一种判别平面上两二次曲线位置关系的简洁方法
数学毕业论文-判别二次曲面是直纹面的方法毕业论文
判别二次曲面是直纹面的方法数学与信息学院数学与应用数学专业摘要：本文就有关二次曲面是直纹面的几种常用判定方法加以了总结和推广，并对单叶双曲面和双曲抛物面是直纹面加以了证明，而且还对所运用的判定方法分别进行了举例说明.从而更有利于理论与实践相结合，进一步提高了对各种知识的分析理解能力.关键词：二次曲面；直纹面；单叶双曲面；双曲抛物面；方程；因式分解Quadric discriminant methods are ruled surfaceZhou MinMath Institute with the information and applied mathematics major Grade 2005 Instructor :Zhang San HuaAbstract: This article was the lined surface several commonly used decision method has performed the summary and the promotion on the related quadratic surface，and was the lined surface has performed the proof to the single leaf hyperboloid and the hyperbolic paraboloid，moreover also to the decision method which utilized separately carries on has explained with examples. Thus is more advantageous in the theory and the practice unifies，further enhanced to each kind of knowledge analysis understanding ability.Keywords:quadric surface; Ruled Surface; hyperboloid of one sheet; hyperbolic paraboloid; equation; factorization1 引言通过我们已对二次曲面的学习后，不难看出二次曲面的有关知识的讨论是空间解析几何中非常重要的内容之一，而在二次曲面中的直纹面又是非常重要的一类.直纹面的相关知识在我们实际生活生产中如在建筑行业，机械加工以及医疗，光学等方面的应用都是非常广泛的.总之在我们的日常生活，现代化生产，科学研究等方面对二次曲面中的直纹面知识的运用都是非常广泛的.为此，我们非常有必要对直纹面的相关知识加以了解.所谓直纹面是指如果曲面S上有一族单参数（随着一个参数变化的一族直线）而S的每一点都在这族直线上，S就是我们所说的直纹面，这族直线中的每一条直线都称为直母线[]1.在我们已学过的曲面中的柱面，锥面，特别二次曲面中的椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面都是直纹面.在我们所学过的二次曲面的类型是非常多的，其中有些二次曲面是直纹面而有些又不是直纹面，那么在如此众多的二次曲面中我们如何对其直纹性进行快速而又准确的判定呢？下面我就有关二次曲面是否是直纹面的判定方法加以总结和简单的推广，并结合相关实例进行说明.2 判别曲面是直纹面的方法2.1根据直纹面的定义进行直接的判别直纹面是由一族直线所构成的曲面[]2.简单地说也就是将某一条直线进行一定方向的移动后所形成的一个轨迹，将这个轨迹看成是一个曲面，那么这个曲面也就是我们常提到的直纹面了.像我们平常看到的平面，柱面，锥面等都可以直接看作是其中某一条直线经过移动后所形成的轨迹，将这个轨迹看成一个曲面，从而很自然由直纹面的定义就可以知道，这样的曲面就是直纹面[]3.在中学时代就学过的平面我们可以将其看成是一条直线沿某一个固定方向进行平行移动后所形成的轨迹；由平行于某一个方向且与一条空间定曲线相交的一族平行直线所组成的曲面，叫做柱面.定曲线叫做柱面的准线，平行直线族中的每一条都叫做柱面的直母线.定方向是直母线的方向，也叫柱面方向.很显然，柱面由它的准线和母线方向所确定，它是直母线沿着准线平行移动所形成的轨迹，也可以看作准线沿着柱面方向平行移动所形成的轨迹；对于锥面，它是指过定点且与一条（不过定方向的）定曲线相交的一族直线组成的曲面[]4.从以上的平面，柱面，锥面的定义可以看出它们都可以看成是一条直线经过移动后所形成的轨迹，是完全符合直纹面的定义的.因此，要是我们遇到可以直接判断出所给的二次曲面是平面，柱面，锥面等，我们就可以直接根据直纹面的定义判断出所给二次曲面是直纹面.2.2 根据二次曲面的方程的特点直接判别 在直角坐标系{}321,,,0e e e 内，我们把由三元二次方程022222244342414132312233222211=+++++++++a z a y a x a xz a yz a xy a z a y a x a .所表示的曲面称为二次曲面.这里442434142313221211,,,,,,,,a a a a a a a a a 和33a 是不全为零的实数[]5，根据二次曲面的特点我们可以得到关于二次曲面是直纹面[]6的两个结论.定理1 若方程中0),,(=z y x F 缺少一个变量，则它表示母线平行于与所缺变量同名的坐标轴的柱面．在空间坐标系中，曲面的方程如不含某个坐标表示母线平行于这个坐标轴的柱面.如：(,)=0F x y ， (,)=0G y z ， (,)=0H z x .分别表示母线平行于OZ 轴，OX 轴，OY 轴的柱面.因此是直纹面.定理2 在取定的空间坐标系下，x ，y ，z 的n 次齐次方程的图象是顶点在原点的锥面.证明 设(,,)=0F x y z .是一个n 次齐次方程，则由齐次方程的定义有：(,,)=t (,,)=0n F tx ty tz F x y z . 将t=0代入上式得(0,0,0)=0F 说明原点在在方程的图象上设非原点1111(,,)P x y z 满足111(,,)=0F x y z 则直线1OP 的方程为：1=x x t ，1=y y t ，1=z z t . 代入 (,,)=0F x y z .得： 111111(,,)=t (,,)=0n F tx ty tz F x y z . 说明直线1OP 上的每一点均落在方程(,,)=0F x y z 的图象上，从而方程(,,)=0F x y z .的图象是由经过原点的一族直线组成的.即它是以原点为顶点的锥面.推论 1 若方程是关于-a x ，-b y ，-c z 的齐次方程则此方程所表示的曲面是以（a ，b ，c ）为顶点的锥面，因而是直纹面.例1 判定下列曲面[]7是直纹面．(1)2x +xy-2y +x+1=0. (2) 2x +xy+2y -yz-y=0. 解 （1）因为（1）中缺少变量z ，因而我们可以由定理1知道：它表示一个平行 z 轴的柱面，而柱面可以看成是由直线移动所形成的曲面，也就是由直纹面的定义就可以看出（1）是直纹面.（2）将上面可以看成x ，y ，z+1的齐二次方程： 0)1(22=+-++z y y xy x .由定理2和推论1可以知道它表示一个以（0，0，-1）为顶点的锥面，所以它是直纹面.2.3 利用二次曲面的标准方程判别其是否是直纹面对于非退化的二次曲面，只有柱面，锥面，单叶双曲面，抛物双曲面是直纹面因此我们对二次曲面是否是直纹面的判定时，我们可以通过二次曲面的化简.首先将一般方程化为标准方程，然后判定它是否是直纹面.下面就空间解析几何二次曲面方程的化简，运用正交变换法和单叶双曲面以及双曲抛物面是否是直纹面等相关知识进行说明.在空间中由三元二次方程：022222244342414132312233222211=+++++++++a z a y a x a xz a yz a xy a z a y a x a .所表示的曲面叫二次曲面.利用坐标变换通过选取适当的坐标系，我们就可以将二次曲面方程写成以下十七种标准方程的形式之一：（1）22x a +22y b +22z c =1（椭球面）; （2）22x a +22y b +22z c=-1（虚椭球面）; （3）22x a +22y b +22z c =0 （虚二次锥面）; （4）22x a +22y b -22z c=1 （单叶双曲面）; （5）22x a +22y b -22z c =-1 （双曲双曲面）; （6）22x a +22y b -22z c=0（二次锥面）; （7）22x a +22y b =2z （椭圆抛物面）; （8）22x a- 22y b =2z （双曲抛物面）; （9）22x a +22y b =1（椭圆柱面）; （10）22x a +22y b=-1（虚椭圆柱面）; （11）22x a +22y b =0（一对共轭平面）; （12）22x a -22y b =1（双曲柱面）; （13）22x a -22y b =0（一对相交平面）; （14）2x =2py （抛物柱面）; （15）22a x =（一对平行平面）; （16）22a x -=（一对共轭虚平面）;（17）2x =0 （一对重合平面）.这就说明：二次曲面的各种可能的情况共有以上的十七种标准形式.因此，我们可以说三元二次所可能确定的本质上不同的十七种.曲面中除了虚的轨迹与分解为平面（方程（2），（3），（10），（11），（13），（15），（16），（17））以外，对于下面的六种曲面：单叶双曲面（方程（4）），二次锥面（方程（6）），双曲抛物面（方程（8）），椭圆柱面（方程（9）），双曲柱面（方程（12）），抛物柱面（方程（14））.可以看出，这六种曲面中的每一个曲面都可以由一族直线构成[]8.因此，这些二次曲面都是直纹面.接着我们来讨论下如何运用正交变换法对二次曲面进行化简.设一般二次曲面的方程为：022222244342414132312233222211=+++++++++a z a y a x a xz a yz a xy a z a y a x a .（其中二次系数不全为零，全部系数均为实数ji ij a a = i ，j=1，2，3，4）.方程的左端显然不是二次型，只有二次部分才是.这样直接寻找一个正交变换，既可以消去交叉项又能消去一次项或常数项是比较困难的.只有作旨在消去交叉项的，正交变换后使新方程左端仅含平方项，一次项和常数项，再利用配方，又作一次正交变换来化简二次曲面的方程是可行的，与坐标变换比较起来更简捷得多.其具体的化简方法，我们可以通过如下的一个非中心型二次曲面的例子来说明.例2 化简二次曲面方程并对其是否是直纹面作出判断.06121248444222=+---+-++z y x yz xz xy z y x . (1)解 将（1）中的x ，y ，z 分别换成1x ，2x ，3x 得:06121248444321323121232221=+---+-++x x x x x x x x x x x x . (2)其中二次型为，()323123222132131313214844,,x x x x x x x x x x A x x x x x a i j j i ij --++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑== . (3)由二次曲面的方程可以得到A 的系数矩阵为：A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----424212424 ，其中A 的特征方程为：0424212424=-------=-λλλλI A ， 特征根为： 021==λλ，93=λ.对于 021==λλ，解齐次方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000424212424321x x x .它的系数矩阵的秩为1，故只需解一个方程：022321=+-x x x .容易得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂10114121，.单位化后分别为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1012114118121ρρ，.对于93=λ.解齐次方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------000524282425321x x x .它的系数矩阵的秩为2，解得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂2123.单位化后为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-21231，显然： :32,1彼此是正交的所以ρρρ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==32211813101843221181321ρρρρ，(4)不难验证：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='90000ρρA ， 通过正交变换得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132132211813201843221181y y y x x x（5）即 ： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=-=+-=321331232113221181311813221181y y y x y y x y y y x .原二次型（3）变为923y . (6)将（5）代入（6）得到0292992123=+-y y y ，即为022*******=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--y y y .再作变换：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧='+='-='3212122222222y z y y y y y x ，即正交变换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''3211000222202222y y y z y x . 后得由曲面的规范方程为x z x z '='='-'2,0222标准方程为.则它所表示的是抛物柱面，即为直纹面.其次我们来讨论下单叶双曲面和双曲抛物面的直纹性.我们知道一个二次曲面是柱面或锥面，它一定是直纹二次曲面.例如，当二次方程 (,,)=0F x y z .的左边只有二次项，没有常数项和一次项.则它是一个锥面（称为二次曲面）即是直纹面.又若(,,)F x y z 中有一个变量没有出现，则它是一个柱面（称为二次曲面），也是直纹面.如果有：0))((),,(22221111=++++++=D z C y B x A D z C y B x A z y x F .记 i ∑ 为平面i i i (+By+Cz+D )0i Ax =（i=1，2）则二次曲面 (,,)=0F x y z 是1∑和2∑ 的并集，它或是两张相交平面（当1∑ 和 2∑相交时）或是两张平行平面（当 1∑ 和 2∑ 平行而不重合时）或是一张平面（当1∑ 和 2∑重合时）.无论何种情况，它都是直纹面.对于单叶双曲面.在二次曲面中的单叶双曲面方程为在二次曲面中的单叶双曲面方程为： 1222222=-+cz b y a x . （1）这里c b a ,,是3个正常数． 定理3 单叶双曲面为直纹面.证明 1222=++Cz By Ax . (1)其中C B A 、、均为非零实数，设曲面（1）上存在的直线的方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=tn z z tm y y lt x x 000 ，R t ∈. (2)由（2）式代入（1）可得到1)()()(202020=+++++tn z C tm y B tl x A .即01)(2)(2020200002222=-++++++++Cz By Ax t n Cz m By l Ax t Cn Bm Al .因为对于任意的R t ∈上式均成立，所以有⎪⎩⎪⎨⎧=-++=++=++0100202020000222Cz By Ax n Cz m By l Ax Cn Bm Al . (3)由（3）中最后一个等式可以知道000,,z y x 不能同时为0不妨设00≠x .由（3）式中第二个等式可以得到：0)()(2))((2022000220220=++++z C ACx nm z BCy n m y B ABx . 又因为nm 为实数上式有实数解的条件为： 0))((2022020220202022≥++-z C ACx y B ABx z y C B ，经整理可以得到：0)(20202020≥++-Cz By Ax ABCx .由于A ，B ，C 为非零实数，所以有ABC <0.因为A ，B ，C 不能全为负，只能两正一负，所以在椭圆面和双曲面中只有单叶双曲面是直纹面．对于双曲抛物面：z By Ax 222=+. （4）其中A ，B 为非零实数，若其上存在直线，则由式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=tn z z tm y y tl x x 000 ， R t ∈.代入（4）式可以得到：02)(2)(020*******=-++-+++z By Ax t n m By l Ax t Bm Al .由于上式对于任意t 都成立，所以有：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=+0200020200022z By Ax n m By l Ax Bm Al . （5）由（5）式 中第二个式子可知l ，m 不能同时为0，否则n m l ,,会为0.又由（5）式中的第一个式子可知B A ,必须异号.由上可知，在抛物面中只有双曲抛物面是直纹曲面.2.4 因式分解二次曲面方程判定其直纹性在空间解析几何教材中，在标准方程形式下证明了单叶双曲面和双曲抛物面都是直纹面，并给出了直母线族的方程，那么这种方法可以推广到一般的二次曲面方程中去，从而去判别一个二次曲面是否为直纹面.若是直纹面还可以得到它的直母线方程.定理4 非退化的二次曲0,,=）（z y x F 若能分解成 ),,(),,(),,(),,(4321z y x F z y x F z y x F z y x F =. （1）其中),,(1z y x F )4,3,2,1(=i 的次数小于等于1.则0),,(=z y x F 是直纹面，并且它的直母线可以表示为：⎩⎨⎧==),,(),,(),,(,,4231z y x wF z y x uF z y x uF z y x wF ）（ ，（w ，u 不全为零）. （2） 或 ⎩⎨⎧==),,(),,(),,(),,(3241z y x tF z y x vF z y x vF z y x tF ， （t ，v 不全为零）. （3） 其中v t u w ,,,是使上式有意义的参数.推论 2 若（1）（2）表示相同的直线族，则此曲面是柱面或锥面.当直母线族的方向向量与参数无关时，此时的曲面一定是柱面，当通过一定点时，它一定是锥面.例3．判断下列曲面的类型.2)()1(a z y y x =++）（. 222)()2(a a z y z x =-++-）（.解 （1）因为a a z y z x ⋅=++))((是（1）的形式，故是直纹面.又因为43F F ≡故式（ 2 ）与式（3 ）相同.所以可以逐步判断出它是柱面或是锥面.下面我们通过推论中所讲的方向向量确定其是柱面还是锥面.直线族：⎩⎨⎧=+=+aw z y u au z x w )()(. 的方向向量是 },1,1,1{-所以可以判断出它是锥面.（2）因为方程：222)()(a a z y z x =-++-.可以改为：)2)(())((z y a z y z x z x --+=--.故它表示为一个柱面或锥面，而直母线族：⎩⎨⎧--=-+=-)2()()()(z y a w z x u z y u z x w . 的方向向量：⎩⎨⎧w u - u w u w ---，u w u w --- u w ，u w w u -⎭⎬⎫}1,1,1){(22-+=u w . 所以它表示为一个柱面.对于直纹面中的柱面和锥面还可以讨论其特殊性.例4 证明：xy z 22=表示为一个圆锥面.证明 因为方程xy z 22=是关于z y x ,,的齐二次方程，所以它表示一个顶点在原点的锥面.要证明它表示为圆锥面.只须证明它的直母线与固定方向成定角，为此求出它的直母线族方程为:⎩⎨⎧==wyuz ux wz 2. 其中方向向量为：=⎩⎨⎧w 0 u w --，u w -- 02u ，02u w 0 ⎭⎬⎫ }{uw u w ,2,22=. 取三条直母线，方向向量}2,2,1{},0,0,1{和}2,2,1{-.（这里1:1,1:1,0:1:-=u w ） 令.)2(21},,{}2,2,1{,221},,{}2,2,1{,001},,{}0,0,1{222222222222222222z y x z y x z y x z y x zy x z y x ++⋅-++⋅-=++⋅++⋅=++⋅++⋅解得 0:1:1::=z y x . 令}0,1,1{0=v而2244224422u w u w u w +++=.θcos 22== （其中θ为直母线族与定方向0v 所成的角），从而：=∈=θπθθ）、有，（在022cos 45°知道直母线族于定方向0v 是成定角.故其方程表示为一个圆锥面.2.5利用定理对二次曲面的直纹性进行判定设有二次曲面∑23323132221221122),,(z a yz a xz a y a xy a x a x y x F +++++=022443414=+++a z a y a . (1)记yz a z a xz a y a xy a x a z y x 232331322212211222),,(+++++=φ.⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=342313324221221412111),,(),,(),,(a y a x a z y x F a y a x a z y x F a y a x a z y x F .则有如下的二次曲面直纹性判定定理：定理5 给定二次曲面∑（方程为（1））对于∑上任意一点),,(z y x M '''如果方程⎩⎨⎧='''+'''+'''=0),,(),,(),,(0),,(321z y x pF z y x F z y x mFp n m φ. (2) 有非零实数解m:n:p 则∑是直纹面，并且{}p n m ,,为∑在过点M 处的直母线方向.证明 要证明∑是直纹面，只须证明对于∑上任意一点),,(z y x M '''过点M 总有直线落在∑上，为此，过点M 的直线为L ，其方程为：pz z n y y m x x '-='-='-. （3） 于是（1）的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nt y y m t x x 000 ， （t 为参数）. （4）今假设整条直线L 落在∑，故对一切t 的取值（4）应满足（1），将（4）代入（1）整理即得关于t 的恒等式：. 而 M 点在∑上，所以有恒等式：()()()⎡⎤()0,,,,,,,,2),,(3212≡'''+'''+'''+'''+z y x F z y x pF z y x nF z y x mF t t p n m φ.(5)（5）恒成立的的充要条件是方程组（2）成立.因此，若（2）有非零实数解m:n:p ，则总有直线（3）落在∑上，即知∑是直纹面，并且（3）为∑的直母线.例5 判定曲面∑()()()1222=-+-+-ay bx cx az bz cy .是否是直纹面，其中a ，b ，c 为不全为零的常数.解 将∑的方程展开为()()()01222222222222=----+++++bcyz acxz abxy z b a y c a x c b ， z ac y ab x c b z y x F '-'-'+=''∴)(),,(221.z bc y c a x ab z y x F '-'++'-=''')(),,(221，z b a y bc x ac z y x F '++'-'-=''')(),,(223，从而 ),,(),,(),,(321z y x pF z y x nF z y x mF '''+'''+'''=))(())(())((y a x b an bm x c z a an ap z b y c bp cn '-'-+'-'-+'-'-. 又 222)()()(),,(an bm am ap bp cn p n m -+-+-=φ，利用定理5中的(2)得方程组：⎩⎨⎧='-'-+'-'-+'-'-=-+-+-0))(())(())((0)()()(222y a x b an bm x c z a cm ap z b y c bp cn an bm am ap bp cn . 解之得：cn-bp=ap-am=bm-an=0即m:n:p=a:b:c 因此由定理知∑是直纹面，并且由于过∑上任意一点()()()⎡⎤()0,,,,,,,,2),,(3212≡'''+'''+'''+'''+z y x F z y x pF z y x nF z y x mF t t p n m φ),,(z y x M '''处的直母线方向为常向量{}c b a ,,，还可以进一步知道∑是柱面.结束语本文在空间解析几何中的二次曲面的相关知识基础上，就直纹面的定义，常见的直纹面，利用二次曲面方程的特点，二次曲面方程的化简，将二次曲面方程利用因式分解以及利用定理等手段来对二次曲面的直纹性做出了判别.对于相应的判别方法都加以举出实例进行说明.致谢在我毕业论文开题、调查、研究和撰写过程中，张三华副教授给予了我耐心，细致和全面的帮助.在此我特向张老师表示感谢！参考文献[1]蒋大为 .空间解析几何及其应用 [M] . 科学出版社 . 2004.7.[2]梅向明 ，黄敬之.微分几何 [M] . 高等教育出版社. 2003.12..[3]黄宣国 .空间解析几何 [M] .复旦大学出版社 . 2004.8.[4]龙承生.解析几何 [M] .北京大学出版社. 2004.1.[5]李养成. 空间解析几何[M].科学出版社 .2007.8.[6]谭水木.二次曲面直纹性的判定[J]. 许昌师专学报. 1996--6 .[7]陈绍菱.空间解析几何习题试析[M].北京师范大学出版社. 2004.11.[8]黄艳红.二次曲面的讨论[J].刑台职业技术学院学报 . 2004.2.[9]方荣凡. 二次曲面方程的化简[J]. 菏泽师专学报 .1995年第4期.目录摘要 (1)1.引言 (1)2．判别曲面是直纹面的几种方法 (2)2.1根据直纹面的定义进行直接的判别 (2)2.2根据二次曲面的方程的特点直接判别 (2)2.3利用二次曲面的标准方程判别其是否是直纹面 (3)2.4因式分解二次曲面方程判定其直纹性 (9)2.5利用定理对二次曲面的直纹性进行判定 (12)结束语 (14)参考文献 (14)致谢 (14)。
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。
修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。
2.理解数形结合的思想。
3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。
一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。
点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。
2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。
点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。
双曲线的通径为 $2a$。
3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。
重难点02直线与双曲线的位置关系(课件)高二数学(北师大版2019选择性)
综上所述，实数 k 的值为 5
2
消 去 y， 得 5 x 2 6 x 27 0
设
A、
B
两
点
的
坐
标
分
别
为
(
x
，
1
y1
)、(
x
，
2
y2
)
6
27
x1 x2 5 , x1 x2 5
弦 长 | A B | | x1 x 2 | 1 k 2
( x1 x2 )2 4 x1x2 1 k 2
3
x
2
kx y2
1
可 1
得 (3
k
2
)x
2
2kx
2
0
直线与双曲线有两个交点需满足
3 - k 2 0
4k 2
8(3
k
2
)
<
0
解 解得 得 k6 k 6 或6 且k k 6 3
当当k 6 k6或k6且 k 6时 ，3时直，线直y 线 kyxk1x与 1 与双双曲曲线线33xx22-- yy22 11有没两有个交交点点
①相交两点:
△＞0
同侧：x1 x2 ＞0 异侧: x1 x2 ＜0
一点: 直线与渐进线平行
②相切一点: ③相 离:
△=0 △＜0
特别注意直线与双曲线的 位置关系中：
一解不一定相切， 相交不一定两解， 两解不一定同支
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
8(3
k
2
)
0
解 得 6 k 6且 k 3
当 6 k 6且 k 3时 ， 直 线 y kx 1 与 双 曲 线 3 x 2 - y 2 1有 两 个 交 点
第二章 2.3 2.3.2 双曲线的简单几何性质
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直线与双曲线的位置关系 [典例] (本题满分 12 分)设双曲线 C：xa22－y2＝1(a＞0)与直线 l：x＋y ＝1 相交于两个不同的点 A，B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围． (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且P→A＝152P→B，求 a 的值．
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[解析] (1)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，
则4298mm＋＋792nn＝＝11，， 解得nm＝＝－2157，15， 所求双曲线方程为2x52－7y52 ＝1. (2)设所求双曲线方程为 16x2－9y2＝λ(λ≠0)， 将 M8，1313代入，得 λ＝16×82－9×13132＝－576， 所求双曲线方程为 16x2－9y2＝－576， 即6y42 －3x62＝1.
D．y＝±2x
解析：y2－x2＝2 的渐近线方程为 y＝±x.
答案：A
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2．若双曲线1y62 －xm2＝1 的离心率 e＝2，则 m＝________. 解析：a2＝16，b2＝m，c2＝16＋m， ∴1＋1m6＝4，∴1m6＝3，m＝48. 答案：48
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求双曲线的离心率的方法技巧 (1)若可求得 a，c，则直接利用 e＝ac得解； (2)若已知 a，b，可直接利用 e＝ 1＋ba2得解； (3)若得到的是关于 a，c 的齐次方程 pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r 为常数，且 p≠0)，则转化为关于 e 的方程 pe2＋q·e＋r＝0 求解．
直线与双曲线的位置关系及判定
直线与双曲线的位置关系及判定直线与双曲线是在平面几何中经常遇到的图形，它们的位置关系和判定在数学学科中是一个重要的概念。
在本文中，我们将详细讨论直线与双曲线的位置关系及判定。
首先，让我们来了解一下直线和双曲线的定义。
直线是平面上的一条无限延伸的线段，其特点是任意两点可以确定一条直线。
双曲线是平面上的一种二次曲线，其数学表示为一个方程为x^2/a^2 -y^2/b^2 = 1的曲线。
双曲线有两个分支，并且是无限延伸的。
现在我们开始讨论直线与双曲线的位置关系及判定。
一、直线与双曲线的位置关系在平面几何中，直线与双曲线可以有以下几种位置关系：1.直线与双曲线相交：当直线与双曲线有交点时，它们的位置关系为相交。
这时可以有以下几种情况：直线与双曲线相交于两个点，此时直线穿过双曲线的两个分支；直线与双曲线相交于一个点，此时直线穿过双曲线的一个分支；直线与双曲线相切，此时直线与双曲线相切于某一点；2.直线与双曲线相离：当直线与双曲线没有交点时，它们的位置关系为相离。
在这种情况下，直线与双曲线之间没有交集，它们分别存在于平面上的不同位置；3.直线包含在双曲线内部：当直线包含在双曲线的两个分支之间时，它们的位置关系为包含。
此时可以看作直线被双曲线所包围，直线完全位于双曲线的内部；4.直线与双曲线重合：当直线和双曲线完全重合时，它们的位置关系为重合。
此时直线与双曲线完全相同，即它们的方程相同，所以是同一条曲线。
二、直线与双曲线的判定在平面几何中，我们常常需要判定给定的直线和双曲线的位置关系，这是一个重要的数学问题。
下面讨论一下如何判定给定直线和双曲线的位置关系：1.直线与双曲线相交的判定：给定一条直线L和一个双曲线H，要判定直线L是否与双曲线H相交，可以通过解直线方程和双曲线方程得到交点的坐标，然后判断交点是否在双曲线上即可。
如果交点在双曲线上，那么说明直线与双曲线相交；如果交点不在双曲线上，那么说明直线与双曲线相离。
二次曲线的一般式-概述说明以及解释
二次曲线的一般式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二次曲线是数学中重要的曲线类型之一。
它由二次方程所表示，是平面上的曲线。
在二次曲线上，点到定点的距离与点到定直线的距离的比值恒定，这是二次曲线独特的性质之一。
二次曲线广泛应用于几何学、物理学、工程学和计算机图形学等领域。
在几何学中，二次曲线的性质和特点被用于解决许多关于曲线的问题，如焦点、直径、切线和法线等。
在物理学中，二次曲线的运动方程被用于描述抛物线运动或者椭圆轨道等运动问题。
在工程学中，二次曲线常用于设计道路、桥梁和建筑物的曲线部分，以达到美观和结构稳定的目的。
在计算机图形学中，二次曲线被广泛应用于绘制曲线和曲面，用于创建平滑的图形效果。
本文将深入探讨二次曲线的一般式，包括其定义、性质和特点。
我们将介绍二次曲线的一般形式，并重点讨论其中的关键概念和公式。
通过学习二次曲线的一般式，读者能够更好地理解二次曲线的特性，并能够应用这些知识解决相关问题。
接下来的章节将按照以下结构展开：首先，我们将介绍二次曲线的定义和一般形式，包括其方程和基本图形。
然后，我们将深入研究二次曲线的性质和特点，例如焦点、直径和切线等。
最后，我们将总结二次曲线的一般式，并探讨其应用和意义。
在本文的剩余部分，读者将逐步了解二次曲线的复杂性和多样性，以及它们在数学和实际应用中的作用。
无论读者是初学者还是对二次曲线较为熟悉的人，本文都将为他们提供全面而深入的知识，帮助他们更好地理解和运用二次曲线的一般式。
文章1.2文章结构部分的内容可以如下编写：文章结构是指文章的整体组织和布局方式，在本文中分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分是文章的开端，概述了二次曲线的一般式的主题和背景，引起读者的兴趣。
其中，1.1小节对二次曲线的概念和定义进行解释，确保读者了解文章所涉及的数学概念。
1.2小节则介绍了本文的文章结构，提供了整篇文章的脉络，为读者理解文章内容奠定基础。
最后，1.3小节明确了本文的目的，即探究二次曲线的一般式，并说明了相关探究的意义。
二次曲线的定义
二次曲线的射影定义
定理2的证明. 设 Γ 由 O(P) O′(P) 生成，需证 A(M ) B(M ).
设
AM OP BM OP
K K
则有 A(M ) OP(K )
B(M ) OP(K )
所以只要证 OP(K ) OP(K ).
设 OA BM A,OB AM B.
O(P) O(P), O(A, B, P, M ) O(A, B, P, M ).
定义3′ 在射影平面上，称 两个射影点列对应点连线的集 合为一条二级曲线。
思考：试研究本定义是如何包含退化二次曲线的。
提示：考虑透视对应、射影变换的情况。
二次曲线的射影定义
例1 求由两个射影线束 x1 – λx3 = 0, x2 – μx3 = 0 ( λ + μ = 1) 生 成的二阶曲线方程。
由本定理的证明可知，[u1,u2,u3] 为 Γ上一点处的切线
a11 a12 a13 u1
a12 a22 a23 u2 0
(13)
a13 a23 a33 u3
u1 u2 u3 0
展开, 得 T Aijuiu j 0. 且Aij Aji ,| Aij || aij |2 0.
这里Aij是aij的代数余子式.
特殊 ( l 属于 Γ′ )：
Tl 0
(6' )
二次曲线的射影定义
例2 如果两个三点形 ABC 与 A′B′C′ 同时内接于一条二次曲线， 求证它们也同时外切于一条二次曲线。
证. 设交点 D, E; D′, E′ 如图。 因为 A, B, C, A′, B′, C′ 在同一条二次曲线 上，据二阶曲线的射影定义有
推论2′ 任一二级曲线可由 两个射影点列生成。
二次曲面和平面位置关系的判式
和平 面
Ａｘ＋ Ｂｙ＋ Ｃｚ Ｄ 一 ０ ＋ （） ２
的 相对 位 置 的判 别 式
ｎｌ Ａ ４
ａ２ ４
△
３４
Ｂ Ｃ Ｄ
Ｏ
（ ３）
１４
Ｄ
并证明了 ： Ａ 若 ＞０ 则 二 次 曲 面 （ ） 平 面 （） 交 ； △一０ 则 （ ） （ ） 切 ； ／ ０ 则 （ ） （） ， １与 ２相 若 ， １和 ２相 若 Ｘ ， １和 ２ 相离 （
：
ｎ ｂ ｆ
— ｄ Ｄ Ｄ ０
Ａ Ｂ Ｃ
广 ＜
ｉ
第 ５行及 第 ５列各乘 以 Ｋ， 则 化 为 ， Ｋ 一 即 一 ． 以， ＞０时 ， 面与 平 面相 交 ； 故 ， 所 当 球 当
一０时 ， 面与平 面相切 ； ＜Ｏ时 ， 面与平 面相离 ． 球 当 球
一
（） ６
于 是
［ 稿 日期 ］ ２ ０—７１ 收 ０ ６０—０ ［ 金 项 目］ 菏 泽 学 院 ２ ０ 年 度 科 学 研 究 基 金 项 目（ Ｙ ６ Ｘ １ 基 ０６ Ｘ ０Ｓ ０ ）
１４ ７
１ ０ ０
大 学 数 学
０ ０
第２ ４卷
Ｏ
一
ｌ Ｏ
２ 二 次 曲面 与 平面 位 置 关 系判 定
按 照射 影几何 的观点 ， 次 曲面 是 由球 面经 射影 变换 而得 到 的 ， 面 经过 射 影变 换 后仍 是 平 面 ， 二 平 且
在射影 变换 下 ， 面结合 性不 变 ， 线结合性 不 变 ， 经射影 变换 ， 点 点 故 截线 圆变成二 次 曲线 ． 射影变 换 ， 经 曲
［ 关键 词 ］ 二 次 曲面 ； 面 ； 影 变 换 ； 对 位 置 平 射 相 ［ 图分 类 号 ］ Ｏ１２ ２ 中 ８ ． ［ 献标识码］Ｃ 文 ［ 章 编 号 ］ １ ７—４ ４ ２０ ）６０ ７—４ 文 ６ ２１５ （０ ８ ０ —１３０
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（ ）（ｚ ＋ａ ＋ ０ ｌ ２ ＋ ｎ ２， ） ２ １
… ＝
ห้องสมุดไป่ตู้
ｌ
由文 献 ［］ ５ ，有 ：当 ＝０ 二 次 曲 线 是 退 化 的 的二 次 曲线 ，否则 二 次 曲 线 是 非 退 化 的 ， 由于 退
ｌ ：
ｌ ０ ２￣ ＋ （２ ａ） ａＹ
Ｉ
两 二 次 曲线 相 交 ，其 交 点 可 以 由两 二 次 曲 线 的方程 联立 为方 程组 而求得 ：
该 方 法 牵 涉 到 了复 杂 的仿 射 变 换 和 数 学 证 明 ，且 具 有 一 定 的局 限性 。文 献 ［］ 使用 仿 射无 限变 换 ４则 来 求 解 两 二 次 曲线 的 位 置 关 系 。本 文 则 使 用 了一
１（Ｙ）０ ＩＸ ＝ ０ ＝ ，
，
设 Ｆ ） ， ｌ ＝０
可 以把 Ｆ ） ， ＝０
） ＝Ｏ为 两 个 实 系数 的 一般
） ＝０看 成 是 关于 坐 标 参 数
二 次 曲线 方 程 ，要 求 式 （） 实 数 域 中的 全部 解 ， ２在 的 多 项 式 ，然 后 按 照 文 献 ［］ 立 结 式 而 解 得 。 ６建 为 建立 结式 可将 两二 次 曲线方程 写 为 ：
谌 炎 辉 ，胡 义华 ，李
冰’
ＣＨＥＮ Ｙ ｎ ｈ ｌ ＨＵ Ｙｉ ｕ Ｌ ｎ ａ ．ｕ 。 ． ． ａ． ｌ ｈ Ｂｉｇ。
（ ． 工学 院 机械工程系 。柳州 ５ ５ ０ ；２广西工学院 鹿 山学 院 ，柳州 ５ ５ １ ） １广西 ４０ ６ ． ４ ６ ６ 摘 要 ： 本文用 结式法求 出了两二次曲线 的交点 ，并给出了 一种判 别交点是否为 切点的方法 。使 用本 文所提 出的方法 能快速准 确的判别 出两二 次曲线的关系 ，求出所有的交点 并判断其是否为 切 点 ，该方法简单并便于计算机 编程实现。 关键词 ： 二次曲线 ；退化 ；结式 ；相交 ；切点 ；位置
（， ＝ｑ１ ＋ （ ） １ ２ Ｘ ＋ ｌ ＋ 口２ ２ １ １ １ ３ （ ＋ ａ ＋ ３ ） Ｙ ２ ３ ）
种 简 单 的 数 学 方 法 来 判 别两 二 次 曲线 间 的位 置 关
系 ，该方 法 简单且 能 求解 出其 交点 （ 或切 点 ） 。
１ 二次 曲线 的一般形式及相关知识
ｌ
一
訇 似
种 判别平面上两二次 曲线位置关系的简洁方法
Ａ ｍ ｐｌ ｅｔ ｓｉ ｅ ｍ ｈｏｄ ｏｆ ｃｌ ｓｓｉｙｉ ｈｅ ｐｏ ｔ ｏｎ ｅｌ ｔ ｏｎ ａ ｆ ｎｇ ｔ ｓｉ ｉ ａｌｒ ａ ｉ ｓｈｉ ｐ ｏ ｗ ｏ ａｎ ｆｔ ｐｌ ａｒｃｏｎｉ ｃ ｃｕｒ ｖｅｓ
中图分类号 ：Ｔ ９ Ｐ３ １ 文献标识码 ：Ｂ 文章编号 ：１ ０ － １４ ２１ ） ７上 ） ０ ８ － ３ ９ ０ （ ０ ０ （ － ０ １ ０ ０ ３ ２
Ｄ ｉ１ ．９ ９ ｊｉｓ ．０ ９ ０ ．０ ．（ ） ２ ｏ： ３ ６Ｉ ． ｎ １ ０ － １４ ２ １ ７ 上 ．５ ０ ／ ｓ ３ ２
况下 判 别两 椭 球 的位 置 关 系 。文 献 ［， 则 使用 在 ２３ ］ 经 过 仿 射 变 换 后 再 利 用 广义 特征 方程 的方 法 对 含 有 椭 圆 的 两 二 次 曲线 的位 置 关 系 进 行 了判 别 ；但
２ 建立结式并 求解两二次 曲线 的交点
２１ 建 立结 式 ．
（２ ＋ｄ 《） ａＹ ２２ ￣ ＋ ｌ
（） ３
收 稿 日期 ：２ １－１－ ０ ０１ ０ ２ 基金 项 目：广 西科 技开 发计 划项 目（ 桂科攻 １ １ ７ ０ —６ １ ０ ０ ２４ ，桂科 攻０ ３ １ ４ 和桂 科￣０ ９ ０ ８ １ ） ９２０２ ９ ２ ２ —４ ；国家８ ３ 划项 目 ６计
当 ＜０ ，二 次 曲线时 双 曲型的 。 时
计 算 机 图 形 学 、计 算 机 仿 真 、 可 视 化 、机 器 人 、
Ｃ ＡＤ／ Ａ 等领域 有 着广泛 的应 用 ，故而 研究 二次 Ｃ Ｍ 曲线 和 二 次 曲面 的 位 置 关 系有 着 重 要 的 意 义 。文
献 ［］ １ 中对于 椭球 间的位 置 关 系进 行 了研 究 ，运 用 １ 两 椭 球 的 特 征 方 程 在 不 需 要 解 出其 准确 的根 的情
（０ ９ Ａ０ Ｚ ４ ） ２ ０ Ａ ４ １６
作者简介：谌炎辉 （９ ３ １７ 一），男，湖南安化人 ，副教授 ，主要 从事数字化设计研 究。 第３ 卷 ４ 第７ 期 ２１－ （ ） ０２ ７上 （ １ ８１
二次 曲线 的一 般方 程 为 ：
三 ａｘ＋ ａ ｘ＋ ２ ２ １ ＋ ａｆ ］２ ２ １ｙ ａ Ｙ＋ ａ３ ２２ ｌ ２ ２ ｆ ３
＋３ 口３ ＝０
０１ ａ１ １ ２ ３
Ｆ（ ＝ ＋ （２＋ ）＋ａ ｙ ＋ ａＹ 日 ） ２ ，） 口 ｘ ２ ２ ｘ （２。 ２￣ ＋ ａｙ ２ ３
０ 引言
二 次 曲 线 和 二 次 曲 面 的 位 置 关 系 的 判 别 在
化 的 二 次 曲 线 的位 置 关 系很 容 易 判 定 ，本 文 将 只 考 虑 非 退 化 的 二 次 曲线 。 由 不 变 量 我 们 可 以 判 别 出 二 次 曲 线 的 类 型 ： 当 ＞０ ，二 次 曲 线 时 时椭 圆 型 的 ； 当 ＝０ ，二 次 曲 线 时 抛 物 型 的 ； 时
考 虑到二 次 曲线 中同一变 量的二 次项 和一次 项 系数 不可 能 同时为 ０ ，故 而可 以人如 下建立 结式 ：
（） １
令：
ｌＩ 口 ， ｌ Ｉ２ ＝ Ｉ ＝ ｌ ， Ｉｌ 口
ａ ２１ ２ ａ ２
１ ， 不为 ０ ） 口均 ，结 式为 ：
０３ ａ３ ａ３ １ ２ ３