河南省洛阳市2018届高三第三次统一考试数学试题(理)含答案

洛阳市2017-2018学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则的子集个数为（ ）{|||2}A x Z x =∈≤2{|1}B y y x ==-A B A ．4 B ． 8 C ． 16 D ．322.已知复数（是虚数单位），则的共轭复数对应的点在（ ）534i z i=+i z z A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限3.“”是“”的（ ）lg lg m n >11()()22m n <A ．充要条件 B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4.设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷个点，则落(1,1)X N ABCD 10000入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）注：若，则，.2(,)X N μσ ()0.6826P X μσμσ-<<+≈(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈A ．B ． C. D ．60386587702875395.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1,3,9节，则这3节的容积之和为（ ）A ．升B ．升 C. 升 D ．升13317619925126.将函数的图像向平移个单位，得到函数的图像，则下列说法不正确的是（ ）()cos(2)4f x x π=-8π()g x A ． B ．在区间上是增函数 1(62g π=()g x 57(,88ππC.是图像的一条对称轴 D ．是图像的一个对称中心2x π=()g x (,0)8π-()g x 7.设双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线与轴和双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>1F 2F 1F 3πy 的右支分别交于点、，若，则该双曲线的离心率为（ ）A B 11()2OA OB OF =+A ．2B D 2+8.在中，点满足，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若ABC △P 2BP PC = P AB AC M N ，，则的最小值为（ ）AM mAB = (0,0)AN nAC m n =>> 2m n +A ．3 B ．4 C. D ．831039.若，则的值为（ ）2017(12018)x -=220170122017a a x a x a x +++ ()x R ∈2017122017201820182018a a a +++ A ． B ．1 C. 0 D ．201720181-10.在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，P ABC -PA ⊥ABC 23BAC π∠=3AP =AB =Q BC 且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）PQ ABC 3πP ABC -A ． B ． C. D ．45π57π63π84π11.记数列的前项和为.已知，，则（ ）{}n a n n S 11a =1()2()n n n n S S a n N *+-=∈2018S =A ． B ． C. D ．10093(21)-10093(21)2-20183(21)-20183(21)2-12.已知函数与的图像有4个不同的交点，则实数的取值范围是（ 2()22ln x f x x e x=-()2ln g x e x mx =+m ）A ．B ． C. D ．(4,0)-1(,2)21(0,)2(0,2)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.阅读下面程序框图，运行相应程序，则输出的值为 ．i 14.设，满足约束条件，则的最大值为 ．x y 1020330x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩||3y z x =+15.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．16.已知椭圆的焦点为，，其中，直线与椭圆相切于第一象限的点，且1(,0)F c -2(,0)Fc 40cos c xdx π=⎰l P 与，轴分别交于点，，设为坐标原点，当的面积最小时，，则此椭圆的方程x y A B O AOB △1260F PF ∠=︒为 ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在中，内角，，的对边分别为，，且.ABC △A B C a b c sin ()sin sin b B c b C a A +-=（1）求角的大小；A（2）若，且的面积为.3sin sin 8B C =ABC △a 18. 如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面内的摄影恰好落在边ABCD AC ACD △D ABC 上.AB（1）求证：平面平面；ACD ⊥BCD （2）当时，求二面角的余弦值.2AB AD=D AC B --19. 某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是23相互独立、互不影响的.（1）求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是，，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，m n 乙答对一题得10分，求甲乙两人得分之和的期望.X 20. 已知抛物线，点，在抛物线上，且横坐标分别为，，抛物线上的点在，2:C y x =-A B 12-32C P A 之间（不包括点，点），过点作直线的垂线，垂足为.B A B B AP Q （1）求直线斜率的取值范围；AP k （2）求的最大值.|||PA PQ ⋅21. 已知函数，其中.2()(1)2x t f x x e x =--t R ∈（1）讨论函数的单调性；()f x （2）当时，证明：不等式恒成立（其中，）.3t =1122()()2t f x x f x x x +-->-1x R ∈10x >请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的极坐标方程为，现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标l sin(4πρθ+=O x 系，曲线的参数方程为（为参数）.1C 12cos 22sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩ϕ（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；l 1C （2）若曲线为曲线关于直线的对称曲线，点，分别为曲线、曲线上的动点，点坐标为2C 1C l A B 1C 2C P ，求的最小值.(2,2)||||AP BP +23.选修4-5：不等式选讲已知函数，.()3|||31|f x x a x =-++g()|41||2|x x x =--+（1）求不等式的解集；()6g x <（2）若存在，，使得和互为相反数，求的取值范围.1x 2x R ∈1()f x 2()g x a试卷答案一、选择题1-5:CACBB 6-10: DCADB 11、12：AC二、填空题13. 4 14. 1 15. 16.1123π+221159x y +=三、解答题17.（1）由，由正弦定理得，即，所以sin ()sin sin b B c b C a A +-=22()b c b c a +-=222b c bc a +-=，∴.2221cos 22b c a A bc +-==3A π=（2）由正弦定理，可得，，simA sin sin a b cBC ==sin sin a B b A =sin sin a C c A=所以.1sin 2ABC S bc A =△1sin sin sin 2sin sin a B a C A A A=⋅⋅2sin sin 2sin a B C A ==又，.3sin sin 8B C =sin A =2=4a =18.（1）设点在平面上的射影为点，连接，则平面，∴.D ABCE DE DE ⊥ABC DE BC ⊥∵四边形是矩形，∴，∴平面，∴.又，所以平面ABCD AB BC ⊥BC ⊥ABD BC AD ⊥AD CD ⊥AD ⊥，而平面，∴平面平面.BCD AD ⊂ACD ACD ⊥BCD （2）以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所B BC x AB y 示.设，则，∴，.AD a =2AB a =(0,2,0)A a (,0,0)C a 由（1）知，又，∴，，AD BD ⊥2AB AD=30DBA ∠=︒60DAB ∠=︒∴，，，cos AE AD DAB =⋅∠12a =32BE AB AE a =-=sin DE AD DAB =⋅∠=∴，∴，.3(0,)2D aa 1(0,)2AD a =- (,2,0)AC a a =- 设平面的一个法向量为，ACD (,,)m x y z = 则，即，00m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩10220ay ax ay ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩不妨取，则，.1z=y=x =m = 而平面的一个法向量为，ABC (0,0,1)n =∴.故二面角的余弦值为.cos ,m n ||||m n m n ⋅= =14=D AC B --1419.（1）由题意可知共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题.故所求的概率.12224233621((33C C P C C =⋅2112423361()3C C C C +⋅30343362131()(33135C C C +⋅=（2）的所有取值有1，2，3.m ，，，故.1242361(1)5C C P m C ===2142363(2)5C C P m C ===34361(3)5C P m C ===131()1232555E m =⨯+⨯+⨯=由题意可知，故.而，所以.2(3,3n B 2()323E n =⨯=1510X m n =+()15()10()50E X E m E n =+=20.（1）由题可知，，设，，所以11(,)24A --39(,)24B -2(,)p p P x x -1322p x -<<，故直线斜率的取值范围是.2142p p x k x -+=+12p x =-+∈(1,1)-AP k (1,1)-（2）直线，直线，联立直线，方程可知点的横坐标11:24AP y kx k =+-93:042BQ x ky k ++-=AP BQ Q 为，223422Q k k x k --=+||PQ =()Q p x x-22341)222k k k k --=+-+=，所以，令，1||)2p PA x =+)k =-3||||(1)(1)PA PQ k k ⋅=-+3()(1)(1)f x x x =-+，则，当时，当时11x -<<2'()(1)(24)f x x x =---22(1)(21)x x =--+112x -<<-'()0f x >112x -<<，故在上单调递增，在上单调递减.'()0f x <()f x 1(1,2--1(,1)2-故，即的最大值为.max 127()()216f x f =-=||||PA PQ ⋅271621.（1）由于.'()()x x f x xe tx x e t =-=-1）当时，，当时，，递增，0t ≤0x e t ->0x >'()0f x >()f x 当时，，递减；0x <'()0f x <()f x 2）当时，由得或.0t >'()0f x =0x =ln x t =①当时，，当时，，递增，01t <<ln 0t <0x >'()0f x >()f x 当时，，递减，ln 0t x <<'()0f x <()f x 当时，，递增；ln x t <'()0f x >()f x ②当时，，递增；1t ='()0f x >()f x③当时，.1t >ln 0t >当时，，递增，ln x t >'()0f x >()f x 当时，，递减，0ln x t <<'()0f x <()f x 当时，，递增.0x <'()0f x >()f x 综上，当时，在上是减函数，在上是增函数；0t ≤()f x (,0)-∞(0,)+∞当时，在，上是增函数，在上是减函数；01t <<()f x (,ln )t -∞(0,)+∞(ln ,0)t 当时，在上是增函数；1t =()f x (,)-∞+∞当时，在，上是增函数，在上是减函数.1t >()f x (,0)-∞(ln ,)t +∞(0,ln )t （2）依题意，恒1212()()f x x f x x +--1212()()x x x x >--+1212()()f x x x x ⇔+++1212()()f x x x x >-+-成立.设，则上式等价于，()()g x f x x =+1212()()g x x g x x +>-要证明对任意，恒成立，1212()()g x x g x x +>-1x R ∈2(0,)x ∈+∞即证明在上单调递增，又，23()(1)2x g x x e x x =--+R '()31x g x xe x =-+只需证明即可.令，则，310x xe x -+≥()1x h x e x =--'()1x h x e =-当时，，当时，，0x <'()0h x <0x >'()0h x >∴，即，，那么，当时，，所以min ()(0)0h x h ==x R ∀∈1x e x ≥+0x ≥2x xe x x ≥+31x xe x -+≥；当时，，，2221(1)0x x x -+=-≥0x <1x e <31x xe x x -+=1(3)0x e x-+>∴恒成立.从而原不等式成立.310x xe x -+≥22.解：（1）∵，sin()4πρθ+=sin cos ρθρθ+=即，∴直线的直角坐标方程为；cos sin 4ρθρθ+=l 40x y +-=∵，∴曲线的普通方程为.12cos 22sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩1C 22(1)(2)4x y +++=（2）∵点在直线上，根据对称性，的最小值与的最小值相等.P 4x y +=||AP ||BP 曲线是以为圆心，半径的圆.1C (1,2)--2r =∴.所以的最小值为.min 1||||AP PC r =-23==||||AP BP +236⨯=23.解：（1）∵，()g x =33,2151,24133,4x x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪---<≤⎨⎪⎪->⎪⎩当时，解得，此时无解.2x ≤-336x -+<1x >-当时，，解得，即.124x -<≤516x --<75x >-7154x -<≤当时，，解得，即，综上，的解集为.14x <336x -<3x <134x <<()6g x <7{|3}5x x -<<（2）因为存在，，使得成立.所以.1x 2x R ∈12()()f x g x =-{|(),}y y f x x R =∈{|(),}y y g x x R =-∈≠∅ 又，()3|||31|f x x a x =-++|(33)(31)||31|x a x a ≥--+=+由（1）可知，则.9()[,)4g x ∈-+∞9()(,]4g x -∈-∞所以，解得.9|31|4a +≤1351212a -≤≤故的取值范围为. a 135[,]1212。