2016,7人大附中高二(理科)数学试题
2016人大附中高二(上)期末数学(理科)
2016人大附中高二（上）期末数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．（4分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（4分）已知命题p：∀x∈R，2x＞0，则（）A．￢p：∃x∉R，2x≤0 B．￢p：∃x∈R，2x≤0 C．￢p：∃x∈R，2x＜0 D．￢p：∃x∉R，2x＞0 3．（4分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=，=，=，则等于（）A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣4．（4分）给定原命题：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，那么下列命题形式正确的是（）A．逆命题：若a、b全为0，则a2+b2=0B．否命题：若a2+b2≠0，则a、b全不为0C．逆否命题：若a、b全不为0，则a2+b2≠0D．否定：若a2+b2=0，则a、b全不为05．（4分）双曲线﹣=1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．x±y=0 D．x±y=06．（4分）已知点P是双曲线﹣=1上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．5 D．107．（4分）已知AB是经过抛物线y2=2px的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=D．x=﹣8．（4分）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，则下列命题中：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于x轴对称；③曲线W关于y轴对称；④曲线W关于直线y=x对称所有真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．（5分）以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为．10．（5分）已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x=．11．（5分）设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，若|PF1|﹣|PF2|=1，则|PF1|=，||PF2|=．12．（5分）已知△ABC的顶点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），CD是AB边上的高，则点D的坐标为．13．（5分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若p∨q为真，（p∧q）为假，则m的取值范围为．14．（5分）已知点A（0，2），点B（0，﹣2），直线MA、MB的斜率之积为﹣4，记点M的轨迹为C （I）曲线C的方程为；（II）设QP，为曲线C上的两点，满足OP⊥OQ（O为原点），则△OPQ面积的最小值是．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（12分）已知向量=（2，﹣1，﹣2），=（1，1，﹣4）．（1）计算2﹣3和|2﹣3|；（2）求＜，＞16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=3，BC=CC1=4（1）求证：AB1⊥C1B（2）求直线C1B与平面ABB1A1所成的角的正弦值．17．（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点为F（1，0），经过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若△AOB的面积为4，求|AB|一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．（10分）已知点P为抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作⊙A：（x﹣3）2+y2=1的两条切线PM、PN，切点为M、N（I）当|PA|最小时，点P的坐标为；（II）四边形PMAN的面积的最小值为．19．（10分）在四面体ABCD中，若E、F、H、I、J、K分别是棱AB、CD、AD、BC、AC、BD的中点，则EF、HI、JK相交于一点G，则点G为四面体ABCD的重心．设A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，3，0），D（2，3，2）．（I）重心G的坐标为；（II）若△BCD的重心为M，则=．二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20．（14分）已知椭圆C的中心在坐标原点O，两焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），过点P （0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上，求直线l的方程．21．（16分）如图（1），在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB边上一点，沿CD将图形折叠成图（2），使得二面角B﹣CD﹣A是直二面角．（1）若D是AB边的中点，求二面角C﹣AB﹣D的大小；（2）若AD=2BD，求点B到平面ACD的距离；（3）是否存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．【解答】当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选A．2．【解答】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，2x＞0，则￢p：∃x∈R，2x≤0．故选：B．3．【解答】由题意在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=，=，=，可知：=+，=，==，=﹣+．故选：C．4．【解答】原命题：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，所以逆命题是：“若a、b全为0，则a2+b2=0”，选项A正确；否命题是：“若a2+b2≠0，则a、b不全为0”，选项B错误；逆否命题是：“若a、b不全为0，则a2+b2≠0”，选项C错误；否定命题是：“若a2+b2=0，则a、b不全为0”，选项D错误．故选：A．5．【解答】由已知，双曲线﹣=1的离心率为2，∴，∴．该双曲线的渐近线方程为：y=，即：x±y=0．故选：C6．【解答】由题意得a=2，b=，c=3，∴F1（﹣3，0）、F2（3，0），Rt△PF1F2中，由勾股定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|﹣|PF2|）2+2•|PF1|•|PF2|=4a2+2•|PF1|•|PF2|，∴36=4×4+2•|PF1|•|PF2|，∴|PF1|•|PF2|=10，∴△PF1F2面积为•|PF1|•|PF2|=5，故选：C．7．【解答】由题意，A（1，），B（，﹣），∴|AB|==，∴=1++p，∴p=1，∴抛物线的准线方程为x=﹣．故选：D．8．【解答】曲线W的轨迹方程为|x|+|y|=，两边平方得：2|xy|=﹣2x﹣2y+2，即|xy|+x+y=1，①若xy＞0，则xy+x+y+1=2，即（x+1）（y+1）=2，∴y=，函数为以（﹣1，﹣1）为中心的双曲线的一支，②若xy＜0，则xy﹣x﹣y+1=0，即（x﹣1）（y﹣1）=0，∴x=1（y＜0）或y=1（x＜0）．作出图象如图所示：∴曲线W关于直线y=x对称；故选A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．【解答】∵双曲线以y=±x为渐近线，∴该双曲线为等轴双曲线，设方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）∵点（2，0）是双曲线上的点，∴22﹣02=λ，可得λ=4由此可得双曲线方程为x2﹣y2=4，化成标准形式得故答案为：10．【解答】∵∥，∴2×2=﹣2×x∴x=﹣4．故答案为：﹣411．【解答】椭圆+=1中，a=2，∵P是椭圆+=1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∴由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=4，∵|PF1|﹣|PF2|=1，∴|PF1|=2.5，||PF2|=1.5．故答案为：2.5，1.5．12．【解答】=（﹣1，2，0）．设=λ，可得：=+λ=（1﹣λ，2λ，0）．∴=（1﹣λ，2λ，﹣1）．∵⊥，∴•=﹣（1﹣λ）+4λ=0，解得：λ=，∴=．故答案为：．13．【解答】命题p为真时，实数m满足△=m2﹣4＞0且﹣m＜0，解得m＞2，命题q为真时，实数m满足△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3，p∨q为真命题、p∧q为假命题，∴p，q一真一假；①若q真且p假，则实数m满足1＜m＜3且m≤2，解得1＜m≤2；②若q假且p真，则实数m满足m≤1或m≥3且m＞2，解得m≥3；综上可知实数m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．14．【解答】（I）设M（x，y），又A（0，2），点B（0，﹣2），∴，即，∴曲线C的方程为；（Ⅱ）设PQ方程：y=kx+m，代入椭圆4x2+y2=4，整理得：（k2+4）x2+2kmx+m2﹣4=0．△=4k2m2﹣4（k2+4）（m2﹣4）=16（k2﹣m2+4）．．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=．∴==0．化简得：5m2=4（1+k2），即．点O到直线PQ的距离d==．则===，由≥，得：|OP|•|OQ|≥．∴|OP|2+|OQ|2≥2|OP|•|OQ|≥2=．=|OP|•|OQ|≥．∴S△OPQ故答案为：，．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．【解答】（1）2﹣3=2（2，﹣1，﹣2）﹣3（1，1，﹣4）=（4，﹣2，﹣4）﹣（3，3，﹣12）=（1，﹣5，8）．|2﹣3|==3．（2）∵cos＜，＞===，＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞=．16．【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O．∵CC1⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又AC⊥BC，∴AC，CB，CC1两两垂直，以CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵AC=3，BC=CC1=4，∴A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，4），=（0，﹣4，4），∴=﹣3•0+4•（﹣4）+4•4=0，∴AB1⊥BC1．（2）解：∵A1（3，0，4），A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，0），=（0，0，4），=（0，4，﹣4）．设平面ABB1A1的法向量=（x，y，z），则，∴．令x=4得=（4，3，0）．∴cos＜＞===．∴直线C1B与平面ABB1A1所成角的正弦值为．17．【解答】（1）依题意可设：抛物线C的标准方程为y2=2px（p＞0），由其焦点为F（1，0）易得：2p=4，得：p=2，故所求抛物线C的标准方程为y2=4x；（2）①当直线l斜率不存在即与x轴垂直时，易知：|AB|=4，=|OF|•|AB|=×1×4=2，此时△AOB的面积为S△AOB不符合题意，故舍去．②当直线l斜率存在时，可设其为k（k≠0），则此时直线l的方程为y=k（x﹣1），将其与抛物线C的方程：y2=4x联立化简整理可得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，（k≠0），设A、B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）由韦达定理可得：，由弦长公式可得：|AB|=x1+x2+p=2++2=+4，由点到直线的距离公式可得：坐标原点O到直线l的距离为d=，=|AB|d=2（+|k|）==4，故△AOB的面积为S△AOB==16，解得：k=±，k2=，又|AB|=+4=12+4=16，因此，当△AOB的面积为4时，所求弦AB的长为16．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．【解答】（I）设P（x，y），则|PA|2=（x﹣3）2+y2=（x﹣3）2+2x=（x﹣2）2+5，∴x=2时，|PA|最小，此时y=±2，∴点P的坐标为（2，±2）；（II）圆C：（x﹣3）2+y2=1圆心C（3，0）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小．由（I），|PA|最小为，∴四边形PMAN的面积的最小值为2×=故答案为：（2，2）或（2，﹣2）；．19．【解答】（I）x G==1，y G==，z G==1，∴重心G的坐标为．（II）M，即M．=，=，∴==3．故答案分别为：；3．二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20．【解答】（1）设椭圆C的标准方程为=1（a＞b＞0），由题意可得：c=，2a+2c=4+2，a2=b2+c2，联立解得：c=，a=2，b=1．所求椭圆C的方程为=1．（2）由题意易知：直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）．设原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（x0，y0）．则线段OO′的中点D的坐标为，由题意可知：点D在直线l上，故有=k+2，①点O在椭圆C上，故有+=1，②线段OO′与直线l垂直，故有×k=﹣1，③由①③可得：x0=﹣，，将其代入②可得：k=．故所求直线l的方程为：y=x+2．21．【解答】（1）在图（1）中，∵AC=BC=1，∠ACB=90°，∴AB=．当D为AB边的中点时，AD=BD=CD==，且CD⊥AB．在图（2）中取AB的中点M，连结DM，CM．∵CA=CB=1，AD=BD=，AB=1，∴DM=，CM=，且CM⊥AB，DM⊥AB．∴∠CMD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．在△CDM中，由余弦定理得cos∠CMD===．∴二面角C﹣AB﹣D的大小为arccos．（2）在图（1）中，当AD=2BD时，BD=AB=，在△BCD中，由余弦定理得：CD==．由正弦定理得：，∴sin∠BCD==．在图（2）中，∵二面角B﹣CD﹣A是直二面角，∴∠BCD为BC与平面ACD所成的角，∴点B到平面ACD的距离为BC•sin∠BCD=．（3）设=λ（λ＞0），则AD=，BD=．在平面ACD中过A作AC的垂线Ay，过A作平面ACD的垂线Az，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示：设B到平面ACD的距离为h，则A（0，0，0），C（1，0，0），D（，，0），B（，，h）．设AB的中点为M，则M（，，），∴=（，，），=（，，0）．∵CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB，假设二面角C﹣AB﹣D是直二面角，则CM⊥平面ABD，∴CM⊥AD．∵=•++0=≠0．与CM⊥AD矛盾．∴不存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角．。
北京市中国人民大学附属中学高二下学期期中考试数学试题(解析版)
高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．数列，3，，15，…的一个通项公式可以是（ ）1-7-A ．，B ．， ()()121nnn a =-⋅-n *∈N ()()121nn a n =-⋅-n *∈N C ．，D ．，()()1121n n n a +=-⋅-n *∈N ()()1121n n a n +=-⋅-n *∈N 【答案】A【分析】利用数列正负交替及数的规律即可确定数列通项公式 【详解】数列各项正、负交替，故可用来调节， ()1n-又，，，，…，1121=-2321=-3721=-41521=-所以通项公式为，()()121nnn a =-⋅-n *∈N 故选：A2．设为等差数列的前项和，若，则的值为（ ） n S {}n a n 4512a a +=8S A ．14 B ．28C ．36D ．48【答案】D【分析】利用等差数列的前项和公式以及等差数列的性质即可求出. n 【详解】因为为等差数列的前项和， n S {}n a n 所以 ()()18818842a a S a a +==+ ()45448a a =+=故选：D【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式的计算以及等差数列性质的应用，属于较易题. n 3．下列求导运算正确的是（ ）A ．B ．ππsin cos 33'⎛⎫= ⎪⎝⎭()1e 1e x x '+=+C ． D ．2cos sin cos x x x xx x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭()2e 2e x x '=【答案】D【分析】根据基本初等函数的求导公式以及导数的运算法则，判断每个选项，可得答案。
【详解】，A 错误； πsin 03'⎛⎫'== ⎪⎝⎭，B 错误；()1e exx'+=，C 错误；2cos sin cos x x x x x x '--⎛⎫= ⎪⎝⎭，D 正确，()2e 2exx'=故选：D4．在曲线 的图象上取一点及邻近一点， 则为（ ） ()21f x x =+()1,2()1Δ2Δx y ++，ΔΔyx A ． B ．2 C ． D ． 1Δ2Δx x++Δ2x +1Δ2Δx x-+【答案】C【分析】根据平均变化率，代入计算即得． ()()00+∆-∆=∆∆f x x f x y x x【详解】由题可得.()21122x x x x y ⎡⎤+-∆⎣⎦==+∆∆∆+∆故选：C ．5．已知定义在［0，3］上的函数的图像如图，则不等式＜0的解集为（ ）()f x ()f x 'A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(0，1)(2，3)【答案】B【分析】根据函数的导数与函数的单调性的关系即得结论．【详解】由图象知在上是减函数，所以的解集是． ()f x (1,2)()0f x '<(1,2)故选：B ．6．在等差数列中，“”是“”的（ ） {}n a 253m a a a a +=+4m =A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据数列的性质求解.【详解】当的公差时，由，得m 是任意的正整数， {}n a 0d =253m a a a a +=+由，得，4m =253m a a a a +=+则“”是“”的必要不充分条件． 253m a a a a +=+4m =故选:A.7．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）()ln f x kx x =-1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭k A ． B ． C ． D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭[)2,+∞1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭[)4,+∞【答案】B【分析】因为函数在内单调递增，转化为导函数在恒成立.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0f x '≥1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【详解】,因为函数在区间上单调递增，所以'1()f k x x =-()ln f x kx x =-1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭'1()0f x k x =-≥在上恒成立，即在上恒成立.因为在上单调递减，所以当1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1k x ≥1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1y x =1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时，，所以， 1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭2y <2k ≥则的取值范围为. k [)2,+∞故选：B8．在数列中，它的前项和为（为常数），若是以为公比的等比数列，则{}n a n 2nn S p =+p {}n a q （ ）p q +=A ．0 B ．1 C ．3 D ．4【答案】B【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】是以为公比的等比数列,{}n a q 所以，232112213322,222,224a S p a S S p p a S S p p ==+=-=+--==-=+--=所以公比进而， 32422a q ,a ===21211aa p p q=+==Þ=-所以， 12=1p q +=-+故选：B9．小红在手工课上设计了一个剪纸图案，她先在一个半径为的圆纸片上画一个内接正方形，再r 画该正方形的内切圆，依次重复以上画法，得到了一幅由6个圆和6个正方形构成的图案，依次剪去夹在正方形及其内切圆之间的部分，并剪去最小正方形内的部分，得到如图所示的一幅剪纸，则该图案（阴影部分）的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．2(π2)r -231(π2)16r -263(π2)32r -2127(π2)64r -【答案】C【分析】根据规律可得每个内切圆与正方形的面积的差是等比数列，且首项为，公比为()2π2r -12，有等比数列的求和公式即可化简求值.【详解】将6个圆从外到内依次记为，将6个正方形从外到内依次记为，{}123456i O ,i ,,,,,Îi A ，{}1,2,3,4,5,6i ∈记6个阴影部分从外到内的面积为，其中表示的半径，)()222ππ2i i i O A i iiT S S r r=-=-=-A i r i O 由题意可知，1211,,,,2,i i r r r r i -==≥ 1i i r r -=所以，故为等比数列，且首项为，公比为，()()1221π2π22i i i T r r -æöç÷=-=-ç÷èø()2π2r -12所以， ()()6221261π21211263π232r T T T r æö--ç÷ç÷èø+++==-- 故选：C.10．已知e 为自然对数的底数，函数的导函数为，对任意，都有成()f x ()f x 'x ∈R ()()f x f x '<-立，则（ ） A ．B ．(0)(1)e (2)ef f f >>()()()01e 2ef f f >>C ． D ． (0)e (2)(1)ef f f >>(0)e (2)(1)ef f f >>【答案】A【分析】构造函数，求导,利用导数求解单调性，利用单调性即可比较大小.()()e xg x f x =【详解】由得()()f x f x '<-()()0f x f x '+<令，则，所以单调递减，()()e x g x f x =()()()e 0x g x f x f x ¢¢éù=+<ëû()g x 故,即,同除以得， ()()()012g g g >>()()()012e 0e 1e 2f f f >>e (0)(1)e (2)ef f f >>故选：A二、填空题11．曲线在处的切线的方程为__________．321()2ln 2f x x x x =+-1x =【答案】13270x y --=【分析】求导得切线斜率，由直线的点斜式即可求解直线方程.【详解】由得，故，又321()2ln 2f x x x x =+-21()342f x x x x'=+-()11313422k f ¢==+-=， ()1123f =+=所以切线方程为，即， ()13312y x -=-13270x y --=故答案为：13270x y --=三、双空题12．函数的零点个数为__________，其极值点是__________． ()(2)e x f x x =-【答案】11【分析】根据零点定义求零点个数，再求出的导数，令，根据单调区间，可得所求()f x ()0f x '=极值点；【详解】函数的零点，令，故零点个数为1；()(2)e x f x x =-()(2)e 0,2x f x x x ==-=求导函数，()()()e 2e 1e x x xf x x x '=+-=-令，得()0f x '=1,x =所以，当时，，函数在上单调递减，当时，，(),1x ∈-∞()0f x '<()f x (),1-∞()1,x ∈+∞()0f x ¢>函数在上单调递增，()f x ()1,+∞所以，函数在处取得极小值，是其极小值点. ()f x 1x =1x =故答案为：.1;1四、填空题13．公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，则{}n a n n S 3a 2a 6a 33S a =__________． 【答案】1【分析】根据是与的等比中项，化简得到，再分别求得，求解. 3a 2a 6a 12d a =-3S 3a 【详解】解：因为是与的等比中项， 3a 2a 6a 所以，即，2326a a a =⋅()()()211125a d a a d d +=+⋅+化简得，2120a d d +=因为，所以， 0d ≠12d a =-所以，， 31132332dS a a ⨯=+=-31123a a d a =+=-所以， 331S a =故答案为：114．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，则第九层球的个数为__________．【答案】45【分析】根据题意，发现规律并将规律表达出来，第层有个球，结合等差数列前n ()123n +++⋅⋅⋅+n 项求和公式计算即可求解.【详解】由题意，第一层有个球；第二层有个球；第三层有个球， 1()12+()123++根据规律可知：第层有个球n ()123n +++⋅⋅⋅+设第层的小球个数为，则有：， n n a ()11232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=故第九层球的个数为：. 945a =故答案为：45. 15．关于函数， 22()ln f x x x=+①无最小值，无最大值；()f x ②函数有且只有1个零点； ()2y f x x =-③存在实数，使得恒成立；k ()f x kx >④对任意两个正实数，，且，若，则． 1x 2x 12x x <()()12f x f x =122x x +>其中所有正确的结论序号是__________． 【答案】②③④【分析】求得的导数和单调性、极值，可判断①；求得的导数，可得单调性，计()f x ()y f x x =-算的函数值，可判断②；结合①的分析，取特殊值即可判断③；设，由1x =21(1)x t t x =>，求得，关于的函数式，结合分析法，构造函数，判断单调性，可判断④． 12()()f x f x =1x 2x t 【详解】，2()2ln f x x x=+， ()222122()x f x x x x -'∴=-+=当时，，函数单调递增， 1x >()0f x '>()f x 当时，，函数单调递减，01x <<()0f x '<()f x 函数有最小值，无最大值，故①错误；∴()f x ()12f =令，2()22ln 2y f x x x x x=-=+-恒成立，()222222122(21)20x x x x y x x x x -+---+'∴=-+-==<在单调递减， 22ln 2y x x x∴=+-(0,)+∞，，()112020f -=+-=有且只有一个零点，故②正确；()2y f x x ∴=-由①知，，又， ()()120f x f ≥=>0x >所以取，有，1k =-0kx x =-<此时恒成立，即存在实数，使得恒成立，故③正确；()f x kx >k ()f x kx >设，即有， 21(1)x t t x =>21x x t =即为，化为，12()()f x f x =1212222ln 2ln x x x x +=+1111222ln 2ln()x x t x x t +=+可得，则， 11ln t x t t-=2121(1)2212ln 0ln ln t t t x x t t t t t t t --+>⇔+>⇔-->设，可得，2()12ln (1)h t t t t t =-->()22(1ln )2(1ln )h t t t t t '=-+=--由的导数为，可得时，，单调递增，可得，()1ln m t t t =--1()1m t t'=-1t >()0m t '>()m t ()()10m t m >=，单调递增，可得，故成立，故④正确．()0h t '∴>()h t ()()10h t h >=122x x +>故答案为：②③④．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．五、解答题16．在①,②,③这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已89a =520S =2913a a +=知等差数列的前项和为,______,______.{}n a n *,n S n ∈N (1)求数列的通项公式; {}n a (2)设,求数列的前项和. 11n n n b a a +={}n b n n T 注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.【答案】(1)*1,n a n n =+∈N (2)()22n nT n =+【分析】(1)根据是等差数列,设出公差为,选择两个选项,将首项公差代入,解方程组,即可求得{}n a d 基本量,写出通项公式;(2)根据(1)中的通项公式,写出的通项,利用裂项相消即可求得前项和. {}n b n n T 【详解】（1）由于是等差数列,设公差为,{}n a d 当选①②时:,解得, 81517951020a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩121a d =⎧⎨=⎩所以的通项公式.{}n a ()*2111,n a n n n =+-⨯=+∈N 选①③时:,解得, 81291792913a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩121a d =⎧⎨=⎩所以的通项公式.{}n a ()*2111,n a n n n =+-⨯=+∈N 选②③时:,解得, 51291510202913S a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩121a d =⎧⎨=⎩所以的通项公式.{}n a ()*2111,n a n n n =+-⨯=+∈N （2）由(1)知,,*1,n a n n =+∈N 所以, ()()111111212n n n b a a n n n n +===-++++所以111111233412n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ . ()112222n n n =-=++17．已知函数在处取得极值． 32()f x x ax bx =++1x =±(1)求的解析式； ()f x (2)求在上的最值． ()f x [2,1]-【答案】(1) 3()3f x x x =-(2)最大值为2，最小值为. 2-【分析】（1）利用极值点即可得，,即可求解， (1)0f '-=()01f '=（2）求导，列表得单调性，进而比较极值点与端点处的函数值即可求解.【详解】（1）．()232f x x ax b '=++在时取得极值，所以，,()f x 1x =±(1)0f '-=()01f '=即,且解得．320a b -+=320a b ++=03a b ，==-经检验，时，,当或时,,此时单调递增，当03a b ，==-()233f x x ¢=-1x >1x <-()0f x ¢>()f x 时,,此时单调递减，故在时取得极小值．11x -<<()0f x '<()f x ()f x 1x =±． 3()3f x x x ∴=-（2），()233f x x ¢=-令，解得或；()0f x '==1x -1x =,时，和 变化如下：[2x ∈-1]()f x '()f xx 2-(2,1)--1- (1,1)- 1()f x '/+ 0-/()f x 2-单调递增 2 单调递减2-由上表可知函数在区间，上的最大值为2，最小值为.()f x [2-1]2-18．已知函数．e 1()ln ()x a f x x a x x=--∈R (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 0a =()f x (1,(1))f (2)当时，求的单调区间； 0a >()f x (3)若对，恒成立，求的取值范围． 1x ∀>1()1f x x x≤--a 【答案】(1)； 1y =-(2)答案见解析；(3)(2,e -⎤-∞-⎦【分析】（1）利用导数的几何意义，计算求得、，即可求解； ()01f '=(1)1f =-（2）利用导数，分类讨论当、、、时函数的单调性，即可求解； 10e a <<1e a =11ea <<1a ≥()f x （3）根据题意将原不等式转化为，求导得，令(ln 1)()e x x x x a h x -+≤=(1)(ln 2)()e xx x x h x --+'=，利用导数研究函数的性质，结合零点的存在性定理可得函数的()ln 2(0)x x x x ϕ=-+>()ϕx ()h x 单调性，求出即可.min ()h x 【详解】（1）当时，，0a =1()ln (0)f x x x x =-->所以，得，又， 211()f x x x'=-()01f '=(1)1f =-所以曲线在处的切线方程为. ()f x (1,(1))f 1y =-（2）,222e (1)11(1)(e 1)()(0)x x a x x a f x x x x x x ---'=+-=>，令或，0a >()01f x x =⇒='ln x a =-当时，由或，由， 10ea <<()001f x x '>⇒<<ln x a >-()01ln f x x a '<⇒<<-所以函数在和上单调递增，在上单调递减；()f x (0,1)(ln ,)a -+∞(1,ln )a -当时，由或，由， 11ea <<()00ln f x x a '>⇒<<-1x >()0ln 1f x a x '<⇒-<<所以函数在和上单调递增，在上单调递减； ()f x (0,ln )a -(1,)+∞(ln ,1)a -当时，由，由， 1a ≥()01f x x '>⇒>()001f x x '<⇒<<所以函数在上单调递增，在上单调递减；()f x (1,)+∞(0,1)当时，由，则函数在上单调递增.1ea =()0f x '≥()f x (0,)+∞综上，当时，函数的单调增区间为和，减区间为； 10ea <<()f x (0,1)(ln ,)a -+∞(1,ln )a -当时，函数的单调增区间为和，减区间为； 11ea <<()f x (0,ln )a -(1,)+∞(ln ,1)a -当时，函数的单调增区间为，减区间为；1a ≥()f x (1,)+∞(0,1)当时，函数的单调增区间为，无减区间.1ea =()f x (0,)+∞（3），则不等式转化为， 1x >1()1f x x x ≤--(ln 1)e xx x x a -+≤设，(ln 1)(1)(ln 2)()()e e x xx x x x x x h x h x -+--+'=⇒=令，则， ()ln 2(0)x x x x ϕ=-+>1()xx xϕ-='由，由，()001x x ϕ'>⇒<<()01x x ϕ'<⇒>所以函数在上单调递增，在上单调递减，()ϕx (0.1)(1,)+∞且，则函数在内存在唯一的零点， 22(e)3e>0,(e )4e 0ϕϕ=-=-<()ϕx 2(e,e )0x 当时，单调递减， 0(1,)x x ∈()0,()0,()x h x h x ϕ'><当时，单调递增， 0(,)x x ∈+∞()0,()0,()x h x h x ϕ'<>所以，又，000min 0(ln 1)()()e x x x x h x h x -+==000()ln 20x x x ϕ=-+=得，则， 020ex x -=00002000200(ln 1)e ()e e e ex x x x x x x x h x ---+==-=-=-即，所以，2min ()e h x -=-2e a -≤-即实数a 的取值范围为.2(,e ]--∞-【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的方法(1)分离参数法求范围：若或恒成立，只需满足或即可，利()f x a ≥()g x a ≤min ()f x a ≥max ()g x a ≤用导数方法求出的最小值或的最大值，从而解决问题；()f x ()g x (2)把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.六、单选题19．在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（ ）62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2x A ． B ．C ．D ．1515-1010-【答案】A【分析】首先写出展开式的通项，再令求出，即可求出含项的二项式系数.622r -=r 2x 【详解】二项式的展开式的通项为，62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()6621662C C 2rr r r r rr T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令，解得，所以展开式中项的二项式系数为.622r -=2r =2x 2615C =故选：A20．已知函数，若对任意的，，且，都有3()(1)e 1x f x x kx =--+1x 2(0,)x ∈+∞12x x ≠，则实数的取值范围是（ ）()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+k A ．B ．C ．D ．e 0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦e ,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦10,3⎛⎫⎪⎝⎭1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】将式子变形得到函数的单调性，进而转化成在恒成立，构造函数()0f x '≥()0+∞，由导数求解最值即可求解. ()e xg x x，=【详解】由得，()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+()()()()121122x x f x x x f x ->-不妨设，，且,则，故问题等价于函数在单调递1x 2(0,)x ∈+∞12x x >()()12f x f x >()f x ()0+∞，增，故在恒成立， ()0f x '≥()0+∞，在恒成立， ()2e e 303xxf x x kx k x '=-≥⇒≤()0+∞，令，则当时，,当， ()()()21e e x xx g x g x x x，-'=∴=1x >()0g x '>()010x ,g x ¢<<<故在单调递增，在单调递减，故在极小值也是最小值，故()g x ()1+∞，()01，()g x 1x =， ()e 31e 3k g k £=Þ£故选：B.21．已知数列满足，，，，，记数列{}n a 11a =212a =()()11222121n n n n a a a a++-=--2n ≥*N n ∈{}n a 前项和为，则（ ） n n S A ． B ． 202378S <<202389S <<C ． D ．2023910S <<20231011S <<【答案】D【分析】根据原递推关系构造等差数列，求出 的通项公式，再利用对数的性质计算出 ，{}n a 2023S 再运用缩放法证明.【详解】 ，()()()()()()1111222121,21212121n n n n n n n n a a a a a a a a++++-=--∴---=-- ， ， 21221210,210na a -=-≠∴-≠ 11112121n n a a +∴-=--令 ，则有 ，即数列 从第2项开始是公差为1，首项为121n n a b =-11n n b b +-=()2n ≥{}n b 的等差数列，2121121b =+- ，即，将 代入上式检()12n b n n ∴=≥221log n an a -==()2n ≥2n =验得 ，正确； 212a=123n n S a a a a ∴=++++22221log loglog log=++， 221log 1log =+=+，()2023221log 1log 2021S =+=+显然 ， ； 9102512202121024=<<=20231011S ∴<<故选：D.七、填空题22．的展开式各项系数的和是，则__________. 5(1)ax +1-=a 【答案】2-【分析】采用赋值法，令，根据展开式各项系数的和即可求得答案.1x =【详解】由题意令，则的展开式各项系数的和是， 1x =5(1)ax +5(1)1,2a a +=-∴=-故答案为：2-八、双空题23．二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二制数对应的十进制数记为，即()()*0122N k a a a a k ⋯∈k m ，其中，，则在，，100112222k k k k k m a a a a --=⨯+⨯+⋯+⨯+⨯01a ={0,1}i a ∈()1,2,3,,i k = 0a 1a 2a ，…，中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为__________（用数字5a ()0152a a a ⋯作答）将五个数20、23、2、0、3任意次序排成一行，拼成一个7位数，则能产生不同的7位数的个数是__________（用数字作答） 【答案】50675【分析】利用等比数列前n 项和以及组合数问题可解；先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有种，其中2和0排在一起形成20和原来的20有重复，2和3排在一起形成23和原来96的23有重复，计算得到答案.【详解】根据题意得 ，5430155212222m a a a =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯因为在中恰好有2个0的有种可能， 0152a a a a ⋯，，，25C 10=即所有符合条件的二进制数 的个数为10． ()0152a a a ⋯所以所有二进制数对应的十进制数的和中，()0152a a a ⋯出现次，，…，，均出现次，5225C 10=4232120224C 6=所以满足中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的和为 0152a a a a ⋯，，，()0152a a a ⋯. 24302545C 2+2++2+2+C 2=631+1032=506⨯⨯ （）先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有种，1444C A 96⋅=其中2和0排在一起形成20和原来的20有重复，考虑2和0相邻时，且2在0的左边，共有种排法， 4!24=其中一半是重复的，故此时有12种重复.其中2和3排在一起形成23和原来的23有重复，考虑2和3相邻时，且2在3的左边，共有种排法，1333C ×A 18=其中一半是重复的，故此时有9种重复. 故共有种. 9612975--=故答案为：506；75．九、填空题24．已知函数与轴有两个交点，则实数的取值范围为__________． 2()1ax f x x e =-x a 【答案】22,0,ee ⎧⎫-⎨⎩⎭【分析】求出函数的导数，就、、分类讨论，而当时，再就、、0a =0a >a<00a >2e a =2ea >分类讨论单调性并结合零点存在定理判断零点个数，从而得到参数的取值范围，注意20ea <<a<0可以转化到的情形.0a >【详解】函数与轴有两个交点即有两个不同的解. 2()1ax f x x e =-x ()0f x =（1）当时，，令，则，故符合.0a =2()1f x x =-()0f x =1x =±0a =（2）当时，，0a >()22()e axf x ax x +'=当时，；当时，，()2,0,x a ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭()0f x '>2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0f x '<所以在上为增函数，在上为减函数，()f x ()2,,0,a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而，当时，，()01f =-1max{1,}x a>()1e 10f x >⨯->故在上有且只有一个零点，()f x ()0,∞+当，即，即时，20f a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭224e 10a a a⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-=2e a =结合的单调性可得：在上有且只有一个零点， ()f x ()f x (),0∞-故此时符合题设.2ea =当时，即，即时，20f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭224e 10a a a⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-<2e a >结合的单调性可得：在上无零点，故舍.()f x ()f x (),0∞-2ea >当时，即，即时，20f a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭224e 10a a a⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭->20e a <<结合的单调性可得：在上有且只有一个零点，()f x ()f x 2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭下证：，e x x >设，则，()e x s x x =-()e 1xs x '=-当时，，当时，，0x <()0s x '<0x >()0s x '>故在上为增函数，在上为减函数，故，()s x ()0,∞+(),0∞-()()010s x s ≥=>故恒成立，所以，故，所以，e xx >e xx >22e aa >22e aa-<-而，其中， 2224e 24e e e1e1a a a a a a af ⎛⎫ ⎪-- ⎪⎝⎭⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭2e a>设，则，()2e ,e tv t t t =->()e 2211e1e 1e 10222t v t '=-<-<-<故为上的减函数，故，()v t ()e,+∞()e2e e 0v t <-<故对任意的成立，故对任意的成立，2e tt <()e,t ∈+∞2e t t <()e,t ∈+∞因为，故成立，故，所以， 2e a >224e aa<224e 0a a -<224e e 10a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭-<故，故在有且只有一个零点，2e 0af ⎛⎫-< ⎪⎝⎭()f x 2,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭故与轴有3个不同的交点，舍.()f x x 故当时，仅有能使得与轴有2个不同的交点.0a >2ea =()f x x （3）当时，因为方程等价于，a<02e 10ax x -=()()2e 10a xx ----=其中，由（2）可知仅有能使得与轴有2个不同的交点. 0a ->2ea -=()f x x 即.2ea =-综上，实数的取值范围为.a 22,0,ee ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭故答案为：.22,0,ee ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【点睛】思路点睛：导数背景下的零点个数问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，并结合零点存在定理来判断零点的存在性，而取点判断函数值的符号需要结合函数解析式的形式和极值来合适选择.十、解答题25．已知数列，若对任意的，，，存在正数使得，则称数{}n a n *m ∈N n m ≠k ||||n m a a k n m -≤-列具有守恒性质，其中最小的称为数列的守恒数，记为. {}n a k {}n a p （1）若数列是等差数列且公差为，前项和记为. {}n a d (0)d ≠n n S ①证明：数列具有守恒性质，并求出其守恒数. {}n a ②数列是否具有守恒性质？并说明理由.{}n S （2）若首项为1且公比不为1的正项等比数列具有守恒性质，且，求公比值的集合. {}n a 12p =q 【答案】（1）①见解析，.②数列不具有守恒性质.见解析（2）p d ={}n S 12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】（1）①运用等差数列的通项公式和数列具有守恒性质可得结论； {}n a ②数列不具有守恒性质，运用等差数列的求和公式和不等式的性质可得结论；{}n S （2）讨论，，由等比数列的通项公式和不等式的性质，构造数列，运用单调性，即1q >01q <<可得到所求范围．【详解】解：（1）①因为是等差数列且公差为，所以， {}n a d ()11n a a n d +-=所以对任意，，*,n m N ∈n m ≠恒成立，()()1111n m a a a n d a m d -=+--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()n m d d n m =-≤-所以数列具有守恒性质，且守恒数. {}n a p d =②假设数列具有守恒性质，因为，所以存在实数， {}n S 2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭0k >. ()()22122n m d d S S n m a n m ⎛⎫-=-+-- ⎪⎝⎭()122d d k n m k n m a ⎛⎫≤-⇒≥++- ⎪⎝⎭若，则当时，，矛盾； 0d >122d k a n m d ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+>()122d d n m a k ⎛⎫++-> ⎪⎝⎭若，则当时，，矛盾. 0d <122d k a n m d⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+<()122d d n m a k ⎛⎫++-> ⎪⎝⎭所以数列不具有守恒性质.{}n S （2）显然且，因为，所以.0q >1q ≠11a =111n n n a a q q --==因为数列具有守恒性质，{}n a 所以对任意，，存在正数使得，*,n m N ∈n m ≠k n m a a k n m -≤-即存在正数，对任，都成立. k 11n m q qk n m ---≤-*,n m N ∈n m ≠（i ）若，等比数列递增，不妨设，则，1q >{}n a n m >()11n m q q k n m --≤--即，11n m q kn q km ---≤-()*设，由式中的，任意性可知，数列不递增，1n n b q kn -=-()*m n {}n b 所以对任意恒成立.()1110n n n b b q q k -+-=--≤*n ∈N 而当，， 1log 1qk n q >+-()()1log 1111110q k n q n n b b q q k q k q +--+-=--->-=所以不符题意.1q >（ii ）若，则数列单调递减，不妨设，则，01q <<{}n a n m >()11m n q q k n m --≤--即，11m n q km q kn --+≤+()**设，由式中的，任意性可知，数列不递减，1n n c q kn -=+()**m n {}n c 所以对任意恒成立，()1101n n n q c c q k -+--=+≥*n ∈N 所以对任意恒成立，()11n q k q--≥*n ∈N 显然，当，时，单调递减，01q <<*n ∈N ()()11n f n q q -=-所以当时，取得最大值，1n =()()11n f n q q -=-()11f q =-所以. 1k q ≥-又，故，即.12p =112q -=12q =综上所述，公比的取值集合为.q 12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于难题．。
2016人大附中朝阳分校高二(上)期中数学(理)
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2
2
11．（ 3 分）已知直线 ax+y﹣ 2=0 与圆心为 C 的圆（ x﹣ 2） +（ y﹣ 2） =4 相交于 A， B 两点，且△ ABC为等边三角形，
则实数 a= ．
12．（ 3 分）对于双曲线 C有命题：若双曲线 C的标准方程是 ﹣ =1（ a＞ 0，b＞ 0），则双曲线 C 的渐近线是 bx
与 C 交于 A， B 两点．
（ 1）写出 C 的方程；
（ 2）若
，求 k 的值；
（ 3）若点 A 在第一象限，证明：当 k＞0 时，恒有
．
数学试题答案
3 / 10
一、选择题（本大题包括 8 小题） 1．【解答】 因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题 故选： B．
p ： ? x∈ R， x＞ 2，那么命题￢ p 为： ? x∈ R， x≤ 2．
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为假， p∨ q 为真，求 a 的取值范围．
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19．已知抛物线 C：y =4x 与直线 y=2x ﹣ 4 交于 A，B 两点．
（ 1）求弦 AB的长度；
（ 2）若点 P 在抛物线 C上，且△ ABP的面积为 12，求点 P 的坐标．
20．在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点
的距离之和为 4，设点 P 的轨迹为 C，直线 y=kx+1
即 ∈ A， 故选： D
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5．【解答】 ∵由“ ab＞0”，不能判断“方程 ax +by =1 表示椭圆”，
例如 a＜ 0， b＜ 0 时，“方程 ax2+by2=1 不表示椭圆”．
“方程 ax2+by2 =1 表示椭圆” ? “ab＞0”，
∴“ ab＞0”是“方程 ax2+by2=1 表示椭圆”的必要不充分条件．
北京市人大附中2023-2024学年高二上学期期末数学试题
北京市人大附中2023-2024学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________六、解答题29．在平面直角坐标系中画出方程()()()2222-=+-表示的曲线.211x x y y【分析】由面面垂直的性质定理可证明“1CB BB ^”是“CB AB ^”的必要条件，由底面为正三角形的直三棱柱模型，可知“1CB BB ^”不是“CB AB ^”的充分条件.【详解】①已知侧面11ABB A ^底面ABC ，且侧面11ABB A I 底面ABC AB =，又BC Ì平面ABC ，若BC AB ^，则由面面垂直的性质定理可得BC ^平面11ABB A ，1BB Ì平面11ABB A ，则1CB BB ^，所以则“1CB BB ^”是“CB AB ^”的必要条件；②若三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，底面ABC 是正三角形，则1BB ^底面ABC ，1BB Ì平面11ABB A ，则满足条件侧面11ABB A ^底面ABC .又BC Ì平面ABC ，则1CB BB ^，但BC 与AB 不垂直.所以“1CB BB ^”不是“CB AB ^”的充分条件.综上所述，“1CB BB ^”是“CB AB ^”的必要不充分条件.故选：B.7．D【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点(2,3,1)-P 到x 轴的距离.【详解】．D【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一【详解】()22:15C x y++=e选项A，由直线2x y a+=斜率为圆心(1,0)C-到直线2x y a+-10．A【分析】借助空间直观想象，折叠EAB平面FDC，面面距离即//17．(1)24=x y(2)3k=±【分析】（1）由直线l与y轴交点得焦点。
2016人大附中高二(上)期中数学(文)
2016人大附中高二（上）期中数学（文）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．（4分）直线x+y=0的倾斜角为（）A．B．C．D．2．（4分）已知l、m、n是空间不同的三条直线，则下列结论中正确的（）A．若m⊥l，n⊥l，则m⊥n B．若m⊥l，n⊥l，则m∥nC．若m⊥l，n∥l，则m⊥n D．若m⊥l，n∥l，则m∥n3．（4分）如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么a等于（）A．1 B．﹣1 C．2 D．4．（4分）若一个正三棱锥的正（主）视图如图所示，则其体积等于（）A．B．C．D．5．（4分）圆O：x2+y2=4上到直线3x+4y﹣5=0的距离为1的点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（4分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，点D、E分别是棱AB、BB1的中点，若DE⊥EC1，则侧棱AA1的长为（）A．1 B．2 C．D．7．（4分）一条光线沿直线2x﹣y+2=0照射到y轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（）A．2x+y﹣2=0 B．2x+y+2=0 C．x+2y+2=0 D．x+2y﹣2=08．（4分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AC与BD相交于点O，点P是侧棱SC 上一动点，则一定与平面PBD垂直的平面是（）A．平面SAB B．平面SAC C．平面SCD D．平面ABCD二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．（5分）经过点A（1，1），且与直线l：3x﹣2y+1=0平行的直线方程为．10．（5分）直线2x﹣y+1=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相交于A、B两点，则弦AB的长为．11．（5分）若圆C经过点A（1，3）、B（3，5），且圆心C在直线2x﹣y+3=0上，则圆的标准方程为．12．（5分）在三棱台ABC﹣A1B1C1中，A1B1=2AB，点E、F分别是棱B1C1、A1B1的中点，则在三棱台的各棱所在的直线中，与平面ACEF平行的有．13．（5分）若直线l：y=k（x+1）与圆C：（x﹣1）2+y2=1恒有公共点，则k的取值范围是，直线l的倾斜角的取值范围是．14．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=BD=DC=1，AD=BC=，将平行四边形ABCD沿对角线BD折成三棱锥A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，在下列结论中：①直线CD⊥平面A′BD；②平面A′BC⊥平面BCD；③点B到平面A'CD的距离为；④棱A′C上存在一点到顶点A'、B、C、D的距离相等．所有正确结论的编号是．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）15．（12分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，3），B（1，﹣3），C（﹣3，﹣1）（I）求BC边的中线所在直线的方程；（II）求BC边的高线所在直线的方程．16．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，所有侧棱长与底面边长均相等，E为SC的中点．求证：（Ⅰ） SA∥平面BDE；（Ⅱ） SC⊥BD．17．（14分）已知直线l1：y=x﹣1与圆C：（x+a）2+y2=a2（a＞0）相交于A、B两点，|AB|=2，直线l2∥l1，直线l2与圆C相交于D、E两点．（I）求圆C的标准方程；（Ⅱ）若△CDE为直角三角形，求直线l2的方程；（Ⅲ）记直线l1与x轴的交点为F（如图），若∠CFD=∠CFE，求直线l2的方程．四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在答题纸上.）18．（6分）已知点M、N、K分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、B1C1、DD1的中点，在正方体的所有面对角线和体对角线所在的直线中，与平面MNK平行的条数为（）A．6条B．7条C．8条D．9条19．（6分）当点P（3，2）到直线mx﹣y+1﹣2m=0的距离最大值时，m的值为（）A．B．0 C．﹣1 D．120．（6分）若存在实数k和b，使得函数f（x）和g（x）对定义域内的任意x均满足：[f（x）﹣（kx+b）][g（x）﹣（kx+b）]≤0，且存在x1使得f（x1）﹣（kx1+b）=0，存在x2使得g（x2）﹣（kx2+b）=0，则称直线l：y=kx+b 为函数f（x）和g（x）的“分界线”．在下列说法中正确的是（）A．任意两个一次函数最多存在一条“分界线”B．“分界线”存在的两个函数的图象最多只有两个交点C．f（x）=x2﹣2x与g（x）=﹣x2+4的“分界线”是y=﹣x+2D．f（x）=x2与g（x）=﹣（x﹣1）2的“分界线”是y=0或二、填空题（本大题共2小题，每题9分，共18分.请把结果填在答题纸中.）21．（9分）在正六棱锥P﹣ABCDEF中，AB=1，若平面PAB⊥平面PDE，则PA= ，该正六棱锥的体积是．22．（9分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记平面α截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为y=f（x），设BP=x，x∈（0，3），关于函数y=f（x）：（Ⅰ）下列说法中，正确的是①当x∈（1，2）时，截面多边形为正六边形；②函数f（x）的图象关于对称；③任取x1，x2∈[1，2]时，f（x1）=f（x2）．（Ⅱ）函数y=f（x）单调区间为．三、解答题（本大题共1小题，满分14分.请把结果填在答题纸中.）23．（14分）如图，AB是圆O的直径，点C是半圆的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB，PB=6D是PB的中点，E是PC上一点．（Ⅰ）若DE⊥PB，求的值；（Ⅱ）若点Q是平面ABC内一点，且|QA|=2|QC|，求点Q在△ABC内的轨迹长度．数学试题答案一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．【解答】由直线，得其斜率为，设其倾斜角为α（0≤α＜π），则tan，∴α=．故选：D．2．【解答】由l、m、n是空间不同的三条直线，知：在A中，若m⊥l，n⊥l，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥l，n⊥l，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若m⊥l，n∥l，则由直线与平面垂直的性质定理得m⊥n，故C正确；在D中，若m⊥l，n∥l，则由直线与平面垂直的性质定理得m⊥n，故D错误．故选：C．3．【解答】∵直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，∴，解之得a=﹣1（舍去2）故选：B4．【解答】由已知可得该棱锥的底面边长为2，故底面面积S=，高为2，故体积V==，故选：C5．【解答】由圆的方程x2+y2=4，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，∴圆心到直线3x+4y﹣5=0的距离d==1＜2，∴r﹣1=1，则圆上到直线3x+4y﹣5=0的距离为1的点的个数为是3．故选C．6．【解答】取A1B1的中点D1，连接DD1，C1D1，DC1，设侧棱AA1的长为2x，则由题意，可得4+x2+1+x2=4x2+（2×）2，∴x=1，2x=2．故选：B．7．【解答】直线2x﹣y+2=0与x，y轴分别相交于点P（﹣1，0），Q（0，2）．点P关于y轴的对称点P′（1，0）．∴光线沿直线2x﹣y+2=0照照射到y轴后反射，则反射光线所在的直线方程为P′Q所在的直线：=1，化为：2x+y﹣2=0．故选：A．8．【解答】∵四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BD，∵SA∩AC=A，∴BD⊥平面SAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面SAC．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．【解答】设经过点A（1，1），且与直线l：3x﹣2y+1=0平行的直线方程为3x﹣2y+c=0，把点A（1，1）代入，得：3﹣2+c=0，解得c=﹣1，∴所求直线方程为：3x﹣2y﹣1=0．故答案为：3x﹣2y﹣1=0．10．【解答】由圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，可得圆心C（1，1），半径r=1．∴圆心到直线2x﹣y+1=0的距离d=，∴弦长|AB|=2=．故答案为．11．【解答】设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由题意可得，由②③得：a+b﹣6=0④，联立①④得：a=1，b=5，代入②得：r2=4，∴圆的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣5）2=4．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣5）2=4．12．【解答】∵点E、F分别是棱B1C1、A1B1的中点，∴EF∥A1C1，又EF⊂平面ACEF，A1C1⊄平面ACEF，∴A1C1∥平面ACEF．∵AB∥A1B1，A1B1=2AB，FB1=A1B1，∴AB FB1，∴四边形ABB1F是平行四边形，∴AF∥BB1，又AF⊂平面ACEF，BB1⊄平面ACEF，∴BB1∥平面ACEF．故答案为：A1C1，BB1．13．【解答】由题意，圆心到直线的距离d=≤1，∴，∵0≤θ＜π，∴．故答案为，14．【解答】∵在平行四边形ABCD中，AB=BD=DC=1，AD=BC=，∴AB⊥BD，BD⊥CD，将平行四边形ABCD沿对角线BD折成三棱锥A′﹣BCD后，∵平面A′BD⊥平面BCD，∴直线CD⊥平面A′BD；故①正确；同理：A′B⊥平面BCD，由A′B⊂平面A′BC得：平面A′BC⊥平面BCD，故②正确；棱锥A′﹣BCD的体积V=××1×1×1=，△A'CD的面积S=，设点B到平面A'CD的距离为h，则×h=，解得：h=，故③错误；棱A′C的中点到顶点A'、B、C、D的距离相等．故④正确；故答案为：①②④三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）15．【解答】（I）由中点坐标公式可知：BC边中点D的坐标为即（﹣1，﹣2），于是BC边中线所在的直线方程斜率为，由点斜式可得：BC边的中线所在直线的方程为，即5x﹣3y﹣1=0；（II）易知，BC边所在直线方程斜率为，又BC边的高线所在直线方程斜率满足：k AE•k BC=﹣1得：k AE=2，于是由点斜式知：BC边的高线所在直线的方程为y﹣3=2（x﹣2），即2x﹣y﹣1=0．16．【解答】（I）连接AC交BD于点O，则O点为底面正方形ABCD的中心，点O为对角线AC的中点，而E为棱SC的中点，故在△SAC中，OE为中位线∴OE∥SA又OE⊂平面BDE，SA⊄平面BDE由线面平行的判定定理可得：SA∥平面BDE．（II）连接OS，在正四棱锥S﹣ABCD中，由题意知SO⊥底面ABCD，在△SAC中，SA=SC，OA=OC，∴SO⊥AC，SO⊥AC，在△SBD中，SB=SD，OB=OD，∴SO⊥BD，而AC，BD⊂平面ABCD，且AC∩BD=O，∴由线面垂直的判定定理可得：SO⊥平面ABCD，而BD⊂平面ABCD，再由线面垂直的性质定理可得：SO⊥BD，又在正方形ABCD中，AC⊥BD，而AC，SO⊂平面SAC，AC∩SO=O，∴由线面垂直的判定定理可得：BD⊥平面SAC，又SC⊂平面SAC，∴由线面垂直的性质定理得：SC⊥BD．17．【解答】（I）可知圆C的圆心坐标为（﹣a，0），半径为r=a圆心C到直线l1的距离为由垂径定理知：即有：（a＞0）解得：a=3故所求圆C的标准方程为（x+3）2+y2=9（II）易知：若△CDE为直角三角形，则∠DCE=90°又CD=CE=r=3可知△CDE为等腰直角三角形由垂径定理：圆心C到直线l2的距离依题意可设直线l2的方程为x﹣y+m=0（m≠﹣1）而由点到直线的距离公式得：解得：m=0或m=6故所求直线l2的方程为x﹣y=0或x﹣y+6=0（III）可知直线l1与x轴交点F的坐标为（1，0），依题意可设直线l2的方程为y=x+t将其与圆的标准方程（x+3）2+y2=9联立整理可得：2x2+（2t+6）x+t2=0设D、E两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）由韦达定理可得：，由∠CFD=∠CFE知：k FD+k FE=0即有，得（x2﹣1）y1+（x1﹣1）y2=（x2﹣1）（x1+t）+（x1﹣1）（x2+t）=2x1x2+（t﹣1）（x1+x2）﹣2t于是有得故所求直线l2的方程为，即4x﹣4y+3=0．四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在答题纸上.）18．【解答】由题意画出图形如图，∵M、N、K是不在同一直线上的三点，∴三点可以确定平面MKN．补形得到平面MKN与正方体个面的交线，得到正六边形MENFKG，由线面平行的判定，可得：BD、B1D1、BC1、AD1、AB1、DC1所在直线与平面MKN平行．∴正方体的所有面对角线和体对角线所在的直线中，与平面MNK平行的条数为6条．故选：A．19．【解答】直线mx﹣y+1﹣2m=0可化为y﹣1=m（x﹣2），由直线点斜式方程可知直线恒过定点Q（2，1）且斜率为m，结合图象可知当PQ与直线mx﹣y+1﹣2m=0垂直时，点到直线距离最大，此时m•=﹣1，解得m=﹣1，故选：C．20．【解答】由[f（x）﹣（kx+b）][g（x）﹣（kx+b）]≤0，可得f（x）和g（x）在直线y=kx+b的两侧，由f（x1）﹣（kx1+b）=0和g（x2）﹣（kx2+b）=0得f（x）和g（x）都和直线y=kx+b相交，A．任意两个函数相交时，过交点的直线有很多条，故任意两个一次函数存在无数条“分界线”如图：故A错误，B．当f（x）=x（x﹣1）（x+1）+1，g（x）=﹣x（x﹣1）（x+1）+1，满足y=1是f（x）和g（x）的分界线，但此时f（x）与g（x）有3个交点，故B错误，C．由x2﹣2x=﹣x2+4得x2﹣x﹣2=0，得x=2或x=﹣1，此时A（﹣1，3），B（2，0），过A，B的直线为y=﹣x+2，则f（x）=x2﹣2x与g（x）=﹣x2+4的“分界线”是y=﹣x+2，故C正确，D．作出f（x），g（x）和y=0或的图象，由图象知与f（x）和g（x）没有交点，不满足条件f（x1）﹣（kx1+b）=0和g（x2）﹣（kx2+b）=0，．故D错误，故选：C二、填空题（本大题共2小题，每题9分，共18分.请把结果填在答题纸中.）21．【解答】取AB的中点M，DE的中点N，连接MN，PM，PN，则MN=∵正六棱锥P﹣ABCDEF中，平面PAB⊥平面PDE，∴PM⊥PN，∴PM2+PN2=MN2，∴PM=，∴PA==，正六棱锥的高==，∴正六棱锥的体积V==．故答案为：，．22．【解答】（I）①x=时，截面为△AB1C，其余截面多边形为正六边形，故①不正确；②根据正方体的对称性，可得函数f（x）的图象关于对称，正确；③任取x1，x2∈[1，2]时，根据面面平行，可得三角形相似，即可得出当α在平面AB1C，面A1DC1之间运动时，y 不变，正确；（II）由截面图形，可得单调递增区间（0，1），单调递减区间（2，3）．故答案为②③；对单递增区间（0，1），单调递减区间（2，3）．三、解答题（本大题共1小题，满分14分.请把结果填在答题纸中.）23．【解答】（I）∵AB为直径，∴AC⊥BC，∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又AC∩PA=A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，∵PB=6，PA=AB，∴，，．PD=PB=3．在Rt△PBC中，∵DE⊥PB，∴△PDE～△PCB，∴，∴，，∴．（II）以点C为坐标原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立如图所示的面直角坐标系，则A（0，3），C（0，0）．设动点Q的坐标为（x，y），则|QA|=，|QC|=，∴=2，整理可得：x2+（y+1）2=4，即Q的轨迹是以P（0，﹣1）为圆心，以2为半径的圆，设Q的轨迹与x轴，y轴的交点分别为M，N，则M（，0），N（0，1）．连结PM，PN，则sin∠MPN==，∴∠MPN=．∴点Q在△ABC内的轨迹长度==．word下载地址。
人大附中高二年级数学第一学期期末试题整理
第一学期期末考试 高二数学试题（考试时间：120分钟 满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在答题卷相应的位置上．）1、若R c b a ∈、、且||||b c a <-，则有（A ） ||||||c b a -> （B ） ||||||c b a +> （C ） ||||||c b a -< （D ） ||||||c b a +< 2、方程x x y =-||表示的曲线是（A ） 一条直线 （B ） 一条射线 （C ） 两条射线 （D ） 两条直线 3、直线l 1：x ＋3y －7＝0，直线l ２：kx －y －2＝0与x 轴、y 轴正向所围成的四边形有外接圆，则k 的值为（A ） －3 （B ） 3 （C ） －6 （D ） 6 4、“直线l 平行于抛物线的对称轴”是“直线l 与抛物线仅有一个交点”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）不充分不必要条件 5、能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≤≤⎩⎨⎧≥+-≤⎩⎨⎧≤+-≤≤00221)(002210)(0221)(02210)(x y x y D x y x y C y x y B y x y A6、与两圆122=+y x 及012822=+-+x y x 都内切的圆的圆心在 )(A 一个椭圆上 )(B 双曲线一支上 )(C 一条抛物线上 )(D 一个圆上7、已知 A(2 ,-3) ,B(-3 , -2) ，直线l 过定点P(1 ,1)且l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） (A) k≥43或k ≤-4 (B) -4≤k ≤ 43 (C) k≠ 21 (D) 43≤k≤4 8、设P (x ，y )是第一象限的点，且点P 在直线3x ＋2y ＝6上移动，则xy 的最大值是 （A ） 1.44 （B ） 1.5 （C ） 2.5 （D ） 19、已知()x f =－x －x 2，如果a ＋b >0，b ＋c >0，c ＋a >0则()()()c f b f a f ++的值（ ）(A ) 小于0 (B ) 大于0 (C ) 等于0 (D ) 符号不确定 10、经抛物线)0(22>=p x p y 的焦点作一直线l 交抛物线于),(11y x A 、),(22y x B ，则=2121x x y y )(A 4 )(B －4 )(C p 2 )(D －p 211、如图，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴为MN ，P 为椭圆上任一点，P Q ⊥MN 于Q 且|P Q|2＝k |M Q|•|Q N |，则k 的值 )(A 等于22a b)(B 等于22b a)(C 等于1 )(D 与P 的位置有关12、设双曲线0(12222>>=-a b by a x 的半焦距为c ， 直线l 过(a ，0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为 （A ） 2 （B ） 3 （C ） 2 （D ）332 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将正确答案填在题的横线上．）13、实数a 、b 、c 、d 满足下列三个条件：c b b a d c b a c d +<++=+>)3(,)2(,)1(．则将a 、b 、c 、d 按由大到小．．．．的顺序排列为 ．（不按要求作答不给分） 14、点)3,(a P 到直线0134=+-y x 的距离等于4，且不在不等式032<-+y x 表示的平面区域内，则点P 的坐标为 ．15、双曲线112422=-y x 的两条渐近线的夹角是 ．16、给出下列四个命题：①平行直线0123=--y x 和0246=+-y x 的距离是13132； ②方程11422-=-+-ty t x 不可能表示圆；③双曲线1422=+ky x 的离心率为21<<e ，则k 的取值范围是()20,60--∈k ；④曲线0992233=++-xy y x y x 关于原点对称． 其中正确．．的命题的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题卷相应的位置上．） 17、（本小题满分12分）解关于x 的不等式：)0(02><--a a x a x ．18、（本小题满分12分）已知定点A(0,1)，B(0,－1)，C(1,0)。
2016-2017学年北京市首师大附中高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年北京市首师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）在极坐标系中，圆心为，且过极点的圆的方程是（）A．ρ＝2sinθB．ρ＝﹣2sinθC．ρ＝2cosθD．ρ＝﹣2cosθ2．（4分）已知平面向量，，，＝（﹣1，1），＝（2，3），＝（﹣2，k），若（+）∥，则实数k＝（）A．4B．﹣4C．8D．﹣83．（4分）在等比数列{a n}中，a3+a4＝4，a2＝2，则公比q等于（）A．﹣2B．1或﹣2C．1D．1或24．（4分）用数学归纳法证明，第二步证明从k 到k+1，左端增加的项数为（）A．2k﹣1B．2k C．2k﹣1D．2k+15．（4分）在△ABC所在平面内有一点O，满足，，则等于（）A．B．C．3D．6．（4分）已知a n＝log n+1（n+2）（n∈N*），观察下列算式：a1•a2＝log23•log34＝＝2；a1•a2•a3•a4•a5•a6＝log23•log34•…•log78＝＝3，…；若a1•a2•a3•…•a m＝2017（m∈N*），则m的值为（）A．22017+2B．22017C．22017﹣2D．22017﹣47．（4分）函数f（x）＝x2﹣sin|x|在[﹣2，2]上的图象大致为（）A．B．C．D．8．（4分）数列{a n}满足a1＝1，前n项和为S n，S n+1＝4a n+2，则a2017的值为（）A．3025×22016B．3025×22017C．6053×22015D．6053×22016二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）已知复数为纯虚数，那么实数a＝．10．（4分）＝．11．（4分）圆（θ为参数）被直线y＝0截得的弦长为．12．（4分）设，是单位向量，且，若与的夹角不超过90°，则λ的最大值是．13．（4分）已知数列{a n}满足：a1＝1，a3＝7，对于任意正整数n，m，p，q（p≠q），总有＝成立．则a4＝，通项a n＝．14．（4分）已知A（1，0），点B在曲线G：y＝ln（x+1）上，若线段AB与曲线相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点，则曲线G关于曲线M的关联点的个数为个．三、解答题：共大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（11分）在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE＝2，M是AB的中点．（1）求证：CM⊥EM．（2）若F为线段ED上一点，且，求证：BF∥平面EMC．（3）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角为60°．若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．16．（11分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+4（a﹣1）ln（x+1），其中实数a＜3．（Ⅰ）判断x＝1是否为函数f（x）的极值点，并说明理由；（Ⅱ）若f（x）≤0在区间[0，1]上恒成立，求a的取值范围．17．（11分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB 的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．18．（11分）如果数列A：a1，a2，…，a m（m∈Z，且m≥3），满足：①a i∈Z，（i＝1，2，…，m）；②a1+a2+…+a m＝1，那么称数列A为“Ω”数列．（Ⅰ）已知数列M：﹣2，1，3，﹣1；数列N：0，1，0，﹣1，1．试判断数列M，N是否为“Ω”数列；（Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；（Ⅲ）如果数列A是“Ω”数列，求证：数列A中必定存在若干项之和为0．2016-2017学年北京市首师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）在极坐标系中，圆心为，且过极点的圆的方程是（）A．ρ＝2sinθB．ρ＝﹣2sinθC．ρ＝2cosθD．ρ＝﹣2cosθ【解答】解：∵在极坐标系中，圆心在，且过极点的圆的直角坐标方程是：x2+（y﹣1）2＝1，即x2+y2﹣2y＝0，它的极坐标方程为：ρ＝2sinθ．故选：A．2．（4分）已知平面向量，，，＝（﹣1，1），＝（2，3），＝（﹣2，k），若（+）∥，则实数k＝（）A．4B．﹣4C．8D．﹣8【解答】解：∵＝（﹣1，1），＝（2，3），∴+＝（1，4），若（+）∥，则，即k＝﹣8，故选：D．3．（4分）在等比数列{a n}中，a3+a4＝4，a2＝2，则公比q等于（）A．﹣2B．1或﹣2C．1D．1或2【解答】解：∵等比数列{a n}中，a3+a4＝4，a2＝2，∴a3+a4＝2q+2q2＝4，∴q2+q﹣2＝0，解得q＝1或q＝﹣2故选：B．4．（4分）用数学归纳法证明，第二步证明从k到k+1，左端增加的项数为（）A．2k﹣1B．2k C．2k﹣1D．2k+1【解答】解：当n＝k时，左端＝，那么当n＝k+1时左端＝，＝∴左端增加的项为，所以项数为：2k．故选：B．5．（4分）在△ABC所在平面内有一点O，满足，，则等于（）A．B．C．3D．【解答】解：∵，，∴，∴，∴O，B，C共线，BC为圆的直径，如图∴AB⊥AC．∵||＝||，∴||＝||＝1，|BC|＝2，|AC|＝，故∠ACB＝．则＝||||cos30°＝2×＝3，故选：C．6．（4分）已知a n＝log n+1（n+2）（n∈N*），观察下列算式：a1•a2＝log23•log34＝＝2；a1•a2•a3•a4•a5•a6＝log23•log34•…•log78＝＝3，…；若a1•a2•a3•…•a m＝2017（m∈N*），则m的值为（）A．22017+2B．22017C．22017﹣2D．22017﹣4【解答】解：∵a n＝log n+1（n+2），，，……，归纳推理得，∴m＝22017﹣2．故选：C．7．（4分）函数f（x）＝x2﹣sin|x|在[﹣2，2]上的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝x2﹣sin|x|在[﹣2，2]是偶函数，则：f（x）＝x2﹣sin x在（0，2]可得f′（x）＝2x﹣cos x，令2x﹣cos x＝0，可得方程只有一个解，如图：可知f（x）＝x2﹣sin x在（0，2]由一个极值点，排除A，C，f（2）＝4﹣sin2＞3，排除D．故选：B．8．（4分）数列{a n}满足a1＝1，前n项和为S n，S n+1＝4a n+2，则a2017的值为（）A．3025×22016B．3025×22017C．6053×22015D．6053×22016【解答】解：∵S n+1＝4a n+2①，S n＝4a n﹣1+2②，①﹣②可得：a n+1＝4a n﹣4a n﹣1，∴a n+1﹣2a n＝2a n﹣4a n﹣1＝2（a n﹣2a n﹣1）令b n＝a n+1﹣2a n，∴b n＝2b n﹣1，b1＝a2﹣2a1，∵S2＝4a1+2＝6＝a1+a2，∴a2＝5，∴b1＝5﹣2＝3，∴{b n}是首项为3，公比为2的等比数列，∴，∴，∴，令，∴，，∴{c n}是首项为，公差为的等差数列，∴，∴，∴．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）已知复数为纯虚数，那么实数a＝．【解答】解：＝＝，又已知复数为纯虚数，∴，解得a＝．故答案为：．10．（4分）＝．【解答】解：，故答案为：．11．（4分）圆（θ为参数）被直线y＝0截得的弦长为2．【解答】解：圆（θ为参数），转换为直角坐标方程为：（x+1）2+（y﹣1）2＝2，圆心（﹣1，1）到直线y＝0的距离d＝1，∴弦长．故答案为：212．（4分）设，是单位向量，且，若与的夹角不超过90°，则λ的最大值是．【解答】解：∵与的夹角不超过90°，∴，∴，∵，是单位向量，且，∴1﹣2λ≥0，解得，即λ的最大值为．故答案为：．13．（4分）已知数列{a n}满足：a1＝1，a3＝7，对于任意正整数n，m，p，q（p≠q），总有＝成立．则a4＝10，通项a n＝3n﹣2．【解答】解：∵a1＝1，a3＝7，对于任意正整数n，m，p，q（p≠q），总有＝成立，∴，∴a2＝4，∴，即，∴a4＝10，∴该数列为1，4，7，10…为首项是1，公差为3的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）•3＝3n﹣2故答案为：10；3n﹣2．14．（4分）已知A（1，0），点B在曲线G：y＝ln（x+1）上，若线段AB与曲线相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点，则曲线G关于曲线M的关联点的个数为1个．【解答】解：设B（m，n），m＞﹣1，AB线段中点，∵B在G上，C在M上，得消去n得，作出函数与函数g（x）＝ln（x+1）的图象，两函数在x＞﹣1上只有一个交点，即仅存在一个点（m，n）满足条件．故答案为：1．三、解答题：共大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（11分）在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE＝2，M是AB的中点．（1）求证：CM⊥EM．（2）若F为线段ED上一点，且，求证：BF∥平面EMC．（3）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角为60°．若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵AC＝BC，M是AB的中点，∴CM⊥AB，又∵EA⊥平面ABC，CM⊥EA，∵EA∩AB＝A点，∴CM⊥平面AEM，∴CM⊥EM．（2）证明：如图，以M为原点，MB，MC为x，y轴，建立如图所示的坐标系M﹣xyz，∴M（0，0，0），，，，，∴，，设平面EMC的一个法向量．∴，∴，取，∵，∴，∴，∴平面EMC．（3）解：在棱DC上存在一点N，设，且，∴，∴，∴，，z＝2﹣2λ，若直线MN与平面EMC所成角为60°，∴，解得，∴存在点N符合条件，且N点是棱DC的中点．16．（11分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+4（a﹣1）ln（x+1），其中实数a＜3．（Ⅰ）判断x＝1是否为函数f（x）的极值点，并说明理由；（Ⅱ）若f（x）≤0在区间[0，1]上恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝x2﹣2ax+4（a﹣1）ln（x+1）可得函数f（x）定义域为（﹣1，+∞），＝，令g（x）＝x2+（1﹣a）x+（a﹣2），经验证g（1）＝0，因为a＜3，所以g（x）＝0的判别式△＝（1﹣a）2﹣4（a﹣2）＝a2﹣6a+9＝（a﹣3）2＞0，由二次函数性质可得，1是函数g（x）的异号零点，所以1是f'（x）的异号零点，所以x＝1是函数f（x）的极值点．（Ⅱ）已知f（0）＝0，因为，又因为a＜3，所以a﹣2＜1，所以当a≤2时，在区间[0，1]上f'（x）＜0，所以函数f（x）单调递减，所以有f（x）≤0恒成立；当2＜a＜3时，在区间[0，a﹣2]上f'（x）＞0，所以函数f（x）单调递增，所以f（a﹣2）＞f（0）＝0，所以不等式不能恒成立；所以a≤2时，有f（x）≤0在区间[0，1]恒成立．17．（11分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB 的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．【解答】解：（I）由已知可得：，解得a2＝6，b2＝2，∴椭圆C的方程为；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l方程为y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（﹣x3，﹣y3）．联立，化为（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，∴x1+x2＝，y1+y2＝k（x1+x2﹣4）＝，∴线段AB的中点D，∴直线OD的方程为：x+3ky＝0（k≠0）．联立，解得＝，x3＝﹣3ky3．∵四边形MF1NF2为矩形，∴＝0，∴（x3﹣2，y3）•（﹣x3﹣2，﹣y3）＝0，∴＝0，∴＝0，解得k＝，故直线方程为y＝．18．（11分）如果数列A：a1，a2，…，a m（m∈Z，且m≥3），满足：①a i∈Z，（i＝1，2，…，m）；②a1+a2+…+a m＝1，那么称数列A为“Ω”数列．（Ⅰ）已知数列M：﹣2，1，3，﹣1；数列N：0，1，0，﹣1，1．试判断数列M，N是否为“Ω”数列；（Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；（Ⅲ）如果数列A是“Ω”数列，求证：数列A中必定存在若干项之和为0．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）数列M不是“Ω”数列；数列N是“Ω”数列．…（2分）（Ⅱ）不存在一个等差数列是“Ω”数列．证明：假设存在等差数列是“Ω”数列，则由a1+a2+…+a m＝1 得a1+am＝∉Z，与a i∈Z矛盾，所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列．…（7分）（Ⅲ）将数列A按以下方法重新排列：设S n为重新排列后所得数列的前n项和（n∈Z且1≤n≤m），任取大于0的一项作为第一项，则满足﹣+1≤S1≤，假设当2≤n≤m时，若S n﹣1＝0，则任取大于0的一项作为第n项，可以保证﹣+1≤S n≤，若S n﹣1≠0，则剩下的项必有0或与S n﹣1异号的一项，否则总和不是1，所以取0或与S n﹣1异号的一项作为第n项，可以保证﹣+1≤S n≤．如果按上述排列后存在S n＝0成立，那么命题得证；否则S1，S2，…，S m这m个整数只能取值区间[﹣+1，]内的非0整数，因为区间[﹣+1，]内的非0整数至多m﹣1个，所以必存在S i＝S j（1≤i＜j≤m），那么从第i+1项到第j项之和为S i﹣S j＝0，命题得证．综上所述，数列A中必存在若干项之和为0．…（13分）。
2016人大附中高二(下)期末数学(理科)
2016人大附中高二（下）期末数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸的相应位置.）1．（4分）二项式（a﹣1）8的展开式中，最大的二项式系数为（）A．C B．﹣C C．C D．﹣C2．（4分）在检验吸烟与患肺炎是否有关的一次统计中，根据2×2列联表中数据计算得x2≈6.234，则下列说法正确的是（）A．有99%的把握认为吸烟与患肺炎有关B．有99%的把握认为吸烟与患肺炎无关C．有95%的把握认为吸烟与患肺炎有关D．有95%的把握认为吸烟与患肺炎无关3．（4分）若离散型随机变量X的分布列函数为P（X=k）=，k=1，2，3，4，则P（X＞1）=（）A．B．C．D．4．（4分）用一个“+”号和一个“﹣”号将数字1，2，3连成算式，不同的运算结果共有（）A．12种B．6种 C．4种 D．3种5．（4分）根据统计数据，某产品的销售额y对广告费用x（单位：百万元）的线性回归方程为y=5.7x+18.6，则下列说法不正确的是（）A．若下一销售季再投入5百万元广告费，则估计销售额约可达47.1百万元B．已知统计数据中的平均销售额为41.4百万元，则平均广告费为4百万元C．广告费用x和销售额y之间的相关系数不能确定正负，但其绝对值趋于1D．5.7的含义是广告费用每增加1百万元，销售额大约增长 5.7百万元左右6．（4分）甲手中有扑克牌的大小王牌和四色A各一张，共6张牌，现让乙和丙各从中随机抽取一张，则在乙抽到大王牌的情况下，丙抽到小王牌的概率为（）A．B．C．D．7．（4分）已知一批10000只白炽灯泡的光通量X～N（200，100），则这批灯泡中光通量X＞220个数大约为（）（参考数据：若X：N（μ，2），则X在区间（μ﹣σ，μ+σ），（μ﹣2σ，μ+2σ），（μ﹣3σ，μ+3σ）内的概率分别为68.3%，95.4%，99.7% ）A．230 B．460 C．4770 D．95408．（4分）一箱电子产品有6件，其中2件次品，4件正品，现不放回地进行抽检，每次抽检一件，直到检验出所有次品为止，那么抽检次数X的数学期望为（）A．B．C．3 D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸的相应位置.）9．（5分）若高二期末考试的数学成绩X～N（90，25），则这次考试数学的平均分为，标准差为．10．（5分）甲、乙、丙、丁四人站一排照相，甲不与乙、丙相邻，不同的排法共有种．11．（5分）某志愿团由10名同学构成，其中3名学生会干部，现从中随机选取4名同学去支教．则选取的学生会干部人数不少于2的概率为．12．（5分）若（1﹣mx）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，且a5=﹣32，则a1+a2+a3+a4的值为．13．（5分）一个袋中装有8个乒乓球，其中6个黄色，2个白色，每次从袋中随机摸出1个乒乓球，若摸到白球则停止，一共有3次摸球机会．记X为停止摸球时的摸球次数．（1）若每次摸出乒乓球后不放回，则E（X）=；（2）若每次摸出乒乓球后放回，则D（X）=．14．（5分）甲、乙两支足球队比赛，甲获胜的概率为，平局的概率为，乙获胜的概率为，下一赛季这两支球队共有5场比赛，在下一赛季中：（1）甲获胜3场的概率为；（2）若胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，则甲的积分的数学期望为．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（14分）箱子中有五张分别写着数字0，1，2，3，4的卡片，现从中随机抽取2张组成一个两位数，这个两位数的个位数字与十位数字之和为X．（1）可以组成多少个不同的两位数？（2）求X能被3整除的概率；（3）求X的分布列和数学期望．16．（12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组设定的最宽限值，即PM2.5日均值在25微克/立方米以下空气质量为一级，在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级，在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如图所示茎叶图（左侧十位为茎，右侧个位为叶）．（Ⅰ）从这15天的数据中任取3天的数据，记X表示期中空气质量达到一级的天数，求X的分布列；（Ⅱ）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按照360天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级．17．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发一件新产品成功的概率分别为和，本年度计划研发的新产品件数分别为2件和1件．设甲、乙两组的每次研发均相互独立．（1）求该企业本年度至少有一件新产品研发成功的概率；（2）已知研发一件新产品的成本为10百万元，成功研发一件新产品可获得50百万元的销售额，求该企业本年度在这3件新产品上获得的利润X的分布列和数学期望．II卷（共6道题，满分18分）一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.请把答案填在答题纸的相应位置.）18．（6分）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AC=CE=3，AB=4，则AD 的长为（）A．B．2 C．D．319．（6分）已知（1+x）（x+）n的展开式中没有常数项，则n的值可能是（）A．9 B．10 C．11 D．1220．（6分）已知x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，4，5，6，则满足x1+x2+x3+x4+x5+x6=2的数组（x1，x2，x3，x4，x6）的个数为（）A．60 B．75 C．90 D．120二、填空题（本题共2小题，每小题9分，共18分.请把答案填在答题纸的相应位置.）21．（9分）（1）若函数f（x）=lnx﹣ax有极值，则函数f（x）的单调递增区间是；（2）若函数g（x）=xlnx﹣ax2﹣x有极值，则实数a的取值范围是．22．（9分）某数学兴趣小组举行了一次趣味口答竞赛，共有5名同学参加．竞赛分两个环节：抢答环节和抽答环节，其中抢答环节共有4道题，抽答环节仅有1道题．（1）假设抢答环节每人抢答成功的概率均相等，则甲同学成功抢答2次的概率是；（2）已知抢答环节有3名同学成功抢答，抽答环节从装有5名同学名签的纸盒中随机抽取：第一次采取有放回地抽取，若第一次抽到的是抢答成功的同学，则从第二次开始采取无放回地抽取，整个抽答环节抽到未抢答成功的同学即停止．那么抽取的次数X的数学期望E（X）=．三、解答题（本题共1小题，满分14分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23．（14分）已知函数f（x）=．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）若曲线y=f（x）与直线y=b（b∈R）有3个交点，求实数b的取值范围；（3）过点P（﹣1，0）可作几条直线与曲线y=f（x）相切？请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸的相应位置.）1．【解答】二项式（a﹣1）8的展开式中，最大的二项式系数为，故选：A．2．【解答】由x2≈6.234＞3.841，∴有95%的把握认为吸烟与患肺炎有关，故答案选：C．3．【解答】离散型随机变量X的分布列函数为P（X=k）=，k=1，2，3，4，则P（X＞1）=P（X=2）+P（X=3）+P（X=4）=+=．故选：D．4．【解答】∵1+2﹣3=0，1﹣2+3=2，1+3﹣2=2，1﹣3+2=0，2+1﹣3=0，2﹣1+3=4，2+3﹣1=4，2﹣3+1=0，3+1﹣2=2，3﹣1+2=0，3+2﹣1=4，3﹣2+1=2，∴不同的运算结果共有3种，故选：D．5．【解答】对于A，若下一销售季再投入5百万元广告费，则估计销售额约可达y=5.7×5+18.6=47.1百万元，正确；对于B，x=4，y=5.7×4+18.6=41.4，正确；对于C，广告费用x和销售额y之间的相关系数能确定正负，其绝对值趋于1，不正确；对于D，根据回归系数的定义，可知正确．故选：C．6．【解答】设乙抽到大王，丙抽到小王，则P（A）=，P（AB）==，∴在乙抽到大王牌的情况下，丙抽到小王牌的概率：P（B|A）===．故选：B．7．【解答】∵变量服从正态分布X～N（200，100），∴μ=200，σ=10，∴P（X＞220）=×（1﹣0.954）=0.023，∴这批灯泡中光通量X＞220个数大约为10000×0.023=230．故选：A．8．【解答】由题意知X的可能取值为2，3，4，5，6，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，P（X=6）==，∴抽检次数X的分布列为：X23456PEX=2×++4×+5×+6×=．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸的相应位置.）9．【解答】∵成绩X～N（90，25），∴这次考试数学的平均分为90，标准差为5，故答案为：90，5．10．【解答】由题意，甲在两头，则排列方法为2×A22=4种．故答案为：4．11．【解答】某志愿团由10名同学构成，其中3名学生会干部，现从中随机选取4名同学去支教，基本事件总数n=C=210，选取的学生会干部人数不少于2人包含的基本事件个数m=+=70，∴选取的学生会干部人数不少于2人的概率p===．故答案为：．12．【解答】在（1﹣mx）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，中，令x=0，可得a0=1，∵令x=1，可得a0+a1+a2 +…+a5=（1﹣m）5．∵a5=?（﹣m）5=﹣32，∴m=2，则1+a1+a2+a3+a4﹣32=（1﹣m）5=﹣1，∴a1+a2+a3+a4 =﹣2+32=30，故答案为：30．13．【解答】（1）由题意知X的可能取值为1，2，3，P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）=+=，∴X的分布列为：X123PEX=+2×+3×=．故答案为：．（2）由题意知X的可能取值为1，2，3，P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）=+=，∴X的分布列为：X123PEX=+2×+3×=，D（X）=（1﹣）2×+（2﹣）2×+（3﹣）2×=．故答案为：．14．【解答】（1）甲获胜的概率为，所以5场比赛中甲获胜3场的概率为??=；（2）因为甲获胜的概率为，平局的概率为，甲输的概率为，且胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，所以甲积分的数学期望为E=5××3+5××1+5××0=．故答案为：（1），（2）．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．【解答】（1）箱子中有五张分别写着数字0，1，2，3，4的卡片，现从中随机抽取2张组成一个两位数，可以组成不同的两位数的个数n=4×4=16．（2）X能被3整的情况有：①0+3=3，此时构成的两位数是30，②1+2=3，此时构成的两位数是12，21，③2+4=6，此时构成的两位数是24，42，∴X能被3整除的概率p==．（3）由题意得X的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）=，P（X=5）==，P（X=6）=，P（X=7）=，∴X的分布列为：X1 2 34567 PEX=+3×+4×+5×+6×+7×=．16．【解答】（Ⅰ）依据条件，X服从超几何分布，其中N=15，M=5，n=3．X的可能值为0，1，2，3．其分布列为：P（x=k）=（k=0，1，2，3）．（Ⅱ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为P==；一年中空气质量达到一级的天数为Y，则E（Y）=360×=120（天）．所以一年中大约有120天的空气质量达到一级．17．【解答】（1）记E={甲组研发新产品成功}，F={乙组研发新产品成功}．由题设知P（E）=，P（）=，P（F）=，P（）=，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．记H={至少有一种新产品研发成功}，则=，∴P（）=P（）=P（）P（）P（）=×=，故该企业本年度至少有一件新产品研发成功的概率为：P（H）=1﹣P（）=1﹣=．（2）设企业可获利润为X （百万元），则X的可能取值为﹣30，30，90，150．∵P（X=﹣30）=P（）=×，P（X=30）=P（E）+P（）+P（）=++=，P（X=90）=P（）+P（E）+P（EE）=+=，P（X=150）=P（EEF）==，∴该企业本年度在这3件新产品上获得的利润X的分布列为：X﹣303090150P∴EX=﹣30×+30×+90×+150×=100（百万元）．II卷（共6道题，满分18分）一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.请把答案填在答题纸的相应位置.）18．【解答】连接DE，∵ACED是圆的内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，∵∠DBE=∠CBA，∴△BDE∽△BCA，∴．∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∵AC=CE=3，AB=4，∴4DA=3BE，即BE=DA，设AD=DE=t，则BE=t，根据割线定理得BD?BA=BE?BC，∴（AB﹣AD）?BA=DA?（DA+CE），∴（4﹣t）×4=t（t+3），∴2t2+9t﹣18=0，解得t=，或t=﹣6（舍），即AD=．故选：A．19．【解答】∵（1+x）（x+）n的展开式中没有常数项，∴（x+）n的展开式中没有常数项与含的项，（x+）n的展开式中的通项公式：T r+1=x n﹣r=x n﹣3r，（r=0，1，2，…，n）．经过验证：只有取n=10时，10﹣3r≠0，﹣1．因此n的值可能是10．故选：B．20．【解答】根据题意，∵x1+x2+x3+x4+x5+x6=2，x i∈{0，1，﹣1}，i=1，2，3，4，5，6；∴x i中有2个1和4个0，或3个1、1个﹣1和2个0，或4个1和2个﹣1共有=90个，∴满足x1+x2+x3+x4+x5+x6=2的数组（x1，x2，x3，x4，x6）的个数为90个．故选：C．二、填空题（本题共2小题，每小题9分，共18分.请把答案填在答题纸的相应位置.）21．【解答】（1）f（x）=lnx﹣ax的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣a=，若函数f（x）=lnx﹣ax有极值，则a＞0，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，故答案为：（0，）；（2）解：f（x）=xlnx﹣ax2﹣x的定义域是（0，+∞），f′（x）=lnx﹣ax，若函数f（x）有极值，则f′（x）=lnx﹣ax有解，即y=lnx和y=ax有交点，①a＜0时，显然有解，②a＞0时，设y=lnx和y=ax相切的切点是（x0，lnx0），∴切线方程是：y=x，故lnx0=?x0，解得：x0=e，∴y=lnx和y=ax相切时，a=，若y=lnx和y=ax有交点，只需a＜，综上：a＜，故答案为：（﹣∞，）．22．【解答】（1）抢答环节所有可能的抢答情况共有54种，而甲成功抢答2次的情况有C=10种，∴甲同学成功抢答2次的概率为=．（2）X的所有可能取值为1，2，3，4，5，则P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，∴抽取的次数X的数学期望E（X）=1×+2×+3×+4×+5×=2.2．故答案为：（1），（2）2.2．三、解答题（本题共1小题，满分14分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23．【解答】（1）f′（x）=（x﹣x2）e﹣x，由f′（x）＞0，可得0＜x＜1，f′（x）＜0，可得x＜0或x＞1，∴函数的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（﹣∞，0），（1，+∞）；（2）由（1），f（0）=1，f（1）=，∵曲线y=f（x）与直线y=b（b∈R）有3个交点，∴1＜b＜；（3）设切点为（m，n），则f′（m）=（m﹣m2）e﹣m，∴切线方程为y﹣n=（m﹣m2）e﹣m（x﹣m），代入（﹣1，0），整理可得m3+m2+1=0，设g（m）=m3+m2+1，g′（m）=3m2+2m，由g′（m）＞0，可得m或m＞0，g′（m）＜0，可得﹣＜m＜0，∴函数g（m）的单调递减区间是（﹣，0），单调递增区间是（﹣∞，﹣），（0，+∞）；∵g（﹣）＞0，g（0）＞0，∴g（m）=0有唯一解，∴过点P（﹣1，0）可作1条直线与曲线y=f（x）相切．。
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2 A. 3 5 C. 2
19.已知 (1 x)( x
B. 2
E
D. 3
B
16.（本题满分 12 分） 通常把大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物(也称为可入肺颗粒物)称为 PM2.5. 我国 PM2.5 与 空气质量标准参照世卫组织设定的标准制定如下表： 空气质量 日均值 (微克 /立方米 ) 一级 40 以下 二级 40～ 80 超标 80 以上
8
（参考数据：若 X ～ N ( , ) ，则 X 在区间 ( , ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) 内的 概率分别约为 68.3%，95.4%， 99.7%. ） 8. 一箱电子产品有 6 件， 其中 2 件次品，4 件正品， 现不放回地进行抽检， 每次抽检一件， 直到检验出 D.
9. 若 高 二 期 末 考 试 的 数 学 成 绩 X ～ N (90, 25) ，则这 次 考试 数 学的 平 均分为 . 10.甲、乙、丙、丁四人站一排照相，甲不与乙、丙相邻，不同的排法共有 种. ，标准差为
B.
13
8
A. 有 99%的把握认为吸烟与患肺炎有关 C. 有 95%的把握认为吸烟与患肺炎有关
1 n ) 的展开式中没有常数项，则 n 的值可能是（ x2
B. 10 C. 11
） D. 12
A. 9
20.已知 xi {1, 0,1}, i 1, 2,3, 4,5,6 , 则满足 x1 x2 x3 x4 x5 x6 2 的数组 ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) 的个数为（ A. 60 ） B. 75 C. 90 D. 120
人大附中 2015～2016 学年度第二学期期末高二年级数学(理)练习 &选修 2-3 模块考核试卷
2016 年 7 月 6 日 命题人：吴中才 审卷人：梁丽平
6. 甲手中有扑克牌中的大小王牌和四色 A 各一张，共 6 张牌，现让乙和丙各从中随机抽取一张，则在 乙抽到大王牌的情况下，丙抽到小王牌的概率为（ A. ） C.
ˆ 5.7 x 18.6 ， 5. 根据统计数据，某产品的销售额 y 对广告费用 x (单位：百万元)的线性回归方程为 y
则下列说法不 正确的是（ ）
A. 若下一销售季再投入 5 百万元广告费，则估计销售额约可达 47.1 百万元 B. 已知统计数据中的平均销售额为 41.4 百万元，则平均广告费为 4 百万元 C. 广告费用 x 和销售额 y 之间的相关系数不能确定正负，但其绝对值趋于 1 D. 5.7 的含义是广告费用每增加 1 百万元，销售额大约增长 5.7 百万元左右
（1）从这 15 天中抽取 3 天，求空气质量达到一级、二级、超标恰好各一天的概率； （2）从这 15 天中抽取 3 天，求空气质量达到一级的天数 X 的分布列和数学期望.
17.（本题满分 12 分） 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发一件新产品成功的概率分别为 新产品件数分别为 2 件和 1 件. 设甲、乙两组的每次研发均相互独立. （1）求该企业本年度至少有一件新产品研发成功的概率； （2）已知研发一件新产品的成本为 10 百万元，成功研发一件新产品可获得 50 百万元的销售额，求 该企业本年度在这 3 件新产品上获得的利润 X 的分布列和数学期望 .
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（2）已知抢答环节有 3 名同学成功抢答 . 抽答环节从装有 5 名同学名签的纸盒中随机抽取：第一次 采取有放回地抽取，若第一次抽到的是抢答成功的同学，则从第二次开始采取无放回地抽取， 整个抽答环节抽到未抢答成功的同学即停止. 那么，抽取的次数 X 的数学期望 E ( X ) 三、解答题（本题共 1 小题，满分 14 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） .
Ⅱ卷（共 6 道题，满分 50 分）
一、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．请把答案填在答题纸的相应位置． ） 18.如图，在 ABC 中， CD 是 ACB 的平分线， ACD 的外接圆交 BC 于点 E ， AC CE 3 ， AB 4 ， 则 AD 的长为（ ）
4. 用一个“ ”号和一个“ ”号将数字 1，2， 3 连成算式，不同的运算结果共有（ A. 12 种 B. 6 种 C. 4 种 D. 3 种
13.一个袋中装有 8 个乒乓球，其中 6 个黄色，2 个白色，每次从袋中随机摸出 1 个乒乓球，若摸到白 球则停止，一共有 3 次摸取机会 . 记 X 为停止摸球时的摸球次数. （1）若每次摸出乒乓球后不放回，则 E ( X ) （2）若每次摸出乒乓球后放回，则 D( X ) 14.甲、乙两支足球队比赛，甲获胜的概率为 支球队共有 5 场比赛 . 在下一赛季中： （1）甲获胜 3 场的概率为 ； . ； .
2 2
B. 有 99%的把握认为吸烟与患肺炎无关 D. 有 95%的把握认为吸烟与患肺炎无关
（参考数据： P( ≥3.841) 0.050 ， P( ≥6.635) 0.010 .） 3. 若离散型随机变量 X 的分布列函数为 P( X k ) A.
k ， k 1, 2, 3, 4 ，则 P( X 1) （ 10
C.
）
11.某志愿团由 10 名同学构成，其中 3 名学生会干部，现从中随机选取 4 名同学去支教，则选取的学生 会干部人数不少于 2 的概率为 . .
1 10
B.
3Hale Waihona Puke 107 10D.9 10
）
12.若 (1 mx)5 a0 a1 x a2 x 2 a5 x5 ，且 a5 32 ，则 a1 a2 a3 a4 的值为
2
1 6
B.
1 5
1 15
D.
1 30
7. 已知一批 10000 只白炽灯泡的光通量 X ～ N ( , ) ，则这批灯泡中光通量 X 220 的个数大约 为 A. 230
说明：本试卷分 Ⅰ卷和 Ⅱ卷， Ⅰ卷 17 道题，共 100 分，作为模块成绩； Ⅱ卷 6 道题，共 50 分； Ⅰ卷、 Ⅱ卷共 23 题，合计 150 分，作为期末成绩；考试时间 120 分钟；请在密封线内填写个人信息 .
抽取连续15天PM2.5监测值
100 80 60 40 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 ax x 有极值，则实数 a 的取值范围是 2
22. 某数学兴趣小组举行了一次趣味口答竞赛，共有 5 名同学参加 . 竞赛分两个环节：抢答环节和抽答 环节，其中抢答环节共有 4 道题，抽答环节仅有 1 道题. （1）假设抢答环节每人抢答成功的概率均相等，则甲同学成功抢答 2 次的概率是 ；
1 1 1 ，平局的概率为 ，乙获胜的概率为 ，下一赛季这两 2 4 4
（2）若胜一场积 3 分，平一场积 1 分，负一场积 0 分，则甲的积分的数学期望为
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三、解答题（本大题共 3 小题，共 38 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） 15.（本题满分 14 分） 箱子中有五张分别写着数字 1， 2，3， 4， 5 的卡片，现从中随机抽取 2 张组成一个两位数，这个两 位数的个位数字与十位数字之和为 X . （1）可以组成多少个不同的两位数？ （2）求 X 能被 3 整除的概率； （3）求 X 的分布列和数学期望.
3 2 和 ，本年度计划研发的 4 3
23. 已知函数 f ( x)
x2 x 1 . ex （1）求函数 y f ( x) 的单调区间；
（2）若曲线 y f ( x) 与直线 y b (bR) 有 3 个交点，求实数 b 的取值范围； （3）过点 P(1, 0) 可作几条直线与曲线 y f ( x) 相切？请说明理由.
B. 460
2
C. 4770
D. 9540
Ⅰ卷（共 17 题，满分 100 分）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸的相应位置． ） 1. 二项式 (a 1) 的展开式中，最大的二项式系数为（ A.
某市环保局抽出了该市城区连续 15 天的 PM2.5 监测数据如图：
二、填空题（本题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分．请把答案填在答题纸的相应位置． ） 21. （1）若函数 f ( x) ln x ax 有极值，则函数 f ( x) 的单调递增区间是 （2）若函数 g ( x) x ln x ； .
）
C84
）
B.
C84
C.
C95
C95
2
所有次品为止，那么抽检次数 X 的数学期望为（ A.
） C. 3 D.
2. 在检验吸烟与患肺炎是否有关的一次统计中，根据 2 2 列联表中数据计算得 6.234 ，则下列 说法正确的是（
14
3 3 3 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．请把结果填在答题纸的相应位置． ）