曲线、曲面积分方法小结
（完整版）曲线积分与曲面积分（解题方法归纳）
1 / 13第十一章解题方法归纳一、曲线积分与曲面积分的计算方法1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下：(1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分利用性质计算曲线积分和曲面积分. .(2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. . (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. . (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. . 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则轴对称，则10 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y dsf x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数10 (,)2(,)LL Q x Q x y dy Q x y dy Q x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为偶函数对为奇函数 其中1L 是L 在右半平面部分.若积分曲线L 关于x 轴对称，则轴对称，则10 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y dsf y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为偶函数对为奇函数10 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数其中1L 是L 在上半平面部分.（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则对称，则 ()()=⎰⎰L L f x ds f y ds .（3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则面对称，则10 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分.若积分曲面∑关于yOz 面对称，则面对称，则10 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分.若积分曲面∑关于zOx 面对称，则面对称，则10 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数其中1∑是∑在zOx 面右方部分.（4）若曲线弧():()()αβ=⎧≤≤⎨=⎩x x t L t y y t ，则，则 []22(,)(),()()()()βααβ''=+<⎰⎰Lf x y ds f x t y t x t y t dt若曲线弧:()()θαθβ=≤≤L r r （极坐标），则，则[]22(,)()cos ,()sin ()()βαθθθθθθθ'=+⎰⎰Lf x y ds f r r r r d若空间曲线弧():()()()αβ=⎧⎪Γ=≤≤⎨⎪=⎩x x t y y t t z z t ，则，则[]222(,,)(),(),()()()()()βααβΓ'''=++<⎰⎰f x y z ds f x t y t z t x t y t z t dt （5）若有向曲线弧():(:)()αβ=⎧→⎨=⎩x x t L t y y t ，则，则[][]{}(,)(,)(),()()(),()()βα''+=+⎰⎰LP x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt若空间有向曲线弧():()(:)()αβ=⎧⎪Γ=→⎨⎪=⎩x x t y y t t z z t ，则，则(,,)(,,)(,,)Γ++⎰P x y z dx Q x y z dy R x y z dz[][][]{}(),(),()()(),(),()()(),(),()()βα'''=++⎰P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt（6）若曲面:(,)((,))xy z z x y x y D ∑=∈，则，则[]22(,,),,(,)1(,)(,)xyx y D f x y z dS f x y z x y z x y z x y dxdy ∑''=++⎰⎰⎰⎰ 其中xy D 为曲面∑在xOy 面上的投影域.若曲面:(,)((,))yz x x y z y z D ∑=∈，则，则[]22(,,)(,),,1(,)(,)yzy z D f x y z dS f x y z y z x y z x y z dydz ∑''=++⎰⎰⎰⎰其中yz D 为曲面∑在yOz 面上的投影域.若曲面:(,)((,))zx y y x z x z D ∑=∈，则，则[]22(,,),(,),1(,)(,)zxz x D f x y z dS f x y x z z y y z y y z dzdx ∑''=++⎰⎰⎰⎰其中zx D 为曲面∑在zOx 面上的投影域.（7）若有向曲面:(,)z z x y ∑=，则，则(,,)[,,(,)]xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑=±⎰⎰⎰⎰（上“+”下“-”） 其中xy D 为∑在xOy 面上的投影区域.若有向曲面:(,)x x y z ∑=，则，则(,,)[(,),,]yzD P x y z dydz P x y z y z dydz ∑=±⎰⎰⎰⎰（前“+”后“-”） 其中yz D 为∑在yOz 面上的投影区域.若有向曲面:(,)y y x z ∑=，则，则(,,)[,(,),]zxD Q x y z dzdx Q x y x z z dzdx ∑=±⎰⎰⎰⎰（右“+”左“-”） 其中zx D 为∑在zOx 面上的投影区域.（8）d d +⎰⎰L P x Q y 与路径无关d d 0⇔+=⎰⎰Ñc P x Q y （c 为D 内任一闭曲线）内任一闭曲线）(,)⇔=+du x y Pdx Qdy （存在(,)u x y ） ∂∂⇔=∂∂P Q y x其中D 是单连通区域，(,),(,)P x y Q x y 在D 内有一阶连续偏导数.（9）格林公式）格林公式(,)(,)⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ÑL DQ P P x y dx Q x y dy dxdy x y 其中L 为有界闭区域D 的边界曲线的正向，(,),(,)P x y Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数.（10）高斯公式）高斯公式(,,)(,,)(,,)P Q R P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdydv x y z ∑Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰Ò 或 (cos cos cos )P Q R P Q R dS dv x y z αβγ∑Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰Ò 其中∑为空间有界闭区域Ω的边界曲面的外侧，(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，cos ,cos ,cos αβγ为曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.（11）斯托克斯公式）斯托克斯公式dydz dzdx dxdyPdx Qdy Rdz x y z P Q RΓ∑∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰Ñ 其中Γ为曲面∑的边界曲线，且Γ的方向与∑的侧（法向量的指向）符合右手螺旋法则，,,P Q R 在包含∑在内的空间区域内有一阶连续偏导数.1.计算曲线积分或曲面积分的步骤：（1）计算曲线积分的步骤：）计算曲线积分的步骤： 1）判定所求曲线积分的类型（对弧长的曲线积分或对坐标的曲线积分）； 2）对弧长的曲线积分，一般将其化为定积分直接计算；）对弧长的曲线积分，一般将其化为定积分直接计算；对坐标的曲线积分：对坐标的曲线积分：① 判断积分是否与路径无关，若积分与路径无关，重新选取特殊路径积分； ② 判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件，判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件，若满足条件，若满足条件，利用格林公式计算（添加的辅助线要减掉）；③ 将其化为定积分直接计算.④ 对空间曲线上的曲线积分，判断是否满足斯托克斯公式的条件，若满足条件，利用斯托克斯公式计算；若不满足，将其化为定积分直接计算.（2）计算曲面积分的步骤：）计算曲面积分的步骤：1）判定所求曲线积分的类型（对面积的曲面积分或对坐标的曲面积分）； 2）对面积的曲面积分，一般将其化为二重积分直接计算；）对面积的曲面积分，一般将其化为二重积分直接计算；对坐标的曲面积分：对坐标的曲面积分：① 判断是否满足或添加辅助面后满足高斯公式的条件，若满足条件，利用高斯公式计算（添加的辅助面要减掉）；② 将其投影到相应的坐标面上，化为二重积分直接计算. 例1 计算曲线积分2+=++⎰Ldx dyI x y x，其中L 为1+=x y 取逆时针方向. 解 2222111++===++++++⎰⎰⎰⎰LL L L dx dy dx dy dx dy I x y x x x x由于积分曲线L 关于x 轴、y 轴均对称，被积函数211==+P Q x对x 、y 均为偶函数，因此函数，因此220,011==++⎰⎰LLdx dy xx故 20+==++⎰L dx dyI x y x 『方法技巧』『方法技巧』 对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不同，记清楚后再使用同，记清楚后再使用..事实上，本题还可应用格林公式计算事实上，本题还可应用格林公式计算..例 2 计算曲面积分2()∑=+++⎰⎰I ax by cz n dS ，其中∑为球面2222++=x y z R .解 2()∑=+++⎰⎰I ax by cz n dS 2222222(222222)∑=+++++++++⎰⎰a x b y c z n abxy acxz bcyz anx bny cnz dS由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知0∑∑∑∑∑∑======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xydS xzdS yzdS xdS ydS zdS又由轮换对称性知又由轮换对称性知222∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰x dS y dS z dS故2222222∑∑∑∑=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰I a x dS by dS cz dS ndS22222()∑∑=+++⎰⎰⎰⎰a b c x dS ndS22222222()43π∑++=+++⎰⎰a b c x y z dS R n 22222222222244[()]33ππ∑++=+=+++⎰⎰a b c R R dS R n R a b c n 『方法技巧』 对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不同，理解起来更容易些同，理解起来更容易些..若碰到积分曲面是对称曲面，做题时可先考虑一下对称性.例3 计算曲面积分222()∑++⎰⎰Òx y z dS ，其中∑为球面2222++=x y z ax .解 2222()22()2∑∑∑∑++==-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰乙乙x y z dS axdS a x a dS a dS222402248ππ∑=+==⎰⎰g Òa dS a a a 『方法技巧』 积分曲面积分曲面∑是关于0-=x a 对称的，被积函数-x a 是-x a 的奇函数，因此()0∑-=⎰⎰Òx a dS例4 计算曲线积分2222-+⎰ÑLxy dy x ydxx y，其中L 为圆周222(0)+=>x y a a 的逆时针方向 解法1 直接计算. 将积分曲线L 表示为参数方程形式表示为参数方程形式cos :(:02)sin θθπθ=⎧→⎨=⎩x a L y a 代入被积函数中得代入被积函数中得22232222[cos sin cos cos sin (sin )]πθθθθθθθ-=--+⎰⎰ÑLxy dy x ydxad x y2232232202sin cos 2sin (1sin )ππθθθθθθ==-⎰⎰a d ad324332013118(sinsin )8224222πππθθθπ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰g g g ad a a解法2 利用格林公式利用格林公式2222222211()-=-=++⎰⎰⎰⎰蜒L L Dxy dy x ydx xy dy x ydx x y dxdy aa x y 其中222:+≤D x y a ，故，故2222322112πθρρρπ-==+⎰⎰⎰g ÑaLxy dy x ydxd d a ax y『方法技巧』『方法技巧』 本题解法本题解法1用到了定积分的积分公式：用到了定积分的积分公式：213223sin 13312422πθθπ--⎧⎪⎪-=⎨--⎪⎪-⎩⎰g g Lg g g Lg g g n n n n n n d n n n n n 为奇数为偶数 解法2中，一定要先将积分曲线222+=x y a 代入被积函数的分母中，才能应用格林公式，否则不满足,P Q 在D 内有一阶连续偏导数的条件.例5 计算曲线积分22()()+--+⎰Lx y dx x y dyx y ，其中L 为沿cos π=y x 由点由点(,)ππ-A 到点(,)ππ--B 的曲线弧.解 直接计算比较困难. 由于由于 2222,+-+==++x yx y P Q x y x y ，222222()∂--∂==∂+∂P x y xy Q y x y x 因此在不包含原点(0,0)O 的单连通区域内，积分与路径无关.取圆周2222π+=x y 上从(,)ππ-A 到点(,)ππ--B 的弧段'L 代替原弧段L ，其参数方程为：2cos 5:(:)442sin πθππθπθ⎧=⎪'-→⎨=⎪⎩x L y ，代入被积函数中得，代入被积函数中得222()()1()()2π'+--=+--+⎰⎰L L x y dx x y dy x y dx x y dy x y544[(cos sin )(sin )(cos sin )cos ]ππθθθθθθθ-=+---⎰d54432ππθπ-=-=-⎰d『方法技巧』『方法技巧』 本题的关键是选取积分弧段本题的关键是选取积分弧段'L ，既要保证'L 简单，又要保证不经过坐标原点.例6 计算曲面积分∑++⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy ，其中∑为1++=x y z 的法向量与各坐标轴正向夹锐角的侧面解 由于曲面∑具有轮换对称性，∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy ，∑投影到xOy 面的区域{}(,)1=+≤xy D x y x y ，故，故233(1)∑∑∑++==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy zdxdy x y dxdy21(1)22003(1)3(1)-=--=--⎰⎰⎰⎰xyx D x y dxdy dx x y dy 1401(1)2=-⎰x dx 04111(1)30=---=⎰t x t t dt『方法技巧』『方法技巧』 由于积分曲面由于积分曲面∑具有轮换对称性，因此可以将,dydz dzdx 直接转换为dxdy ，∑只要投影到xOy 面即可.例7 计算曲面积分222()()()∑-+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy ，其中∑为锥面222=+z x y 在0≤≤z h 部分的上侧.解 利用高斯公式. 添加辅助面2221:()∑=+≤z h x y h ，取下侧，则，取下侧，则222()()()∑-+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy1222()()()∑+∑=-+-+-⎰⎰x ydydz y z dzdx z x dxdy1222()()()∑--+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy 123()Ω∑=---⎰⎰⎰⎰⎰dxdydz h x dxdy 23()Ω=-+-⎰⎰⎰⎰⎰xyD dxdydz h x dxdy其中Ω为∑和1∑围成的空间圆锥区域，xy D 为∑投影到xOy 面的区域，即{}222(,)=+≤xy D x y x y h ，由xy D 的轮换对称性，有的轮换对称性，有2221()2=+⎰⎰⎰⎰xyxyD D x dxdy x y dxdy 故 222()()()∑-+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy222113()32π=-+-+⎰⎰⎰⎰g g xyxyD D h h h dxdy x y dxdy23234001124πππθρρπ=-+-=-⎰⎰g hh h h d d h『方法技巧』『方法技巧』 添加辅助面时，既要满足封闭性，又要满足对侧的要求添加辅助面时，既要满足封闭性，又要满足对侧的要求添加辅助面时，既要满足封闭性，又要满足对侧的要求..本题由于积分锥面取上侧（内侧），因此添加的平面要取下侧，这样才能保证封闭曲面取内侧，使用高斯公式转化为三重积分时，前面要添加负号例8 计算曲线积分()()()-+-+-⎰ÑLz y dx x z dy x y dz ，其中221:2⎧+=⎨-+=⎩x y L x y z 从z 轴的正向往负向看，L 的方向是顺时针方向.解 应用斯托克斯公式计算. 令22:2(1)∑-+=+≤x y z x y 取下侧，∑在xOy 面的投影区域为{}22(,)1=+≤xy D x y x y ，则，则()()()∑∂∂∂-+-+-=∂∂∂---⎰⎰⎰ÑL dydzdzdx dxdy z y dx x z dy x y dz x y z z yx zx y222π∑==-=-⎰⎰⎰⎰xyD dxdy dxdy『方法技巧』 本题用斯托克斯公式计算比直接写出曲线本题用斯托克斯公式计算比直接写出曲线L 的参数方程代入要简单，所有应用斯托克斯公式的题目，曲面∑的选取都是关键，∑既要简单，又要满足斯托克斯的条件，需要大家多加练习.二、曲线积分与曲面积分的物理应用1.曲线积分与曲面积分的物理应用归纳如下： (1) 曲线或曲面形物体的质量曲线或曲面形物体的质量. . (2) 曲线或曲面的质心（形心）曲线或曲面的质心（形心）. . (3) 曲线或曲面的转动惯量. (4) 变力沿曲线所作的功. (5) 矢量场沿有向曲面的通量. (6) 散度和旋度.2. 在具体计算时，常用到如下一些结论：（1）平面曲线形物体）平面曲线形物体 (,)ρ=⎰LM x y ds空间曲线形物体空间曲线形物体 (,,)ρ=⎰LM x y z ds 曲面形构件曲面形构件 (,,)ρ∑=⎰⎰M x y z dS（2） 质心坐标质心坐标平面曲线形物体的质心坐标：平面曲线形物体的质心坐标： (,)(,),(,)(,)ρρρρ==⎰⎰⎰⎰LLLLx x y dsy x y dsx y x y dsx y ds空间曲线形物体的质心坐标：空间曲线形物体的质心坐标：(,,)(,,)(,,),,(,)(,)(,)ρρρρρρ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰LLLLLLx x y z dsy x y z dsz x y z dsx y z x y dsx y dsx y ds曲面形物体的质心坐标：曲面形物体的质心坐标：(,,)(,,)(,,),,(,,)(,,)(,,)ρρρρρρ∑∑∑∑∑∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x y z dSy x y z dSz x y z dSx y z x y z dSx y z dSx y z dS当密度均匀时，质心也称为形心.（3） 转动惯量转动惯量平面曲线形物体的转动惯量：22(,),(,)ρρ==⎰⎰x y L L I y x y ds I x x y ds 空间曲线形物体的转动惯量：空间曲线形物体的转动惯量：2222()(,,),()(,,)ρρ=+=+⎰⎰x y L LI y z x y z ds I z x x y z ds22()(,,)ρ=+⎰z LI x y x y z ds11 / 13曲面形物体的转动惯量：曲面形物体的转动惯量： 2222()(,,),()(,,)ρρ∑∑=+=+⎰⎰⎰⎰x y I y z x y z dS I z x x y z dS22()(,,)ρ∑=+⎰⎰zI x y x y z dS其中(,)ρx y 和(,,)ρx y z 分别为平面物体的密度和空间物体的密度.（4） 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功平面上质点在力F (,)=P x y i +(,)Q x y j 作用下，沿有向曲线弧L 从A 点运动到B 点，F 所做的功所做的功»(,)(,)=+⎰ABW P x y dx Q x y dy 空间质点在力F (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 作用下，沿有向曲线弧L 从A 点运动到B 点，F 所做的功所做的功»(,,)(,,)(,,)=++⎰ABW P x y z dx Q x y z dy R x y z dz （2） 矢量场沿有向曲面的通量矢量场沿有向曲面的通量矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 通过有向曲面∑指定侧的通量(,,)(,,)(,,)∑Φ=++⎰⎰P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy（3） 散度和旋度散度和旋度矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 的散度的散度div A ∂∂∂=++∂∂∂P Q R x y z 矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 的旋度的旋度rot A ()∂∂=-∂∂R Q y z i ()∂∂+-∂∂P R z xj +()∂∂-∂∂Q P x y k xy z P Q R∂∂∂=∂∂∂ 1.曲线积分或曲面积分应用题的计算步骤： i j k12 / 13 （1）根据所求物理量，代入相应的公式中；）根据所求物理量，代入相应的公式中；（2）计算曲线积分或曲面积分）计算曲线积分或曲面积分. .例9 设质点在场力F {}2,=-k y x r 的作用下，沿曲线π:cos 2=L y x 由(0,)2πA 移动到(,0)2πB ，求场力所做的功（其中22,=+r x y k 为常数）为常数） 解 积分曲线积分曲线L 如图11.7所示. 场力所做的功为场力所做的功为»(,)(,)=+⎰ABW P x y dx Q x y dy »22=-⎰AB y xk dx dy r r 令22,==-y x P Q r r ，则22224()(0)∂-∂==+≠∂∂P k x y Q x y y r x 即在不含原点的单连通区域内，积分与路径无关. 另取由A 到B 的路径：的路径：1πππ:cos ,sin (:0)222θθθ==→L x y 1022222π(sin cos )d 2πθθθ=-=-+=⎰⎰L y xW k dx dy kk r r 『方法技巧』 本题的关键是另取路径本题的关键是另取路径1L ，一般而言，最简单的路径为折线路径，比如U AO OB ，但不可以选取此路径，，但不可以选取此路径，因为因为,P Q 在原点处不连续. 换句话说，所取路径不能经过坐标原点，当然路径1L 的取法不是唯一的.例10 设密度为1的流体的流速v 2=xz i sin +x k ，曲面∑是由曲线21(12)0⎧⎪=+≤≤⎨=⎪⎩y z z x 饶z 轴旋转而成的旋转曲面，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角，求单位时间内流体流向曲面∑正侧的流量Q .解 旋转曲面为旋转曲面为222:1(12)∑+-=≤≤x y z z ，令1∑为平面1=z 在∑内的部分取上侧，2∑为平面2=z 在∑内的部分取下侧，则12∑+∑+∑为封闭曲面的内侧，故(,,)(,,)(,,)∑=++⎰⎰Q P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy 2sin ∑=+⎰⎰xz dydz xdxdy1L A B o y L x 图11.713 / 13 1212222sin sin sin ∑+∑+∑∑∑=+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰xz dydz xdxdy xz dydz xdxdy xz dydz xdxdy122sin sin Ω∑∑=---⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰z dxdydz xdxdy xdxdy2222222221125sin sin +≤++≤+≤=--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x y z x y x y z dz dxdy xdxdy xdxdy2221128(1)0015ππ=-+-+=-⎰z z dz 『方法技巧』 本题的关键是写出旋转曲面本题的关键是写出旋转曲面∑的方程，其次考虑封闭曲面的侧，以便应用高斯公式，最后用截痕法计算三重积分，用对称性计算二重积分侧，以便应用高斯公式，最后用截痕法计算三重积分，用对称性计算二重积分. .。
曲线积分曲面积分总结
第十三章 曲线积分与曲面积分定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.第一节 对弧长的曲线积分一、 对弧长的曲线积分的概念与性质在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为()x f y =，[]b a x ,∈，其上每一点的密度为()y x ,ρ．如图13-1我们可以将物体分为n 段，分点为n M M M ,...,,21, 每一小弧段的长度分别是12,,...,n s s s ∆∆∆．取其中的一小段弧i i M M 1-来分析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点(),i i ξη的密度(),i i ρξη来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于(),i i i s ρξη∆．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即()∑=∆≈ni i i i s y x M 1,ρ．用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当0λ→时的极限，从而得到1lim (,).ni i i i M s λρξη→∞==∆∑即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义：定义 设L 是xoy 面内的一条光滑曲线，函数()y x f ,在L 上有界，用L 上任意插入一点图13-1列n M M M ,...,,21将曲线分为n 个小段. 设第i 段的长度为i s ∆(1,2,,i n =L )，又()i i ηξ,为第i 个小段上任意取定的一点，作乘积()i i i s f ∆ηξ,，并作和()iiini s f ∆∑=ηξ,1，若当各小段的长度λ的最大值趋于零时，此和式的极限存在，称此极限为函数()y x f ,在曲线L 上对弧长的曲线积分, 也称为第一类曲线积分, 记作()⎰L ds y x f ,, 即1(,)lim (,)n i i i Li f x y ds f s λξη→==∆∑⎰,其中()y x f ,叫做被积函数，L 称为积分弧段．当L 是光滑封闭曲线时，记为()⎰Lds y x f ,．类似地，对于三元函数()z y x f ,,在空间的曲线L 上光滑，也可以定义()z y x f ,,在曲线L 上对弧长的曲线积分()⎰Lds z y x f ,,．这样，本节一开始所要求的构件质量就可表示为(,).LM x y ds ρ=⎰由对弧长的曲线积分的定义可以知道，第一类曲线积分具有下面的性质： 性质1（线性性）若,f g 在曲线L 上第一类曲线积分存在，,αβ是常数, 则(,)(,)f x y g x y αβ+在曲线L 上第一类曲线积分也存在，且()()()()(),,,,LLLf x yg x y ds f x y ds g x y ds αβαβ±=±⎰⎰⎰；性质２（对路径的可加性）设曲线L 分成两段12,L L . 如果函数f 在L 上的第一类曲线积分存在，则函数分别在1L 和2L 上的第一类曲线积分也存在. 反之，如果函数f 在1L 和2L 上的第一类曲线积分存在，则函数f 在L 上的第一类曲线积分也存在. 并且下面等式成立1212L L L L fds fds fds +=+⎰⎰⎰．(12L L +表示L )对于三元函数也有类似的性质，这里不再一一列出． 二、 第一类曲线积分的计算定理 设有光滑曲线():,[,].()x t L t y t ϕαβψ=⎧∈⎨=⎩ 即'()t ϕ,'()t ψ连续. 若函数(,)f x y 在L 上连续，则它在L 上的第一类曲线积分存在，且()()()(,,Lf x y ds f t t βαϕψ=⎰⎰证明 如前面定义一样，对L 依次插入121,,...,n M M M -，并设0((),())M ϕαψα=，((),())n M ϕβψβ=. 注意到01.n t t t αβ=<<<=L 记小弧段1i i M M -的长度为i s ∆，那么,1,2,.ii t i t s i n -∆==⎰L1,(').i i t i i i i t s t t τ--∆=<<⎰所以, 当('')i i x ϕτ=,('')i i y ψτ=时,ii i 11(,)((''),(t ,n niiii i f x y s f ϕτψτ==∆=∑∑这里i 1i i i t ',''t .ττ-≤≤ 设ni i i 1f ((''),(i t σϕτψτ==∆∑则有n niiiii i i 1i 1f (x ,y )s f ((''),(t .ϕτψτσ==∆=+∑∑令12n t max{t ,t ,,t },∆=∆∆∆L 要证明的是t 0lim 0.σ∆→=因为复合函数f ((t),(t))ϕψ关于t 连续，所以在闭区间[,]αβ上有界，即存在M ，对一切t [,]αβ∈有|f ((t),(t))|M.ϕψ≤再由[,]αβ上连续，所以它在[,]αβ上一致连续. 即当任给0ε>，必存在0δ>，当t δ∆<时有|.ε≤从而1||().ni i M t M σεεβα=≤∆=-∑所以lim 0.t σ∆→=再从定积分定义得n22i i i i i 0i 1lim f ((''),(''))'('')'('')t t ϕτψτϕτψτ∆→=+∆∑22((),())'()'().f t t t t dt βαϕψϕψ=+⎰所以当n n22iiiii i i i i 1i 1f (x ,y )s f ((''),(''))'('')'('')t ϕτψτϕτψτσ==∆=+∆+∑∑两边取极限后，即得所要证的结果.特别地，如果平面上的光滑曲线的方程为(),,y y x a x b =≤≤则()()()()()2,,1'b Laf x y ds f x y x y x dx =+⎰⎰．例 计算曲线积分⎰Lds y ，其中L 是抛物线2x y =上的点()0,0A 与点()1,1B 之间的一段弧．（如图）图13-2解：积分曲线由方程[]1,0,2∈=x x y给出，所以()()⎰⎰+=1222'1dx x x ds y L12014x dx =+⎰()1241121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x =()155121-.例 计算积分()22nLxyds +⎰Ñ，其中L 为圆周:sin ,x a t =cos ,y a t =02t π≤≤.解：由于L 为圆周：π20,cos ,sin ≤≤==t t a y t a x ，所以()()()()222220sin cos nnLxyds a t a t π+=+⎰⎰Ñ⎰==ππ20222nn a dt a ． 对于三元函数的对弧长的曲线积分，可以类似地计算．例如：若曲线L 由参数方程()()()t z z t y y t x x ===,,，βα≤≤t 确定，则有()()()dt t z t y t x ds 222'''++=，从而()()()()()()()()dt t z t y t x t z t y t x f ds z y x f L⎰⎰++=βα222''',,,,．例13.３ 计算曲线积分()⎰Γ++ds z y x222，其中Γ是螺旋线cos ,x a t = sin ,y a t =z kt =上相应于t 从0到π2的一段弧．解：由上面的结论有()()()()()()()dt k t a t a kt t a t a ds z y x⎰⎰++-++=++Γπ20222222222cos sin sin cos()()2222220222224332k a k a dtk a t k aπππ++=++=⎰例 计算2Lx ds ⎰, 其中L 为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周.解：由对称性可知222,LLLx ds y ds z ds ==⎰⎰⎰所以22222312().333L L L a x ds x y z ds ds a π=++==⎰⎰⎰习题1. 计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I （设线密度1μ=）.2. 计算曲线积分222()x y z ds Γ++⎰，其中Γ为螺旋线cos x a t =，sin y a t =，z kt=上相应于t 从0到2π的一段弧.3. 计算,x Cye dS -⎰其中C 为曲线2ln(1),23x t y arctgt t =+=-+由0t =到1t =间的一段弧.4. 求L xydS ⎰，其中L 是椭圆周22221x y a b+=位于第一象限中的那部分。
曲线曲面积分公式总结
曲线曲面积分公式总结
以下是曲线曲面积分的一些基本公式：
1. 曲线积分公式：
- 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：∫(L) f(x,y) ds = ∫(a) (b)
f(x,y)√[(dx)^2 + (dy)^2]。
- 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：∫(L) P(x,y) dx + Q(x,y) dy = ∫(a) (b) [∫(L1) P(x,y) dx + Q(x,y) dy] dσ。
2. 曲面积分公式：
- 第一类曲面积分（对面积的曲面积分）：∫∫(Σ) f(x,y,z) dS。
- 第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）：∫∫(Σ) P(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dzdx + R(x,y,z) dxdy。
其中，f(x,y,z)、P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z) 是定义在曲面Σ 上的函数，Σ 是积分曲面，L 是积分曲线，a、b 是积分上下限，dS 是面积元，ds 是线段元，dxdy、dydz、dzdx 是面元。
这些公式是积分学中的基本公式，也是解决复杂积分问题的关键。
对于具体的问题，需要选择合适的积分公式和计算方法。
曲线曲面积分总结
曲线曲面积分总结引言曲线曲面积分是微积分的一个重要分支，它在物理学、工程学和数学分析等领域中有广泛的应用。
本文将对曲线曲面积分的基本概念、计算方法以及一些常见的应用进行总结和说明。
一、曲线积分1.1 概念曲线积分用于描述沿曲线的物理量的累积效应。
给定一条曲线C，曲线积分可以用来计算函数f(x,y)沿此曲线的积分。
曲线积分的计算可以分为两种类型：第一类曲线积分和第二类曲线积分。
1.1.1 第一类曲线积分第一类曲线积分又称为标量场的曲线积分，用来计算形如f(x, y, z)的标量场沿曲线C的积分。
第一类曲线积分可以用参数方程表示，计算公式为：第一类曲线积分第一类曲线积分1.1.2 第二类曲线积分第二类曲线积分又称为矢量场的曲线积分，用来计算形如\vec{F}=F_1\vec{i}+F_2\vec{j}+F_3\vec{k}的矢量场沿曲线C的积分。
第二类曲线积分可以用参数方程表示，计算公式为：第二类曲线积分第二类曲线积分1.2 计算方法曲线积分的计算方法有两种：参数法和直接法。
1.2.1 参数法参数法是通过曲线的参数方程来计算曲线积分。
首先需要将被积函数和参数方程表示成关于参数t的表达式，然后再进行积分计算。
直接法是通过直接求解矢量场与曲线的切向量的点积来计算曲线积分。
该方法相对简单，适用于简单的曲线。
1.3 应用曲线积分在物理学和工程学中有广泛的应用。
例如，在电磁学中，曲线积分用于计算磁场沿闭合曲线的环流量；在流体力学中，曲线积分用于计算流体质点沿曲线的流量。
二、曲面积分2.1 概念曲面积分用于描述曲面上的物理量的累积效应。
给定一个曲面S，曲面积分可以用来计算函数f(x, y, z)在此曲面上的积分。
曲面积分的计算可以分为两种类型：第一类曲面积分和第二类曲面积分。
2.1.1 第一类曲面积分第一类曲面积分又称为标量场的曲面积分，用来计算形如f(x, y, z)的标量场在曲面S上的积分。
第一类曲面积分的计算公式为：第一类曲面积分第一类曲面积分2.1.2 第二类曲面积分第二类曲面积分又称为矢量场的曲面积分，用来计算形如\vec{F}=F_1\vec{i}+F_2\vec{j}+F_3\vec{k}的矢量场在曲面S上的积分。
曲线曲面积分计算方法总结
曲线曲面积分计算方法总结一、曲线积分1.1 曲线积分的定义曲线积分是将一条曲线上某种量的变化情况用积分来描述的数学工具。
设有一条曲线C，由参数方程r(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩给出，其中a≤t≤b。
如果函数f(x,y,z)在C上有定义，那么函数f沿着曲线C的积分定义为：∫Cf(x,y,z)ds=∫bf(x(t),y(t),z(t))‖r’(t)‖dt其中r’(t)=⟨x’(t),y’(t),z’(t)⟩是r(t)的导数，‖r’(t)‖=√(x’(t)2+y’(t)2+z’(t)2)是r(t)的长度元素。
1.2 计算曲线积分的方法计算曲线积分有两种常用的方法：参数法和向量场法。
（1）参数法参数法是曲线积分的一种常用计算方法。
设有参数方程r(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩，a≤t≤b，函数f(x,y,z)在C上有定义，则曲线积分可以表示为：∫Cf(x,y,z)ds=∫bf(x(t),y(t),z(t))√(x’(t)2+y’(t)2+z’(t)2)dt这里f(x(t),y(t),z(t))是要积分的函数在参数方程r(t)上的对应点处的值。
通过对参数t进行积分，就可以求得曲线积分的值。
（2）向量场法向量场法是另一种计算曲线积分的方法。
如果函数f(x,y,z)可以表示为一个向量场F(x,y,z)=⟨P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)⟩的散度或旋度，即f(x,y,z)=∇·F或f(x,y,z)=∇×F。
那么曲线积分可以表示为：∫Cf(x,y,z)ds=∫b⟨P(x(t),y(t),z(t)),Q(x(t),y(t),z(t)),R(x(t),y(t),z(t))⟩·⟨x’(t),y’(t),z’(t)⟩dt通过向量场的散度或旋度来计算曲线积分，可以简化计算的过程。
1.3 曲线积分的应用曲线积分在物理、工程等领域有着广泛的应用。
在物理学中，曲线积分可以用于描述沿着曲线的力的做功和曲线上的速度；在工程中，曲线积分可以用于计算沿着曲线的电场强度、磁场强度等物理量。
曲线积分与曲面积分总结笔记
曲线积分与曲面积分总结笔记曲线积分和曲面积分是微积分中重要的概念，它们在物理学、工程学和数学中都有广泛的应用。
下面对曲线积分和曲面积分进行总结和拓展。
一、曲线积分曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算。
根据曲线的参数方程给出曲线积分的计算公式。
曲线积分分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。
1. 第一类曲线积分：对标量函数进行积分，求曲线上的标量场沿曲线的积分值。
它主要应用于测量曲线长度、质量等问题。
2. 第二类曲线积分：对矢量函数进行积分，求曲线上的矢量场沿曲线的积分值。
它主要应用于计算曲线上的力的做功、电流的环路积分等问题。
二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算。
曲面积分也有两类：第一类曲面积分和第二类曲面积分。
1. 第一类曲面积分：对标量函数进行积分，求曲面上的标量场通过曲面的积分值。
它主要应用于计算场的通量、质量通量等问题。
2. 第二类曲面积分：对矢量函数进行积分，求曲面上的矢量场通过曲面的积分值。
它主要应用于计算磁通量、电通量等问题。
曲线积分和曲面积分的计算方法有很多，常用的方法包括参数化、格林公式、斯托克斯定理和高斯定理等。
对于一些简单的曲线和曲面，也可以通过直接计算来求解。
此外，曲线积分和曲面积分还与梯度、散度和旋度等概念密切相关。
这些概念可以帮助我们理解和计算曲线和曲面上的积分值。
总之，曲线积分和曲面积分是微积分中的重要概念，它们在物理学和工程学中有广泛应用。
通过对曲线和曲面上的函数进行积分，我们可以得到一些重要的物理量和场量。
掌握曲线积分和曲面积分的计算方法和应用可以帮助我们解决实际问题。
曲线积分与曲面积分总结
曲线积分与曲面积分总结standalone； self-contained； independent； self-governed；autocephalous； indie； absolute； unattached； substantive第十一章：曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分 ⎰⎰+=LLy d x d y x f ds y x f 22),(),(若 ⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x L βα≤≤t则 原式=dt t y t x t y t x f ⎰'+'βα)()())(),((22对弧长的曲线积分 (,,)((),(),(LLf x y z ds f x t y t z t =⎰⎰若 ():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩βα≤≤t则 原式=((),(),(f x t y t z t βα⎰常见的参数方程为：特别的：22222.2xy LLLe ds e ds e ds e π+===⎰⎰⎰22=2(0)L x y y +≥为上半圆周二、对坐标的曲线积分 ⎰+L dy y x q dx y x p ),(),( 计算方法一： 若 ⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则原式=dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'⎰βα对坐标的曲线积分 (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩起点处α=t ，终点处β=t 则原式=((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt βα'''++⎰计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。
曲面积分曲线积分总结(推荐3篇)
曲面积分曲线积分总结第1篇对坐标积分，第二型积分是有方向的，对应的物理意义是力沿曲线做功两种方法1.根据对称性、代入性 2.采用化为参数方程例题一、曲线L为 \begin {cases} x^2+y^2+z^2=R^2 \\ x+y+z=0 \end{cases} ，计算\int_{L}xyds (代入性、对称性)例题二、L为 \begin {cases} 2x^2+y^2=2\\ z=x \end {cases} ,计算 \oint_{L}(x^2+y^2)ds (转空间曲线为参数方程形式)\oint_{L}\frac{(x+y)dx-(x-y)dy}{x^2+y^2} ,其中L为 x^2+y^2=a^2 的正向直接使用xxx就是“经典错误，标准错误”当 \frac{\partial P}{dy}=\frac{\partial Q}{dx}证明与路径无关，则可以重新选择简单路径，注意选择新的路径时，一定不能含有奇点。
计算 \int_{L} \frac{x-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x+y}{x^2+y^2}dy ,L是从A（-a，0）到B（a，0）的椭圆 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(y\geq0,a>0,b>0)的一段。
①当区域里面还有奇点，就采用挖洞法②挖洞有讲究，不能乱挖，最好挖得和分母式子是一样的，比如分母是4x^2+y^2 ,那就挖一个椭圆 4x^2+y^2=\xi^2③挖洞的方向要和所求区域是一致的同学问的题，发现这方面的题还没做到，就写一下例题：计算曲面积分 \oint_{c}(x^2+y^2)^2ds ,其中曲线c为 \begin{cases} x^2+y^2+z^2=1 \\ x=y \end{cases}解释：1投是把积分曲面投影到相应的平面，2代是把需要变的值代换，3微变是变换积分例题、求 \iint_{\Sigma}x\sqrt{y^2+z^2}dS , \Sigma 为 x=\sqrt{y^2+z^2}与x=1围成立体的边界曲面思路：这题不是常规的直接投影到xoy平面，但我们可以通过改变坐标轴来改变积分解释：1投求那个面上的积分就往那个面上投影，2代把不在平面的值代换，3定号看与z轴的夹角，若为锐角则正号，若为钝角，则是负值。
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曲线、曲面积分方法小结求曲线、曲面积分的方法与技巧一.曲线积分的计算方法与技巧计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。
例一．计算曲线积分⎰+Lxdy ydx ,其中L 是圆)0(222>=+y x y x 上从原点)0,0(O 到)0,2(A 的一段弧。
本题以下采用多种方法进行计算。
解1：A O )的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==,2,2x x y x x L 由,A O →x 由,20→.212dx xx x dy --=⎰+Lxdy ydx dx x x x x x x ⎰--+-=2022]2)1(2[dx xx x x dx xx x x xx x ⎰⎰--+----=20220222)1(2)1(220.00442=--=分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为.x 因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。
解2：在弧A O )上取)1,1(B 点，BO )的方程为⎪⎩⎪⎨⎧--==,11,2y x y y L 由,B O →y 由,10→.12dy y y dx -=AB )的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-+==,11,2y x y y L 由,A B →y 由,01→.12dy yydx --=⎰+Lxdyydx dy y y y dy y y y ⎰⎰-++--+--+-=012221222)111()111(dy y y ⎰-=102212dy y ⎰--1212dy y y ⎰-=10221210212y y --dyyy ⎰--+12212.0)011(2=---=分析：解2是选用参变量为,y 利用变量参数化直接计算所求曲线积分的，在方法类型上与解1相同。
不同的是以y 为参数时，路径L 不能用一个方程表示，因此原曲线积分需分成两部分进行计算，在每一部分的计算中都需选用在该部分中参数的起始值作为定积分的下限。
解3：A O )的参数方程为,sin ,cos 1θθ=+=y x L 由,A B O →→θ由,0→π .cos ,sin θθθθd dy d dx =-=⎰+Lxdy ydx θθθθπd ]cos )cos 1(sin [02++-=⎰θθθπd ]2cos cos [0--=⎰.0)2sin 21sin (0=--=πθθ解4：A O )的极坐标方程为,cos 2θ=r 因此参数方程为,cos 2cos 2θθ==r x ,cos sin 2sin θθθ==r dy L 由,A B O →→θ由,02→π.)sin (cos 2,cos sin 422θθθθθθd dy d dx -=-=⎰+Lxdy ydx θθθθθθπd )]sin (cos cos 4cos sin 8[2222022-+-=⎰.0)2214342213(4]cos 4cos 3[44220=⋅⋅⋅-⋅⋅=+=⎰ππθθθπd分析：解3和解4仍然是通过采用变量参数化直接计算的。
可见一条曲线的参数方程不是唯一的，采用不同的参数，转化所得的定积分是不同的，但都需用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。
解5：添加辅助线段AO ，利用格林公式求解。
因,,x Q y P ==,011=-=∂∂-∂∂yPx Q 于是 ⎰⎰⎰+-=+AOL Ddxdy xdy ydx ,0而⎰⎰==+AOdx xdy ydx 02,00故得=+⎰Lxdy ydx ⎰+AOL .0=-⎰AO分析：在利用格林公式dxdy yPx Q dy y x Q dx y x P DL)(),(),(∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰将所求曲线积分转化为二重积分计算时，当所求曲线积分的路径非封闭曲线时，需添加辅助曲线,采用“补路封闭法”进行计算再减去补路上的积分，但Q P ,必须在补路后的封闭曲线所围的区域内有一阶连续偏导数。
L 是D 的正向边界曲线。
解5中添加了辅助线段,AO 使曲线AO L +为正向封闭曲线。
解6：由于,,x Q y P ==,1=∂∂=∂∂yPx Q 于是此积分与路径无关，故 ⎰+Lxdy ydx ⎰+=OAxdy ydx .00)0,2()0,0(2==+=⎰⎰dx xdy ydx分析：由于Q P ,在闭区域D 上应具有一阶连续偏导数，且在D 内,yPx Q ∂∂=∂∂因此所求积分只与积分路径的起点和终点有关，因此可改变在L 上的积分为在OA 上积分，注意O 点对应L 的起点。
一般选用与坐标轴平行的折线段作为新的积分路径，可使原积分得到简化。
解7：由全微分公式),(xy d xdy ydx =+⎰+Lxdy ydx .0)()0,2()0,0()0,2()0,0(===⎰xyxy d分析：此解根据被积表达式的特征，用凑全微分法直接求出。
例二．计算曲线积分⎰-+-+-Cdz y x dy z x dx y z ,)()()(其中C 是曲线⎩⎨⎧=+-=+,2,122z y x y x 从z 轴正向往z 轴负向看C 的方向是顺时针的。
解1：设∑表示平面2=+-z y x 上以曲线L 为边界的曲面，其中∑的正侧与L 的正向一致，即∑是下侧曲面，∑在xoy 面上的投影区域xy D ：.122=+y x 由斯托克斯公式⎰-+-+-Cdz y x dy z x dx y z )()()(⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=yx z x y z z y x dxdydzdx dydz ⎰⎰⎰⎰∑-=-==xyD dxdy dxdy .222π解2：利用两类曲面积分间的联系，所求曲线积分了可用斯托克斯公式的另一形式求得出⎰-+-+-Cdzy x dy z x dx y z )()()(dS yx zx yz z y x ⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=γβαcos cos cos ⎰⎰∑++=,)cos 200(dS γ 而平面∑：2=+-z y x 的法向量向下，故取},1,1,1{--=n ,31cos -=γ于是上式.21)1(132321222π-=+-+-=-=⎰⎰⎰⎰∑≤+dxdy dS y x分析：以上解1和解2都是利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分计算的。
在利用斯托克斯公式dz R Qdy Pdx RQ P z y x dxdydzdx dydz L ⎰⎰⎰++=∂∂∂∂∂∂∑计算时首先应验证函数R Q P ,,在曲面∑连同边界L 上具有一阶连续的偏导数，且L 的正向与∑的侧符合右手规则。
在计算空间曲线积分时，此法也是常用的。
解3：将积分曲线用参数方程表示，将此曲线积分化为定积分。
设,cos θ=x ,sin θ=y 则,sin cos 22θθ+-=+-=y x z θ从.02→π⎰-+-+-Cdz y x dy z x dx y z )()()(+--+--=⎰θθθθθπcos )sin 2cos 2()sin )(cos 2[(02θθθθθd )]cos )(sin sin (cos +-⎰--+=πθθθθθ202]2cos cos 2)cos (sin 2[d.2]2cos 1sin 2[20πθθθπ-=--=⎰d例三．计算,)2(22ds z y x ++⎰Γ其中Γ为曲线⎩⎨⎧=++=++)2(.0)1(,2222z y x R z y x 解1：由于当积分变量z y x ,,轮换位置时，曲线方程不变，而且第一类曲线积分与弧的方向无关，故有⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓΓ=++===.3)(312222222ds R ds z y x ds z ds y ds x由曲线Γ是球面2222R z y x =++上的大圆周曲线，其长为.2R π故.34232)(3222R R R ds y x ππ=⋅=+⎰Γ由于Γ关于原点对称，由被积函数为奇函数，得 .0=⎰Γds z 于是.34)2(322R ds z y x π=++⎰Γ解2：利用在Γ上，2222R z y x =++，原式⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓ+-=+-++=zds ds z ds R ds z z z y x 2)2(222222再由对称性可得RR ds z π2322⋅=⎰Γ（同解1），于是上式.3402232322R R R R R πππ=⋅+⋅-⋅= 分析：以上解1解2利用对称性，简化了计算。
在第一类曲线积分的计算中，当积分变量在曲线方程中具有轮换对称性（即变量轮换位置，曲线方程不变）时，采用此法进行计算常常是有效的。
例四．求,22⎰+-Lyx xdyydx 其中L 为椭圆曲线19)1(22=+-y x 上在上半平面内从)0,4()0,2(B A →-的弧。
解：添加辅助线 l 为222ε=+y x 的顺时针方向的上半圆周以及有向线段DB AC ,，其中ε是足够小的正数，使曲线222ε=+y x 包含在椭圆曲线19)1(22=+-y x 内。
由于 222222222)()()(y x y x y x y y y x x x +-=+∂∂=+-∂∂， 由格林公式，有.0=+++⎰⎰⎰⎰-DBlACL设,cos ,sin θεθε==x y 有⎰+-ly x xdy ydx 22,cos sin 022222πθεθεθεπ=--=⎰d再由,022=+-⎰ACy x xdy ydx .022=+-⎰DBy x xdyydx 于是 =+-⎰Ly x xdyydx 22.22π=+-⎰ly x xdyydx分析：利用格林公式求解第二类曲线积分往往是有效的，但必须要考虑被积函数和所考虑的区域是不是满足格林公式的条件。
由于本题中在)0,0(点附近,22yx yP +=22yx xQ +-=无定义，于是采用在椭圆内部)0,0(附近挖去一个小圆，使被积函数在相应的区域上满足格林公式条件。
这种采用挖去一个小圆的方法是常用的，当然在内部挖去一个小椭圆也是可行的。
同时在用格林公式时，也必须注意边界曲线取正向。
例五．求八分之一的球面0,0,0,2222≥≥≥=++z y x R z y x 的边界曲线的重心，设曲线的密度.1=ρ解：设边界曲线L 在三个坐标面内的弧段分别为,,,321L L L 则L 的质量为.23423R R ds ds m LLππρ=⋅===⎰⎰ 设边界曲线L 的重心为),,(z y x ，则}0{11231⎰⎰⎰⎰++==L L L L xds ds xds m xds m xdx x R x x m xds m R L ⎰⎰--+==0222)(1221 R x R m R dx x R R x m R 02202222--=-=⎰.34232222ππR R R mR ===由对称性可知.34πR z y x === 分析：这是一个第一类曲线积分的应用题。