+y k x 与直线21y k x =-的交点在椭圆2221x y +=上，则12k k 的值为______．16．如图，O 为ΔABC 的外心，4, 2AB AC ==,ABC ∠为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO 的值为______．三、解答题：解答应在答卷（答题卡）的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，且cos cos +=+cosB a b cA C．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若角B 是ΔABC 的最大内角，求sin cos B B -的取值范围．BAC ∠18．（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为C 1C 、DB 的中点. （Ⅰ）求证：A 1F 丄平面EDB ;（Ⅱ）若AB =2，求点B 到平面A 1DE 的距离.19．（本小题满分12分）若空气质量分为1、2、3三个等级．某市7天的空气质量等级相应的天数如图所示．（Ⅰ）从7天中任选2天，求这2天空气质量等级一样的概率；（Ⅱ）从7天中任选2天，求这2天空气质量等级数之差的绝对值为1的概率．20．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的离心率为12，焦点F 在直线:10l x my ++=上．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）设直线L 与椭圆相交于M 、N 两点，自M N 、向直线x a =作垂线，垂足分别是11M N 、.记1111FMM FM N FNN ∆∆∆、、的面积分别为123S S S 、、，若123,14,S S S 成等比数列，求m 的值． 21．（本小题满分12分）已知函数2() ln(1)f x x x ax =+-+．（Ⅰ）若12a =，求证当0,()0x f x ≥≥时；（Ⅱ）当0≤a 时，求证：曲线 ()y f x =上任意一点P 处的切线与该曲线有且仅有这一个公共点P ．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答卷（答题卡）上把所选题目的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ΔABO 三边上的点C 、D 、E 都在O 上，已知AB DE ∥，AC CB =．（Ⅰ）求证:直线AB 是O 的切线；（Ⅱ）若2AD =，且tan 1tan 2ACD ∠=，求O 的半径r 的长． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为4sin p θ=．（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,1)P 的直线2与圆C 交于A ，B 两点． PA PB 是定值．2017年3月广东省高考模拟考试数学·答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1~5．BDABA6~10．BDDDC11~12．DC二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．1014．78 15．2- 16．5三、解答题（共6小题，共70分） 17．解：（Ⅰ）由cosA cos cos a b c B C +=+及正弦定理，得sin sin sin cosA cos cos A B CB C+=+，即 sin cos sin cos sin cos sin cos A B B A C A A C -=-，故sin()sin()A B C A -=-∵π,,(0,)2A B C ∈，∴ππππ,2222A B C A -<-<-<-<，∴A B C A -=- 又πA B C ++=，∴π3A =； …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知π3A =，故2π3B C +=，而π02C <<，B 是ABC △的最大内角，故ππ32B ≤<，∴πππππsin cos 2sin()[2sin(),2sin())43424B B B -=-∈--即31sin cos (,1)B B --∈ …12分18．解：（Ⅰ）连接1A B 、EF ，设此正方体的棱长为2a ，则1122A D A B a ==，F 为DB 的中点，∴1A F DB ⊥．在1Rt A FD △中，2222116A F A D DF a =-=．在Rt ECB △中，22225EB EC BC a =+=，在Rt EFB △中，22223EF EB FB a =-=．在11Rt AC E 中，222211119A E AC C E a =+=，故22211A E A F FE =+，即1A F EF ⊥．又,DB EF ⊂平面EDB ，DBEF F =，故1A F ⊥平面EDB ； …6分（Ⅱ）由2AB =知，122A D =，13A E =，5DE =，∴222111112cos 2A D A E DE DA E A D A E +-∠==，∴1π4DA E ∠=，11111sin 32A DE S A D A E DA E =∠=△．在等腰EDB △中，EF ，162EDBSEF DB ==．在1Rt A AF △中，12,A A AF ==，故1A F =，由（Ⅰ）知1A F ⊥平面EDB 设点B 到平面1A DE 的距离为h ，∵111133A DE EDB S h S A F =△△，解得2h =．故点B 到平面1A DE 的距离为2． …12分19．解：由题意知空气质量为1级的有2天，2级的有3天，3级的有2天．记空气质量为1级的天数为12,A A ，2级的天数为123,,B B B ，3级的天数为12,C C ．从7天中任选2天，共有121112131112(,),(,),(,),(,),(,C ),(,C )A A A B A B A B A A ，2122232122(,B ),(,),(,),(,C ),(,C )A A B A B A A ，121311(,B ),(,),(,C )B B B B 12231122313212(,C ),(,),(,C ),(,C ),(,C ),(,C ),(,)B B B B B B B C C 等21种情形．（Ⅰ）记事件A 为“从7天中任选2天，这2天空气质量等级一样”，有1212(,),(,B )A A B132312(,),(,),(,)B B B B C C 5种情形，故5()21P A =； …6分（Ⅱ）记事件B 为“从7天中任选2天，这2天空气质量等级数之差的绝对值为1”，有111213212223111221(,),(,),(,),(,B ),(,),(,),(,C ),(,C ),(,),A B A B A B A A B A B B B B C223132(,C ),(,C ),(,C )B B B 12种情形，故124()217P B ==． …12分 20．解：（Ⅰ）由题意知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为(,0),(,0)c c -，0c >，直线l ：10x my ++=过焦点F ，可知F 为左焦点且1c =，又12c a =，解得24a =，23b =，于是所求椭圆的方程为22143x y +=； …4分（Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线MN 的方程为1x my =--，则11(2,)M y ，11(2,)N y 由221143x my x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22(34)690m y my ++-=，故122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1311221212111(2)(2)(3)(3)224S S x y x y my my y y =--=++， 21212121[()3()9]4m y y m y y y y =+++2281(34)m =+． 2222212121222111981(1)()(3)[()4]4162644(34)m S y y y y y y m +=-=+-=+．由1S ，214S ，3S 成等比数列，得22131()4S S S =，即2222281(1)814(34)(34)m m m +=++ 解得3m =±． …12分21．解：（Ⅰ）当12a =时，2()ln(1)2x f x x x =+-+，则21()111x f x x x x '=-+=++，当0x ≥时，()0f x '≥，∴函数()y f x =在0x ≥时为增函数．故当0x ≥时，()(0)0f x f ≥=，∴对0x ∀≥时，()0f x ≥成立； …4分（Ⅱ）设点00(,)P x y ，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为000()()()y x x f x f x '=-+，令000()()()()()g x f x x x f x f x '=---．曲线()y f x =在点P 处的切线与曲线只有这一个公共点P 等价于函数()g x 有唯一零点．因为()0g x =，且0001()()()()[2](1)(1)g x f x f x x x a x x '''=-=--++．当0a ≤时，若01x x ≥>-，有()0g x '≤，∴0()()0g x g x ≤=；若01x x -<<，有()0g x '>，即0()()0g x g x <=．所以曲线()y f x =上任意一点P 处的切线与该曲线有且仅有这一个公共点P ．…12分 22．解：（Ⅰ）∵AB DE ∥，∴OA OBOD OE=，又OD OE r ==，得OA OB =．连结OC ，∵AC CB =．∴OC AB ⊥．又点C 在O 上，∴AB 是O 的切线； …5分（Ⅱ）延长DO 交o 于F ，连结FC ．由（Ⅰ）AB 是O 的切线，∴弦切角ACD F ∠=∠，于是A ACD FC ∽△△．而90DCF ∠=︒，又∵1tan tan 2ACD F ∠=∠=，∴12CD FC =． ∴12AD CD AC FC ==,而2AD =，得4AC =．又222(22)4AC AD AF r =⇒+=，于是3r =． …10分23．解：（Ⅰ）由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，即2240x y y +-=，∴圆C 的直角坐标方程为2240x y y +-=． …5分（Ⅱ）过点(1,1)P 的参数方程为()1cos 1sin x t y t t θθ=+⎧⎨=+⎩为参数，将其代入圆C 的方程2240x y y +-=，得22(cos sin )20t t θθ+--=．∴122t t =，故2PA PB =． …10分24．解：（Ⅰ）由()2f x x ≤+得，201112x x x x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪---≤+⎩，或2011112x x x x x +≥⎧⎪-<<⎨⎪-++≤+⎩，或201112x x x x x +≥⎧⎪≥⎨⎪-++≤+⎩，解之，得02x ≤≤，∴()2f x x ≤+的解集为{02}x x ≤≤； …5分（Ⅱ）∵1211111121232a a aa a a+--=+--≤++-= （当且仅当11(1)(2)0a a+-≤，上式取等号）由不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，可得，113x x -++≥，解此不等式，得32x ≤-，或32x ≥． …10分。

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平面向量01
1、已知向量a 和b 满足条件：a ≠且0≠⋅b 若对于任意实数t ，
-≥-，则在a 、b 、b a +、b a -这四个向量中，一定具有垂直关系的两个向量是（）
(A) a 与a - (B) b 与b a - (C) a 与a + (D)b 与+ 【答案】B
【
≥2
2)()(t -≥-⇒2
222
2
22t t +⋅-≥+⋅-
⇒0)2(22
2
2
≥-⋅+⋅⋅-⋅t t ，此式对任意实数t 恒成立，则
△ =0)2(4)(42
2
2≤-⋅-⋅⇒0)(2)(4
2
2
≤+⋅⋅-⋅⇒
0])[(22
≤-⋅
⇒2
b b a =⋅⇒0)(=-⋅b a b ，故选(B)
2、非零向量OA 与OB
，对于任意的,t R ∈OA tOB + 的最小值的几何意义为
【答案】点A 到直线OB 的距离
【解析】设向量OA 与OB
的夹角为θ，2
2222OA tOB OA tOA OB t OB
+=+⋅+uu r uu u r uu r uu r uu u r uu u r
2222
2222cos 2()()t OA tOA OB OB t OA OB t OA OB
OB
θ⋅=-+=-
+uu r
uu r uu u r
uu u r uu r uu u r uu r uu u r
uu u r 22222222
2
cos cos ()cos ()sin OA OA OB t OA OA OB t OA OB OB
θθθθ
=--+=-+uu r uu r uu u r uu r uu r uu u r uu r uu u r uu u r ，所
以
OA tOB +=
uu r uu u r
，所以当cos OA t OB θ=uu r uu u r 时，O A t O B
+ 有最小值，
此时sin OA tOB OA θ
+=
=uu r uu u r
uu r
，所以
OA tOB +
的最
小值的几何意义为点A 到直线OB 的距离。

3、在ABC △中，若2AB AC ⋅=
,7-=⋅
=
【答案】3
【解析】因为2AB AC ⋅= ，7-=⋅BC AB ，所以729AB BC AB AC ⋅-⋅=--=-
，即
()9AB BC AC ⋅-=- ，因为2
()AB BC AC AB BA AB ⋅-=⋅=- ，所以29AB -=- ，所以229,3AB AB AB ===。

4、如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得CD DE = 若动点P 从点A 出发，
沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+
，下列判断正确．．
的是……… ………………………………………（）
（A ）满足λμ+2=的点P 必为BC 的中点（B ）满足1λμ+=的点P 有且只有一个（C ）λμ+的最大值为3 （D ）λμ+的最小值不存在【答案】 C
【解析】当1λμ==时，AP AB AE AB AE AD λμ=+=+= ，此时P 位于D 处，所以（A ）错误。

当0,1λμ==时AP AB AE AE λμ=+=
，此时P 位于E 处, 当1,0λμ==时
AP AB AE AB λμ=+=
，此时P 位于B 处,所以满足满足1λμ+=的点P 有且只有一个错
P
（第18题图）
误。

所以(B)错误。

将图象放入坐标系设正方形的边长为1，则
(0,0),(1,0),
(1,1),A B C D E -,设(,)P x y ,则由A P A B
λμ=+
得(,)(,)x y λμμ=-，即,x y λμμ=-=。

若点P 位于AB 上，则01,0x y ≤≤=，此时0μ=，01λ≤≤，所以01λμ≤+≤。

若点P 位于BC 上，则01,1y x ≤≤=，此时01μ≤≤，01λ≤≤，所以02λμ≤+≤。

若点P 位于CE 上，则11,1x y -≤≤=，此时1μ=，
11λμ-≤-≤，即02λ≤≤，所以13λμ≤+≤。

若点P 位于CE 上，则11,1x y -≤≤=，
此时1μ=，11λμ-≤-≤，即02λ≤≤，所以13λμ≤+≤。

若点P 位于AE 上，此时0λ=，01μ≤≤，所以01λμ≤+≤。

综上03λμ≤+≤，即λμ+ 的最大值是3，最小值为0 所以选C
5、设P 是函数x
x y 2
+
=（0>x ）的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，则⋅的值是【答案】1-
【解析】设P (x ,x +2)，则x
x x x
222
||2||
=
=
-+，x =||
，
∴1)(135cos ||||2
222
-=-⋅⋅=︒=⋅x PB PA PB PA x
6、若向量,m n 满足1m n == ，m 与n 的夹角为0
60，则m m m n ⋅+⋅= [答]（）
（A ）12 （B ）32 （C ）2 （D ）1+【答案】B
【解析】213cos 60122
m m m n m m n ⋅+⋅=+=+= ，选B
7、已知向量()()1,2,1,1,,a b m a b n a b =-==-=+λ
，如果m n ⊥ ，则实数λ=_______
【答案】2
【解析】(0,3),(1,2)m a b n a b =-=-=+λ=+λλ-
,因为m n ⊥ ，所以3(2)0λ--=，
解得2λ=。

8、在四边形ABCD 中，AB DC = ，且AC ·BD
＝0，则四边形ABCD 是（）
A ．菱形
B ．矩形
C ．直角梯形
D ．等腰梯形
【答案】A
【解析】由AB DC = 可知四边形ABCD 为平行四边形，又AC ·BD ＝0，所以AC BD ⊥
，即对
角线垂直，所以四边形ABCD 是菱形，选A
9、给定两个长度为1，且互相垂直的平面向量和，点C 在以O 为圆心、||为半径的劣弧AB 上运动，若OB y OA x OC +=，其中x 、R ∈y ，则22)1(-+y x 的最大值为______．【答案】2
【解析】设(1,0),(0,1)a b == ，则由OB y OA x OC +=得(,),01c x y x =≤≤
，则22)1(-+y x 表示点C 到定点(0,1)距离平方的最大值，由图象可知，当点C 为(1,0)时，22)1(-+y x 最大，此时22(1)2x y +-=。

10、已知),1(x =，)2,4(=，若⊥，则实数=x _______．【答案】–2
【解析】因为⊥，所以420x +=，解得2x =-。

11、在ABC ∆中，2,3==AC AB ，10=BC ，则=⋅AC AB ．【答案】
2
3 【解析】由余弦定理得22294101
cos 22324
AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯,所以
13cos 3242
AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=
12、边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，E 在线段AB 上运动，则EC EM ⋅
的
取值范围是____________ 【答案】13[,]22
【解析】将正方形放入直角坐标系中，则设(,0)E x ,01x ≤≤ 则1
(1,),(1,1)2
M C ,所以
1(1,),(1,1)2EM x EC x =-=- ,所以211(1,)(1,1)(1)22
EM EC x x x ⋅=-⋅-=-+ ，因为
01x ≤≤，所以2
113(1)222x ≤-+≤，即E M E C ⋅ 的取值范围是13[,]22。

13、若平面向量i a 满足 1(1,2,3,4)i a i == 且10(1,2,3)i i a a i +⋅==
,则1234a a a a +++ 的
最大值为
【答案】【解析】因为1223340,0,0a a a a a a ⋅=⋅=⋅= ，所以122334,,a a a a a a ⊥⊥⊥ ，所以
1324//,//a a a a ，设314,a x a a y a == ，因为1i
a = 1,1x y =±=±，
123412
(1)(1)a a a a x a y a +++=+++ ，所以
1234a a a a +++==
因为1,1x y =±=±，所以当1,1x y ===
1234a a a a +++
的最大值为。