热传导和扩散问题的傅里叶解
傅里叶热传导定律导热微分方程
傅里叶热传导定律导热微分方程傅里叶热传导定律导热微分方程：探索热传导的奥秘1、引言：了解傅里叶热传导定律热传导是我们日常生活中重要的现象之一，在多个领域都有广泛应用，包括工程、物理、化学和生物等。
傅里叶热传导定律是描述物体内部温度分布的重要方程，通过导热微分方程可以更深入地理解温度传导现象。
2、基础知识：热传导和傅里叶热传导定律热传导是指热量从高温区域向低温区域传递的过程。
傅里叶热传导定律则是一组描述热传导的微分方程，最常用的是一维传热情况下的傅里叶热传导定律。
3、傅里叶热传导定律的一维形式在一维情况下，傅里叶热传导定律可以表示为：(1) ∂T/∂t = α ∂²T/∂x²其中，T是温度，t是时间，x是空间坐标，α是传热系数。
这个方程描述了温度随时间和空间变化的关系，可以帮助我们理解物体内部的温度分布情况。
4、解析解和数值解：探索温度变化的方法傅里叶热传导定律的导热微分方程是一个偏微分方程，可以通过解析解或数值解来获取温度的变化情况。
解析解适用于简单的几何形状和边界条件，而数值解则可以应用于更为复杂的情况。
5、实际应用：傅里叶热传导定律的物理意义傅里叶热传导定律的物理意义是描述热量如何在物体内部传递和分布的过程。
通过研究傅里叶热传导定律，我们可以探索不同物质和结构的热传导行为，进而优化材料的热性能、设计更高效的散热系统。
6、个人观点和理解：热传导与现代科技的关系热传导作为能量传递的重要方式之一，在现代科技发展中扮演着重要角色。
通过研究傅里叶热传导定律，我们可以更好地理解材料的热传导行为，从而开发出更高效的散热材料和散热系统，提高设备的效能，推动科技的发展。
7、总结回顾：深入理解热传导的奥秘在本文中，我们深入探讨了傅里叶热传导定律导热微分方程，从基础知识到实际应用，对热传导现象进行了全面评估。
傅里叶热传导定律导热微分方程可以帮助我们理解温度传导的机制和规律，为现代科技的发展提供了重要的理论支持，同时也为我们研究和优化热传导过程提供了有效工具。
matlab傅里叶谱方法求解热传导方程
文章标题：深度解析matlab傅里叶谱方法求解热传导方程在工程学和科学领域中，热传导方程是一个非常重要的偏微分方程，描述了物体内部温度分布随时间的变化。
而傅里叶谱方法是一种常用的数值求解方法，能够高效地对热传导方程进行求解。
本文将深入探讨matlab傅里叶谱方法在求解热传导方程中的应用，以及该方法在实际工程中的意义。
1. 热传导方程的基本概念热传导方程是描述物体内部温度分布随时间演化的方程。
一维情况下，热传导方程可以表示为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partialx^2}$$其中，$u(x,t)$是位置$x$和时间$t$的温度分布函数，$\alpha$是热扩散系数。
对于二维、三维情况，热传导方程的形式也可以相应拓展。
2. matlab傅里叶谱方法的基本原理傅里叶谱方法是一种基于傅里叶级数展开的数值求解方法。
它的基本思想是将热传导方程通过傅里叶变换转化为频域上的方程，再通过离散化的方式进行求解。
在matlab中，可以利用快速傅里叶变换（FFT）来高效地实现傅里叶谱方法。
该方法的优点是高精度、高效率，并且适用于多维情况。
3. matlab傅里叶谱方法的具体实现在matlab中，可以通过编写相应的程序来实现对热传导方程的求解。
首先需要将热传导方程进行离散化，得到一个离散的时间和空间网格。
然后利用傅里叶变换将热传导方程转化为频域上的方程，通过FFT算法高效地求解。
最后再利用逆傅里叶变换将频域上的解转化为时域的解。
通过这一系列步骤，就可以在matlab中实现对热传导方程的高效求解。
4. 实际工程中的应用与意义matlab傅里叶谱方法在实际工程中有着广泛的应用与意义。
例如在材料科学中，可以利用该方法对材料的热传导特性进行建模和仿真。
在电子工程领域，也可以利用该方法对电路元件的热特性进行分析和优化。
另外，在生物医学工程中，对人体组织的热传导特性进行研究也可以借助matlab傅里叶谱方法来实现。
《传热傅里叶定律》课件
提出时间：1822年 提 出 者 ： 约 瑟 夫 ·傅 里 叶
目的：解决热传导问题
应用领域：热力学、工程热 物理、传热学等
傅里叶定律是传热学的基本定律之一 傅里叶定律描述了热传导、对流和辐射三种传热方式的关系 傅里叶定律是研究传热现象的重要工具 傅里叶定律在工程热力学、热力学、热能工程等领域有广泛应用
传热傅里叶定律在 热力学、热能工程 等领域具有广泛应 用前景
传热傅里叶定律为 传热学研究提供了 新的理论基础和研 究方法
传热傅里叶定律在 节能减排、新能源 开发等领域具有重 要应用价值
传热傅里叶定律对 未来传热学研究和 应用具有重要指导 意义
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汇报人：
传热学是研究 热量传递和转 换的科学，是 工程热物理的
重要分支
传热学在能源、 环境、材料、 生物等领域具 有广泛的应用
价值
传热学是提高 能源利用效率、 减少环境污染、 改善生活质量
的重要手段
传热学在航空 航天、电子、 化工、机械、 建筑等工程领 域具有重要的
应用价值
传导传热：通过固 体物质内部的分子 振动和碰撞进行热 量传递
热传导：傅里叶定 律用于计算建筑材 料中的热传导率
热对流：傅里叶定 律用于计算建筑通 风系统中的热对流
热辐射：傅里叶定 律用于计算建筑表 面和室内的热辐射
热交换：傅里叶定 律用于计算建筑供 暖和空调系统中的 热交换效率
热交换器：利用傅里叶定律进行热 交换效率的优化
空调系统：利用傅里叶定律进行空 调系统热效率的优化
傅里叶定律的表述
傅里叶定律是描述热传导的基本定律之一 傅里叶定律指出，在稳态条件下，物体内部的温度分布与热源的分布成正比 傅里叶定律的数学表达式为：T=f(x,y,z)，其中T表示温度，x,y,z表示空间坐标 傅里叶定律的应用广泛，包括热力学、热力学工程、热力学分析等领域
热传导方程傅里叶解
热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达：其中：∙u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量 t与空间变量(x,y,z) 的函数。
∙/是空间中一点的温度对时间的变化率。
∙, 与温度对三个空间座标轴的二次导数。
∙k决定于材料的热传导率、密度与热容。
热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。
如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定u 的边界条件。
如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。
热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。
一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。
因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。
热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。
利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式其中的是对空间变量的拉普拉斯算子。
热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。
热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与 Ornste in-Uhlenb eck 过程。
热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。
量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。
就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。
扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。
以傅里叶级数解热方程[编辑]以下解法首先由约瑟夫·傅里叶在他于1822年出版的著作T héori e analyt iquede la chaleu r（中译：解析热学）给出。
大学物理-热传导方程的定解问题
在各向同性的介质中，热流强度 q 与温度的负梯度成正比， 即
(k：热传导系数)
|q|：单位时间垂直通过等温面单位面积的热量，即 q 的方向：等温面的法线方向 (由高温指向低温) 定律的物理意义：q 正比于温度的下降率 单位时间内流入 / 流出 V 的热量为
单位时间内热源在 V 中释放 / 吸收的热量为
单位时间内，V 中介质温度升高/降低所需/放出的热量为
能量守恒定律：Q3 = Q1 + Q2 则 由 V 的任意性，得到
若介质均匀，即 k 为常量，有来自定义：，因此得到
当 V 内无热源，即 f = 0，故有
二、扩散方程 1. 扩散现象：当空间各点浓度分布不均匀时，就有粒子
从高浓度处流向低浓度处。(浓度：单位体 积中的粒子数) 2. 方程的推导 设：空间中任一小体积 V，其边界面为 S
粒子源强度：F (x, y, z, t) ——单位时间，单位体积 内产生的粒子数
求：空间各点粒子浓度 u(x, y, z, t) 的方程 V 内粒子数增加的来源：扩散 + 粒子源
扩散浓度：N ——单位时间通过垂直于 v (粒子定向运动速 度) 的单位面积的粒子数 N=uv，方向：v 的方向
对于扩散现象，有斐克定律： 扩散强度与浓度的负梯度成正比，即 D：扩散系数
扩散导致 V 内粒子增加的数量：
粒子源 V 粒子增加的数量： 内粒子数总的增加数：
因粒子数守恒，有 由 V 的任意性，得到 若 D 为常量，且设 D = a2，则
若 V 内无粒子源，即 F = 0，因而
总结：热传导：热量的传递；扩散：粒子的运动，两 者物理本质不同，但满足同一微分方程。
数学物理方法课件：08第8章 热传导方程的傅里叶解
产生，u( x, t)
t
( x, t; )d
0
Tn (t ) sin
n1
n
l
x
,
Tn(t)
t 0
d
fn (
) e xp[
n2
l2
2
a2(t
)]
a)2
(2)
本征问题
X X (0)
X X
(l
0 )
0
Xn( x) cos(kn x) (n 0)
(3) 按本征函数展开 ( x, t) Tn(t)cos(kn x) n1
( x,0) ~( x)
~n
2 l
l 0
cos(kn
x)~(
x
)
dx
t a2 x x
~f Tn nTn
y dy, z, t )dxdz dt
通过前后表面流入的净热量
dQT
dQT
k[
u ( x, y
y, z,t)
u ( x, y
y dy, z, t )]dxdz dt
k uy y dxdydz dt
➢ 热传导方程的导出
R
dt 时间内体积元积累的总热量
TS
dQ dQin F (r , t)dxdydzdt
这股热量使体积元温度升高
u
u(r , t
dt)
u(r , t)
u
ut
dt
dQin
F (r , t)dxdydzdt
C dxdydz
ut a2 (ux x uy y uz z ) f
a2 k , f F
C
C
• 热传导的泛定方程 ut a2 2u f 类似的推导：三维弹性体的振动 ut t a2 2u f 二维热传导：ut a2 (ux x uy y ) f ( x, y, t) 一维热传导：ut a2ux x f ( x, t) 实例：侧面绝热的细杆
三类典型的数学物理方程
第二类边界条件
规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值
u n x0 ,y0 ,z0 f (x0 , y0 , z0 , t)
（9.1.24）
第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值
(u Hun ) x0 ,y0 ,z0 f (x0, y0, z0, t) （9.1.25）
utt Tuxx g 0
(9.1.6)
即为
utt a2uxx g
（9.1.7）
上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程．
其中 a2 T /
讨论：
（1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式(9.1.7)右端的 重力加速度项可以忽略．由此得到下列齐次偏微分方程：
utt a2uxx
（9.1.16）
2i x 2
LC
2i t 2
(9.1.17)
具有与振动方程类似的数学形式，尽管它们的物理本质根本不同
(3)无漏导，无电感线
2v x2
RC v t
2i
i
x 2
RC t
（9.1.18） (9.1.19)
它们具有与下节将讨论的一维热传导方程类似的数学形式， 尽管它们的物理本质根本不同．
讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要 确定弦的运动方程，需要明确：
(1)要研究的物理量是什么？
弦沿垂直方向的位移 u(x,t)
确定 弦的 运动 方程
（2）被研究的物理量遵循哪些 物理定理？牛顿第二定律.
（3）按物理定理写出数学物 理方程（即建立泛定方程）
注意：
物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设 才能使方程简化．
例9．1．1 一根长为 l 的弦，两端固定于 x 0 和
高等传热学-傅立叶导热定律及导热方程 ppt课件
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7
质点温度发生变化，则意味着内能发生变化 按热力学第一定律，必有热量进出该质点 结果表明瞬时热源的作用迅速传遍整个区域，
不论空间介质种类如何（热量传播速度无限 大）
温度出现不均匀的的原因是由于各点吸收的 份额不同
热传导微分方程是傅立叶导热定律结合能量 守恒原理而得
能量守恒定律只涉及能量在数值上的关系， 与能量传递过程中具体行为无任何联系
在导热时的能量传递是微观粒子的波动或运 动导致
导热时热量的传播速度不会以无限大的速度 (infinite speed) 进行
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4
经典傅立叶导热定律的适用条件
applicable condition of the Fourier’s low
q
gradt
t
t
n
式中： f（x，） Q（x，） c
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6
按格林函数(Green function)法求解可得温度分布 (temperature distribution)：
t（x，） f（ ,）G（x， ; ,）dd 0
其中，
G(x, ; ,)
2
1
a
声波(sound wave )的实质与水波(water wave )完全一致，只是水波能看到，声波 看不到
ppt课件
3
热的波动性wave of the heat
导热的微观机理根据物质形态的不同而有差 别
热传导过程的实现由两种相互独立的机制完 成（1）利用晶格(crystal lattice)波的振动 和声子(phonon)的运动；（2）自由电子 (free electron) 的平移移动
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于是
，即 .
得到本征值：
相应的本征函数是：
第四步,求特解，并进一步叠加出一般解：
对于每一个本征值 ，解（8-2.5）式得出相应的 :
.
得到了满足偏微分方程和边界条件的特解:
.
得到方程的一般解为
（8-2.7）
第五步,利用本征函数的正交性确定叠加系数：
现在根据初始条件中的已知函数 定出叠加系数 ，将上面的一般解代入初始条件，并利用本征函数 的正交性得到系数为
（8-2.8）
公式（8-2.7）给出了均匀细杆上温度场的分布，表明温度场随时间做指数衰减。
第三节 初值问题的傅里叶解
8.3.1 利用傅里叶积分求出热传导的初值问题
对于无穷长一维介质上的热传导问题，可以表示为
解：令
代入泛定方程（8-3.1），得到两个常微分方程：
（8-3.3）
（8-3.4）
解式（8-3.3）得到：
（8-3.5）
由公式（8-3.5）可以看出：当 时，温度随时间的变化将趋于无穷大，这与物理事实不符，因此， ，令 。（8-3.3）和（8-3.4）的解为与 有关系的一系列解，记为
（8-3.6）
解式（8-3.4）得到：
于是得到热传导的一系列解为
（8-3.7）
由于这里的 没有边界条件的限制，所以为任意实数值。则 的一般解为公式（8-3.7）对所有 值对应解的叠加，由于 为连续实数，因此， 的一般解为公式（8-3.7）对 从 到 进行积分。即
第一步，定变量。研究介质x位置处在t时刻的温度 。
第二步，取局部。在介质内部隔离出从x到 一段微元长度，在t到 时间内温度的变化 。
第三步，立假设。假设均匀介质的横截面积为A，质量密度为 ，比热为c，热传导系数为k。
第四步，找规律。隔离出来的微元长度在t到 时间内吸收的热量为：
（8-1.2）
在t到 时间内，同过x位置处的横截面的热量为：
则其解为
把第二项积分变量和区间变为0- ，则
（2）当半边界为第二类齐次边界条件时，把半无限问题扩展为无限问题为：
则其解为
把第二项积分变量和区间变为0- ，则
非齐次偏微分方程的求解
齐次偏微分方程和齐次边界条件在分离法中起着关键的作用：因为方程和边界条件是齐次的，分离变量法才得以实现。如果定解问题中的方程和边界条件不是齐次的，还有没有可能应用分离变量法呢？
求解上述 的定解问题，然后对 按时间叠加后，持续强迫力 所产生的振动位移为：
对于热传导问题的非齐次方程，处理方法相同。
第八章习题解答
解（8-3.12）式可以看作是由各个瞬时点热源引起的温度分布的叠加。
第四节 一端有界的热传导问题
8.4.1 左端有界热传导定解问题的解
方法1：直接用分离变量法求解。
解：令
将此代入泛定方程（8-4.1），得到两个常微分方程：
（8-4.4）
（8-4.5）
将此代入边界条件（8-4.2），得到：
（8-4.6）
基本解法二 非齐次方程齐次化找出特解
令 ，保持原有的齐次边界条件不变，使得 满足：
则 满足常微分方程的边值问题：
该方法的关键在于找出特解 ，适用于 比较简单的情形。
第七章习题第11题、第14题为非齐次方程，其中的自由项比较简单，可以用该方法求解。
第七章第11题：
分析：由于方程（1）的非齐次项知识x的函数，就可以把特解函数也取为只是x的函数，即令
（8-4.13）
利用 ，得出
因此， 可以写为
（8-4.14）
方法2：把半无界拓展为无界
如何拓展？
先看无界热传导问题在坐标原点的温度分布具有什么样的特点。
由第三节可知，无界热传导问题的解为
在 点，有：
当 为奇函数时， 满足第一类齐次边界条件。
当 为偶函数时， 满足第二类齐次边界条件。
所以：
（1）当半边界为第一类齐次边界条件时，把半无限问题扩展为无限问题为：
由傅里叶实验定律可知，在单位时间内，端点x=l流出热量为：
由 ，就可以得出第三边界条件为
其中，k为热传导系数，h为热交换系数。
第二节 混合问题的傅里叶解
8.2.1 混合问题的解
对于有界杆的热传导问题，我们先考虑齐次方程和齐次边界条件下的混合问题。即：
第一步,分离变量，将二阶偏微分方程转化为两个常微分方程。
（8-1.3）
在t到 时间内，同过 位置处的横截面的热量为：
（8-1.4）
如果在微元段内有其他的热源，假设在单位时间单位体积内产生的热量为 ，则该热源在微元内产生的热量为：
（8-1.5）
第五步，列方程。根据能量守恒定律，净流入的热量应该等于介质在此时间内温度升高所需要的热量。
即
得到：
令
，
则得到热传导方程为
（8-1.6）
当介质内部无其他热源时，热传导方程是齐次的，为
（8-1.7）
8.1.2 扩散方程的建立
扩散问题研究的是杂质在其他介质中的浓度分布，得到的扩散方程与热传导方程有完全一样的形式。过程略。
8.1.3 热传导问题的定解条件
与弦的振动一样，其定解条件包括边界条件和初始条件。
初始条件为：已知初始时刻细杆上各点的温度分布
令
将此代入泛定方程（8-2.1），得到两个常微分方程：
（8-2.4）
（8-2.5）
第二步，将 原来的边界条件转化为 的边界条件。
将此 代入边界条件，得 的边界条件：
， （8-2.6）
第三步,求解本征值问题
通过讨论分析得出只有 时，方程（8-2.5）的解才有意义。因此， 时解（8-2.5）式得
.
将这个通解代入边界条件（8-2.6），就有
在第七章弦的振动问题中针对非齐次边界条件先要进行齐次化处理，才能用分离变量法已经进行了分析说明。
对于非齐次方程的解法在这里详加分析说明。
例如：强迫振动的定解问题：
该弦的振动位移可以认为是由三部分干扰引起的：第一部分是由初始位移 和初始速度 引起的振动；第二部分是由边界条件 干扰引起的振动；第三部分是由强迫力 干扰引起的振动。因此，求解上述问题强迫振动问题，可以转化为求解下面三个定解问题：
（8-3.8）
把初始条件代入上式得到：
（8-3.9）
其中傅里叶系数：
（8-3.10）
（8-3.11）
把公式（8-3.10）与（8-3.11）带入公式（8.3-9）得到：
（8-3.12）
利用 ，得出
因此， 可以写为
（8-3.12）
8.3.2热传导傅里叶解的物理意义
细杆上 位置的点热源在整个细杆上引起的温度分布为：
其边界条件有三种：
第一边界条件：已知细杆端点的温度 或者 。
第二边界条件：已知通过端点的热量，即已知端点的 。例如：当介质x=0端和外界绝热，此时 。
第三边界条件：例如，已知端点x=l与某种介质按热传导中的牛顿实验定律进行着热量交换，已知端点的温度为 ，与其接触的介质的温度为 ，有牛顿实验定律知道：在单位时间内由端点x=l流入介质的热量为
第八章 热传导方程的傅里叶解
第一节 热传导方程和扩散方程的建立
8.1.1 热传导方程的建立
推导热传导方程和前面弦振动所用的数学方法完全相用，不同之处在于具体的物理规律不同。这里用到的是热学方面的两个基本规律，即能量守恒和热传导的傅里叶实验定律。
热传导的傅里叶实验定律：设有一块连续的介质，选定一定的坐标系，并用 表示介质内空间坐标为的一点在t时刻的温度。若沿x方向有一定的温度差，在x方向也就一定有热量的传递。从宏观上看，单位时间内通过垂直x方向的单位面积的热量q与温度的沿x方向的空间变化率成正比，即
（8-1.1）
q称为热流密度，k称为导热系数。公式中的负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相反，即热量由高温流向低温。
研究三维各向同性介质中的热传导，在介质中三个方向上存在温度差，则有
， ，
或
即热流密度矢量 与温度梯度 成正比。
下面以一维均匀细杆为例，根据傅里叶实验定律和能量守恒定律推导介质中的热传导方程。
解式（8-4.4）得到：
（8-4.7）
由公式（8-4.7）可以看出：当 时，温度随时间的变化将趋于无穷大，这与物理事实不符，因此， ，令 。（8-4.4）和（8-4.5）的解为与 有关系的一系列解，记为
（8-4.8）
解式（8-4.5）得到：
把边界条件（8-4.6）代入上式得到： ，因此
于是得到热传导的一系列解为
（8-4.9）
由于这里的 没有边界条件的限制，所以为任意实数值。则 的一般解为公式（8-4.9）对所有 值对应解的叠加，由于 为连续实数，因此， 的一般解为公式（8-4.9）对 从 到 进行积分。即
（8-4.10）
把初始条件代入上式得到：
（8-4.11）
得出：
（8-4.12）
把公式（8-4.12）带入公式（8-4.10）得到：
其中 满足：
（4）式的解两次积分很容易求出来。求出 后，再方法的基本思路是将强迫振动问题转化为无穷多个自由振动的叠加，而每一个自由振动的初始位移和初始速度为前一个自由振动产生的位移和速度。
思路：将非齐次项 （单位质量所受的力或者强迫力引起的加速度）分解成无穷多个前后相继的瞬时力的叠加。 时刻的力 不会影响 时刻之前的振动情况， 独自干扰产生的弦的振动位移 满足：
:
:
:
设方程 的解为 ，方程 的解为 ，方程 的解为 ，则原定解问题的解为以上三个定解问题解的和，即
方程 直接用分离变量法求解；方程 为非齐次边界条件，先将边界条件齐次化后用分离变量法求解。
下面研究方程 的解法。
基本解法一 将未知解展开为本征函数法
该方法的前提条件是必须知道对应齐次方程的本征函数，第七章第四节“非齐次方程的求解”例题用该方法求解，但最后落脚点还是非齐次常微分方程，非齐次常微分方程的解法用冲量法（基本方法三）或积分变换法（拉普拉斯变换法或傅里叶变换法）。