三角形内外角试题训练
三角形的内外角、直角三角形的性质
三角形的内外角、直角三角形的性质一．选择题（共30小题）1．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A=2∠B=3∠C B．∠A+∠B=2∠CC．∠A=∠B=30°D．∠A=∠B=∠C2．适合条件∠A=∠B=∠C的三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．任意三角形3．在下列条件中，①∠A+∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=1：2：3；③∠A=∠B=∠C；④∠A=∠B=2∠C；⑤∠A=2∠B=3∠C，能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．如图，AB∥CD，那么∠A，∠P，∠C的数量关系是（）A．∠A+∠P+∠C=90°B．∠A+∠P+∠C=180°C．∠A+∠P+∠C=360°D．∠P+∠C=∠A5．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C②∠A﹕∠B﹕∠C=1﹕2﹕3③∠A=∠B=∠C④∠A=∠B=2∠C⑤∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A．5个B．4个C．3个D．2个6．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．100°B．120°C．130°D．180°7．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（）A．90°B．180°C．360°D．无法确定8．已知△ABC的三个内角满足，∠B+∠C=2∠A，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．任何一个三角形的三个内角中至少有（）A．一个角大于60°B．两个锐角C．一个钝角D．一个直角10．在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B等于（）A．50°B．75°C．100°D．125°11．如图，∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A等于（）A．360°B．300°C．180°D．240°12．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=（）A ．70°B ．80°C ．90°D ．100°13．如图所示，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°，则∠BDC 的度数为（ ）A ．60°B ．70°C ．80°D ．85°14．如图，△BEF 的内角∠EBF 平分线BD 与外角∠AEF 的平分线交于点D ，过D 作DH ∥BC 分别交EF 、EB 于G 、H 两点．下列结论：①S △EBD ：S △FBD =BE ：BF ；②∠EFD=∠CFD ；③HD=HF ；④BH ﹣GF=HG ，其中正确结论的个数有（ ）A ．只有①②③B ．只有①②④C ．只有③④D ．①②③④15．如图所示，表示∠1，∠2，∠3，∠4的关系正确的选项为（ ）A ．∠1+∠2=∠4﹣∠3B ．∠1﹣∠3=∠2﹣∠4C ．∠1+∠2=∠3+∠4D ．∠1﹣∠2=∠4﹣∠3 16．已知三角形的三个外角的度数比为2：3：4，则它的最大内角的度数为（ ）A ．90°B ．110°C ．100°D ．120°17．将一副三角板（含30°、45°的直角三角形）摆放成如图所示，图中∠1的度数是（）A．90°B．120°C．135°D．150°18．如图所示，∠A=28°，∠BFC=92°，∠B=∠C，则∠BDC的度数是（）A．85°B．75°C．64°D．60°19．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，点E 在BC的延长线上，DE交AC于点F，设∠DFC=∠1，下列关于∠A、∠B、∠E、∠1的关系式中，正确的（）A．∠A+∠B=∠1+∠E B．∠A+∠B=∠1﹣∠E C．∠A﹣∠B=∠1﹣∠E D．∠A﹣∠B=∠1+∠E20．如图，在△ABC中，∠B=90°，∠ACB、∠CAF的平分线所在的直线交于点H，则∠H的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．以上都有可能21．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A﹣∠B=∠CC．∠A：∠B：∠C=1：2：3D．∠A=∠B=3∠C22．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（）A．图中有三个直角三角形B．∠1=∠2C．∠1和∠B都是∠A的余角D．∠2=∠A23．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，则∠A的度数是（）A．66°B．36°C．56D．46°24．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个25．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个26．如图，△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC，BD⊥AE交AE的延长线于D．若∠1=24°，则∠EAB等于（）A．66°B．33°C．24°D．12°27．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120°28．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，且AB=5，AC=4，BC=3，则CD=（）A．B．C．D．29．直角三角形的两个锐角平分线所夹的锐角是（）A．30°B．60°C．45°D．15°和75°30．如果一个三角形的一个顶点是它的三条高的交点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形三角形的内外角、直角三角形的性质参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A=2∠B=3∠C B．∠A+∠B=2∠C C．∠A=∠B=30°D．∠A=∠B=∠C【解答】解：A、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=2∠B=3∠C，则∠A=°，所以A选项错误；B、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A+∠B=2∠C，则∠C=60°，不能确定△ABC为直角三角形，所以B选项错误；C、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=∠B=30°，则∠C=150°，所以B选项错误；D、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=∠B=∠C，则∠C=90°，所以D选项正确．故选D．2．适合条件∠A=∠B=∠C的三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．任意三角形【解答】解：设∠A=x，则∠B=x，∠C=3x．根据三角形的内角和定理，得x+x+3x=180，x=36．则∠C=108°．则该三角形是钝角三角形．故选B．3．在下列条件中，①∠A+∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=1：2：3；③∠A=∠B=∠C；④∠A=∠B=2∠C；⑤∠A=2∠B=3∠C，能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：①、∵∠A+∠B=∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故小题正确；②、∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，△ABC是直角三角形，故本小题正确；③、设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则x+2x+3x=180°，解得x=30°，故3x=90°，△ABC是直角三角形，故本小题正确；④∵设∠C=x，则∠A=∠B=2x，∴2x+2x+x=180°，解得x=36°，∴2x=72°，故本小题错误；⑤∠A=2∠B=3∠C，∴∠A+∠B+∠C=∠A+∠A+A=180°，∴∠A=°，故本小题错误．综上所述，是直角三角形的是①②③共3个．故选B．4．如图，AB∥CD，那么∠A，∠P，∠C的数量关系是（）A．∠A+∠P+∠C=90°B．∠A+∠P+∠C=180°C．∠A+∠P+∠C=360°D．∠P+∠C=∠A【解答】解：连接AC．∵AB∥CD，∴∠BAC+∠DCA=180°，∵∠P+∠PAC+∠PCA=180°，∴∠BAP+∠P+∠DCP=∠BAC+∠DCA+∠P+∠PAC+∠PCA=360°．故选C．5．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C②∠A﹕∠B﹕∠C=1﹕2﹕3③∠A=∠B=∠C④∠A=∠B=2∠C⑤∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【解答】解：①、∵∠A+∠B=∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故小题正确；②、∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，△ABC是直角三角形，故本小题正确；③、设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则x+2x+3x=180°，解得x=30°，故3x=90°，△ABC是直角三角形，故本小题正确；④∵设∠C=x，则∠A=∠B=2x，∴2x+2x+x=180°，解得x=36°，∴2x=72°，故本小题错误；⑤∵∠A=∠B=∠C，∴∠A+∠B+∠C=∠C+∠C+∠C=2∠C=180°，∴∠C=90°，故本小题正确．综上所述，是直角三角形的是①②③⑤共4个．故选B．6．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．100°B．120°C．130°D．180°【解答】解：如图，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1，∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，∴∠1+∠2=150°﹣∠3，∵∠3=50°，∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．故选：A．7．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（）A．90°B．180°C．360°D．无法确定【解答】解：延长BE交AC于F，∵∠A+∠B=∠2，∠D+∠E=∠1，∠1+∠2+∠C=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，故选B．8．已知△ABC的三个内角满足，∠B+∠C=2∠A，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：∵∠B+∠C=2∠A，∠A+∠B+∠C=180°，∴6∠A=180°，解得∠A=60°．故选C．9．任何一个三角形的三个内角中至少有（）A．一个角大于60°B．两个锐角C．一个钝角D．一个直角【解答】解：根据三角形的内角和是180°，知：三个内角可以都是60°，排除A；三个内角可以都是锐角，排除C和D；三角形的三个内角中至少有两个锐角，不可能有两个钝角或两个直角．故选B．10．在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B等于（）A．50°B．75°C．100°D．125°【解答】解：设∠C=x°，则∠B=x°+25°．根据三角形的内角和定理得x+x+25=180﹣55，x=50．则x+25=75．故选B．11．如图，∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A等于（）A．360°B．300°C．180°D．240°【解答】解：∵∠B+∠C=∠CGE=180°﹣∠1，∠D+∠E=∠DFG=180°﹣∠2，∴∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A=360°﹣（∠1+∠2+∠A）=180°．故选C．12．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=（）A．70°B．80°C．90°D．100°【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，∴∠A=∠ACM﹣∠ABC=60°，∠ACB=180°﹣∠ACM=80°，∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，∵∠BPC=20°，∴∠P=180°﹣∠PBC﹣∠BCP=30°，∴∠A+∠P=90°，故选C．13．如图所示，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°，则∠BDC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．85°【解答】解：∵∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°，∴∠3+∠4=180°﹣∠1﹣∠2﹣∠A=180°﹣20°﹣25°﹣35°=100°，在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠3﹣∠4=180°﹣100°=80°．故选C ．14．如图，△BEF 的内角∠EBF 平分线BD 与外角∠AEF 的平分线交于点D ，过D 作DH ∥BC 分别交EF 、EB 于G 、H 两点．下列结论：①S △EBD ：S △FBD =BE ：BF ；②∠EFD=∠CFD ；③HD=HF ；④BH ﹣GF=HG ，其中正确结论的个数有（ ）A ．只有①②③B ．只有①②④C ．只有③④D ．①②③④【解答】解：①正确． 因为S △EBD =BD•BE•sin ∠EBD ，S △FBD =BD•BF•sin ∠DBF ，所以S △EBD ：S △FBD =BD•BE•sin ∠EBD ：BD•BF•sin ∠DBF ，因为BD 是∠EBC 的平分线，所以sin ∠EBD=sin ∠DBF ，所以S △EBD ：S △FBD =BE ：BF ；②正确．过D 作DM ⊥AB ，DN ⊥CB ，DO ⊥EF ，∵DE 是∠AEF 的平分线，∴AD ﹣DO ，∵DB 是∠ABC 的平分线，∴DA=DN ，∴DO=DN ，∴DF 是∠EFC 的平分线，∴∠EFD=∠CFD ；③错误．因为HD ∥BF ，所以∠HDB=∠FBD ，又因为BD 平分∠ABC ，所以∠HBD=∠CBD，于是∠HBD=∠HDB，故HB=HD．但没有条件说明HF与HB必然相等；④正确．由于点D为△BEF的内角∠EBF平分线BD与外角∠AEF的平分线的交点，故D为△BEF的内心，于是FD为∠EFC的平分线，故∠CFD=∠EFD，又因为DH∥BC，所以∠HDF=∠CFD，故∠GDF=∠DFE，于是GF=GD，又因为HB=HD，所以HD﹣GD=HG，即BH﹣GF=HG．故①②④正确．故选B．15．如图所示，表示∠1，∠2，∠3，∠4的关系正确的选项为（）A．∠1+∠2=∠4﹣∠3B．∠1﹣∠3=∠2﹣∠4C．∠1+∠2=∠3+∠4D．∠1﹣∠2=∠4﹣∠3【解答】解：∵∠AEF是△BDE的外角，∴∠AEF=∠2+∠3，同理，∠4是△AEF的外角，∴∠4=∠AEF+∠1，即∠4=∠1+∠2+∠3，即∠1+∠2=∠4﹣∠3．故选A．16．已知三角形的三个外角的度数比为2：3：4，则它的最大内角的度数为（）A．90°B．110°C．100°D．120°【解答】解：设三个外角的度数分别为2k，3k，4k，根据三角形外角和定理，可知2k°+3k°+4k°=360°，得k=40°，所以最小的外角为2k=80°，故最大的内角为180°﹣80°=100°．故选C．17．将一副三角板（含30°、45°的直角三角形）摆放成如图所示，图中∠1的度数是（）A．90°B．120°C．135°D．150°【解答】解：由图可知，∠2=30°，∠3=90°，∴∠1=∠2+∠3=90°+30°=120°．故选B．18．如图所示，∠A=28°，∠BFC=92°，∠B=∠C，则∠BDC的度数是（）A．85°B．75°C．64°D．60°【解答】解：设∠B=∠C=x，∵∠CDB=∠A+∠B，∠CFB=∠C+∠CDF，∵∠A=28°，∠BFC=92°，∴28°+x+x=92°，解得：x=32°，∴∠BDC=∠A+∠B=28°+32°=60°．故选D．19．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，点E 在BC的延长线上，DE交AC于点F，设∠DFC=∠1，下列关于∠A、∠B、∠E、∠1的关系式中，正确的（）A．∠A+∠B=∠1+∠E B．∠A+∠B=∠1﹣∠E C．∠A﹣∠B=∠1﹣∠E D．∠A﹣∠B=∠1+∠E【解答】解：在△ABC中，由三角形的外角性质得，∠ACE=∠A+∠B，在△CEF中，由三角形的外角性质得，∠ACE=∠1﹣∠E，所以∠A+∠B=∠1﹣∠E．故选B．20．如图，在△ABC中，∠B=90°，∠ACB、∠CAF的平分线所在的直线交于点H，则∠H的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．以上都有可能【解答】解：∵CH、AD分别为∠ACB、∠CAF的平分线，∴∠CAD=∠CAF=∠H+∠ACB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），又∵∠CAF=∠B+∠ACB=90°+∠ACB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），即∠CAF﹣∠ACB=45°，∴∠H=∠CAF﹣∠ACB=45°．故选B．21．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A﹣∠B=∠CC．∠A：∠B：∠C=1：2：3D．∠A=∠B=3∠C【解答】解：A中∠A+∠B=∠C，即2∠C=180°，∠C=90°，为直角三角形，同理，B，C均为直角三角形，D选项中∠A=∠B=3∠C，即7∠C=180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，故选：D．22．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（）A．图中有三个直角三角形B．∠1=∠2C．∠1和∠B都是∠A的余角D．∠2=∠A【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∴△ACD∽△CBD∽△ABC．A、∵图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本选项正确；B、应为∠1=∠B、∠2=∠A；故本选项错误；C、∵∠1=∠B、∠2=∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本选项正确；D、∵∠2=∠A；故本选项正确．故选B．23．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，则∠A的度数是（）A．66°B．36°C．56D．46°【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣54°=36°；故选：B．24．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠C+∠B=90°，∠BDF+∠B=90°，∠BAD+∠B=90°，∴∠C=∠BDF=∠BAD，∵∠DAC+∠C=90°，∠DAC+∠ADE=90°，∴∠C=∠ADE，∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，故选：A．25．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：如图，∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠C+∠B=90°，∠BDF+∠B=90°，∠BAD+∠B=90°，∴∠C=∠BDF=∠BAD，∵∠DAC+∠C=90°，∠DAC+∠ADE=90°，∴∠C=∠ADE，∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，故选：A．26．如图，△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC，BD⊥AE交AE的延长线于D．若∠1=24°，则∠EAB等于（）A．66°B．33°C．24°D．12°【解答】解：∵∠C=90°，BD⊥AE，∴∠CAE+∠AEC=90°，∠1+∠BED=90°，∵∠AEC=∠BED（对顶角相等），∴∠CAE=∠1=24°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAB=∠CAE=24°．故选C．27．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120°【解答】解：如图，∵在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，∴∠A=70°．∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴∠AED=∠AFD=90°，∴∠EDF=360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=110°．故选：C．28．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，且AB=5，AC=4，BC=3，则CD=（）A．B．C．D．【解答】解：根据直角三角形的面积公式，得AC•BC=AB•CD，则CD==．故选A．29．直角三角形的两个锐角平分线所夹的锐角是（）A．30°B．60°C．45°D．15°和75°【解答】解：如图，∠C=90°，BP，AP是两个锐角的平分线交于点P，∵∠C=90°∴∠BAC+∠ABC=90°∴（∠BAC+∠ABC）=45°∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC∴∠BAP=∠BAC，∠ABP=∠ABC∴直角三角形的两个锐角平分线所夹的锐角=∠BAP+∠ABP=45°．故选C．30．如果一个三角形的一个顶点是它的三条高的交点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【解答】解：A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误；B、因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，所以可以得出这个三角形是直角三角形，故正确；C、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误；D、等边三角形，三条高线交点在三角形内，故错误．故选B．第1页（共1页）。
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第二节三角形的内角试题(含答案) (87)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第二节三角形的内角试题（含答案)如图，ABC ∆的两条外角平分线交于点P ，50A ∠=︒，三角形的内角和为180︒，求P ∠的度数.【答案】65P ∠=︒.【解析】【分析】先由三角形的内角和定理求出130ACB ABC ∠+∠=︒，然后再根据补角及角平分线的性质求出PCB CBP ∠+∠，最后再根据三角形的内角和定理求出∠P 即可.【详解】解：50A ∠=︒130ACB ABC ∴∠+∠=︒ CP 平分ECB ∠，BP 平分DBC ∠3601301152PCB CBP ︒-︒∴∠+∠==︒ 18011565P ∴∠=︒-︒=︒【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质及补角的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键.62．如图，已知线OX OY ⊥，A ，B 为OX ，OY 上两动点，A ∠平分线与B 的外角平分线交于C ，试问：C ∠的度数是否随A ，B 运动而发生变化？【答案】C ∠的度数不随点A 、B 的运动而发生变化.【解析】【分析】 根据角平分线和垂线的性质，可求得12BAC BAO ∠=∠，1452OBC BAO ∠=︒+∠，然后再根据三角形的内角和定理求得90ABO BAO =︒-∠，再利用代入法和三角形内角和定理求得∠C 即可.【详解】解：OX OY ⊥90AOB ∠=︒∴∵A ∠的平分线与B 的外角平分线交于点C12BAC BAO ∴∠=∠ 90145222AOB A A OBC BAO ∠+∠︒+∠∠===︒+∠ ∵180ABO AOB BAO ∠+∠+∠=︒90ABO BAO ∴∠=︒-∠180C ABC BAC ∠+∠+∠=︒且ABC OBC ABO ∠=∠+∠∴∠C+45°+12∠BAO+90°－∠BAO+12∠BAO=180°， 45C ∴∠=︒C ∴∠是个定值，C ∠的度数不随点A 、B 的运动而发生变化，45C ∠=︒．【点睛】本题主要考查了角平分线、垂线的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.63．如图，直线m 与直线n 互相垂直，垂足为O 、A 、B 两点同时从点O 出发，点A 沿直线m 向左运动，点B 沿直线n 向上运动．(1)若∠BAO 和∠ABO 的平分线相交于点Q ，在点A ，B 的运动过程中，∠AQB 的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值，若发生变化，请说明理由．(2)若AP 是∠BAO 的邻补角的平分线，BP 是∠ABO 的邻补角的平分线，AP 、BP 相交于点P ，AQ 的延长线交PB 的延长线于点C ，在点A ，B 的运动过程中，∠P 和∠C 的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出∠P 和∠C 的度数；若发生变化，请说明理由．【答案】(1)∠AQB 的大小不发生变化，∠AQB ＝135°；(2)∠P 和∠C 的大小不变，∠P=45°，∠C=45°.【解析】【分析】第(1)题因垂直可求出∠ABO 与∠BAO 的和，由角平分线和角的和差可求出∠BAQ 与∠ABQ 的和，最后在△ABQ 中，根据三角形的内角各定理可求∠AQB的大小．第(2)题求∠P的大小，用邻补角、角平分线、平角、直角和三角形内角和定理等知识求解．【详解】解：(1)∠AQB的大小不发生变化，如图1所示，其原因如下：∵m⊥n，∴∠AOB＝90°，∵在△ABO中，∠AOB+∠ABO+∠BAO＝180°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，又∵AQ、BQ分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠BAQ＝12∠BAC，∠ABQ＝12∠ABO,∴∠BAQ+∠ABQ＝12(∠ABO+∠BAO)＝12×90∘=45∘又∵在△ABQ中，∠BAQ+∠ABQ+∠AQB＝180°，∴∠AQB＝180°﹣45°＝135°．(2)如图2所示：①∠P的大小不发生变化，其原因如下：∵∠ABF+∠ABO＝180°，∠EAB+∠BAO＝180°∠BAQ+∠ABQ＝90°，∴∠ABF+∠EAB＝360°﹣90°＝270°，又∵AP、BP分别是∠BAE和∠ABP的角平分线，∴∠PAB＝12∠EAB，∠PBA＝12∠ABF，∴∠PAB+∠PBA＝12(∠EAB+∠ABF)＝12×270°＝135°，又∵在△PAB中，∠P+∠PAB+∠PBA＝180°，∴∠P＝180°﹣135°＝45°．②∠C的大小不变，其原因如下：∵∠AQB＝135°，∠AQB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣135°，又∵∠FBO＝∠OBQ+∠QBA+∠ABP+∠PBF＝180°∠ABQ＝∠QBO＝12∠ABO，∠PBA＝∠PBF＝∠ABF，∴∠PBQ＝∠ABQ+∠PBA＝90°，又∵∠PBC＝∠PBQ+∠CBQ＝180°，∴∠QBC＝180°﹣90°＝90°．又∵∠QBC+∠C+∠BQC＝180°，∴∠C＝180°﹣90°﹣45°＝45°【点睛】本题考查三角形内角和定理，垂直，角平分线，平角，直角和角的和差等知识点，同时，也是一个以静求动的一个点型题目，有益于培养学生的思维几何综合题．64．已知:如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试解答下列问题：(1)在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系:_____________________；(2)在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数(写出解答过程)；(3)如果图2中，∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系(直接写出结论即可).【答案】（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）35°；（3）2∠P=∠B+∠D【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°，易得∠A+∠D=∠B+∠C；（2）仔细观察图2，得到两个关系式∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，再由角平分线的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，两式相减，即可得结论．（3）参照（2）的解题思路.【详解】解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C ；（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P ，∠2+∠P=∠4+∠B ，∴∠1-∠3=∠P-∠D ，∠2-∠4=∠B-∠P ，又∵AP 、CP 分别平分∠DAB 和∠BCD ，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P-∠D=∠B-∠P ，即2∠P=∠B+∠D ，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．（3）由（2）的解题步骤可知，∠P 与∠D 、∠B 之间的数量关系为：2∠P=∠B+∠D ．【点睛】考查三角形内角和定理, 角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理是解题的关键.65．如图，在ABC 中，90BAC ∠=，AB AC =，点D 在BC 上，且BD BA =，点E 在BC 的延长线上，且CE CA =．求DAE ∠的度数．【答案】45【解析】根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，根据等边对等角的性质求出∠BAD=∠BDA ，∠E=∠CAE ，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠DAE 的度数．【详解】解：∵603024x -=，AB AC =，∴45B ACB ∠=∠=，∵BD BA =， ∴()11804567.52BAD BDA ∠=∠=-=， ∵CE CA =， ∴14522.52E CAE ∠=∠=⨯=， ∴DAE BDA E ∠=∠-∠67.522.5=-，45=．【点睛】考查了等边对等角的性质和三角形的外角性质，解题关键熟练并灵活利用等边对等角的性质和三角形的外角性质．三、填空题66．在△ABC 中，36,2A B C B ∠-∠=∠=∠，则B ∠=______.【答案】36°【解析】根据角度的关系与三角形的内角和即可求解.【详解】由36,2A B C B ∠-∠=∠=∠，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠A+3∠B=180°，解得∠A=72°，∠B=36°，【点睛】此题主要考察三角形的角度计算，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°.67．在△ABC 中，若∠B=∠C=2∠A,则∠A=_____【答案】36°【解析】【分析】设∠A =x ，则∠B =∠C =2x ．根据三角形内角和定理解答即可．【详解】设∠A =x ，则∠B =∠C =2x ．∵∠A +∠B +∠C =180°，∴x +2x +2x =180°，解得：x =36°，∴∠A =36°．故答案为：36°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理．熟练掌握三角形内角和定理是解答本题的关键．68．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，将ABC △沿CD 折叠，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若20A ∠=︒，则ADE ∠的度数是________.【答案】50︒【解析】【分析】首先根据题意，可得：∠CED=∠B ，然后根据三角形的内角和定理，求出∠B 的度数，即可求出∠ADE 的度数是多少．【详解】∵将△ABC 沿CD 折叠，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处，∴∠CED=∠B ，∵∠ACB=90°，∠A=20°，∴∠B=180°-90°-20°=70°，∴∠CED=70°，∵∠CED=∠ADE+∠A ，∴∠ADE=70°-20°=50°．故答案是：50°．【点睛】考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．69．如果直角三角形的一个内角为40°，则这个直角三角形的另一个锐角为_____．【答案】50°【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余进行求解即可.【详解】∠直角三角形的一个内角为40°，∠这个直角三角形的另一个锐角＝90°﹣40°＝50°，故答案为50°.【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握是解题的关键.70．如果三角形的三个内角的比是3：4：7，那么这个三角形是_________三角形（按角分类）；【答案】直角【解析】【分析】设三个角分别为：3x，4x，7x．根据三角形的内角和定理得3x+4x+7x=180°，可得到x的值，即可得到7x的值，于是可判断三角形的形状．【详解】设三个角分别为：3x，4x，7x．∵3x+4x+7x=180°，∴x=907o，∴7x=90°，所以此三角形为直角三角形．故答案是：直角．【点睛】考查了三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和为180°．同时考查了三角形的分类．。
三角形的内角及外角和试题
A、∠A ＜∠1 ＞∠2 B、∠2 ＞∠1 ＞∠AC、∠1 ＞∠2 ＞∠A D、无法确定
7.以下命题中正确的是 （ ）
A、三角形的三个内角与三个外角的和为540°B、三角形的外角大于它的内角
C、三角形的外角都比锐角大D、三角形中的内角没有小于60°的
8.如图4，∠B =∠C，则∠ADC与∠AEB的大小关系（ ）
S阴＝1/2S矩形ABCD；
（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为S阴＝1/2S平行四边形ABCD
（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为S阴＝1/2S四边形ABCD；
解决问题：
（4）在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和，即S1+S2+S3+S4= 2020．
5．探索发现：（1）如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的面积为S，则△ACD的面积为1/2S
18．已知BD是△ABC的中线，△ABD的周长比△BCD的周长大2cm，若△ABC的周长为18cm，且AC=4cm，求AB和BC的长．
19．△ABC中，AB：AC=3：2，BC=AC+1，若△ABC的中线BD把△ABC的周长分成两部分的比是8：7，求边AB，AC的长．
20．若△ABC中两边长之比为2：3，三边都是整数且周长为18cm，求各边的长．
A∠ADC＞∠AEB B、∠ADC = ∠AEB C、∠ADC＜∠AEB D、大小关系不能确定
三角形的内、外角和三线综合练习题
三角形的内、外角和三线综合练习题三角形的内、外角和三线综合练习题一．解答题（共30小题）1．（2010•玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．2．（2006•浙江）已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：∠P=90°．3．（2000•内蒙古）如图，已知在三角形ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．4．（2013•响水县一模）探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：_________．5．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE交CE于F，求∠CDF的度数．6．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；（2）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为_________秒（直接写出结果）；（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．7．如图，AD、BC交于O点，且∠A=∠B，∠C=∠D．求证：AB∥CD．8．如图，已知点A，D，B在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠E．求证：DE∥BC．9．如图，∠D=∠1，∠E=∠2，DC⊥EC．求证：AD∥BE．10．如图，若∠CAB=∠CED+∠CDE，求证：AB∥CD．11．直线AB、CD被直线EF所截，EF分别交AB、CD于M，N，∠EMB=50°，MG平分∠BMF，MG交CD于G．（1）如图1，若AB∥CD，求∠1的度数．（2）如图2，若∠MNC=140°，求∠1的度数．12．如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE平分∠BAD，若AE∥CF，∠BCF=60°，请你求出∠DCF的度数．并说明你的理由．13．已知AB∥CD，直线l与AB、CD分别交于点E、F，点P是直线CD上的一个动点（点P不与F重合），点M 在EF上，且∠FMP=∠FPM，（1）如图1，当点P在射线FC上移动时，若∠AEF=60°，则∠FPM=_________；假设∠AEF=a，则∠FPM= _________；（2）如图2，当点P在射线FD上移动时，猜想∠FPM与∠AEF有怎样的数量关系？请你说明理由．14．如图（1）直线GC∥HD，EF交CG、HD于A、B，三条直线把EF右侧的平面分成①、②、③三个区域，（规定：直线上各点不属于任何区域）．将一个透明的直角三角尺放置在该图中，使得30°角（即∠P）的两边分别经过点A、B，当点P落在某个区域时，连接PA、PB，得到∠PBD、∠PAC两个角．（1）如图（1），当点P落在第②区域时，求∠PAC+∠PBD的度数；（2）如图（2），当点P落在第③区域时，∠PAC﹣∠PBD=_________度（3）如图（3），当点P落在第①区域时，直接写出∠PAC、∠PBD之间的等量关系．15．如图，直线a∥b，直线AC分别交a、b于点B、点C，直线AD交a于点D．若∠1=20°，∠2=65°，求∠3的度数．16．（1）如图（1），AB∥CD，点P在AB、CD外部，若∠B=40°，∠D=15°，则∠BPD=_________．（2）如图（2），AB∥CD，点P在AB、CD内部，则∠B，∠BPD，∠D之间有何数量关系？证明你的结论；（3）在图（2）中，将直线AB绕点B按逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点M，如图（3），若∠BPD=90°，∠BMD=40°，求∠B+∠D的度数．17．（2012•樊城区模拟）下面是有关三角形内外角平分线的探究，阅读后按要求作答：探究1：如图（1），在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现：∠BOC=90°+∠A（不要求证明）．探究2：如图（2）中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的数量关系？请说明理由．探究3：如图（3）中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的数量关系？（只写结论，不需证明）．结论：_________．18．（2011•宜兴市二模）操作示例如图1，△ABC中，AD为BC边上的中线，则S△ABD=S△ADC．实践探究（1）在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S矩形ABCD之间满足的关系式为_________（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为_________；（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为_________；解决问题：（4）在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和，即S1+S2+S3+S4=_________．19．如图，在△BCD中，BE平分∠DBC交CD于F，延长BC至G，CE平分∠DCG，且EC、DB的延长线交于A 点，若∠A=33°，∠DFE=63°．（1）求证：∠DFE=∠A+∠D+∠E；（2）求∠E的度数；（3）若在上图中作∠CBE与∠GCE的平分线交于E1，作∠CBE1与∠GCE1的平分线交于E2，作∠CBE2与∠GCE2的平分线于E3，以此类推，∠CBE n与∠GCE n的平分线交于E n+l，请用含有n的式子表示∠E n+l的度数（直接写答案）．20．已知：△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，请根据题中所给的条件，解答下列问题：（1）如图1，若∠BAD=60°，∠EAD=15°，求∠ACB的度数．（2）通过以上的计算你发现∠EAD和∠ACB﹣∠B之间的关系应为：_________．（3）在图2的△ABC中，∠ACB＞90°，那么（2）中的结论仍然成立吗？为什么？21．如图（甲），D是△ABC的边BC的延长线上一点．∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1．（1）若∠ABC=80°，∠ACB=40°，则∠P1的度数为_________；（2）若∠A=α，则∠P1的度数为_________；（用含α的代数式表示）（3）如图（乙），∠A=α，∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1，∠P1BC、∠P1CD的平分线相交于P2，∠P2BC、∠P2CD的平分线相交于P3依此类推，则∠Pn的度数为_________（用n与α的代数式表示）22．在△ABC中，∠C＞∠B，AE是△ABC中∠BAC的平分线；（1）若AD是△ABC的BC边上的高，且∠B=30°，∠C=70°（如图1），求∠EAD的度数；（2）若F是AE上一点，且FG⊥BC，垂足为G（如图2），求证：；（3）若F是AE延长线上一点，且FG⊥BC，G为垂足（如图3），②中结论是否依然成立？请给出你的结论，并说明理由．23．已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE，DF分别是△ADC的高和角平分线（∠C＞∠DAC），若∠B=80°，∠C=40°．（1）求∠DAE的度数；（2）试猜想∠EDF、∠C与∠DAC有何关系？并说明理由．24．如图，在△ABC中，已知∠ACB=67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB=45°，求∠ABE和∠BFC的度数．25．如图，已知△ABC中，∠B=40°，∠C=62°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求：∠DAE的度数．（写出推导过程）26．已知△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，点D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）若AD为△ABC的角平分线（如图1），图中∠1、∠2有何数量关系？为什么？（2）若AD为△ABC的高（如图2），求图中∠1、∠2的度数．27．如图，（1）在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是_________．（2）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，∠ABD2与∠ACD2的角平分线交于点D3，若∠BD3C的度数是n°，则∠A的度数是_________（用含n的代数式表示）．28．已知△ABC．（1）若∠BAC=40°，画∠BAC和外角∠ACD的角平分线相交于O1点（如图①），求∠BO1C的度数；（2）在（1）的条件下，再画∠O1BC和∠O1CD的角平分线相交于O2点（如图②），求∠BO2C的度数；（3）若∠BAC=n°，按上述规律继续画下去，请直接写出∠BO2012C的度数．29．（1）如图1，在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高线，BD与CE相交于点P，若已知∠A=50°，∠BPC的度数为多少；（2）如图2，在钝角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高线，BD与EC的延长线相交于点P，若已知∠A=50°，则∠BPC的度数为多少；（3）在△ABC中，若∠A=α，请你探索AB、AC边上的高线（或延长线）相交所成的∠BPC的度数．（可以用含α的代数式表示）30．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？三角形的内、外角和三线综合练习题参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2010•玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．分析：（1）延长BP交CD于E，根据两直线平行，内错角相等，求出∠PED=∠B，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可说明不成立，应为∠BPD=∠B+∠D；（2）作射线QP，根据三角形的外角性质可得；（3）根据三角形的外角性质，把角转化到四边形中再求解．解答：解：（1）不成立．结论是∠BPD=∠B+∠D延长BP交CD于点E，∵AB∥CD∴∠B=∠BED又∵∠BPD=∠BED+∠D，∴∠BPD=∠B+∠D．（2）结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．（3）连接EG并延长，根据三角形的外角性质，∠AGB=∠A+∠B+∠E，又∵∠AGB=∠CGF，在四边形CDFG中，∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．2．（2006•浙江）已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：∠P=90°．分析：由AB∥CD，可知∠BEF与∠DFE互补，由角平分线的性质可得∠PEF+∠PFE=90°，由三角形内角和定理可得∠P=90度．解答：证明：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°．又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，∴∠PEF=∠BEF，∠PFE=∠DEF，∴∠PEF+∠PFE=（∠BEF+∠DFE）=90°．∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，∴∠P=90°．3．（2000•内蒙古）如图，已知在三角形ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．分析：根据三角形的内角和定理与∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．解答：解：∵∠C=∠ABC=2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，∴∠A=36°．则∠C=∠ABC=2∠A=72°．又BD是AC边上的高，则∠DBC=90°﹣∠C=18°．4．（2013•响水县一模）探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．分析：探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；探究四：根据六边形的内角和公式表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．解答：解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，=180°﹣（∠ADC+∠ACD），=180°﹣（180°﹣∠A），=90°+∠A；探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，=180°﹣∠ADC﹣∠BCD，=180°﹣（∠ADC+∠BCD），=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B），=（∠A+∠B）；探究四：六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2）•180°=720°，∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠P=∠ADC，∠PCD=∠ACD，∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，=180°﹣（∠ADC+∠ACD），=180°﹣（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F），=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．5．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE交CE于F，求∠CDF的度数．分析：首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，再根据CE平分∠ACB求得∠ACE的度数，则根据三角形的外角的性质就可求得∠CED=∠A+∠ACE，再结合CD⊥AB，DF⊥CE就可求解．解答：解：∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=180°﹣40°﹣72°=68°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=34°，∴∠CED=∠A+∠ACE=74°，∴∠CDE=90°，DF⊥CE，∴∠CDF+∠ECD=∠ECD+∠CED=90°，∴∠CDF=74°．6．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；（2）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为12或30秒（直接写出结果）；（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．分析：（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，则∠AON=30°或∠NOR=30°，即顺时针旋转300°或120°时ON平分∠AOC，据此求解；（3）因为∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，然后作差即可．解答：解：（1）已知∠AOC=60°，∴∠BOC=120°，又OM平分∠BOC，∠COM=∠BOC=60°，∴∠CON=∠COM+90°=150°；（2）延长NO，∵∠BOC=120°∴∠AOC=60°，当直线ON恰好平分锐角∠AOC，∴∠AOD=∠COD=30°，即顺时针旋转300°时NO延长线平分∠AOC，由题意得，10t=300°∴t=30，当NO平分∠AOC，∴∠NOR=30°，即顺时针旋转120°时NO平分∠AOC，∴10t=120°，∴t=12，∴t=12或30；（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，∴∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）=30°，所以∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC=30°．7．如图，AD、BC交于O点，且∠A=∠B，∠C=∠D．求证：AB∥CD．分析：证两直线平行，需证得两直线的内错角相等．结合已知，可用△AOB和△COD的外角∠AOC为媒介，证得∠A=∠D或∠B=∠C，由此来证得AB∥CD．解答：证明：∵∠AOC=∠A+∠B，∠A=∠B，∴∠AOC=2∠B．∵∠AOC=∠C+∠D，∠C=∠D，∴∠AOC=2∠C．∴∠C=∠B．∴AB∥CD．8．如图，已知点A，D，B在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠E．求证：DE∥BC．分析：由∠1=∠2，∠AOE=∠COD可证得∠CDO=∠E；再由∠3=∠E得∠CDO=∠3，即得DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．解答：证明：∵∠1=∠2，∠AOE=∠COD（对顶角相等），∴在△AOE和△COD中，∠CDO=∠E（三角形内角和定理）；∵∠3=∠E，∴∠CDO=∠3，∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．9．如图，∠D=∠1，∠E=∠2，DC⊥EC．求证：AD∥BE．分析：根据DC⊥EC，得∠1+∠2=90°，再结合已知条件，得∠D+∠1+∠E+∠2=180°，利用三角形的内角和定理就可求得∠A+∠B的值，从而证明结论．解答：证明：∵DC⊥EC，∴∠1+∠2=90°，又∠D=∠1，∠E=∠2，∴∠D+∠1+∠E+∠2=180°．根据三角形的内角和定理，得∠A+∠B=180°，∴AD∥BE．10．如图，若∠CAB=∠CED+∠CDE，求证：AB∥CD．分析：利用三角形的内角和定理得∠C+∠CED+∠CDE=180°，已知∠CAB=∠CED+∠CDE，所以∠C+∠CAB=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可证AB∥CD．解答：证明：在△ECD中∵∠C+∠CED+∠CDE=180°（三角形内角和定理），又∵∠CAB=∠CED+∠CDE（已知），∴∠C+∠CAB=180°（等量代换），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．11．直线AB、CD被直线EF所截，EF分别交AB、CD于M，N，∠EMB=50°，MG平分∠BMF，MG交CD于G．（1）如图1，若AB∥CD，求∠1的度数．（2）如图2，若∠MNC=140°，求∠1的度数．分析：（1）根据两角互补及角平分线的性质可求出∠BMG的度数，再根据平行线的性质即可求解；（2）先根据两角互补及角平分线的性质可求出∠NMG的度数，再由三角形内角与外角的性质及∠MNC=140°即可求出∠1的度数．解答：解：（1）∵∠BMF+∠EMB=180°，∴∠BMF=180°﹣∠EMB，∵∠EMB=50°，∴∠BMF=180°50°=130°，（2分）∵MG平分∠BMF，∴∠BMG=∠GMN=∠BMF=65°，（4分）∵AB∥CD，∴∠1=∠BMG=65°；（5分）（2）∵∠MNC=∠1+∠GMN，∴∠1=∠MNC﹣∠GMN，（7分）∵∠MNC=140°，∠GMN=65°，∴∠1=140°﹣65°=75°．（8分）12．如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE平分∠BAD，若AE∥CF，∠BCF=60°，请你求出∠DCF的度数．并说明你的理由．解答：解：∠DCF=60°，理由如下：∵∠B=90°∴∠1+∠BCF=90°∵∠BCF=60°∴∠1=30度．∵AE∥CF∴∠2=∠1=30度∵AE平分∠BAD∴∠3=∠2=30度又∵∠D=90°∴∠3+∠4=90°∴∠4=60°∵AE∥CF∴∠DCF=∠4=60°．13．已知AB∥CD，直线l与AB、CD分别交于点E、F，点P是直线CD上的一个动点（点P不与F重合），点M 在EF上，且∠FMP=∠FPM，（1）如图1，当点P在射线FC上移动时，若∠AEF=60°，则∠FPM=30°；假设∠AEF=a，则∠FPM=α；（2）如图2，当点P在射线FD上移动时，猜想∠FPM与∠AEF有怎样的数量关系？请你说明理由．分析：（1）根据两直线平行，同旁内角互补以及△PFM的内角和是180°填空；（2）根据两直线平行，内错角相等和三角形的内角和为180度，易得∠FPM=90°﹣∠AEF．解答：解：（1）∵AB∥CD，∴∠AEF+∠MFP=180°．∵∠MFP+∠FMP+∠FPM=180°，∴∠FMP+∠FPM=∠AEF；∵∠FMP=∠FPM，∴∠FPM=∠AEF；∴若∠AEF=60°，则∠FPM=30°；若∠AEF=a，则∠FPM=α；（2）∠FPM=90°﹣∠AEF．理由：∵AB∥CD，∴∠AEF=∠MFP（两直线平行，内错角相等）．∵∠MFP+∠FMP+∠FPM=180°，∴∠FMP+∠FPM=180°﹣∠MFP=180°﹣∠AEF；∵∠FMP=∠FPM，∴∠FPM=90°﹣∠AEF．14．如图（1）直线GC∥HD，EF交CG、HD于A、B，三条直线把EF右侧的平面分成①、②、③三个区域，（规定：直线上各点不属于任何区域）．将一个透明的直角三角尺放置在该图中，使得30°角（即∠P）的两边分别经过点A、B，当点P落在某个区域时，连接PA、PB，得到∠PBD、∠PAC两个角．（1）如图（1），当点P落在第②区域时，求∠PAC+∠PBD的度数；（2）如图（2），当点P落在第③区域时，∠PAC﹣∠PBD=30度（3）如图（3），当点P落在第①区域时，直接写出∠PAC、∠PBD之间的等量关系．分析：解答：（1）过点P作PQ∥GC，则由平行线的性质求出∠PAC+∠PBD=∠P，从而得出答案．（2）由GC∥HD，得∠EAC=∠EBD，再由外角的性质得出∠PAE=∠P+∠ABP，从而得出∠PAC=∠PBD+∠P；（3）由GC∥HD，得∠1=∠PBD，再由外角的性质得出∠1=∠P+∠CAP，从而得出∠PBD=∠PAC+∠P．解：（1）过点P作PQ∥GC，∴∠PAC=∠APQ，∠BPQ=∠PBD，∴∠PAC+∠PBD=∠APQ+∠QPB，即∠PAC+∠PBD=∠P，∵∠P=30°，∴∠PAC+∠PBD=30°．（2）∵GC∥HD，∴∠EAC=∠EBD，∵∠PAE=∠P+∠ABP，∴∠PAC=∠PBD+∠P，∴∠PAC﹣∠PBD=30°；（3）∵GC∥HD，∴∠1=∠PBD，∵∠1=∠P+∠CAP，∴∠PBD=∠PAC+∠P，即∠PBD﹣∠PAC=∠P．∴∠P=30°．15．如图，直线a∥b，直线AC分别交a、b于点B、点C，直线AD交a于点D．若∠1=20°，∠2=65°，求∠3的度数．分析：根据两直线a∥b推知，内错角∠2=∠4；然后由三角形的外角性质及等量代换求得∠3的度数即可．解答：解：∵a∥b，∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等），又∵∠4=∠1+∠3（外角定理），∠1=20°，∠2=65°，∴∠3=∠2﹣∠1=45°，即∠3=45°．16．（1）如图（1），AB∥CD，点P在AB、CD外部，若∠B=40°，∠D=15°，则∠BPD=25°．（2）如图（2），AB∥CD，点P在AB、CD内部，则∠B，∠BPD，∠D之间有何数量关系？证明你的结论；（3）在图（2）中，将直线AB绕点B按逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点M，如图（3），若∠BPD=90°，∠BMD=40°，求∠B+∠D的度数．分析：（1）由AB∥CD，∠B=40°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠BOD的度数，又由三角形外角的性质，可求得∠BPD的度数；（2）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，可得AB∥PE∥CD，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D；（3）首先延长BP交CD于点E，利用三角形外角的性质，即可求得∠B+∠D的度数．解答：解：（1）∵AB∥CD，∠B=40°，∴∠BOD=∠B=40°，∴∠P=∠BOD﹣∠D=40°﹣15°=25°．故答案为：25°；（2）∠BPD=∠B+∠D．证明：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠1=∠B，∠2=∠D，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．（3）延长BP交CD于点E，∵∠1=∠BMD+∠B，∠BPD=∠1+∠D，∴∠BPD=∠BMD+∠B+∠D，∵∠BPD=90°，∠BMD=40°，∴∠B+∠D=∠BPD﹣∠BMD=90°﹣40°=50°．17．（2012•樊城区模拟）下面是有关三角形内外角平分线的探究，阅读后按要求作答：探究1：如图（1），在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现：∠BOC=90°+∠A（不要求证明）．探究2：如图（2）中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的数量关系？请说明理由．探究3：如图（3）中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的数量关系？（只写结论，不需证明）．结论：∠BOC=90°﹣∠A．分析：（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠O的关系；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．解答：解：（1）探究2结论：∠BOC=∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一外角，∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A；（2）探究3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），=180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），结论∠BOC=90°﹣∠A．18．（2011•宜兴市二模）操作示例如图1，△ABC中，AD为BC边上的中线，则S△ABD=S△ADC．实践探究（1）在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S矩形ABCD之间满足的关系式为；（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为；（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为；；解决问题：（4）在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和，即S1+S2+S3+S4=20．分析：（1）利用E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，分别求得S阴和S矩形ABCD即可．（2）利用E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，分别求则S阴和S平行四边形ABCD即可．（3）利用E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，分别求得则S阴和S四边形ABCD即可．（4）先设空白处面积分别为：x、y、m、n由上得，，分别求得S1、S2、S3、S4．然后S1+S2+S3+S4=S阴即可．解答：解：（1）由E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，得S阴=BF•CD=BC•CD，S矩形ABCD=BC•CD，所以；（2）同理可得；；（3）同理可得；；（4）设空白处面积分别为：x、y、m、n（见右图），由上得，，∴S1+x+S2+S3+y+S4=．S1+m+S4+S2+n+S3=，∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）=S四边形ABCD．∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）=S1+x+S2+n+S3+y+S4+m+S阴∴S1+S2+S3+S4=S阴=20．故答案分别为：（1）；（2）；（3）；（4）20．19．如图，在△BCD中，BE平分∠DBC交CD于F，延长BC至G，CE平分∠DCG，且EC、DB的延长线交于A 点，若∠A=33°，∠DFE=63°．（1）求证：∠DFE=∠A+∠D+∠E；（2）求∠E的度数；（3）若在上图中作∠CBE与∠GCE的平分线交于E1，作∠CBE1与∠GCE1的平分线交于E2，作∠CBE2与∠GCE2的平分线于E3，以此类推，∠CBEn与∠GCEn的平分线交于En+l，请用含有n的式子表示∠En+l的度数（直接写答案）．分析：（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得出∠DCE=∠A+∠D，∠DFE=∠DCE+∠E，将第一式代入第二式即可得证；（2）根据角平分线及三角形外角的性质得出∠ECG=∠DCG=（∠D+∠DBC），∠ECG=∠E+∠EBC=∠E+∠DBC，则∠D=2∠E，再利用上题结论∠DFE=∠A+∠D+∠E，将已知条件代入，即可求出∠E的度数；（3）先根据角平分线及三角形外角的性质得出∠E1=∠E，同理得出∠E2=∠E1，则∠E2=∠E=∠E，由此得出规律∠E n+l=∠E．解答：（1）证明：∵∠DCE=∠A+∠D，∠DFE=∠DCE+∠E，∴∠DFE=∠A+∠D+∠E；（2）解：∵∠DCG=∠D+∠DBC，CE平分∠DCG，∴∠ECG=∠DCG=（∠D+∠DBC），∵BE平分∠DBC，∴∠EBC=∠DBC，∵∠ECG=∠E+∠EBC=∠E+∠DBC，∴∠E+∠DBC=（∠D+∠DBC），∴∠E=∠D，∴∠D=2∠E．∵∠DFE=63°，∠A=33°，∠DFE=∠A+∠D+∠E，∴∠D+∠E=∠DEF﹣∠A=63°﹣33°=30°，∴2∠E+∠E=30°，∴∠E=10°；（3）∵∠ECG=∠E+∠EBC，CE1平分∠ECG，∴∠E1CG=∠ECG=（∠E+∠EBC）．∵BE1平分∠EBC，∴∠E1BC=∠EBC．∵∠E1CG=∠E1+∠E1BC=∠E1+∠EBC，∴∠E1+∠EBC=（∠E+∠EBC），∴∠E1=∠E．同理：∠E2=∠E1，∴∠E2=∠E=∠E，∴∠E n+l=∠E．20．已知：△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，请根据题中所给的条件，解答下列问题：（1）如图1，若∠BAD=60°，∠EAD=15°，求∠ACB的度数．（2）通过以上的计算你发现∠EAD和∠ACB﹣∠B之间的关系应为：∠ACB﹣∠B=2∠EAD．（3）在图2的△ABC中，∠ACB＞90°，那么（2）中的结论仍然成立吗？为什么？分析：（1）先求出∠BAE=∠BAD﹣∠EAD=45°，再根据角平分线的定义，得出∠BAC=90°，则根据三角形内角和定理得出∠ACB=90°﹣∠B，故求出∠B的度数即可．而在直角△ABD中，∠B=90°﹣∠BAD=30°；（2）由（1）的计算发现∠EAD和∠ACB﹣∠B之间的关系应为：∠ACB﹣∠B=2∠EAD；（3）先根据三角形内角和定理及垂直的定义，得出∠ACB﹣∠B=∠BAD﹣∠CAD，再由角平分线的定义得出结论∠ACB﹣∠B=2∠EAD．解答：解：（1）∵∠BAD=60°，∠EAD=15°，∴∠BAE=∠BAD﹣∠EAD=45°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAE=90°．∵AD⊥BC，∠BAD=60°，∴∠B=30°，∴∠ACB=90°﹣30°=60°；（2）∵（1）中∠EAD=15°，∠ACB﹣∠B=60°﹣30°=30°，发现∠ACB﹣∠B=2∠EAD，∴推测∠ACB﹣∠B=2∠EAD；（3）在图2的△ABC中，∠ACB＞90°，那么（2）中的结论仍然成立．理由如下：∵在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∠BAE=∠CAE，∴∠ACB﹣∠B=90°﹣∠CAD﹣（90°﹣∠BAD）=∠BAD﹣∠CAD，又∵∠BAD=∠BAE+∠EAD，∠CAD=∠CAE﹣∠EAD，∴∠ACB﹣∠B=2∠EAD．21．如图（甲），D是△ABC的边BC的延长线上一点．∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1．（1）若∠ABC=80°，∠ACB=40°，则∠P1的度数为30°；（2）若∠A=α，则∠P1的度数为α；（用含α的代数式表示）（3）如图（乙），∠A=α，∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1，∠P1BC、∠P1CD的平分线相交于P2，∠P2BC、∠P2CD的平分线相交于P3依此类推，则∠Pn的度数为（）nα（用n与α的代数式表示）分析：由∠P1CD=∠P1+∠P1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而P1B、P1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠P1CD，∠ABC=2∠P1BC，于是有∠A=2∠P1，同理可得∠P1=2∠P2，即∠A=22∠P2，因此找出规律．解答：解：∵P1B、P1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠P1CD，∠ABC=2∠P1BC，而∠P1CD=∠P1+∠P1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠P1，∴∠P1=∠A，（1）∵∠ABC=80°，∠ACB=40°，∴∠A=60°，∴∠P1=30°；（2）∵∠A=α，∴∠P1的度数为α；（3）同理可得∠P1=2∠P2，即∠A=22∠P2，∴∠A=2n∠P n，∴∠Pn=（）nα．故答案为：30°，α，（）nα．22．在△ABC中，∠C＞∠B，AE是△ABC中∠BAC的平分线；（1）若AD是△ABC的BC边上的高，且∠B=30°，∠C=70°（如图1），求∠EAD的度数；（2）若F是AE上一点，且FG⊥BC，垂足为G（如图2），求证：；（3）若F是AE延长线上一点，且FG⊥BC，G为垂足（如图3），②中结论是否依然成立？请给出你的结论，并说明理由．分析：（1）根据三角形内角和定理得∠A=180°﹣30°﹣70°=80°，再根据角平分线定义得∠EAC=×80°=40°，由AD是△ABC的BC边上的高，得∠ADC=90°，计算出∠DAC=90°﹣70°=20°，则∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣20°=20°；（2）根据三角形内角和定理得∠A=180°﹣∠B﹣∠C，再根据角平分线定义得∠EAC=（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣（∠B+∠C），而∠DAC=90°﹣∠C，可计算得∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=90°﹣（∠B+∠C）﹣90°﹣∠C=（∠C﹣∠B），然后利用平行线的性质得到结论；（3）与（2）证明方法一样．解答：（1）解：∵∠B=30°，∠C=70°，∴∠A=180°﹣30°﹣70°=80°，∵AE是△ABC中∠BAC的平分线，∴∠EAC=×80°=40°，∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=90°﹣70°=20°，∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣20°=20°；（2）证明：过A点作高AD，如图，∠A=180°﹣∠B﹣∠C，∵AE是△ABC中∠BAC的平分线，∴∠EAC=（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣（∠B+∠C），而∠DAC=90°﹣∠C，∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=90°﹣（∠B+∠C）﹣90°﹣∠C=（∠C﹣∠B），∵FG⊥BC，∴∠EFG=∠EAD，∴∠EFG=（∠C﹣∠B）；（3）②中结论依然成立．理由如下：过A点作高AD，如图，在（2）中得到∠EAD=（∠C﹣∠B），∵FG⊥BC，∴∠EFG=∠EAD，∴∠EFG=（∠C﹣∠B）．23．已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE，DF分别是△ADC的高和角平分线（∠C＞∠DAC），若∠B=80°，∠C=40°．（1）求∠DAE的度数；（2）试猜想∠EDF、∠C与∠DAC有何关系？并说明理由．分析：（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据三角形的角平分线的定义即可求出∠DAE 的度数；（2）先根据三角形内角和定理及角平分线的定义求出∠CDF=（180°﹣∠DAC﹣∠C），再由直角三角形两锐角互余得出∠CDE=90°﹣∠C，则根据∠EDF=∠CDF﹣∠CDE即可得出∠EDF=（∠C﹣∠DAC）．解答：解：（1）∵在△ABC中，∠B=80°，∠C=40°，∴∠BAC=180°﹣80°﹣40°=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠BAC=30°；（2）∠EDF=（∠C﹣∠DAC）．理由如下：在△DAC中，∵∠ADC+∠DAC+∠C=180°，∴∠ADC=180°﹣∠DAC﹣∠C，∵DF平分∠ADC，∴∠CDF=∠ADC=（180°﹣∠DAC﹣∠C），∵DE是△ADC的高，∴∠CDE=90°﹣∠C，∴∠EDF=∠CDF﹣∠CDE=（180°﹣∠DAC﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）=（∠C﹣∠DAC）．故∠EDF=（∠C﹣∠DAC）．24．如图，在△ABC中，已知∠ACB=67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB=45°，求∠ABE和∠BFC的度数．分析：根据三角形高的定义得到∠CDB=90°，∠BEC=90°，先利用三角形内角和定理得∠DBC=180°﹣90°﹣45°=45°，∠EBC=180°﹣∠ECB﹣∠BEC=180°﹣67°﹣90°=23°，则∠ABE=∠ABC﹣∠EBC=45°﹣23°=22°，然后利用三角形外角性质可计算∠BFC=22°+90°=112°．解答：解：∵CD是AB上的高，∴∠CDB=90°，∵∠CDB+∠DBC+∠DCB=180°，∴∠DBC=180°﹣90°﹣45°=45°，∵BE是AC上的高，∴∠BEC=90°，∴∠EBC=180°﹣∠ECB﹣∠BEC=180°﹣67°﹣90°=23°，∴∠ABE=∠ABC﹣∠EBC=45°﹣23°=22°；∵∠BFC=∠FDB+∠DBF，∴∠BFC=22°+90°=112°．25．如图，已知△ABC中，∠B=40°，∠C=62°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求：∠DAE的度数．（写出推导过程）分析：根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AE是∠BAC的平分线，可得∠EAC的度数；在直角△ADC中，可求出∠DAC的度数，所以∠DAE=∠EAC﹣∠DAC，即可得出．解答：解：∵△ABC中，∠B=40°，∠C=62°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣40°﹣62°=78°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠EAC=∠BAC=39°，∵AD是BC边上的高，∴在直角△ADC中，∠DAC=90°﹣∠C=90°﹣62°=28°，∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=39°﹣28°=11°．26．已知△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，点D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）若AD为△ABC的角平分线（如图1），图中∠1、∠2有何数量关系？为什么？（2）若AD为△ABC的高（如图2），求图中∠1、∠2的度数．分析：（1）根据已知得出∠1=∠DAC，∠2=∠DAB，以及AD平分∠BAC，即可得出∠1=∠2；（2）首先得出DE∥AC，再利用∠1=∠ADB﹣∠BDE=30°，进而求出∠FDC=180°﹣∠DFC﹣∠C=60°，即可求出∠2=∠ADC﹣∠FDC的度数．解答：解：（1）∠1=∠2，理由如下：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=∠BAC=90°，∴DE∥AC，DF∥AB，∴∠1=∠DAC，∠2=∠DAB，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAB，∴∠1=∠2；（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=∠DEB=∠DFC=∠BAC=90°，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠C=30°，∴∠1=∠ADB﹣∠BDE=30°，∵∠FDC=180°﹣∠DFC﹣∠C=60°，∴∠2=∠ADC﹣∠FDC=60°．27．如图，（1）在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是56°．（2）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，∠ABD2与∠ACD2的角平分线交于点D3，若∠BD3C的度数是n°，则∠A的度数是（用含n的代数式表示）．分析：（1）根据角平分线的性质可得到：∠ABD1=∠CBD1=∠ABC，∠ACD1=∠BCD1=∠ACB，再根据三角形的内角和定理可得：∠BD1C的度数，再根据∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，可得∠D2BC=∠ABC，∠D2CB=∠ACB，进而求出∠BD2C=180°﹣（∠ABC+∠ACB），以此类推可得到：∠BD5C=180°﹣（∠ABC+∠ACB），再次利用三角形内角和代入∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，即可求出答案．（2）根据（1）中所求即可得出答案．解答：解：（1）∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣52°=128°，又∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∴∠ABD1=∠CBD1=∠ABC，∠ACD1=∠BCD1=∠ACB，∴∠CBD1+∠BCD1=（∠ABC+∠ACB）=×128°=64°，∴∠BD1C=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣64°=116°，同理∠BD2C=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣96°=84°，依此类推，∠BD5C=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣124°=56°．故答案为：56°；（2）由（1）可得：∠BD3C=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=n°．解得：∠A=．故答案为：．28．已知△ABC．（1）若∠BAC=40°，画∠BAC和外角∠ACD的角平分线相交于O1点（如图①），求∠BO1C的度数；（2）在（1）的条件下，再画∠O1BC和∠O1CD的角平分线相交于O2点（如图②），求∠BO2C的度数；（3）若∠BAC=n°，按上述规律继续画下去，请直接写出∠BO2012C的度数．分析：由∠O1CD=∠O1+∠O1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而O1B、O1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠O1CD，∠ABC=2∠O1BC，于是有∠A=2∠O1，同理可得∠O1=2∠O2，即∠A=22∠O2，因此找出规律．解答：解：∵O1B、O1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠O1CD，∠ABC=2∠O1BC，而∠O1CD=∠O1+∠O1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠01=40°，∴∠O1=20°，同理可得∠O1=2∠O2，即∠A=22∠02=40°，∴∠O2=10°，∴∠A=2n∠A n，∴∠A n=n°×（）n．则∠BO2012C=0．29．（1）如图1，在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高线，BD与CE相交于点P，若已知∠A=50°，∠BPC的度数为多少；（2）如图2，在钝角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高线，BD与EC的延长线相交于点P，若已知∠A=50°，则∠BPC的度数为多少；（3）在△ABC中，若∠A=α，请你探索AB、AC边上的高线（或延长线）相交所成的∠BPC的度数．（可以用含α的代数式表示）分析：（1）根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠ACE=90°，∠BPC+∠PCD=90°，再根据∠ACE和∠PCD是对顶角解答即可；。
三角形内角和与外角测试题
三角形内角和与外角(练习题)一、填空1、△ABC 中，假设∠A ＝350,∠B ＝650,那么∠C ＝___；假设∠A ＝1200,∠B ＝2∠C ，那么∠C ＝___2、三角形的三个内角之比为1∶3∶5，那么这个三角形的最大内角为_______；3、在等腰三角形中，顶角是500，那么底角是_________；4、在等三角形中，有一个角是70度，那么另外两个角是______________________5、三角形三个内角中, 最多有___个直角,最多有__个钝角,最多有___个锐角,至少有___个锐角；6、三角形中,假设最大角等于最小角的2倍,最大角又比另一个角大20°,那么此三角形的最小角的度数是________.7、在△ABC 中,假设∠A+∠B=∠C,那么此三角形为_______三角形;假设∠A+∠B<∠C,那么此三角形是_____三角形.8、如图,∠1=20°,∠2=25°,∠A=35°,那么∠BDC=______.9、等腰三角形的两个内角的度数之比为1: 2, 那么这个等腰三角形的顶角为_______.10、△ABC 中,∠B,∠C 的平分线交于点O,假设∠BOC=132°,那么∠A=____ 11、在△ABC 中， ∠A －∠B ＝36°，∠C ＝2∠B ，那么∠A ＝ ，∠B ＝ ，∠C ＝ 。
12 如图，△ABC 中，∠C=70°，假设沿图中虚线截去∠C ，那么∠1+∠2=13、△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD ，那么∠A′DB=14、 将一副常规的三角尺按如图方式放置，那么图中∠AOB 的度数为15、一副三角板如图叠放在一起，那么图中∠α的度数为21D CB A 12题 13题16、如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∠A 的度数是二、选择题17、如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,那么它是( )18、以下说法正确的选项是( )°19、三角形的一个内角是另一个内角的32,是第三个内角的54,那么这个三角形各内角的度数分别为( )A.60°,90°,75°B.48°,72°,60°C.48°,32°,38°D.40°,50°,90°20、△ABC 中,∠A=2(∠B+∠C),那么∠A 的度数为( )A.100°B.120°C.140°D.160°21、三角形两个内角的差等于第三个内角,那么它是( )22、在△ABC 中,∠A=21∠B=31∠C,那么此三角形是( ) B.直角三角形 C.钝角三角形三、解答题23、如图，AD 平分∠BAC ，其中∠B ＝50°，∠ADC ＝80°，求∠BAC 、∠C 的度数。
专题训练七与三角形中内外角有关的计算全方位求角度讲课文档
度数是( B )
A．10°
B．15°
C．25°
D．30°
[解析] 因为∠B＝45°，所以∠BAC＝45°，所以∠EAF＝ 135°，所以∠AFD＝135°＋30°＝165°，所以∠BFD＝180°－ ∠AFD＝15°.故选 B.
图 7－ZT－1
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专题训练(七) 与三角形中内、外角有关的计算 ——全方位求角度
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专题训练(七) 与三角形中内、外角有关的计算
——全方位求角度
类型四 与截取或折叠有关的角度计算
14．如图 7－ZT－14，在△ABC 中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去 ∠C，则∠1＋∠2 等于( B )
A．360° B．250° C．180° D．140°
图 7－ZT－14
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专题训练七与三角形中内外角有关的计算全方位求角度
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专题训练(七) 与三角形中内、外角有关的计算 ——全方位求角度
类型一 利用三角形内角和定理与外角定理求角度
1．一副分别含有 30°和 45°角的两个三角尺，拼成如图 7－ZT
－1 所示图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD 的
图 7－ZT－6
1
1
解：∠AEC＝180°－(∠ECA＋∠EAC)＝180°－(2∠DAC＋2∠ACF)
1
1
＝ 180 ° － 2 [(∠B ＋ ∠BCA) ＋ (∠B ＋ ∠BAC)] ＝ 180 ° － 2 (∠B ＋ ∠BCA ＋
∠BБайду номын сангаасC＋∠B)
＝180°－12(180°＋∠B)＝70°.
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三角形内角和、外角定理(含详细解答)
三角形内角和、外角定理(含详细解答)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1三角形内角和、外角和定理一．选择题（共10小题）1．（2013?泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A ．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形2．（2012?滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A ．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形3．（2012?河源）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）A ．150°B．210°C．105°D．75°4．（2012?云南）如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（）A ．40°B．45°C．50°D．55°5．（2012?南通）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）A ．360°B．250°C．180°D．140°6．（2012?梧州）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数是（）A ．10°B．12°C．15°D．18°7．（2011?日照）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（）A ．70°B．80°C．90°D．100°8．（2011?台湾）如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（）A ．∠2=∠4+∠7B．∠3=∠1+∠6C．∠1+∠4+∠6=180°D．∠2+∠3+∠5=360°9．（2011?台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（）A ．36B．72C．108D．14410．（2011?台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数（）A ．37B．57C．77D．97二．填空题（共4小题）11．（2014?抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= _________度．12．（2013?河池）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是_________．13．（2008?安徽）如图，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=_________度．14．（2003?金华）如图，平面镜A与B之间夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1=_________度．三．解答题（共16小题）15．（2014?六盘水）（1）三角形内角和等于_________．（2）请证明以上命题．16．（2001?海南）如图，在△ABC中，已知∠ABC=46°，∠ACB=80°，延长BC至D，使CD=CA，连接AD，求∠BAD的度数．17．（2000?内蒙古）如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．18．（2011?青海）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∴又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A∴∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）=探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系请说明理由．探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系（只写结论，不需证明）结论：_________．19．（2010?玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．20．（2013?响水县一模）探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：_________．21．已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=120°，求∠DAC的度数．22．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和．23．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，试求∠DAC，∠ADC的度数．24．已知：如图所示，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，求：∠ABE，∠ACF和∠BHC的度数．25．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠A=50°，∠C=60°，求∠DAC及∠BOA．26．如图，AF是△ABC的高，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF的度数．27．一个零件的形状如图，按规定∠A=90°，∠C=25°，∠B=25°，检验已量得∠BDC=150°，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．28．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BDC=142°，就判定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗29．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．30．如图，在三角形ABC中，∠A=35°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数和．三角形内角和、外角和定理参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2013?泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A ．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形考点：三角形内角和定理．分析：根据三角形的内角和定理求出∠C，即可判定△ABC的形状．解答：解：∵∠A=20°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选D．点评：本题考查了三角形的内角和定理，比较简单，求出∠C的度数是解题的关键．2．（2012?滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A ．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形考点：三角形内角和定理．专题：方程思想．分析：已知三角形三个内角的度数之比，根据三角形内角和定理，可求得三角的度数，由此判断三角形的类型．解答：解：三角形的三个角依次为180°×=30°，180°×=45°，180°×=105°，所以这个三角形是钝角三角形．故选：D．点评：本题考查三角形的分类，这个三角形最大角为180°×＞90°．本题也可以利用方程思想来解答，即2x+3x+7x=180，解得x=15，所以最大角为7×15°=105°．3．（2012?河源）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）A ．150°B．210°C．105°D．75°考点：三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．解答：解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°．故选A．点评：本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．4．（2012?云南）如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（）A ．40°B．45°C．50°D．55°考点：三角形内角和定理．分析：首先利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用角平分线的性质求得∠CAD的度数即可．解答：解：∵∠B=67°，∠C=33°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣67°﹣33°=80°∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD=∠BAC=×80°=40°故选A．点评：本题考查了三角形的内角和定理，属于基础题，比较简单．三角形内角和定理在小学已经接触过．5．（2012?南通）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）A ．360°B．250°C．180°D．140°考点：三角形内角和定理；多边形内角与外角．分析：先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．解答：解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．故选B．点评：此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．6．（2012?梧州）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数是（）A ．10°B．12°C．15°D．18°考点：三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高．分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD，再根据角平分线定义求出∠CAE，然后根据∠DAE=∠CAE ﹣∠CAD，代入数据进行计算即可得解．解答：解：∵AD⊥BC，∠C=36°，∴∠CAD=90°﹣36°=54°，∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC=128°，∴∠CAE=∠BAC=×128°=64°，∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=64°﹣54°=10°．故选A．点评：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线，高线的定义，准确识图，找出各角度之间的关系并求出度数是解题的关键．7．（2011?日照）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（）A ．70°B．80°C．90°D．100°考点：三角形内角和定理；平行线的性质．专题：计算题．分析：根据两直线平行，同旁内角互补，求得∠EFA=55°，再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数．解答：解：∵AB∥CD，∠C=125°，∴∠EFB=125°，∴∠EFA=180﹣125=55°，∵∠A=45°，∴∠E=180°﹣∠A﹣∠EFA=180°﹣45°﹣55°=80°．故选B．点评：本题应用的知识点为：两直线平行，同旁内角互补；三角形内角和定理．8．（2011?台湾）如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（）A ．∠2=∠4+∠7B．∠3=∠1+∠6C．∠1+∠4+∠6=180°D．∠2+∠3+∠5=360°考点：三角形内角和定理；对顶角、邻补角；三角形的外角性质．分析：根据对顶角的性质得出∠1=∠AOB，再用三角形内角和定理得出∠AOB+∠4+∠6=180°，即可得出答案．解答：解：∵四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角，∵∠1=∠AOB，∵∠AOB+∠4+∠6=180°，∴∠1+∠4+∠6=180°．故选C．点评：此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理，正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键．9．（2011?台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（）A ．36B．72C．108D．144考点：三角形内角和定理；解二元一次方程组；对顶角、邻补角．专题：计算题．分析：由∠A+∠B+∠C=180°，得到2（∠A+∠C）+2∠B=360°，求出∠B=72°，根据∠B的外角度数=180°﹣∠B即可求出答案．解答：解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2（∠A+∠B+∠C）=360°，∵2（∠A+∠C）=3∠B，∴∠B=72°，∴∠B的外角度数是180°﹣∠B=108°，故选C．点评：本题主要考查对二元一次方程组，三角形的内角和定理，邻补角等知识点的理解和掌握，能根据三角形的内角和定理求出∠B的度数是解此题的关键．10．（2011?台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数（）A ．37B．57C．77D．97考点：三角形内角和定理．专题：推理填空题．分析：根据钝角三角形有一内角大于90°且三角形内角和为180°，①∠C＞90°，②∠B＞90°，分类讨论解答．解答：解：∵钝角三角形△ABC中，∠A=27°，∴∠B+∠C=180°﹣27°=153°，又∵△ABC为钝角三角形，有两种可能情形如下：①∠C＞90°，∴∠B＜153°﹣90°=63°，∴选项A、B合理；②∠B＞90°，∴选项D合理，∴∠B不可能为77°．故选C．点评：本题考查了钝角三角形的定义及三角形的内角和定理，体现了分类讨论思想．二．填空题（共4小题）11．（2014?抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2=70度．考点：三角形内角和定理；多边形内角与外角．专题：几何图形问题．分析：分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可．解答：解：∵∠3=32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，∴∠4=180°﹣60°﹣32°=88°，∴∠5+∠6=180°﹣88°=92°，∴∠5=180°﹣∠2﹣108° ①，∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1 ②，∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=92°，即∠1+∠2=70°．故答案为：70°．点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．12．（2013?河池）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是56°．考点：三角形内角和定理．分析：先根据三角形内角和定理求出∠1+∠2的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABC+∠ACB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．解答：解：∵△BOC中，∠BOC=118°，∴∠1+∠2=180°﹣118°=62°．∵BO和CO是△ABC的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠1+∠2）=2×62°=124°，在△ABC中，∵∠ABC+∠ACB=124°，∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣124°=56°．故答案为：56°．点评：本题考查的是角平分线的定义，三角形内角和定理，即三角形的内角和是180°．13．（2008?安徽）如图，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=70度．考点：三角形内角和定理；平行线的性质．专题：计算题．分析：把∠2，∠3转化为△ABC中的角后，利用三角形内角和定理求解．解答：解：由对顶角相等可得∠ACB=∠2=40°，在△ABC中，由三角形内角和知∠ABC=180°﹣∠1﹣∠ACB=70°．又a∥b，∴∠3=∠ABC=70°．点评：本题考查了平行线与三角形的相关知识．14．（2003?金华）如图，平面镜A与B之间夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1=30度．考点：三角形内角和定理；角平分线的定义．专题：压轴题．分析：因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2=（180°﹣120°）÷2．解答：解：如图所示，作出入射光线的法线，根据“入射角等于反射角”可知∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠1=∠2，∠AOB=120°，∴1=∠2=（180°﹣120°）÷2=30°．故答案为：30°．点评：此题由题意得出“入射角等于反射角”是关键．三．解答题（共16小题）15．（2014?六盘水）（1）三角形内角和等于180°．（2）请证明以上命题．考点：三角形内角和定理；平行线的性质．专题：证明题．分析：（1）直接根据三角形内角和定理得出结论即可；（2）画出△ABC，过点C作CF∥AB，再根据平行线的性质得出∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，再通过等量代换即可得出结论．解答：解：（1）三角形内角和等于180°．故答案为：180°；（2）已知：如图所示的△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：过点C作CF∥AB，∵CF∥AB，∴∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，∵∠1+∠2=∠BCF，∴∠B+∠1+∠2=180°，∴∠B+∠1+∠A=180°，即三角形内角和等于180°．点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．16．（2001?海南）如图，在△ABC中，已知∠ABC=46°，∠ACB=80°，延长BC至D，使CD=CA，连接AD，求∠BAD的度数．考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．分析：要求∠BAD的度数，只要求出∠C的度数就行了，根据三角形内角和为180°，求出∠BAD的度数，根据三角形内角和外角关系及等腰三角形性质，易求∠C的度数．解答：解：∵∠ACB=80°∴∠ACD=180°﹣∠ACB=180°﹣80°=100°又∵CD=CA∴∠CAD=∠D∵∠ACD+∠CAD+∠D=180°∴∠CAD=∠D=40°在△ABC内∴∠BAD=180°﹣∠ABC﹣∠D=180°﹣46°﹣40°=94°．点评：此题主要考三角形内角与外角的关系及等腰三角形的性质；找出角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．17．（2000?内蒙古）如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．考点：三角形内角和定理．专题：数形结合．分析：根据三角形的内角和定理与∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．解答：解：∵∠C=∠ABC=2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，∴∠A=36°．则∠C=∠ABC=2∠A=72°．又BD是AC边上的高，则∠DBC=90°﹣∠C=18°．点评：此题主要是三角形内角和定理的运用．三角形的内角和是180°．18．（2011?青海）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∴又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A∴∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）=探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系请说明理由．探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系（只写结论，不需证明）结论：∠BOC=90°﹣∠A．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．专题：压轴题．分析：（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．解答：解：（1）探究2结论：∠BOC=∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一外角，∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A；（2）探究3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），=180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），结论∠BOC=90°﹣∠A．点评：本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．19．（2010?玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．考点：三角形的外角性质；平行线的性质；三角形内角和定理．专题：综合题；压轴题．分析：（1）延长BP交CD于E，根据两直线平行，内错角相等，求出∠PED=∠B，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可说明不成立，应为∠BPD=∠B+∠D；（2）作射线QP，根据三角形的外角性质可得；（3）根据三角形的外角性质，把角转化到四边形中再求解．解答：解：（1）不成立．结论是∠BPD=∠B+∠D延长BP交CD于点E，∵AB∥CD∴∠B=∠BED又∵∠BPD=∠BED+∠D，∴∠BPD=∠B+∠D．（2）结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．（3）连接EG并延长，根据三角形的外角性质，∠AGB=∠A+∠B+∠E，又∵∠AGB=∠CGF，在四边形CDFG中，∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．点评：本题是信息给予题，利用平行线的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．20．（2013?响水县一模）探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．专题：探究型．分析：探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；探究四：根据六边形的内角和公式表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．解答：解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，=180°﹣（∠ADC+∠ACD），=180°﹣（180°﹣∠A），=90°+∠A；探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，=180°﹣∠ADC﹣∠BCD，=180°﹣（∠ADC+∠BCD），=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B），=（∠A+∠B）；探究四：六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2）180°=720°，∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠P=∠ADC，∠PCD=∠ACD，∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，=180°﹣（∠ADC+∠ACD），=180°﹣（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F），=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．点评：本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．21．已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=120°，求∠DAC的度数．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决．解答：解：∵∠BAC=120°，∴∠2+∠3=60°①∵∠1=∠2，∴∠4=∠3=∠1+∠2=2∠2②把②代入①得：3∠2=60°，∠2=20°．∴∠DAC=120°﹣20°=100°．点评：注意三角形的内角和定理以及推论的运用，还要注意角之间的等量代换．22．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠4=∠A+∠2，∠2=∠D+∠C，进而利用三角形的内角和定理求解．解答：解：如图可知：∵∠4是三角形的外角，∴∠4=∠A+∠2，同理∠2也是三角形的外角，∴∠2=∠D+∠C，在△BEG中，∠B+∠E+∠4=180°，即∠B+∠E+∠A+∠D+∠C=180°．点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．23．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，试求∠DAC，∠ADC的度数．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：由三角形的内角和是180°，和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可求∠1=39°，∠3=78°，所以∠DAC=24°，∠ADC=∠3=78°．解答：解：∵∠1=∠2，∴∠3=∠1+∠2=2∠1=∠4，∴2∠3+∠CAD=2∠1+2∠2+∠BAC﹣∠1=4∠1+63°﹣∠1=3∠1+63°=180°，∴∠1=39°=∠2，∠3=∠4=78°，∴∠DAC=63°﹣∠1=63°﹣39°=24°，∠ADC=∠3=78°．点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．24．已知：如图所示，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，求：∠ABE，∠ACF和∠BHC的度数．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：由三角形的内角和是180°，可求∠A=60°．又因为BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，所以∠ABE=30°．同理，∠ACF=30度，又因为∠BHC是△CEH的一个外角，所以∠BHC=120°．解答：解：∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．同理，∠ACF=30°，∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°．点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．25．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠A=50°，∠C=60°，求∠DAC及∠BOA．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．解答：解：∵∠A=50°，∠C=60°∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，又∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°∴∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，∴∠DAC=30°，∠BOA=120°．点评：本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．26．如图，AF是△ABC的高，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF的度数．考点：三角形的外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理．分析：在△ADF中，由三角形的外角性质知：∠ADF=∠B+∠BAC，所以∠B+∠BAC+∠FAD=90°，联立△ABC中，由三角形内角和定理得到的式子，即可推出∠DAF，∠B，∠C的关系，再代值求解即可．解答：解：由三角形的外角性质知：∠ADF=∠B+∠BAC，故∠B+∠BAC+∠DAF=90°；①△ABC中，由三角形内角和定理得：∠C+∠B+∠BAC=180°，即：∠C+∠B+∠BAC=90°，②②﹣①，得：∠DAF=（∠C﹣∠B）=20°．点评：此题主要考查了三角形的外角性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，熟记此题的结论在解选择和填空题时会加快解题效率．27．一个零件的形状如图，按规定∠A=90°，∠C=25°，∠B=25°，检验已量得∠BDC=150°，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．考点：三角形的外角性质．分析：根据三角形外角的性质求出∠BDC的度数，与测量所得的度数对比即可得出结论．解答：解：如图，∠CDE是△ADC的外角，∠BDE是△ABD的外角，∵∠CDE=∠C+∠CAD，∠BDE=∠B+∠DAB，∴∠BDC=∠CDE+∠BDE=∠C+∠CAD+∠B+∠DAB，即∠BDC=∠B+∠C+∠A=25°+25°+90°=140°．检验已量得∠BDC=150°，就判断这个零件不合格．点评：考查了三角形的外角性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．28．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BDC=142°，就判定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗考点：三角形的外角性质．分析：连接AD并延长，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠1=∠B+∠BAD，∠2=∠C+∠CAD，然后求出∠1+∠2的度数，根据零件规定数据，只有140°才是合格产品．解答：解：如图，连接AD并延长，∴∠1=∠B+∠BAD，∠2=∠C+∠CAD，∵∠A=90°，∠B=30°，∠C=20°，∴∠BDC=∠1+∠2，=∠B+∠BAD+∠DAC+∠C，=∠B+∠BAC+∠C，=30°+90°+20°，=140°，∵140°≠142°，∴这个零件不合格．点评：本题主要利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键．29．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：连接BE，由三角形内角和外角的关系可知∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，由四边形内角和是360°，即可求∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=360°．解答：解：如图连接BE．∵∠1=∠C+∠D，∠1=∠CBE+∠DEB，∴∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=∠A+∠ABC+∠CBE+∠DEB+∠DEF+∠F=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F．又∵∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=360°，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=360°．点评：本题考查的是三角形内角与外角的关系，涉及到四边形及三角形内角和定理，比较简单．30．如图，在三角形ABC中，∠A=35°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数和．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：根据三角形的内角和是180°，可分别求出∠1+∠2=∠3+∠4=145°，即可求出∠1+∠2+∠3+∠4的度数和．解答：解：∵∠A=35°，在△ABC中，∠A+∠1+∠2=180°，∴∠1+∠2=180°﹣∠A=145°，同理可证∠3+∠4=145°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=290°．点评：本题考查了三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．。
初中数学冀教版七年级下册第九章 三角形9.2 三角形的内角和外角-章节测试习题(9)
章节测试题1.【答题】如图所示,在△ABC中,E,F分别在AB,AC上,则下列各式不能成立的是（）A. ∠BOC=∠2+∠6+∠A;B. ∠2=∠5-∠A;C. ∠5=∠1+∠4;D. ∠1=∠ABC+∠4【答案】C【分析】根据三角形外角的性质解答即可．【解答】A选项：∵∠5=∠A+∠2，∠BOC=∠5+∠6，∴∠BOC=∠A+∠2+∠6，故本选项错误；B选项：∵∠5=∠A+∠2，∴∠2=∠5-∠A，故本选项错误；C选项：∵∠5=∠2+∠A，∠1＞∠2，∴∠5＜∠1+∠A，故本选项正确；D选项：∠1=∠ABC+∠4，故本选项错误；选C.2.【答题】已知等腰三角形的一个外角是120°,则它是（）A. 等腰直角三角形;B. 一般的等腰三角形;C. 等边三角形;D. 等腰钝角三角形【分析】根据三角形外角的性质解答即可．【解答】①120°的角为顶角的外角，则顶角为180°-120°=60°，底角为（180°-60°）÷2=60°，三角形为等边三角形；②120°的角为底角的外角，则底角为180°-120°=60°，顶角为180°-60°×2=60°，三角形为等边三角形．选C.3.【答题】如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角的度数为（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°【答案】C【分析】根据三角形外角的性质解答即可．【解答】如图，∠1+∠B+∠A=180°，∵∠1是△ABC的一个外角，∴∠1=∠A+∠B，∴2∠1=180°，选C.4.【答题】如图，图中x的值为（）A. 50°B. 60°C. 70°D. 75°【答案】B【分析】根据三角形外角的性质解答即可．【解答】由外角的性质得，x+70=(x+10)+x解之得x=60°.选B.5.【答题】一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，则∠α的度数是（）A. 120°B. 135°C. 150°D. 165°【分析】根据三角形外角的性质解答即可．【解答】∠ODE=∠A+∠B=90°+30°=120°,∠α=∠ODE+∠E=120°+45°=165°.选D.6.【答题】如图，已知△ABC中，点D在AC上，延长BC至E，连接DE，则下列结论不成立的是（）A. ∠DCE>∠ADBB. ∠ADB>∠DBCC. ∠ADB>∠ACBD. ∠ADB>∠DEC【答案】A【分析】根据三角形外角的性质解答即可．【解答】解：∵∠ADB是△BDC的外角，∴∠ADB＞∠DBC，∠ADB＞∠ACB，故B、C正确；∵∠ACB是△CDE的外角，∴∠ACB＞∠DEC，∵∠ADB＞∠ACB，∴∠ADB＞∠DEC，故D正确；∠DCE与∠ADB的大小无法比较．选A.方法总结：三角形的外角大于与之不相邻的任何一个内角.7.【答题】如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点．将Rt△ABC 沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A. 40°B. 35°C. 30°D. 25°【答案】A【分析】根据三角形外角的性质解答即可．【解答】∵∠ACB=90°，∠A＝25°，∴∠B=180°－90°－25°=65°，∴∠DB′C=65°，∵∠DB′C=∠A+∠ADB′，∴∠ADB′=∠DB′C－∠A=65－25=40°.选A.8.【答题】如图，图中x的值是（）A. 30B. 40C. 50D. 60【答案】D【分析】根据三角形外角的性质解答即可．【解答】由三角形外角的性质可得：x+70=x+x+10，解得x=60.选D.9.【答题】如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是A2BD∠的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2013为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据三角形外角的性质和角的平分线解答即可．【解答】∵BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴∠A1BC+∠A1=(∠A+∠ABC)=∠A+∠ABC=∠A+∠A1BC，∴∠A1=∠A；,同理可得：∠A2=∠A1=，∠A3=∠A2=，，∠A n=∠A n-1=，∴∠A2013=.选D.10.【答题】如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）A. 360°B. 250°C. 180°D. 140°【答案】B【分析】根据三角形外角的性质解答即可．【解答】如图，∵∠C=70°，∴∠CEF+∠CFE=180°-∠C=110°，又∵∠1+∠CEF=180°，∠2+∠CFE=180°，∴∠1+∠2=180°+180°-（∠CEF+∠CFE）=360°-110°=250°.选B.11.【答题】如图，∥，下列式子中，等于 180°的是（）A. α＋β＋γB. α＋β－γC. －α＋β＋γD. α－β＋γ【答案】B【分析】根据三角形外角的性质和平行线的性质解答即可．【解答】解：如图，∵∥，∴∠α=∠1，．∵∠1=∠2+∠γ，∴∠2=∠1-∠γ=∠α-∠γ，∵∠2+∠β=180°，∴∠α-∠γ+∠β=180°．选B.12.【答题】如图，已知AB∥CD，∠C＝65°，∠E＝30°，则∠A的度数是（）A. 30°B. 32.5°C. 35°D. 37.5°【答案】C【分析】根据三角形外角的性质和平行线的性质解答即可．【解答】解：设AB、CE交于点O．∵AB∥CD，∠C=65°，∴∠EOB=∠C=65°，∵∠E=30°，∴∠A=∠EOB-∠E=35°，选C.13.【答题】如图，若∠A＝27°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE等于（）A. 120°B. 115°C. 110°D. 105°【答案】C【分析】根据三角形外角的性质解答即可．【解答】解：因为∠A＝27°，∠C＝38°，所以∠AEB=∠A+∠C=65°，又因∠B＝45°，所以∠DFE=∠B+∠AEB=110°，选C.14.【答题】如图是一副三角尺叠放的示意图，则∠α的度数为（）A. 75°B. 45°C. 30°D. 15°【答案】A【分析】根据三角形外角的性质解答即可．【解答】∵∠ACB=90°，∠1=45°，∴∠2=90°﹣45°=45°，∴∠α=45°+30°=75°，选A.15.【答题】若三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 都有可能【答案】B【分析】根据三角形外角的性质解答即可．【解答】解：∵三角形的一个外角等于和它相邻的内角，这个外角和它相邻的内角和为180°，∴这个外角和这个内角均为90°，∴这个三角形是直角三角形．选B.16.【答题】如图，已知BE，CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC=50°，则∠BHC为（）A. 115°B. 120°C. 125°D. 130°【答案】D【分析】根据三角形外角的性质解答即可．【解答】∵BE为△ABC的高，∠BAC=50°，∴∠ABE=90°-50°=40°，∵CF为△ABC的高，∴∠BFC=90°，∴∠BHC=∠ABE+∠BFC=40°+90°=130°．选D.17.【答题】如图，∠1，∠2，∠3，∠4的关系为（）A. ∠1＋∠2＝∠4－∠3B. ∠1＋∠2＝∠3＋∠4C. ∠1－∠2＝∠4－∠3D. ∠1－∠2＝∠3－∠4【答案】A【分析】根据三角形外角的性质解答即可．【解答】如下图，由三角形外角的性质可得：∠5=∠2+∠3，∠4=∠1+∠5，∴∠4=∠1+∠2+∠3，∠1+∠2=∠4-∠3.选A.18.【答题】若三角形的三个外角的度数之比为2∶3∶4，则与之对应的三个内角的度数之比为（）A. 4∶3∶2B. 3∶2∶4C. 5∶3∶1D. 3∶1∶5【答案】C【分析】根据三角形外角的性质解答即可．【解答】∵三角形三个外角的度数之比为为2:3:4，而这三个外角的和为360°，∴这三个外角分别为：80°、120°、160°，∴与这三个外角相邻的内角度数分别为：100°、60°、20°，∴对应的三个内角的度数之比为：100:60:20=5:3:1.选C.19.【答题】如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为（）A. 110°B. 70°C. 130°D. 不能确定【答案】A【分析】先根据∠1=∠2得出∠2+∠BCP=∠ACB，再由三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=70°，∠1=∠2，∴∠2+∠BCP=∠ACB=70°，∴∠BPC=180°-∠2-∠BCP=180°-70°=110°．故选：C.20.【答题】如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC+∠ABD=90°；④∠BDC=∠BAC. 其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【分析】根据三角形外角的性质和角的平分线解答即可．【解答】①∵AD平分△ABC的外角∠EAC，∴∠EAD=∠DAC，∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∴∠EAD=∠ABC，∴AD∥BC，故①正确。
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三角形的内角与外角（一）
一、选择题
1、如图所示，下列结论中正确的是 （ ） A 1234∠+∠>∠+∠ B 1234∠+∠=∠+∠ C 1234∠+∠<∠+∠ D 1432∠+∠=∠+∠
2、给出下列四个说法：①三角形三个内角的和与三个外角和都为0
180；②三角形的一个外角大于这个三角形的任何一个内角；③三角形的一个外角等于这个三角形中任意两个内角和；④一个三角形中的三个内角，至少有个内角大于0
60；⑤三角形的三个外角中至少有两个角是钝角；⑥直角三角形中的两个锐角互余；其中说法正确的个数是 （ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
3、如图所示，AD 平分∠CAE ，0
30B ∠=，060CAD ∠=，则ACD ∠等于 （ ） A 0
50 B 0
65 C 0
80 D 0
90
4、如图（3） 光线a 照射到平面镜CD 上，然后在平面镜AB 与CD 之间来回反射，若已知0
1
55∠=，0
375∠=，则2∠等于
（ ）
A 0
50 B 0
55
C 0
66 D 0
65
5、一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示放置，若∠3=0
50，则∠1+∠2等于（ ） 0
B 0
100 C 0
130
6、如图，在R t △ABC 中，∠BAC=0
90，AC ≠AB ，AD 是斜边BC 上的高，D E ⊥AC ，DF ⊥AB ，
垂足分别为E 、F ，则图中与∠C 相等的角（∠C 除外）有 （ ） A 2个 B 3个 C 4个 D 5个 二、填空题 7、已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1:2，则这个等腰三角形的顶角度数为_______。
8、如图所示，B 处在A 处南偏西0
60方向，C 处在A 处的南偏东0
20方向，C 处在B 处正东方向，则∠ACB 的度数为__________度。
9、如图，D 是AB 上一点，E 在AC 边上，BE 、CD 相交于F ，0
62A ∠=，0
35ACD ∠=，
020ABE ∠=，则BDF ∠的度数为__________,BFD ∠=__________.
10、△ABC 中，BE 、CE 、CD 分别为∠ABC 、∠ACB 、∠ACF 的平分线交于E 、D 两点，
且070A ∠=，则BEC ∠=_______，BDC ∠=________，仔细观察，从而你得到什么结论：
_________________________________________________________________________ 若是两个外角平分线所成角，此角的度数为__________.
11、如图所示，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=________。
12、一个直角三角形两个锐角的差为0
20，则这两个锐角的度数分别为_____________。
三、解答题
13、如图在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠1=∠
2，∠3=∠4，∠BAC=0
57， 求∠CAD 的度数
14 、在△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，25B
∠=∠，则是什么范围内变
化？此时∠B 的最大值与最小值分别是多少？
15、如图，B 处在A 处的西南方向，C 处在A 处的南偏东0
15方向，C 处在B 处的北偏东
080方向，求∠ACB 的度数
16、如图所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，CE 是△ABC 的一条角平分线，它们相
交于点P ，已知0
APE=55AEP=∠∠，75，求△ABC 的各个内角的度数。
17、如图、O 为△ABC 内角的平分线AD 、BE 、CF 的交点，O G ⊥BC 于G ，
求证：O B D COG ∠=∠？。