Deformation par quantification et rigidite des algebres enveloppantes

a rX iv:mat h /211416v1[mat h.RA]26N ov22D´e formation par quantification et rigidit´e des alg`e bres enveloppantes M.Bordemann 1,A.Makhlouf 2,T.Petit 3Laboratoire de Math´e matiques et Applications,Universit´e de Haute Alsace,Mulhouse Novembre 2002Abstract We call a finite-dimensional complex Lie algebra g strongly rigid if its universal enveloping algebra U g is rigid as an as-sociative algebra,i.e.every formal associative deformation is equivalent to the trivial deformation.In quantum group theory this phenomenon is well-known to be the case for all complex semisimple Lie algebras.We show that a strongly rigid Lie algebra has to be rigid as Lie algebra,and that in addition its second scalar cohomology group has to vanish (which excludes nilpotent Lie algebras of dimension greater or equal than two).Moreover,using Kontsevitch’s theory of deformation quantization we show that every polynomial deformation of the linear Poisson structure on g ∗which in-duces a nonzero cohomology class of g leads to a nontrivial deformation of U g .Hence every Poisson structure on a vec-tor space which is zero at some point and whose linear part is a strongly rigid Lie algebra is therefore formally linearizable in the sense of A.Weinstein.Finally we provide examples of rigid Lie algebras which are not strongly rigid,and give aclassification of all strongly rigid Lie algebras up to dimen-sion 6.Mots cl´e s :alg`e bre enveloppante,d´e formation,quantification,rigidit´e ,cohomolo-gie,structure de Poisson et lin´e arisation.Keywords :enveloping algebra,deformation,quantification,rigidity,cohomology,Poisson structure,linearization.Classification AMS 2000:16S30,16S80,17BxxTable des mati`e res1Introduction1 2G´e n´e ralit´e s3 3Alg`e bres de Lie fortement rigides93.1L’alg`e bre de Lie de dimension un (10)3.2Alg`e bres de Lie semi-simples (10)3.3Sommes directes de semi-simples et d’autres (10)3.4Alg`e bre de Lie non ab´e lienne de dimension2 (11)3.5L’alg`e bre gl(m,K)×K m (11)4Propri´e t´e s des alg`e bres de Lie fortement rigides144.1Rigidit´e de l’alg`e bre de Lie (14)4.2Deuxi`e me groupe de cohomologie scalaire (16)4.3Quelques contre-exemples (17)5Quantification par d´e formation185.1Star-produits (18)5.2La formule de Kontsevitch (19)5.3L’alg`e bre enveloppante U g`a la Kontsevitch (20)6D´e formations des alg`e bres enveloppantes par quantification226.1Le th´e or`e me (22)6.2Applications (24)6.2.1Alg`e bre de Lie r´e soluble t1⊕n5,6 (24)6.2.2Produit semi-direct de sl(2,C)par n3 (25)6.3Classification des alg`e bres fortement rigides de dimension inf´e rieure`a six (26)7Lin´e arisation des structures de Poisson261IntroductionDans la th´e orie des groupes quantiques de Drinfel’d(voir[17]ou[30]), on consid`e re en particulier les alg`e bres enveloppantes quantiques U h g d’une alg`e bre de Lie(g,[,])sur un corps K(g´e n´e ralement alg´e briquement clos et de caract´e ristique z´e ro).Ces alg`e bres sont des d´e formations formelles de l’alg`e bre enveloppante U g de g en tant qu’alg`e bre de Hopf.Dans la plupart des exemples,introduits par Drinfel’D[16]et Jimbo[29],g est une alg`e bre de Lie semi-simple complexe de dimensionfinie.Dans ce cas,la d´e formation formelle de la structure associative de U g,au sens de Gerstenhaber[21],dans U h g(ainsi que pour toute autre d´e formation associative)est une d´e formation triviale,c.-`a-d.isomorphe`a U g,(voir par exemple[30,p.430]).En revanche la comultiplication cocommutative de U g se d´e forme en une comultiplication non cocommutative dans U h g.Ceci signifie que U g est une alg`e bre associative rigide,mais non rigide comme alg`e bre de Hopf.Voir[34]pour les alg`e bres associatives complexes rigides de dimensionfinie.En outre,le th´e or`e me de Poincar´e-Birkhoff-Witt permet de regarder l’alg`e bre enveloppante U g elle-mˆe me comme une‘d´e formation’,en g´e n´e ral non com-mutative,de l’alg`e bre sym´e trique S g.Cette derni`e re alg`e bre est isomorphe `a l’alg`e bre des fonctions polynˆo miales sur l’espace dual g∗de g et est mu-nie d’une structure d’alg`e bre de Poisson(provenant de la structure de Pois-son lin´e aire P0sur g∗induite par le crochet de Lie de g).La d´e formation S g;U g a´e t´e pr´e cis´e e par Gutt[26]dans la th´e orie de quantification par d´e formation de Bayen,Flato,Frønsdal,Lichnerowicz et Sternheimer[3]. Dans cette th´e orie,on construit des d´e formations associatives formelles,dites star-produits∗,de l’alg`e bre C∞(M)de toutes les fonctions`a valeurs com-plexes de classe C∞sur une vari´e t´e de Poisson.Kontsevitch a r´e examin´e cette d´e formation de S g dans le cadre d’une formule universelle pour un star-produit sur R n muni d’une structure de Poisson arbitraire(voir[32]). L’´e quivalence de la d´e formation de Kontsevitch et celle de Gutt`a´e t´e d´e montr´e e par Dito([13]).La classification des star-produits`a´e t´e donn´e e par Kontsevitch en termes de classes de diff´e omorphie formelles des structures de Poisson formelles:il s’agit des d´e formations formelles des structures de Poisson elles-mˆe mes.En g´e om´e trie diff´e rentielle,ces d´e formations(C∞ou formelles)ont´e t´e implicite-ment´e tudi´e es dans la th´e orie de lin´e arisation des structures de Poisson de Weinstein[42,pp.537]:on y a surtout´e tudi´e le cas o`u la structure de Pois-son s’annule en un point et est lin´e arisable dans le sens qu’elle est isomorphe `a sa partie lin´e aire.En outre,une formule pour la d´e formation formelle d’une structure de Poisson de fa¸c on que les feuilles symplectiques restent les mˆe mes a´e t´e´e tablie par Lecomte(voir[33,p.165]).Toutes ces consid´e rations nous ont amen´e s`a poursuivre deux objectifs essentiels dans une partie de[37]et dans cet article:D’une part,´e tudier les d´e formations associatives formelles des alg`e bres en-veloppantes,principalement`a l’aide de la d´e formation de la structure de Poisson lin´e aire sur g∗et de la formule universelle de Kontsevitch.D’autre part,chercher et caract´e riser les alg`e bres de Lie qu’on appelle forte-ment rigides,c.-`a-d.dont l’alg`e bre enveloppante U g est rigide dans le sens qu’elle n’admet que des d´e formations triviales comme alg`e bre associative.On a obtenu les r´e sultats principaux suivants:1.A toute d´e formation polynˆo miale formelle non triviale de la struc-ture de Poisson lin´e aire provenant d’une alg`e bre de Lie complexe g on peut associer une d´e formation non triviale de son alg`e bre envelop-pante U g,voir le th´e or`e me6.1.Pour le d´e montrer,on construit d’abord une d´e formation formelle`a deux param`e tres de l’alg`e bre sym´e trique S g d’apr`e s Kontsevitch et on montre sa convergence par rapport au pre-mier param`e tre.2.Nous avons montr´e,ind´e pendamment de la th´e orie de Kontsevitch,lesdeux cas particuliers importants du th´e or`e me6.1suivants:–Si l’alg`e bre de Lie g n’est pas rigide,alors U g n’est pas rigide nonplus,voir th´e or`e me4.1.Ceci justifie la notion‘fortement rigide’etnous permet d’utiliser les r´e sultats sur la rigidit´e des alg`e bres deLie obtenus par R.Carles,Y.Diakit´e,M.Goze et J.M.Ancochea-Berm´u dez dans([6],[4],[24],[1]).–Si le deuxi`e me groupe de cohomologie scalaire,H2CE(g,K),del’alg`e bre de Lie g ne s’annule pas,alors U g n’est pas rigide,voirth´e or`e me4.2.Ce crit`e re montre par exemple que les alg`e bres deLie nilpotentes de dimension≥2ne sont pas fortement rigides.3.En plus des exemples d´e j`a connus comme la classe des alg`e bres de Liesemi-simples et l’alg`e bre non ab´e lienne r2de dimension2,on a´e tabli la forte rigidit´e des alg`e bres affines gl(m,K)×K m(voir le th´e or`e me3.3).Une preuve plus g´e om´e trique`a´e t´e ind´e pendamment obtenue par Du-four et Zung[19]dans le cadre des structures de Poisson lin´e arisables.Pour tous ces exemples,nous avons v´e rifi´e la nullit´e du deuxi`e me groupe de cohomologie H2CE(g,S g)qui est toujours isomorphe au deuxi`e me groupe de cohomologie de Hochschild H2H(U g,U g)d’apr`e s un th´e or`e me de H.Cartan et S.Eilenberg.4.Notre principal th´e or`e me6.1nous permet d’exclure quelques alg`e bresde Lie rigides de la liste des fortement rigides,par exemple les sommes semi-directes t1×n5,6(alg`e bre de Lie r´e soluble)et sl(2,C)×n3(o`un3est l’alg`e bre de Heisenberg).Ainsi,on classifie les alg`e bres de Lie fortement rigides jusqu’en dimension6:{0},K,r2,sl(2,K),gl(2,K),sl(2,K)×r2,sl(2,K)×sl(2,K),gl(2,K)×K2.5.Du theor`e me6.1,on en d´e duit´e galement que toute structure de Poissondont la partie lin´e aire correspond`a une alg`e bre fortement rigide est formellement lin´e arisable.Dans cet article,on consacre le deuxi`e me paragraphe aux rappels de quelques g´e n´e ralit´e s concernant les alg`e bres enveloppantes,la th´e orie des d´e formations,la cohomologie,la rigidit´e et les structures de Poisson.Dans le paragraphe3,on d´efinit les alg`e bres de Lie fortement rigides,et on trouve les exemples mentionn´e s ci-dessus par un calcul cohomologique.Le paragraphe 4est consacr´e aux propri´e t´e s des alg`e bres de Lie fortement rigides,notam-ment`a la d´e monstration du th´e or`e me4.1et4.2mentionn´e s ci-dessus.Dans le paragraphe5,on rappelle la th´e orie de la quantification par d´e formation et la formule universelle de Kontsevitsch pour une d´e formation de C∞(M) pour toute vari´e t´e de Poisson M.Apr`e s avoir rappel´e la construction de Gutt et de Dito,on d´e montre notre th´e or`e me principal6.1mentionn´e ci-dessus. Dans le paragraphe6,on donne la classification des alg`e bres de Lie forte-ment rigides de dimension inf´e rieure ou´e gale`a six.On en deduit´e galement quelques remarques a propos du probl`e me de lin´e arisation des structures de Poisson en paragraphe7.RemercimentsNous remercions Aleksei Bolsinov,Roger Carles,Jean-Paul Dufour,Michel Goze et Freddy Van Oystaeyen pour les fructueuses discussions et proposi-tions.2G´e n´e ralit´e s1.Soient K un anneau commutatif unitaire et g une alg`e bre de Lie sur K.Rappelons qu’une g-repr´e sentation(`a gauche)de g est un K-module M et un K-homomorphismeg⊗K M→M:x⊗a→xa(2.1) tel que x(ya)−y(xa)=[x,y]a.A toute alg`e bre de Lie g,on associe une K-alg`e bre associative U g telle que toute g-repr´e sentation(`a gauche) peutˆe tre vue comme une U g-repr´e sentation(`a gauche)et vice-versa.L’alg`e bre U g est construite de la mani`e re suivante:Soit T g l’alg`e bre tensorielle du K-module g,T g=T0⊕T1⊕···⊕T n⊕···o`u T n=g⊗K g⊗K···⊗K g(n fois),en particulier T0=K1et T1=g.Le produit dans T g´e tant la multiplication tensorielle.Toute application K-lin´e aire g⊗K M→M admet une extension unique en un morphisme de K-alg`e bres T g→Hom K(M,M).Pour que la restriction de ce morphisme`a g d´efinisse une g-repr´e sentation sur M, il est n´e cessaire et suffisant que les´e l´e ments de T g de la forme x⊗y−y⊗x−[x,y]o`u x,y∈g annulent M.Par cons´e quent,on introduit l’id´e al bilat`e re I engendr´e par les´e l´e ments x⊗y−y⊗x−[x,y]o`u x,y∈g, et on d´efinit l’alg`e bre enveloppante de g comme le quotient T g/I.On identifie ainsi les g-repr´e sentations et les U g-modules.Rappelons que tout U g-bimodule M est un g-module par(x,m)→xm−mx,not´e M a.Supposons que l’alg`e bre de Lie g soit un K-module libre,soit{x i}une basefix´e e de g.Soit y i l’image de x i par le K-homomorphisme g→U g.On pose y I=y i1···y ipavec I une suitefinie d’indices1≤i1≤...≤i pet y I=1si I=∅.D’apr`e s le th´e or`e me de Poincar´e-Birkhoff-Witt, l’alg`e bre enveloppante U g est engendr´e e par les´e l´e ments y I correspon-dant`a des suites croissantes I(voir par exemple[7,pp.271]).Soit K=K un corps.On d´e signe par S V l’alg`e bre sym´e trique sur le K-module V.Si Q∈K,il existe une bijection canoniqueω:S g→U g donn´e e parω(x1···x n):=1de Lie)(A[[t]],µt)avecµt=µ0+tµ1+t2µ2+···+t nµn+···,o`uµn∈Hom K(A⊗K A,A).(resp.µn∈Hom K(A∧K A,A).(b)Deux d´e formations(A[[t]],µt)et(A[[t]],µ′t)sont dites´e quivalentess’il existe un isomorphisme formelϕt=ϕ0+ϕ1t+···+ϕn t n+···,avecϕ0=Id A(l’application identit´e de A)etϕn∈Hom K(A,A)tel queµ′t(a,b)=ϕ−1t(µt(ϕt(a),ϕt(b))∀a,b∈A.(c)Une d´e formation de A est dite triviale si elle est´e quivalente`a(A[[t]],µ0).(d)Une alg`e bre associative(resp.de Lie)A est dite rigide si touted´e formation de A est triviale. th´e orie des d´e formations est intimement li´e e`a la cohomologie deHochschild dans le cas des alg`e bres associatives et`a la cohomologie de Chevalley-Eilenberg dans le cas des alg`e bres de Lie.On d´e signe par H n H(A,M)le n-i`e me groupe de cohomologie de Hochschild d’une alg`e bre associative A`a valeurs dans un bimodule M et par H n CE(g,M) le n-i`e me groupe de cohomologie de Chevalley-Eilenberg d’une alg`e bre de Lie A`a valeurs dans un g-module M.Le deuxi`e me groupe de coho-mologie de Hochschild d’une alg`e bre associative(resp.cohomologie de Chevalley-Eilenberg d’une alg`e bre de Lie)`a valeurs dans l’alg`e bre cor-respond`a l’espace des d´e formations infinit´e simales.Pour notre´e tude, le fait suivant sera tr`e s important(voir[21],[22]et[36]):Proposition2.1Soit A(resp.g)une alg`e bre associative(resp.une alg`e bre de Lie).(a)Si le deuxi`e me groupe de cohomologie de Hochschild,H2H(A,A),(resp.de Chevalley-Eilenberg,H2CE(g,g),)s’annule,alors l’alg`e breA(resp.g)est rigide.(b)D’un autre cot´e,siµ0+tµ1+...est une d´e formation de A(resp.de g)et si A(resp.g)est rigide,alors le2-cocycleµ1est toujoursun2-cobord de la cohomologie de Hochschild(resp.de Chevalley-Eilenberg).(voir[30,p.430]pour une d´e monstration).La r´e ciproque de l’assertion(a)est fausse,il existe des exemples d’alg`e bres de Lie rigides dont ledeuxi`e me groupe de cohomologie est non nul (voir [40].Le probl`e me est encore ouvert en caract´e ristique 0pour les alg`e bres associatives (voir[23]pour un exemple en caract´e ristique p )Le troisi`e me groupe de cohomologie quand `a lui correspond `a l’espace des obstructions pour l’extension d’ordre n `a une d´e formation d’ordre n +1([21],[22]et [36]).4.Le th´e or`e me classique suivant dˆu `a H.Cartan et S.Eilenberg ([7,pp.277])fait le lien entre la cohomologie de Hochschild de l’alg`e bre en-veloppante `a valeurs dans un U g -bimodule M (en particulier M =U g )et la cohomologie de Chevalley-Eilenberg de l’alg`e bre de Lie `a valeurs dans le mˆe me module.Th´e or`e me 2.1Soit g une alg`e bre de Lie de dimension finie sur K .Alors H n H (U g ,M )≃H n CE (g ,M a )∀n ∈N En particulier,si Q ⊂K on a pour tout n ∈NH n H (U g ,U g )≃H n CE (g ,U g a )≃H n CE (g ,S g a )≃∞ k =0H n CE (g ,S k g a )5.Le th´e or`e me de Hochschild et Serre ([28])suivant fournit une factori-sation des groupes de cohomologie de Chevalley-Eilenberg :Th´e or`e me 2.2Soient g une alg`e bre de Lie de dimension finie,M un g -module de dimension finie sur K ,n un id´e al de g et b une sous-alg`e bre suppl´e mentaire de n ,r´e ductive dans g ,telle que le b -module induit sur M soit semi-simple,alors pour tout entier positif p on aH p CE (g ,M )≃ i +j =pH i CE (b ,K )⊗H j CE (n ,M )b .o`u H j CE (n ,M )b d´e signe le sous-espace de tous les ´e l´e ments invariants par b .6.Une alg`e bre de Poisson est une alg`e bre associative commutative A sur K munie d’une application bilin´e aire {,}:A ×A →A v´e rifiant pour tout f,g,h ∈A{f,g }=−{g,f }(2.3)0={f,{g,h }}+{g,{h,f }}+{h,{f,g }}(identit´e de Jacobi)(2.4){h,fg }={h,f }g +f {h,g }(identit´e de Leibniz)(2.5)On note par(A,·,{,})une telle alg`e bre.Une vari´e t´e M est dite vari´e t´e de Poisson si l’alg`e bre des fonctions C∞(M)est munie d’une structure de Poisson.7.Soit M une vari´e t´e de Poisson.Pour tout f∈C∞(M),l’applicationlin´e aire{f,}:C∞(M)→C∞(M)d´efinit une d´e rivation.Soit X f le champ de vecteurs associ´e`a f,le crochet de Poisson s’´e crit alors{f,g}=X f g=−X g f=dg(X f)=−d f(X g) Il s’ensuit que le crochet de Poisson est d´e termin´e par une application bilin´e aire antisym´e trique sur lefibr´e cotangent T∗M de M,c’est`a dire un champ de tenseurs antisym´e triques P∈Γ∞(M,Λ2T M)(avec T M lefibr´e tangent de M)tel que{f,g}=P(d f,dg)= i,j P ij∂i f∂j g(2.6) avec∂i(1≤i≤n)la d´e rivation∂avec X i signifiant que X i est omis.Le crochet de Schouten[,]s:T p M×T q M→T p+q−1M v´e rifie les propri´e t´e s suivantes:[P,Q]s=−(−1)(p−1)(q−1)[Q,P]s(2.10) [P,Q∧R]s=[P,Q]s∧R+(−1)pq+q Q∧[P,R]s(2.11) 0=(−1)(p−1)(r−1)[P,[Q,R]s]s+(−1)(q−1)(p−1)[Q,[R,P]s]s+(−1)(r−1)(q−1)[R,[P,Q]s]s(2.12) L’alg`e bre des multivecteurs T M munie du crochet de Schouten est une super-alg`e bre de Lie.En particulier,on a les formules suivantes en coordonn´e es locales:(a)Soient P=12 i,j Q ij∂i∧∂j(∈T2M).Il vient:[P,Q]s= i,j,k,h P ih∂h Q jk+P kh∂h Q ij+P jh∂h Q ki+Q ih∂h P jk+Q kh∂h P ij+Q jh∂h P ki ∂i∧∂j∧∂k(2.13) (b)Soient P=19.Soit(g,[,])une alg`e bre de Lie de dimensionfinie n sur un corps K etg∗son dual alg´e brique.L’alg`e bre sym´e trique S g s’identifie de mani`e re naturelle`a l’alg`e bre des fonctions polynˆo miales sur g∗.La structure deg permet de d´efinir un crochet de Poisson lin´e aire sur g∗:{f,g}(x):=x([d f(x),dg(x)])avec f,g∈S g et x∈g∗.Soient(e i)i=1,...,n une base de g,(e i)i=1,...,n sa base duale et x= n i=1x i e i∈g∗,{f,g}=P0(d f,dg)avec P0le bivecteur d´efini parP0=1∂x k φ(x)−1Proposition3.1Soit g une alg`e bre de Lie de dimensionfinie.Si g est in-finit´e simalement fortement rigide,alors elle est fortement rigide.Tous les exemples qui suivent correspondent`a des alg`e bre de Lie infinit´e si-malement fortement rigides.On calcule le deuxi`e me groupe de cohomologie H2CE(g,S g)`a l’aide du th´e or`e me de Hochschild-Serre(2.2)appliqu´e`a tous les groupes H2CE(g,S k g).3.1L’alg`e bre de Lie de dimension unEvidemment,H2CE(K,S k K)={0},alorsProposition3.2L’alg`e bre de Lie de dimension1est infinit´e simalement fortement rigide.3.2Alg`e bres de Lie semi-simplesD’apr`e s les lemmes de Whitehead,le premier et le deuxi`e me groupe de cohomologie d’une alg`e bre de Lie semi-simple g`a valeurs dans tout K-module de dimensionfinie sont triviaux.Par cons´e quent,H2CE(g,S k g)={0},∀k∈N. Ceci assure,pour le cas particulier k=1,la rigidit´e de l’alg`e bre de Lie. D’apr`e s ce qui pr´e c`e de on a le th´e or`e me classique(voir[30,p.426]):Th´e or`e me3.1Toute alg`e bre de Lie semisimple de dimensionfinie est in-finit´e simalement fortement rigide.3.3Sommes directes de semi-simples et d’autresTh´e or`e me3.2Soit f une alg`e bre de Lie de dimensionfinie qui est in-finit´e simalement fortement rigide et s une alg`e bre de Lie semi-simple de di-mensionfinie.Alors la somme directe g:=f⊕s est infinit´e simalement fortement rigide. D´e monstration:D’apr`e s le th´e or`e me de Hochschild-Serre(2.2)et les lemmes de Whitehead on aH2CE(g,S g)∼=H2CE(f,S g a)s∼=H2CE(f,S f⊗S s)s∼=H2CE(f,S f a)⊗(S s)s∼={0} et g est infinit´e simalement fortement rigide.2 En particulier:Corollaire3.1La somme directe d’une alg`e bre de Lie semi-simple s de di-mensionfinie et de l’alg`e bre de Lie de dimension1est infinit´e simalement fortement rigide.Par exemple,l’alg`e bre de Lie gl(m,K)est infinit´e simalement fortement rigide quel que soit m∈N.3.4Alg`e bre de Lie non ab´e lienne de dimension2On d´e signe par r2l’alg`e bre de Lie r´e soluble engendr´e e par X,Y tel que[X,Y]=Y.Celle-ci est l’alg`e bre de Lie du groupe affine de la droite.Proposition3.3L’alg`e bre de Lie r2est infinit´e simalement fortement rigide. D´e monstration:Posons,r2=t⊕n o`u t:=K X est une sous-alg`e bre r´e ductive et n:=K Y est le nilradical de r2.Puisque t et n sont de dimension1,il vient queH2CE(n,S r2)={0},H2CE(t,K)={0},H1CE(t,K)=K,et le th´e or`e me de Hochschild-Serre entraˆıne queH2CE(r2,S r2)≃H1CE(n,S r2)t.(3.1)Il est clair que l’espace des1-cocycles Z1CE(n,S r2)est´e gal`a C1CE(n,S r2),l’espace des1-cochaˆınes.Soit F une telle1-cochaˆıne et soit f:=F(Y)∈S r2.F est t-invariante si0=X. F(Y) −F([X,Y])=X.f−f.Il existe un unique polynˆo me φ∈K[X,Y]tel que f=φ(X,Y).Puisque X.f=Y∂φ(X,Y)∂Y ,c’est`a dire,si etseulement siψ(X,Y)=η(X)pour un polynˆo meη∈K[X].Alors(δCE G)(Y)= Y.G=−Y∂η(X)∂X =χ(X).Il s’ensuit que le groupe de cohomologieH1CE(n,S r2)t s’annule,donc r2est infinit´e simalement fortement rigide.2 A l’aide du th´e or`e me3.2on obtient:Corollaire3.2La somme directe de r2et d’une alg`e bre de Lie semisimple de dimensionfinie s est infinit´e simalement fortement rigide.3.5L’alg`e bre gl(m,K)×K mSoit m un entier strictement positif,a l’alg`e bre de Lie gl(m,K),n l’espace vectoriel K m et g la somme semi-directe a⊕n(o`u le crochet est d´efini par [φ+v,φ′+v′]:=[φ,φ′]+φv′−φ′v).On a le th´e or`e me suivant qui g´e n´e ralise l’exemple pr´e c´e dent r2=gl(1,K)×K1):Th´e or`e me3.3Avec les d´efinitions mentionn´e es ci-dessus on aH0CE(n,S g)a∼=K et H k CE(n,S g)a∼={0}∀k∈N,k≥1.Il s’ensuit queH k CE(g,S g)∼=H k CE(a,K).En particulier,H2CE(g,S g)∼={0},donc g est infinit´e simalement fortement rigide.D´e monstration:Puisque a est une sous-alg`e bre r´e ductive dans g,le th´e or`e me de Hochschild-Serre2.2s’applique et donne la d´e compositionH k CE(g,S g)∼=kr=0H k−r CE(a,K)⊗K H r CE(n,S g)a.Pour calculer les groupes de cohomologie H r CE(n,S g)a il faut consid´e rer les es-paces des r-cochaˆınes a-invariantes,Hom K(Λr n,S g)a.Evidemment,S g∼=S a⊗K S n,et on a Hom K(Λr n,S l g)= l i=0Hom K(Λr n,S i a⊗K S l−i n).Puisque a= Hom K(n,n),alors S i a⊂Hom K(n,n)⊗i=Hom K(n⊗i,n⊗i),doncHom K(Λr n,S i a⊗K S l−i n)a⊂Hom K(n⊗(i+r),n⊗(i+l−i))a.Soit f∈Hom K(n⊗(i+r),n⊗l)a∼= n⊗l⊗K n∗⊗(i+r) a.En particulier,f est invariant par l’application identit´e1∈a.Puisque1.g=lg pour tout g∈n⊗l et1.h=−(r+i)h pour tout h∈n∗⊗(r+i),alors f ne peutˆe tre non nul que si r+i=l,donc Hom K(Λr n,S l g)a=Hom K(Λr n,S l−r a⊗S r n)a.Puisque l’alg`e bre commutative S g s’identifie de fa¸c on naturelle`a l’alg`e bre des polynˆo mes sur l’espace dual a∗×n∗, alors l’application lin´e aireΦl r suivante est une surjection a-´e quivariante:Φl r:Hom K(n⊗l,n⊗l)→Hom K(Λr n,S l−r a⊗S r n):ψ1⊗···⊗ψl→ (φ,α)→ v1∧···∧v r→trace(ψ1φ)···trace(ψl−rφ)(αψl−r+1)∧···∧(αψl),v1⊗···⊗v r o`u on a utilis´e a∗∼=a,etφ,ψ1,...,ψl∈a,α∈n∗et v1,...,v r∈n.Grˆa ce`a l’´e quivariance deΦl r il vient que l’espaceΦl r Hom K(n⊗l,n⊗l)a est´e gal`a l’espace Hom K(Λr n,S l−r a⊗S r n)a.L’espace des a-invariants,Hom K(n⊗l,n⊗l)a est d´e termin´e par le th´e or`e me classique de H.Weyl(voir par exemple[12,p.29]pour le cas d’un corps alg´e briquement clos ou[31,p.214]pour le cas d’un corps ordonn´e suivant un raisonnement de G.B.Gurevich,1948):soit S l le groupe sym´e trique d’ordre l,et pour une permu-tationσ∈S l soitˆσl’´e l´e ment de Hom K(n⊗l,n⊗l)d´efini parˆσ(w1⊗···⊗w l):=wσ(1)⊗···⊗wσ(l).Alors d’apr`e s le th´e or`e me de H.WeylHom K(n⊗l,n⊗l)a={ σ∈S l aσˆσ|aσ∈K}.Soit e 1,...,e m une base de n et e 1,...,e m la base duale.Alors les ´e l´e ments E i j ∈a d´e finis par E i j (e k ):=δi k e j forment une base de a .Soit σ∈S l ,alors on voit sans peine que ˆσ= m i 1,...,i l =1E i 1i σ(1)⊗···⊗E i l i σ(l ),alors pour φ= m i,j =1φi j E j i ∈a et α= m i =1αi e i ∈n ∗on aΦl r (ˆσ)(φ,α)=m i 1,...,i l =1trace(φE i 1i σ(1))···trace(φE i l −r i σ(l −r ))(αE i l −r +1i σ(l −r +1))∧···∧(αE i l i σ(l ))=m i 1,...,i l =1φi 1i σ(1)···φil −r i σ(l −r )αi σ(l −r +1)···αi σ(l )e i l −r +1∧···∧e i l Quand on regarde la d´e composition en cycles de σ,alors on trouve des entiers positifs 1≤a 1≤···≤a p et 1≤b 1≤···≤b r tels que l =a 1+···+a p +b 1+···+b r etΦl r (ˆσ)(φ,α)=ǫtrace(φa 1)···trace(φa p )(αφb 1−1)∧···∧(αφb r −1)(3.2)o`u ǫ∈{−1,1}.Il est bien connu que les polynˆo mes Casimir ξ1,...,ξm ∈S a d´e finis par ξa :φ→trace(φa )engendrent librement l’anneau commutatif des invariants (S a )a ,voir par exemple [8]:c.-`a -d.(S a )a est isomorphe `a l’anneaudes polynˆo mes en m variables K [ξ1,...,ξm ].Remarquons que ξa est de la forme ξa =Φl r m i 1,...,i a =1E i 1i 2⊗···⊗E i a −1i a ⊗E i a i 1 .Calculons δξa o`u δd´e signe l’op´e rateur cobord de Chevalley-Eilenberg pour lescochaˆınes de n :on a(δξa )(v )(φ,α)=−(v.ξa )(φ,α)=−a s =1trace(φE i 1i 2)··· α,E i s i s +1v ···trace(φE i a i 1)=−a s =1φi 1i 2···φi s −1i s α,E i s i s +1v φi s +1i s +2···φi a i 1=−a α,φa −1v Puisque δpr´e serve les cochaˆınes a -invariantes,alors δξa ∈Hom K (Λ1n ,S a g )a .D’apr`e s l’´e quation (3.2)il s’ensuit que tout ´e l´e ment de F ∈Hom K (Λr n ,S l g )a est de la formeF =m a 1,...,a r =1F a 1···a r (ξ1,...,ξm )δξa 1∧···∧δξa r (3.3)o`u F a 1···a r (ξ1,...,ξm )∈K [ξ1,...,ξm ].D’un autre cot´e ,il est clair que tout ´e l´e ment de la forme (3.3)est une cochaˆıne a -invariante de Hom K (Λr n ,S l g ).Les δξa (1≤a ≤m )sont ind´e pendants sur l’anneau K [ξ1,...,ξm ]car une ´e quation g 1δξ1+···+g m δξm =0avec g 1,...,g m ∈K [ξ1,...,ξm ],´e valu´e e sur (φ,α,v )∈a ×n ∗×n ,im-pliquerait g 1[φ]1+···+g m [φ]φm −1=0(o`u g a [φ]:=g a trace(φ),...,trace(φm ) ),donc g a[φ]=0pour la partie dense(au sens de Zariski)de a de tous lesφ∈a ayant des valeurs propres deux-`a-deux diff´e rentes,alors g a=0quel que soit1≤a≤m. PuisqueδF=ma1,...,a r=1δ F a1···a r(ξ1,...,ξm) ∧δξa1∧···∧δξa r=ma1,...,a r,a r+1=1∂F a1···a r。