相交线与平行线知识点总结
平行线和相交线

平行线和相交线平行线和相交线在几何学中是重要的概念,它们具有不同的性质和特点。
本文将介绍平行线和相交线的基本概念,以及它们在几何学中的应用和相关定理。
一、平行线的概念和性质平行线是指在同一个平面上永远不会相交的两条直线。
在几何学中,我们通常使用符号"//"来表示两条平行线。
平行线具有以下性质:1. 平行线的对应角相等:当两条平行线被一条截线所交,所形成的对应角是相等的。
这个性质可以用来证明两条线平行的方法之一。
2. 平行线的任意两点之间的距离相等:平行线上的任意两点之间的距离都是相等的。
这个性质在实际中得到广泛应用,例如在建筑设计中测量平行的墙壁之间的距离。
3. 平行线的斜率相等:如果两条直线的斜率相等,则它们是平行线。
这个性质可以用来判断两条线是否平行的另一种方法。
二、相交线的概念和性质相交线是指在同一个平面上交叉的两条直线。
相交线具有以下性质:1. 相交线的对应角相等:当两条相交线被一条截线所交,所形成的对应角是相等的。
这个性质可以用来证明两条线是否相交。
2. 相交线的垂直角互补:当两条相交线形成直角时,它们被称为垂直线。
垂直线之间的对应角是互补的,即它们的和为90度。
3. 相交线的交点:相交线的交点是两条线的唯一公共点。
这个交点在几何学中具有重要的地位,它可以被用来确定形状、测量长度等。
三、平行线和相交线的应用和定理平行线和相交线在几何学中有许多重要的应用和相关定理,其中一些包括:1. 直线平行定理:如果一条直线与两条平行线相交,那么它将分别与这两条平行线的对应角相等。
2. 平行线的传递性:如果两条直线分别与第三条直线平行,那么这两条直线也是平行的。
3. 平行线与垂直线的关系:如果两条直线相交,并且其中一条直线与第三条直线垂直,那么另一条直线也与第三条直线垂直。
这些定理和性质在解决几何问题时起着重要的作用,它们被广泛运用于建筑、设计、测量等领域。
总结:平行线和相交线是几何学中重要的概念。
平行线与相交线的关系知识点

平行线与相交线的关系知识点在几何学中,平行线和相交线是两个基本的几何概念,它们之间有着密切的关联。
本文将介绍平行线与相交线的性质以及它们之间的一些重要关系。
一、平行线的定义与性质平行线是指在同一个平面上永远不会相交的直线。
两条平行线之间的距离始终保持相等,且它们的斜率也相等。
平行线具有以下性质:1. 平行线的性质一:同一平面内两直线要么相交于一点,要么平行。
2. 平行线的性质二:如果一条直线与另外两条平行线相交,那么这两条平行线之间的对应角相等。
3. 平行线的性质三:平行线的倾斜角度相等。
4. 平行线的性质四:两条平行线与一条相交线所构成的内角和为180度。
二、相交线的定义与性质相交线是指在同一个平面上交于一点的两条直线。
相交线之间的夹角是它们各自的内角和,且夹角的大小和形状取决于直线的倾斜程度。
相交线具有以下性质:1. 相交线的性质一:相交线之间夹角的大小可以是锐角、直角或钝角。
2. 相交线的性质二:相交线之间夹角的大小等于其对应的对顶角。
3. 相交线的性质三:两条相交线若交于一点,则点的坐标满足这两条直线的方程。
三、平行线与相交线的关系平行线与相交线之间有以下重要的关系:1. 平行线切割相交线:如果一条直线与一对平行线相交,那么它将会把这对平行线切割成相似的线段。
2. 内错角与同旁内角:当一条直线与两条平行线相交时,所构成的对应角(内错角)相等,而相应于同旁外角(同旁内角)也相等。
3. 平行线的判定:如果两条直线与一条相交线所构成的内外角相等,那么这两条直线是平行的。
4. 平行线的传递性:如果直线a与直线b平行,直线b与直线c平行,那么直线a与直线c也平行。
通过对平行线和相交线的定义、性质以及它们之间的关系的认识,我们能够更好地理解几何学中的相关概念,并应用它们解决问题。
总结:平行线是在同一平面上永不相交的直线,其性质包括对应角相等、倾斜角相等以及内角和为180度等;相交线是在同一平面上交于一点的直线,其性质包括夹角等于内角和以及夹角的种类;平行线与相交线之间的关系包括平行线切割相交线、内错角与同旁内角相等、平行线的判定方法以及平行线的传递性。
相交线与平行线的知识点

相交线与平行线的知识点一、相交线。
1. 邻补角。
- 定义:两个角有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为邻补角。
- 性质:邻补角互补,即它们的和为180°。
例如,∠AOC和∠BOC是邻补角,那么∠AOC+∠BOC = 180°。
2. 对顶角。
- 定义:有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角。
- 性质:对顶角相等。
如∠AOC和∠BOD是对顶角,则∠AOC = ∠BOD。
3. 垂直。
- 定义:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
- 性质:- 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
- 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简单说成:垂线段最短。
- 点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。
二、平行线。
1. 平行线的定义。
- 在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
用符号“∥”表示平行关系,如直线a平行于直线b,记作a∥b。
2. 平行公理及推论。
- 平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
- 推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
即如果a∥b,b∥c,那么a∥c。
3. 平行线的判定。
- 同位角相等,两直线平行。
例如,直线a、b被直线c所截,如果∠1 = ∠2(∠1和∠2是同位角),那么a∥b。
- 内错角相等,两直线平行。
如直线a、b被直线c所截,若∠2 = ∠3(∠2是内错角,∠3是同位角),则a∥b。
- 同旁内角互补,两直线平行。
当直线a、b被直线c所截,若∠2+∠4 = 180°(∠2和∠4是同旁内角),那么a∥b。
4. 平行线的性质。
- 两直线平行,同位角相等。
若a∥b,则∠1 = ∠2(∠1和∠2是同位角)。
相交线与平行线知识点总结

相交线与平行线第一节相交线一:相交线对顶角与邻补角二:垂线垂线段最短点到直线的距离第二节平行线及其判定一:平行线平行线平行线公理及推论二:平行线的判定同位角、内错角同旁内角平行线的判定第三节平行线的性质平行线的性质1、平行线性质定理定理1:两条平行线被第三条直线所截;同位角相等.简单说成:两直线平行;同位角相等.定理2:两条平行线被地三条直线所截;同旁内角互补..简单说成:两直线平行;同旁内角互补.定理3:两条平行线被第三条直线所截;内错角相等.简单说成:两直线平行;内错角相等.2、两条平行线之间的距离处处相等平行线的判定及性质(1)平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.(2)2应用平行线的判定和性质定理时;一定要弄清题设和结论;切莫混淆.(3)3平行线的判定与性质的联系与区别(4)区别:性质由形到数;用于推导角的关系并计算;判定由数到形;用于判定两直线平行.(5)联系:性质与判定的已知和结论正好相反;都是角的关系与平行线相关.(6)4辅助线规律;经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线;构造出三类角平行线之间的距离(1)平行线之间的距离(2)从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线;垂线段的长度叫两条平行线之间的距离.(3)2平行线间的距离处处相等第四节平移生活中的平移现象1、平移的概念2、在平面内;把一个图形整体沿某一的方向移动;这种图形的平行移动;叫做平移变换;简称平移.3、2、平移是指图形的平行移动;平移时图形中所有点移动的方向一致;并且移动的距离相等.4、3、确定一个图形平移的方向和距离;只需确定其中一个点平移的方向和距离平移的性质②新图形中的每一点;都是由原图形中的某一点移动后得到的;这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行且相等作图----平移变换。
(完整版)相交线与平行线复习知识点总结

第五章 相交线与平行线复习 5.1.1相交线(详见课本第2页)1、相交线的概念:在同一平面内,如果两条直线只有一个 点,那么这两条直线叫做相交线,公共点称为两条直线的交点. 如图1所示,直线AB 与直线CD 相交于点O.2、对顶角的概念:若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的 延长线, 那么这两个角叫做对顶角. 如图2所示,∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角. 3、对顶角的性质:对顶角 .4、邻补角的概念:如果把一个角的一边 延长,这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角,此时就说这两个角互为邻补角. 如图3所示,∠1与∠2互为邻补角,由平角定义可知∠1+∠2=180°.5.1.2垂线(详见课本第3-5页)1、垂线的概念:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是 角时,就说这两条直线互相 ,其中一条直线叫做另一条直线的 ,它们的交点叫做 .2、垂线的性质 (1)(垂直公理)性质1:在同一平面内,经过直线外或直线上一点,有且只有 条直线与已知直线垂直,即过一点有且只有 条直线与已知直线 . (2)(垂直推理)性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短. 即垂线段最 . 3、点到直线的距离:直线外一点到这条直线的 线段的长度,叫做点到直线的 . 如图5所示,l 的垂线段PO 的长度叫做点P 到 直线l 的距离. 4、 垂线的画法(工具:三角板或量角器)画法指点:⑴一靠:用三角尺一条直角边靠在已知直线上,⑵二移:移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上, ⑶三画:沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象是线段的线.5.1.3同位角、内错角、同旁内角(详见课本第6-7页) 1、三线八角两条直线被第 条直线所截形成 个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角. 如图5,直线b a ,被直线l 所截①∠1与∠5在截线l 的同侧,同在被截直线b a ,的上方,叫做 角(位置相同)同位角是“F ”型 ②∠5与∠3在截线l 的两旁(交错),在被截直线b a ,之间(内),叫做 角(位置在内且交错)内 错角是“Z ”型③∠5与∠4在截线l 的同侧,在被截直线b a ,之间(内),叫做 角. 同旁内角是“U ”型 2、如何判别三线八角判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”,有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看,有时又需要把 图形补全. 如上图6 5.2.1平行线(详见课本第11-12页)1、 平行线的概念:在同一平面内,不 的两条直线叫做平行线.2、两条直线的位置关系在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:⑴ ;⑵ .(通常把 的两直线看成一条直线)判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定:AB CD 14321A BC DO 图2 OD C BA 图1 图5图6 21OC B A图3图4 623 4 5 78 9BA D EC13、平行线的表示方法平行用“ ”表示,如图7所示,直线AB 与直线CD 平行,记作AB ∥CD ,读作AB 平行于CD .4、平行线的画法:5、平行线的基本性质 (1)平行公理:经过直线 一点,有且只有 条直线与已知直线 .(2)平行推理:如果两条直线都和第 条直线平行,那么这两条直线也 .如上图8所示 5.2.2平行线的判定(详见课本第12-14页)1、平行线的判定方法:(1)判定1:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简称:同位角 ,两直线 .(2)判定2:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简称:内错角 ,两直线 .(3)判定3:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简称:同旁内角 ,两直线 .(4)平行线的概念:同一平面内,如果两条直线没有交点(不 ),那么两直线平行.(5)两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线 .(平行于同一条直线的两条直线也 ) (6)在同一平面内,如果两条直线同时垂直于同一条直线, 那么这两条直线 .(垂直于同一条直线的两条直线 )5.3.1平行线的性质(详见课本第18-19页) 1、平行线的性质:(1)两条平行线被第三条直线所截,同位角相等. 简记:两直线 ,同位角 . (2)两条平行线被第三条直线所截,内错角相等. 简记:两直线 ,内错角 .(3)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补. 简记:两直线 ,同旁内角 . 2、两条平行线的距离如图10,直线AB ∥CD ,EF ⊥AB 于E ,EF ⊥CD 于F , 则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离. 3.平行线的性质与判定是互逆的关系: ○1两直线平行 同位角相等;○2两直线平行 内错角相等; ○3两直线平行 同旁内角互补.5.3.2命题、定理(详见课本第20页) 1、命题的概念: 一件事情的语句,叫做命题.2、命题的组成:每个命题都是 、 两部分组成. (1)题设是 事项; (2)结论是由已知事项 的事项.3、命题的表述句式:命题常写成“ ……, ……”的形式. 具有这种形式的命题中,用“如果”开始的部分是 ,用“那么”开始的部分是 . 5.4平移(详见课本第28-29页)1、平移变换的概念:把一个图形 沿某一 方向移动,会得到一个新图形的平移变换.2、平移的特征:①大小: ; ②形状: ; ③位置: ; ④对应点的连线: 且 . (1的形状与大小都没有发生变化. (2)经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等.AD EBC 1 2图7 D C BA a b c 图8A EG B C F H D图10 性质判定性质性质判定判定A D BE CF 图12A B C DEF1 2 34自我检测1.如果两个角是互为邻补角,那么一个角是锐角,另一个角是钝角.( )2.同一平面内,一条直线不可能与两条相交直线都平行.( )3.两条直线被第三条直线所截,内错角的对顶角一定相等.( )4.互为邻补角的两个角的平分线互相垂直.( )5.两条直线都与同一条直线相交,这两条直线必相交.( )6.如右下图,,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm ⊥===那么点A 到BC 的距离是_____,点B 到AC 的距离是_______,点A 、B 两点的距离是_____,点C 到AB 的距离是________.7.设a 、b 、c 为同一平面上三条不同直线,a) 若//,//a b b c ,则a 与c 的位置关系是_________; b) 若,ab bc ⊥⊥,则a 与c 的位置关系是_________; c)若//a b ,b c ⊥,则a 与c 的位置关系是________.8.如图,已知AB 、CD 、EF 相交于点O ,AB ⊥CD ,OG 平分∠AOE ,∠FOD =28°,求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数.9.如图,AOC ∠与BOC ∠是邻补角,OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线,试判断OD 与OE 的位置关系,并说明理由.10.如图,AB ∥DE ,试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系.解:∠B +∠E =∠BCE 过点C 作CF ∥AB ,则B ∠=∠____( ) 又∵AB ∥DE ,AB ∥CF ,∴____________( ) ∴∠E =∠____( ) ∴∠B +∠E =∠1+∠2 即∠B +∠E =∠BCE .11.⑴如图,已知∠1=∠2 求证:a ∥b .⑵直线//a b ,求证:12∠=∠.12.阅读理解并在括号内填注理由:如图,已知AB ∥CD ,∠1=∠2,试说明EP ∥FQ . 证明:∵AB ∥CD ,∴∠MEB =∠MFD ( ) 又∵∠1=∠2, ( )∴∠MEB -∠1=∠MFD -∠2, ( ) 即 ∠MEP =_______∴EP ∥_____.( )13.已知DB ∥FG ∥EC ,A 是FG 上一点,∠ABD =60°,∠ACE =36°,AP 平分∠BAC ,求:⑴∠BAC 的大小; ⑵∠P AG 的大小.14.如图,已知ABC ∆,AD BC ⊥于D ,E 为AB 上一点,EF BC ⊥于F ,//DG BA 交CA 于G .求证12∠=∠.15.已知:如图∠1=∠2,∠C =∠D ,问∠A 与∠F 相等吗?试说明理由.。
平行线与相交线知识点整理总复习

1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表: 图形 顶点 边的关系大小关系对顶角∠1的两边与∠2的两边邻补角∠3与∠4有一条边公共,另一边注意点:⑴两直线相交形成的4个角的位置关系有:(2)∠α与∠β是对顶角,那么一定有 ;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有 ;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有 个,而对顶角只有 个。
(4) 两直线相交形成的四个角中,共有 组邻补角, 组对顶角。
2、垂线⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
符号语言记作:如图所示:记作: 垂足为⑵垂线性质1:⑶垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简称:3、垂线的画法:⑴一靠:用三角尺一条直角边靠在已知直线上,⑵二移:移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上,⑶三画:沿着这条直角边画线。
注意:①画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线;4、点到直线的距离直线外一点到这条直线的 ,叫做点到直线的距离。
5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别⑴垂线与垂线段 区别: 联系:具有垂直于已知直线的共同特征。
⑵两点间距离与点到直线的距离 区别: 联系:都是线段的长度;1 2 4 3 A B C DO⑶线段与距离 区别6、平行线的概念:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线a 与直线b 互相平行,记作a ∥b 。
7、两条直线的位置关系,两条直线的位置关系只有两种:8、平行公理――平行线的存在性与惟一性经过 一点, 一条直线与这条直线平行9、平行公理的推论:如果 那么这两条直线也互相平行如左图所示,∵b ∥a ,c ∥a ∴b ∥c注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线,才会结论,这两条直线都平行。
平行线与相交线的知识点总结与归纳

平行线与相交线的知识点总结与归纳一、平行线的定义平行线是在同一个平面上,永远也不会相交的两条直线。
平行线的特点是它们的斜率相等,且不相交。
若两条直线平行,则可表示为l,m。
平行线的性质:1.平行线具有等于90°的斜角。
2.平行线与同一条直线垂直的直线也是平行线。
这一性质被称为垂直平行线定理。
3.如果一条直线与两条平行线相交,则它与另一条平行线的交角与第一条直线与第二条直线的交角相等。
4.平行线的反身性质:如果l,m,则m,l。
二、平行线的判定方法1.高度差法:通过计算两线间的垂直距离和斜率判断是否平行。
2.点斜式法:通过两点确定的直线斜率相等来判定。
3.斜率法:两直线斜率相等,则平行。
4.三角形内角和法:若两直线被一条直线所截,则截线两侧内角和相等,则平行。
三、相交线的定义相交线是指在同一个平面上,会相交的两条或更多条直线。
相交线两两相交于一点,称之为交点。
相交线的性质:1.相交线之间的交角之和等于180°,即交角互补。
2.两条相交线总有一对互为垂直的直线。
3.相交线的交点称为顶点,可以通过顶点来判断直线相交的情况,包括内角和外角。
四、平行线与相交线的关系1.平行线切割相交线定理:当一条直线与两条平行线相交时,它切割的两条平行线与该直线所夹的两对内角互补。
2.内错角定理:当两条平行线被一条截线相交时,直线截线所夹的内错角相等。
3.同位角定理:同位角为同侧的内角,当两直线被另一直线切割时,同位角相等。
4.外错角定理:当两条平行线被一条截线相交时,直线截线所夹的外错角互补。
五、应用举例1.在平行四边形中,对角线互相平分。
2.平行线截割三角形:当一条线段与两条平行线相交时,它将三角形切割成两个面积相等的三角形。
3.测量高度:通过测量两个平行线之间的垂直距离来确定垂直高度。
4.道路设计:在公路设计中,平行线可以将车道分隔开,并引导交通流向。
在几何学中,平行线与相交线是解决问题和证明定理中经常用到的概念。
七年级下册数学第五章相交线与平行线

七年级下册数学第五章相交线与平行线
以下是七年级下册数学第五章相交线与平行线的知识点:
1. 相交线:相交线是指两条直线在同一个平面内交于一点。
在相交线中,我们主要研究的是对顶角和邻补角。
对顶角相等,邻补角互补。
同时,我们还学习到了垂线,即直线与给定直线垂直,且交于一点。
2. 平行线:平行线是指两条直线在同一平面内,且不相交。
平行线具有传递性,即如果a平行于b且b平行于c,那么a平行于c。
此外,我们还学习了平行线的性质和判定方法。
3. 平行线的性质:平行线的性质包括同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。
这些性质是平行线的基本性质,也是解决相关问题的关键。
4. 平行线的判定方法:平行线的判定方法包括同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。
通过这些判定方法,我们可以确定两条直线是否平行。
5. 平行线的应用:平行线在几何学中有着广泛的应用,如证明两个三角形相似或全等、解决角度和距离的问题等。
同时,在现实生活中,平行线也有很多应用,如建筑、道路规划等。
以上是关于七年级下册数学第五章相交线与平行线的主要知识点,掌握这些知识点有助于更好地理解几何学中的基本概念和性质,提高解决问题的能力。
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相交线与平行线
第一节相交线
一:相交线
对顶角与邻补角
二:垂线
垂线段最短
点到直线的距离
第二节平行线及其判定一:平行线
平行线
平行线公理及推论
二:平行线的判定
同位角、内错角同旁内角
平行线的判定
第三节平行线的性质
平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:两直线平行,同位角相等.
定理2:两条平行线被地三条直线所截,同旁内角互补..简单说成:两直线平行,同旁内角互补.
定理3:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:两直线平行,内错角相等.
2、两条平行线之间的距离处处相等
平行线的判定及性质
(1)平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.
(2)应用平行线的判定和性质定理时,一定要弄清题设和结论,切莫混淆.
(3)平行线的判定与性质的联系与区别
区别:性质由形到数,用于推导角的关系并计算;判定由数到形,用于判定两直线平行.
联系:性质与判定的已知和结论正好相反,都是角的关系与平行线相关.
(4)辅助线规律,经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线,构造出三类角
平行线之间的距离
(1)平行线之间的距离
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线,垂线段的长度叫两条平行线之间的距离.
(2)平行线间的距离处处相等
第四节平移
生活中的平移现象
1、平移的概念
在平面内,把一个图形整体沿某一的方向移动,这种图形的平行移动,叫做平移变换,简称平移.
2、平移是指图形的平行移动,平移时图形中所有点移动的方向一致,并且移动的距离
相等.
3、确定一个图形平移的方向和距离,只需确定其中一个点平移的方向和距离
平移的性质
②新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行且相等
作图----平移变换。