商品销售中的利润最大化问题
《实际问题与一元二次方程2-销售利润问题》
一元二次方程标准形式及解法
一元二次方程的标准形式
01
$ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a neq 0$。
解法
02
一元二次方程的解法包括因式分解法、完全平方公式法和公式
法（韦达定理）。
公式法中的求根公式
03
$x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
判别式与根个数关系
结果展示
将求解得到的最优产品价格和销售量组合进行展示，并计算出对应的最大销售利润。
结果解释
对求解结果进行详细解释，说明最优组合是如何实现销售利润最大化的。
讨论与局限性
讨论模型的适用性和局限性，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方案。例如，市场 需求变化、竞争对手策略调整等因素可能对最优组合产生影响，需要企业根据实际情况进 行调整和优化。
04 建立销售利润问题数学模 型
确定未知数和参数
未知数设定
通常将我们需要求解的量设为未知数 ，如销售量、销售单价、成本等。
参数设定
除了未知数外，问题中还会给出一些 已知条件或参数，如固定成本、单位 变动成本、销售价格等。
根据实际问题建立方程
利润公式
利润 = （销售单价 - 单位成本） × 销售量 - 固定成本。
求解过程
按照所选解法逐步求解方程，得出未知数的值。在求解过程中，需要注意计算准 确性和步骤规范性。
05 案例分析：某企业销售利 润最大化问题
案例背景介绍
企业基本情况
目标市场与消费者需求
某企业是一家生产并销售家居用品的 公司，近年来面临市知名度等方面有较 高要求。
06 总结与展望
本文主要工作及成果总结
名词解释利润最大化原则
名词解释利润最大化原则利润最大化原则，是指在一定的条件下和一定时期内，企业通过提高销售效率而使企业总收入达到最大值。
利润最大化原则也叫收入最大化原则或收益最大化原则。
利润最大化原则是指企业在进行投资决策时，应当追求以利润为中心的总价值最大，不仅包括股东投资的回报，还应考虑企业对社会的贡献。
这个原则是由企业理财目标决定的，因此，利润最大化也称为目标利润最大化。
1、存货管理存货管理就是要确保商品的质量与库存控制，不至于出现积压或滞销等现象，能够随时满足消费者的需要，加快资金的周转速度。
为了保证存货管理的正常进行，企业必须具备一定的存货管理方面的知识。
主要内容如下：企业经营者一旦拥有了决策权，企业的生产技术就可以得到充分地发挥，但是在实际工作中，由于生产经营环境的复杂多变性，很难保证企业决策不会出错。
另外，企业经营者还要承担因决策失误而给企业带来损失的风险。
在市场竞争中，任何一种经营决策都会对企业经济效益产生重大影响，企业经营者必须树立决策风险意识。
2、存货管理存货管理，是在商品采购入库后，一直到其销售出去之前所经历的全部活动的总称。
它贯穿于企业经营活动的始终。
它包括：存货的接受订货与采购、仓库的储存与保管、出库与运输、库存控制与安全管理等各项业务工作。
从广义上讲，存货管理包括商品进出口、出售、运输及其他活动。
从狭义上讲，存货管理是指企业采购人员对原材料、燃料、辅助材料等物料及零配件的订货工作、储存和发放工作，对商品成本、周转率、周转天数等的控制工作以及存货的盘点、定期和不定期的清查等工作。
3、顾客服务企业服务质量与效果评价对企业产品销售有着十分重要的意义，对企业市场营销活动起着重要的促进作用。
可以说，企业顾客服务水平的高低直接关系到企业的兴衰。
为了向顾客提供优良的服务，必须强调顾客导向型经营思想，努力学习各种专业知识，改善服务态度，提高自身素质，加强宣传促销工作，从而提高企业的服务质量和效果。
4、投资决策投资决策是指根据有关投资方面的信息，选择一定的方案并加以比较，以判断哪种方案更好的行为。
第2课时商品利润最大问题
3. 某种商品的成本是120元，试销阶段每件商品的售价x（元）
与产品的销售量y（件）满足当x=130时，y=70，当x=150时，
y=50，且y是x的一次函数，为了获得最大利润S（元），每件产
品的销售价应定为（ A ）
A．160元 B．180元
C．140元 D．200元
4.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产， 现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间 的函数关系式是y=-n2+15n-36，那么该企业一年中应停产的月份
最大利 润问题
建立函数 关系式
确定自变
量的取值
范
围
确定最大
利润
总利润=单件利润×销 售量或总利润=总售价总成本.
涨价:要保证销售量≥0； 降件：要保证单件利润 ≥0. 利用配方法或公式求最 大值或利用函数简图和 性质求出.
讲授新课
一 利润问题中的数量关系
探究交流
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已
知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 18000 元， 销售利润 6000 元.
数量关系 （1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价-进价.
降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
正常销售 降价销售
单件利润（元）
20 20-x
销售量（件）
300 300+18x
建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)， 即：y=-18x2+60x+6000.
每星期利润（元）
6000 y=(20-x)(300+18x)
如何实现利润最大化
最突出的表现：企业的管理水平低下，员工的操作水 平与个人素质得不到提升，企业资源浪费严重。所以 ，企业一定要树立节约意识。
怎样杜绝浪费，节约 成本
决策层方面
企业管理者提升自己的管理水平，增强企业 的生产效率，从而减少企业资源的浪费，为企业 创造高效能的运转环境，实现企业获得丰厚利润 的生产目的。
•
每项振作求质量，产品质量有保障。2020年9月29日 下午2时11分20.9.2920.9.29
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人人有专职，工人有程序，检查有标 准，做 好留证 据。2020年9月 29日星 期二下 午2时11分25秒14:11:2520.9.29
•
由前至后一条拉，从上到下一条心。2020年9月下午 2时11分20.9.2914:11September 29, 2020
3.加强企业文化建设，提升员工素质。
4.提高企业生产技术的新陈代谢能力，让高 科技成为企业的生命线。
5.让企业的发展模式符合现代企业发展的 标准，不浪费的生产标准才能够造就不浪 费的新型企业。
6.提升企业的内在品质，高品质的企业能 够有效地减少企业浪费现象，更能够有效 地控制企业的生产经营成本。
控制成本
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做好安全工作，树立企业形象。20.9.2914:11:2514: 11Sep-2029-Sep-20
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绊人的桩不在高，违章的事不在小。14:11:2514:11: 2514:11Tuesday, September 29, 2020
•
人人保安全，家家笑开颜。20.9.2920.9.2914: 11:2514:11:25September 29, 2020
销售工作中的产品定价与利润最大化
销售工作中的产品定价与利润最大化在销售工作中，确定产品的定价是一个至关重要的决策，关系到企业的利润最大化和市场竞争力的提升。
本文将从市场需求、成本分析和竞争对手等角度，探讨如何合理确定产品的定价，以实现利润最大化。
1. 市场需求的分析在确定产品定价时，首要考虑的是市场需求的情况。
通过调研和分析，了解目标市场的购买能力、购买意愿以及对产品的需求程度，以便确定产品的市场定位和价格弹性。
2. 成本分析产品的定价决策必须基于对产品成本的准确分析。
通过对原材料、生产成本、劳动力成本以及其他间接成本的计算和估算，得出产品的总成本。
在此基础上，结合企业的盈利要求和市场环境，确定产品的最低售价。
3. 竞争对手的定价策略竞争对手的定价策略对我方产品的定价决策有一定的影响。
需要对竞争对手的产品定价策略进行分析与比较，以确定产品的相对优势和竞争定价范围。
如果我方产品有明显的差异化和附加值，可考虑采取溢价定价策略。
4. 定价策略的选择根据市场需求、成本分析以及竞争对手的情况，我们可以选择不同的定价策略。
常见的定价策略包括市场导向定价、成本导向定价、竞争导向定价以及差异化定价等。
合理选择定价策略可以帮助企业优化收益和市场份额。
5. 价格管理与销售策略定价决策不是一次性的，而是需要根据市场变化和消费者反馈进行调整和优化。
通过制定价格管理政策，如定期调整价格、制定促销活动等，以满足市场需求并提高销售额。
此外，销售策略的制定也需要和定价策略密切配合，以实现销售与利润的最大化。
6. 定价的监测与分析定价决策的执行必须进行监测与分析，以及时发现问题并采取相应的调整措施。
通过销售数据分析、市场调研和竞争对手的跟踪，评估定价策略的效果，并不断优化定价策略，以实现最大化利润的目标。
综上所述，销售工作中的产品定价与利润最大化有着密切的关系。
通过市场需求的分析、成本分析、竞争对手的定价策略分析，合理选择定价策略，并结合价格管理和销售策略的制定，可以实现产品定价与利润的最大化。
2017秋人教版数学七年级上册3.4《实际问题与一元一次方程》(销售中的盈亏)教案
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于一元一次方程在销售盈亏问题中的应用表现出很大的兴趣。他们能够积极参与到案例分析和小组讨论中，这让我感到很高兴。然而，我也注意到在理解如何从实际问题中抽象出方程这一环节上，部分学生还存在一些困难。
2.教学难点
-难点一：将实际问题抽象为一元一次方程。
学生往往在从具体问题中提取关键信息、建立数学模型时感到困难，需要教师通过引导、示范来帮助学生建立方程。
-难点二：理解并运用方程解决销售问题中的“盈亏平衡点”。
学生需要理解盈亏平衡点的概念，并学会如何通过方程找到这个点，这需要教师通过实例分析和解释来帮助学生。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元一次方程在销售问题中的基本概念。一元一次方程是描述两个数量之间相等关系的数学表达式，它在解决销售盈亏问题中起着关键作用。它帮助我们确定价格、成本和利润之间的关系。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何通过列出和解决一元一次方程来计算最低售价，以及如何帮助商家制 Nhomakorabea盈利策略。
-难点三：分析销售数量与售价之间的关系，并进行合理的预测。
学生需要掌握如何根据市场规律分析销售数量与售价的反比关系，并能预测不同售价下的销售情况，这对学生的逻辑思维和分析能力要求较高。
-难点四：解决实际问题中的单位换算和数据处理。
在实际问题中，学生可能遇到不同单位的数据，如何正确换算并处理这些数据，对于列方程和解方程都是一大挑战。
九年级数学上册二次函数的应用——最大利润问题同步练习及答案
最大利润问题——典型题专项训练知识点 1 利润最大化问题1．毕节某旅行社在十一黄金周期间接团去外地旅游，经计算所获营业额y(元)与旅行团人员x(人)之间满足关系式y＝－x2＋100x＋28400，要使所获营业额最大，则旅行团应有( )A．30人B．40人C．50人D．55人2．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )A．5元B．10元C．0元D．36元3．2017·贵阳模拟某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.(1)求一次函数y＝kx＋b的表达式．(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？知识点 2 利用二次函数的最值解决其他实际问题4．两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到________．5．某果园有90棵橘子树，平均每棵树结520个橘子．根据经验估计，每多种一棵橘子树，平均每棵树就会少结4个橘子．设果园里增种x棵橘子树，橘子总个数为y个，则果园里增种________棵橘子树时，橘子总个数最多．6．生物学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测量出这种植物高度的增长情况(如下表)．科学家经过猜想，推测出y与x之间是二次函数关系．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)推测最适合这种植物生长的温度，并说明理由．图2－4－127．如图2－4－13所示，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且AE⊥EF，则AF的最小值是________．图2－4－138．在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况．请根据小丽提供的信息，解答小明和小华提出的问题．图2－4－149．经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？10．东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数关系式为p＝\f(1412)t＋48（25≤t≤48，t为整数），且其日销售量y(千克)与时间t(天)的关系如下表：(1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少；(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1千克水果就捐款n元利润(n<9)给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐款后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．详解1．C 2.A3．解：(1)根据题意，得65k＋b＝55，75k＋b＝45，)解得k＝－1，b＝120.)∴一次函数的表达式为y＝－x＋120.(2)根据题意，得W＝(x－60)(－x＋120)＝－x2＋180x－7200＝－(x－90)2＋900.∵抛物线的开口向下，∴当x＜90时，W随x的增大而增大，而60≤x≤87，∴当x＝87时，W最大＝－(87－90)2＋900＝891.∴当销售单价定为87元/件时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．4．95．20 [解析] 设果园里增种x棵橘子树，那么果园里共有(x＋90)棵橘子树，∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结4个橘子，∴平均每棵树结(520－4x)个橘子．∴y＝(x＋90)(520－4x)＝－4x2＋160x＋46800，∴当x＝－b2a＝－1602×（－4）＝20时，y最大，橘子总个数最多．6．解：(1)设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，选(0，49)，(2，41)，(－2，49)代入后得方程组c＝49，4a－2b＋c＝49，4a＋2b＋c＝41，解得a＝－1，b＝－2，c＝49，∴y与x之间的函数表达式为y＝－x2－2x＋49.(2)最适合这种植物生长的温度是－1 ℃.理由：由(1)可知，当x＝－b2a＝－1时，y取最大值50，即说明最适合这种植物生长的温度是－1 ℃.7．5 [解析] 在Rt△ADF中，AF2＝AD2＋DF2＝42＋(4－CF)2，若AF最小，则CF最大．设BE＝x，CF＝y，∵∠B＝∠AEF＝90°，则∠BAE＋∠AEB＝∠FEC＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△ABE∽△ECF，∴ABEC＝BECF，即44－x＝xy，化简得y＝－x2＋4x4＝－14(x－2)2＋1，∴当x＝2时，y有最大值为1，此时DF最小，为3，由勾股定理得到AF＝AD2＋DF2＝5.8．解：(1)小华的问题解答：设利润为W元，每个定价为x元，则W＝(x－2)·[500－100(x－3)]＝－100x2＋1000x －1600＝－100(x－5)2＋900.当W＝800时，解得x＝4或x＝6，又因为2×240%＝4.8(元)，所以x＝6不符合题意，舍去，故每个定价为4元时，每天的利润为800元．(2)小明的问题解答：当x＜5时，W随x的增大而增大．所以当x＝4.8时，W最大，为－100(4.8－5)2＋900＝896(元)．所以800元销售利润不是最多，每个定价为4.8元时，才会使每天利润最大．9．解：(1)当1≤x＜50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000；当50≤x≤90时，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000.(2)当1≤x＜50时，二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝－b2a＝45，∴当x＝45时，y最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050；当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，∴当x＝50时，y最大＝－120×50＋12000＝6000.综上所述，销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元．10．解：(1)依题意，得y＝120－2t.当t＝30时，y＝120－60＝60.答：在第30天的日销售量为60千克．(2)设日销售利润为W元，则W＝(p－20)y.当1≤t≤24时，W＝(14t＋30－20)(120－2t)＝－12t2＋10t＋1200＝－12(t－10)2＋1250.当t＝10时，W最大＝1250.当25≤t≤48时，W＝(－12t＋48－20)(120－2t)＝t2－116t＋3360＝(t－58)2－4.由二次函数的图象及性质知，当t＝25时，W最大＝1085.∵1250>1085，∴在第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元．(3)依题意，得每天扣除捐款后的日销售利润W＝(14t＋30－20－n)(120－2t)＝－12t2＋2(n＋5)t＋1200－120n.其图象对称轴为直线t＝2n＋10，要使W随t的增大而增大．由二次函数的图象及性质知，2n＋10≥24，解得n≥7.又∵n<9，∴7≤n<9.。
七年级数学利润问题
在复杂的利润问题中，图形化表示可以帮助学生将问题简化，降低 解题难度。
梳理思路
通过图形展示，学生可以更加清晰地梳理出解题思路，避免在复杂 情境中迷失方向。
辅助决策
图形化表示可以辅助学生进行决策，比如在多种方案中选择最优方案。
图形化表示提高解题效率和准确性
提高效率
图形化表示可以帮助学生快速理解题意，缩短解 题时间，提高解题效率。
• 解析：此题可以利用利润公式和等量关系来设置方程并求解。同时，也可以利用图形化表示的方法，比如绘制 折线图来展示不同售出方式下的收益情况等信息，从而更加清晰地理解问题并找到解决方案。
06 总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
1 2
利润与成本的概念及关系
利润是售价与成本的差额，成本包括进价和其他 费用。
03 多种商品组合买卖问题探 讨
不同种类商品组合销售策略
01
02
03
分类销售
根据商品性质、价格等因 素，将商品分成不同类别， 分别制定销售策略。
搭配销售
将不同种类的商品进行搭 配，以套餐或组合的形式 进行销售，提高整体销售 额。
关联销售
通过分析消费者购买行为， 将相关联的商品进行组合 销售，提高顾客购买意愿。
解析
先根据题意列出方程，再通过解方程求出商品的进价。
例题3
张师傅以每只2.8元的价格购进一批玩具兔，然后以每只 3.6元的价格卖出，当卖到总数的(5/6)时，不但收回了全 部成本，还赢利24元，张师傅一共购进多少只玩具兔？
解析
先求出每只玩具兔的利润，再根据已销售比例和盈利情况 推算出总购进量。
05 图形化表示在利润问题中 应用
准确性保障
通过图形展示，学生可以更加准确地把握问题的 关键信息，避免在解题过程中出现偏差。
22.3.1商品利润最大的问题(教案)
-利用一元一次不等式表示商品利润，并求解最大利润；
-分析不同情况下的利润问题，如：固定成本、变动成本等。
本节课将结合实际案例，让学生在实际问题中运用所学的数学知识，提高他们的数学应用能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标包括：
1.培养学生的数学抽象能力，使其能够从实际情境中抽象出一元一次不等式，理解并解决商品利润问题。
其次，在小组讨论环节，学生们表现得相当积极，提出了很多有见地的观点。但同时，我也注意到有些学生在讨论中显得有些迷茫，可能是因为他们对问题的理解不够深入。为此，我决定在今后的教学中，加强对学生的个别辅导，引导他们更好地参与到小组讨论中来。
此外，实践活动环节，学生们通过计算和比较不同售价下的利润，对一元一次不等式的应用有了更直观的认识。但我也发现，有些学生在操作过程中对利润的计算方法掌握不够熟练。针对这一点，我计划在接下来的课程中，增加一些类似的练习题，让学生们有更多的机会进行实践操作，提高他们的运算能力。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了一元一次不等式在商品利润问题中的应用。课后，我对自己教学的过程进行了深入的思考。
首先，我发现学生们对一元一次不等式的概念和应用有了基本的理解，但在实际操作中，部分学生仍然感到困惑。我意识到，在讲解理论知识时，我应该更加注重与实际生活的联系，用更多具体的例子来说明，这样有助于学生更好地消化吸收。
a.利用图形辅助，通过绘制不等式的图像来直观展示利润与售价之间的关系。
b.分步骤解析求解过程，从简单情况入手，逐步过渡到复杂情况。
c.设计具有启发性的练习题，让学生在解答过程中自主发现和解决问题。
d.鼓励学生进行小组讨论，通过合作学习，共同攻克难点。
初中利润最大化的问题教案
初中利润最大化的问题教案一、教学目标1. 让学生理解利润的概念，掌握利润的计算方法。
2. 让学生了解影响利润的因素，学会分析问题，提出解决方案。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的综合素质。
二、教学内容1. 利润的概念及计算方法2. 影响利润的因素3. 利润最大化问题的解决方法三、教学过程1. 导入：通过一个生活中的实例，如某商店进购一批商品，售价与成本之间的关系，引发学生对利润问题的思考。
2. 新课导入：介绍利润的概念，讲解利润的计算方法，如：利润 = 收入 - 成本。
3. 案例分析：分析影响利润的因素，如：售价、成本、销售量等。
引导学生运用数学知识分析问题，提出解决方案。
4. 利润最大化问题探究：让学生分组讨论，每组选取一个实例，运用所学知识解决利润最大化问题。
5. 成果展示：各组汇报讨论成果，分享解题过程和心得体会。
6. 总结提升：教师点评各组表现，总结影响利润的因素，强调数学知识在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解利润的概念、计算方法和影响利润的因素。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用数学知识解决问题。
3. 分组讨论法：分组探讨利润最大化问题，培养学生的合作意识。
4. 成果展示法：汇报讨论成果，提高学生的表达能力和思维能力。
五、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言、提问和讨论情况，评价学生的参与度。
2. 小组讨论：评价学生在分组讨论中的表现，如合作意识、解决问题能力等。
3. 成果展示：评价学生在汇报讨论成果时的表达能力和思维能力。
4. 课后作业：布置相关作业，检验学生对利润最大化问题的理解和掌握程度。
六、教学资源1. PPT课件：展示利润的概念、计算方法和影响利润的因素。
2. 案例素材：提供生活中实际的利润问题，供学生分析讨论。
3. 作业习题：布置课后作业，巩固所学知识。
七、教学建议1. 注重理论与实际相结合，让学生体会数学知识在生活中的应用。
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追 根 溯 源 展 示
责 任 编 辑 ： 沈 红 艳 Email:nshi
销 售 中 的利 品 润 商
江苏盐城
问题
一
杏
最大化问题
信息 3： 按零售单价购 买甲商品 3 件和乙商 品 2 件， 共付了 19 元.
利民商店经销甲、 乙两种商品， 现有如下信息：
65
验 算
考试中某学生拿出骰子，摇出 10 道选择题答案. 快结束时他突然又拿出骰子来摇. 监考老师忍无可忍： “ 你在干 什么？” 学生： “我在验算. ”
数学幽默
乘法分配律
老师发现一个学生在作业本上的姓名是： 木 （1+2+3 ） . 老师问： “这是谁的作业本？” 一个学生站 “是我的！ ” 老师： “你叫什么名字？ ” 学生： 起来： “木林森！”老师： “那你怎么把名字写成这样 学生： “我用的是乘法分配律！” 呢？”
信息 1： 甲、 乙两种商品的进货单价之和是 5 元； 信息 2： 甲商品零售单价比进货单价多 1 元， 乙商品零售单价比进货单价的 2 倍少 1 元.
请根据以上信息， 解答下列问题： （1 ） 甲、 乙两种商品的进货单价各多少元？ （2 ） 该商店平均每天卖出甲种商品 500 件和乙种商品 300 件 . 经调查发现， 甲、 乙两种商 这两种商品每天各可多销售100件. 为了使每天获取更大的利润， 品零售单价每分别降0.1元， 乙两种商品的零售单价都下降 m 元 . 在不考虑其他因素的条件下， 当 m 定为 商店决定把甲 、 多少时， 才能使商店每天销售甲、 乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？ 它以图表信息为背景， 考查同学们通 命题意图 本题是 2011年盐城市的一道中考试题， 过阅读、 分析、 整理获取所要解决问题的相关信息的能力， 以及应用二元一次方程组与二次函 数的性质解决实际问题的能力 . 同时， 本题还加强了对同学们数学建模能力 、 分析问题能力 和数学应用意识的考查. 解题指导 （1 ） 利民商店所提供的三条信息蕴含了两个等量关系式： 甲种商品的进货单 3件甲种商品零售单价+2件乙种商品零售单价=19元. 因此， 我 价+乙种商品的进货单价=5元； 们可以建立关于以甲、乙两种商品的进货单价为未知数的二元一次方程组加以解答； （2 ）根 “销售商品所得的总利润=每件商品的利润×销售的商品件数” ， 我们可以用含m的代数式分 据 乙两种商品的零售单价都下降 m元后每件商品的单价 、 销售的件数以及获得的 别表示把甲 、 利润和总利润， 进而建立总利润W （元 ） 关于零售单价都下降m （元 ） 的函数关系式， 并应用函数 性质求得其最大值. 解题过程 （1 ） 设甲种商品的进货单价是x元， 乙种商品的进货单价是y元. x+y=5， x=2， 根据题意， 得 解得 3 （x+1 ） +2 （2y-1 ） =19， y=3. 答： 甲种商品的进货单价是2元， 乙种商品的进货单价是3元. m （2 ） 设商店每天销售甲 、 乙两种商品获取的利润为 W 元， 则 W= （1- m） 500+100 × 0.1 m 2 + （5-3-m ） 300+100× ， 即W=-2 000m2+2 200m+1100=-2 000 （m-0.55 ） +1 705. 0.1
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追根溯源展示
当m=0.55时， W有最大值， 最大值为1 705. 答： 当零售价格下降 0.55时， 商店每天销售甲、 乙两种商品获取的利润最大， 每天最大利 润是1705元. 追根溯源 该试题类似于义务教育教科书苏教版 《数学》 七年级下册教材第101页第13题 是这两道习题的融合与提升. 与九年级上册教材第98页例4， 七年级下册教材第101页第13题： 某人分别以售价的8折和9折的价格购买了两件衬衫， 共 付款182元. 已知这两件衬衫的售价的和是210元， 求这两件衬衫的售价. 九年级上册教材第98页例4： 某商场销售一批名牌衬衫， 平均每天可售出 20件， 每件盈利 40元. 为了扩大销售， 增加盈利， 商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现， 在一定范围内， 衬衫的单价每降 1元，商场平均每天可多售出 2件 . 如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利 1200元， 衬衫的单价应降多少元？ 本题要求将生活实际中的问题 “数学化” ， 考查了应用方程组 、 函数模型解决生活实际问 以 “课本” 为 “蓝本” 学习基础知识的意识. 题的能力， 还增强了同学们充分应用教材、 变式拓展 某市政府大力扶持大学生创业， 李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每 件20元的护眼台灯. 销售过程中发现， 每月销售量y （件 ） 与销售单价x （元 ） 之间的关系可近似 y=-10x+500. 地看作一次函数： （1 ） 设李明每月获得利润为w （元 ） ， 当销售单价定为多少元时， 每月可获得最大利润？ ） 如果李明想要每月获得2 000元的利润， 那么销售单价应定为多少元？ （2 ） 根据物价部门规定， 这种护眼台灯的销售单价不得高于 32元， 如果李明想要每月获 （3 得的利润不低于2 000元， 那么他每月的成本最少需要多少元？ （成本=进价×销售量 ） 2 ） 由题意， 得 w= （x-20 ） · y= （x-20 ） · （-10x+500 ） =-10 （x-35 ） +2 250. 参考答案 （1 答： 当销售单价定为35元时， 每月可获得最大利润； ） 由题意， 得-10x2+700x-10 000=2 000， 解这个方程得x1=30， x2=40. （2 答： 李明想要每月获得2 000元的利润， 销售单价应定为30元或40元. （3 ） 由题意， 得-10x2+700x-10 000≥2 000， 解这个不等式方程得30≤x≤40. 又由于这种护眼台灯的销售单价不得高于32元， 所以每月的成本最少需要30元. 答： 如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元， 那么他每月的成本最少需要30元.