泛函分析初步

《信号与系统》 第三章：泛函分析初步第三章：泛函分析初步§3.1 线性空间定义（线性空间）：设W ≠ ∅ （W 为非空集合）（1） W 中元对“+”构成交换群，即对 ∀ X , Y , Z ∈W ，有ⅰ） X + Y ∈ W （加法封闭性） ⅱ） (X + Y ) + Z = X + (Y + Z )（结合律） ⅲ）∃ 0∈ W ，使 0 + X = X （存在零元） ⅳ）∃ − X ∈ W ，使 (−X ) + X = 0 （存在逆元） ⅴ）X +Y = Y + X （交换律） （2） 对∀ X , Y ∈W , ∀α , β ∈ C (复数域)有：ⅵ）α (β X ) = (αβ )X ∈Wⅶ） (α + β )X= αX + β Xⅷ）α (X + Y)= α X + α Yⅸ）1 ⋅X = X，称W 为线性空间，若α ,β ∈ C ，则W 为复线性空间，若α ,β ∈ R ，则 W 为实线性空间。

N注：1）加法封闭＋数乘封闭 ⇔ ∀X i ∈ W ,∀α i ∈ C，有 ∑ α i X i ∈ W 。

i = 1 2）C [a , b ]（ [a , b ]上所有连续函数的全体）是线性空间。

3） span {X , X , , X }为由 X , X , , X 张成的线性空间。

12n12n定义（线性算子）：线性空间上的算子为 L 线性算子N⎧ ⎫N⇔ L ⎨ ∑ α i ⎩ i = 1 X i ⎬ = ∑ α i L { X⎭ i = 1i}（3-1）定义：零状态线性系统 ⇔ 系统算子为线性算子。

§3.2 线性子空间定义（线性子空间）：设 ∅ ≠ V ⊂ W ，V 是W 的线性子空间 ⇔ 对 ∀ X ,Y ∈ W , ∀α ,定义（直和）：设 W , W , , Wβ ∈ C ，有 αX + β Y ∈ V 。

是W 的子空间，若∀ X ∈ W 对， X 可唯一1表 示 成 X = X +2p+ X ， 其 中 X ∈ W (i = 1, , p ) ， 则 称 W 是 1pi1《信号与系统》 第三章：泛函分析初步W , W , , W 的直和，记为：W = W ⊕ W ⊕ ⊕ W 。

12p12p§3.3 距离空间（度量空间——Metric Space ）定义（距离空间）：设W ≠ ∅ ，称W 为距离空间，指在W 中定义了映射： ρ ( X , Y ):W ×W → R + （包括 0）， ∀ X , Y ∈W 满足以下三条公理： ⅰ） ρ (X ,Y ) ≥0 ，且 ρ (X ,Y ) = 0 ⇔ X = Y （正定性）ⅱ） ρ (X , Y ) = ρ (Y , X ) （可交换性）ⅲ） ρ (X , Z ) ≤ ρ (X , Y ) + ρ (Y , Z ) （三角不等式） ρ (X , Y ) 称为W 上的距离， (W , ρ ) 为度量空间。

∞定义（收敛）：度量空间 (W , ρ ) 中的点列{x n }收敛于x n ⇔ x = 1∞是 {x n } 的极限 0n = 1⇔ ρ (x , x ) → 0 , 当 n → ∞ ⇔ lim n x 0= xn →∞ n0 定理：在 (W , ρ ) 中，每个收敛点列有唯一的极限点。

∞定义（柯西序列——Cauchy Sequence ）：设{x n } 是 ( n = 1W , ρ ) 中的点列，∞若对 ∀ε > 0 , ∃N = N ( ε ) ，使 ρ ( x , x ) <ε , ∀n , m > N ，则称 {x n } 是n m ( W , ρ ) 中的柯西序列。

注：( W , ρ ) 中任意收敛序列是柯西序列，但 ( W 敛到 ( W , ρ ) 中。

, ρ ) n = 1中的柯西序列未必收定义（完备度量空间——Complete Metric Space ）：(W , ρ ) 称为完备度量 空间，指其中所有柯西序列都收敛。

§3.4 巴拿赫（Banach ）空间 1. 赋范线性空间：定义（赋范线性空间）：设W ≠ ∅ 是线性空间，若对 ∀ X , Y ∈W ，∃ X 满 足：ⅰ） ∃ X ≥0 ，且X = 0 ⇔ X = 0 （正定性）ⅱ） α X = α X , ∀α ∈ C （正齐性） ⅲ） X + Y ≤ X + Y （三角不等式）称为 X 的范数（Norm ），定义了范数的线性空间W 称为赋范线性空间，记为： (W , • ) 。

2《信号与系统》第三章：泛函分析初步注：度量空间与赋范空间的关系：在 ( W（广义）长度的推广： T n, • ) 中，定义：R n ， ∀X = [x , x , , x ] ∈ R12 nX p =特别的：n⎧ ⎨ ∑ x ⎩ i = 1 p⎫ i ⎬ ⎭1p, 1 ≤ p < ∞（3-2）为欧氏范数。

p = ∞ , X ∞ = maxp = 2 , X = X , 2∞p x i ,∀ i（3-3）1X 2（3-4）lp⎪⎨ X = { x n⎩∞ } n = 1 ⎪∑ xi< ∞ ⎬ ,1 ≤ p < ∞i = 1⎭1 （3-5）X p =特别的，n⎧ ⎨ ∑ x ⎩ i = 1p ⎫i ⎬ ⎭ p, 1 ≤ p < ∞（3-6）p = ∞ , X = s u px, ∀ i∞i（3-7）C [ a , b ]，对 ∀x (t )∈C [a , b ]，pbpL [ a , b ] x (t ) |x (t ) d t < ∞{ ∫a1 b ppx (t ) =x (t ) d t ,1 ≤ p < ∞（3-9）p{ ∫特别的，p = ∞ , x (t ) a= sup x ∞∞}(t ) , ∀ t ∈ [a , b ]∞p p（3-10）Minkowski 不等式：设 a i , b i ≥ 0, ∀ i ,1 ∞p∞∑ a i < ∞ , i = 1 1 p∞∑ b i < ∞ ，则： i = 11 p⎧⎨ ∑ ( a i + b i ) ⎩ i = 1p⎫ ⎛⎬ ≤ ⎜ ∑ a⎭ ⎝ i = 13p ⎞ ⎛ p ⎞ i ⎟ ⎜ ∑ b i ⎟ , p ≥ 1（3-11）⎠ ⎝ i = 1 ⎠《信号与系统》第三章：泛函分析初步∞等号成立条件为： {b i }∞= α {a i } 。

i 定理：= 1i = 11 2（3-12）p⎪ ，其中 l ⎨ X = { x l∞ p ∞}x ⊂ l ⊂ ⊂ l∞⎪ < ∞ ⎬ ,1 ≤ p < ∞ 。

n n = 1 ⎩ ∑ i = 1 ∞i⎭p证明： ∀X ∈ l p ，因为∑ xn< ∞ ，n =1所以 ∃N, 使得当 n<N 时，恒有： x n < 1 。

∞∞因而， xpq<x < ∞ ,∀ q > p ，∑n = Nn∑n = Nn因此，X ∈ l q ，所以：lp⊂ q l 。

定义（强收敛）：在 ( W ,∞• ) 中， {x n } 收敛于 x ，指： lim x − x = 0 ，n =1n →∞n也称为依范数收敛（Convergence in Norm ）。

定义（弱收敛）：依泛函收敛。

注：强收敛 ⇒ 弱收敛。

2. Banach 空间：定义（Banach 空间）：完备的 ( W, • ) 称为 Banach 空间。

1 1pqHolder 不等式：若 f (x )∈则bL [ a , b ], g ( x ) ∈ L [a , b ],1 bppb+ p q q= 1, 1 q∫ af ( x )g ( x ) d x ≤ { f ( x ) ∫ a = f ( x ) gpd x } { g ( x ) d x }∫a（3-13）( x )q定理：若1≤ p ≤ q ≤ ∞ ，则qL [ a ,b ] ⊆证明：当 p=q 时，定理显然成立。

p ppL [ a , b ] （3-14）1 1当1 ≤ p < q < r ≤ ∞ 时，构造4+ q r= 1 ，即 1 = −，r p q《信号与系统》第三章：泛函分析初步对 b∀f ( xq) ∈ L [ a , b ] ，依 Holder 不等式有pb p p∫f ( x ) d x =a∫f ( x ) 1 d xap p⎪ b[ f ( x ) qp ]p dx⎪ qr ⎧ b ⎫ r1 p p d x≤ ⎨∫ ⎬ ⎨∫⎬ = ⎩ {∫ab q f ( x ) a1 p qd x }a⎭ ⎩⎭p [ b − a ] r11 即：b{ ∫ appbqqf ( x ) d x ≤ [ b − a ] rf ( x ) d x} { ∫ }a11 1即： f ( x )因此， f (x )§3.5 Hilbert 空间1.内积空间：( − ) ≤ [ b − a ] r f ( x ) = [ b − a ]p qf ( x )pqqp p∈ L [ a , b ] ，即 L q [a ,b ] ⊆ L [ a , b ] 。

定义（内积）：设W ≠ ∅ 为实或复线性空间，若对 ∀X , Y , Z ∈W , λ ∈ C （数域），均有一个实数或复数与之对应，记为 X , Y ，满足：ⅰ） X , X ≥ 0 ，且 X , X = 0 ⇔ X = 0 （正定性）*ⅱ） X , Y = Y , X （共轭交换性）ⅲ） λX , Y = λ X , Y （齐次性）ⅳ） X + Y , Z = X , Z + Y , Z （加法分配性）则称 X , Y 为 X 与Y 的内积，定义了内积的空间为内积空间。

注：1.2.*X , λ Y = λ X , Y X , Y :W ×W → C （实/复数域），若W 为数的集合，则 X , Y 为 通常的二元函数。

3. ⅲ）和ⅳ）可合并：αX + β Y , Z = α X , Z +β Y , Z 。

5《信号与系统》 第三章：泛函分析初步例子：nT T nR = span { X , X , , X } ， X =[ x , ,x ] ,Y = [ y , , y ] ∈ R ，12n1n1nnTX , Y = X Y =∑ i = 1U n （约定了内积的复线性空间），Hx i yi（3-15），H 表示共轭转置。

C [ a , b ] ，x (t ) ,X , Y = X Y（3-16）b*y (t )x (t ) y (t ) d t（3-17）=∫a2 L [ a , b ] = X (t ) | bHX (t ) X (t )d t < ∞n∫ {X (t ) = ⎣ x (t ) , , xaT 2(t ) ⎦ ∈ L [ a , b ], x(t )}（3-18）2 ∈ L [ a , b ], i = 1, , n ， 1nnibHX (t ), Y (t )X (t )Y (t )d t（3-19）=∫a2. Hilbert 空间：1定义（欧氏范数） X = X , X 2 ，则内积（线性）空间成为赋范线性空 2间。