多种类型的回归模型
多元线性回归模型
第三章多元线性回归模型一、名词解释1、多元线性回归模型：在现实经济活动中往往存在一个变量受到其他多个变量影响的现象，表现在线性回归模型中有多个解释变量，这样的模型被称做多元线性回归模型，多元是指多个解释变量2、调整的可决系数R2:又叫调整的决定系数，是一个用于描述多个解释变量对被解释变量的联合影响程2 2-2 2 门度的统计量‘克服了R随解释变量的增加而增大的缺陷，与R的矢系为R2=1 -（1 -R2）-n — k —1 3、偏回归系数：在多元回归模型中，每一个解释变量前的参数即为偏回归系数，它测度了当其他解释变量保持不变时，该变量增加1单位对被解释变量带来的平均影响程度。
4、正规方程组：采用OLS方法估计线性回归模型时，对残差平方和矢于各参数求偏导，并令偏导数为0后得到的方程组，其矩阵形式为XX A XYo5、方程显著1•生检验：是针对所有解释变量对被解释变量的联合影响是否显著所作的检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性矢系在总体上是否显著成立作岀判断。
、单项选择题1、C ： F统计量的意义2、A： F统计量的定义22 Z ei3、B ：随机误差项方差的估计值:? ・n _k_14、A :书上P92和P93公式5、C： A参看导论部分内容；B在判断多重共线等问题的时候，很有必要；D在相同解释变量情况下可以衡量6、C ：书上P99,比较F统计量和可决系数的公式即可7、A ：书P818、D ： A截距项可以不管它；B不考虑betaO ；C相矢矢系与因果矢系的辨析9、B ：注意！只是在服从基本假设的前提下，统计量才服从相应的分布10、 D : AB不能简单通过可决系数判断模型好坏，还要考虑样本量、异方差等问题；三、多项选择题1、ACDE ：概念性2、BD :概念性3、BCD :总体显著，则至少一个参数不为04、BC :参考可决系数和F统计量的公式5、AD :考虑极端情况，ESS=O,可发现CE错四、判断题、1 ' " 2、” 3 > X 4 > X：调整的可决系数5、”五、简答题1、答：多元线性回归模型与一元线性回归模型的区别表现在如下几个方面：一是解释变量的个数不同；二是模型的经典假设不同，多元线性回归模型比一元线性回归模型多了个“解释变量之间不存在线性相矢尖系”的假定：三是多元线性回归模型的参数估计式的表达更为复杂。
多因子回归模型
多因子回归模型
多因子回归模型是一种统计分析方法，可以通过分析多个变量之间的相关关系来推断模型的结果。
在经济研究中，多因子回归模型是经常用于分析股票市场、产品销量和全球经济因素等复杂行业的数据的统计模型。
多因子回归模型的基本形式用一个等式表示，其中Y是要预测的变量，多个因子X1至Xn（n≥2）代表该变量可能受到的其他因素影响，α和Β分别用于表征未知成分以及受影响因素之间的系数。
即：
Y = α + β1 * X1 + β2 * X2 + …… + βn * Xn
多因子回归模型包括三个组成部分：因变量Y，自变量X1到Xn以及未知系数β1到βn。
自变量X可以是定量变量或者定类变量，它可以表示各种可能影响Y的实际或潜在因素。
多因子回归模型的另一大优势在于它的易用性，它可以在任何可行的数据类型上实现，因而可以为复杂的经济问题提供有用的答案。
另外，它还可以通过确定各变量之间的相关性来检测复杂的模型结构，从而最大限度地提高模型的拟合精度。
总之，多因子回归模型是一种经常用于解决经济研究问题的有效分析方法，其能够精确地检测两个变量之间的相互影响及因素之间的系数，从而最大限度地提高模型的拟合精度。
多分类Logistic回归教程与结果解读
Logistic回归分析（logit回归）一般可分为3类，分别是二元Logistic回归分析、多分类Logistic回归分析和有序Logistic回归分析。
logistic回归分析类型如下所示。
Logistic回归分析用于研究X对Y的影响，并且对X的数据类型没有要求，X可以为定类数据，也可以为定量数据，但要求Y必须为定类数据，并且根据Y的选项数，使用相应的数据分析方法。
如果Y有两个选项，如愿意和不愿意、是和否，那么应该使用二元Logistic回归分析(SPSSAU【进阶方法->二元logit】)；如果Y有多个选项，并且各个选项之间可以对比大小，例如，1代表“不愿意”，2代表“无所谓”，3代表“愿意”，这3个选项具有对比意义，数值越高，代表样本的愿意程度越高，那么应该使用多元有序Logistic回归分析(SPSSAU【进阶方法->有序logit】)；如果Y有多个选项，并且各个选项之间不具有对比意义，例如，1代表“淘宝”，2代表“天猫”，3代表“京东”，4代表“亚马逊中国”，数值仅代表不同类别，数值大小不具有对比意义，那么应该使用多元无序Logistic回归分析(SPSSAU 【进阶方法->多分类logit】)。
1、多分类logistic回归分析基本说明只要是logistic回归，都是研究X对于Y的影响，区别在于因变量Y上，logistic回归时，因变量Y是看成定类数据的，如果为二元（即选项只有2个），那么就是二元logistic回归； 如果Y是多个类别且类别之间无法进行对比程度或者大小，则为多分类logistic 回归；如果Y是多个类别且类别之间可以对比程度大小（也称为定量数据，或者有序定类数据），此时则使用有序logistic回归。
多分类logistic回归的难点在于：因变量为类别数据，研究X对Y的影响时，如果为类别数据，那么不能说越如何越如何，比如不能说越满意越愿意购买；而只能说相对小米手机来说，对于手机外观越满意越愿意购买苹果手机。
多元回归模型中,关于相关性及相关系数的说法正确的是
多元回归模型中,关于相关性及相关系数的说法正确的是多元回归模型是一种用来预测一个连续型输出变量的函数的统计学模型。
它通常用来研究一个或多个输入变量和输出变量之间的关系。
在这种模型中，相关性和相关系数是非常重要的概念。
相关性是指两个变量之间的相互关系。
如果两个变量之间有相关性，那么当一个变量变化时，另一个变量也会发生变化。
在多元回归模型中，我们通常关注输入变量和输出变量之间的相关性。
如果输入变量和输出变量之间有相关性，那么这些变量之间就有一个线性关系。
相关系数是一个数值，用来衡量两个变量之间相关性的强度。
它的取值范围在-1和1之间，越接近1表示相关性越强，越接近-1表示相关性越弱，0则表示没有相关性。
在多元回归模型中，我们通常使用皮尔逊相关系数来衡量输入变量和输出变量之间相关性的强度。
这个系数可以用来判断一个输入变量是否对输出变量有预测能力。
然而，单纯的相关系数并不能说明两个变量之间是否存在因果关系。
相关性仅仅说明两个变量有关系,并不代表一个变量是另一个变量的原因。
这里值得一提的是,多元回归模型利用了多个输入变量对输出变量的影响,若我们只关注单个变量与输出变量的相关性,我们可能会忽略其他变量对结果的影响。
在多元回归模型中,相关系数是一个重要的指标，可以帮助我们确定哪些输入变量对输出变量有预测能力，但并不能代表这些变量之间存在因果关系。
为了进一步证明输入变量和输出变量之间的关系是因果关系，需要进行进一步的研究。
总的来说,在多元回归模型中,相关性和相关系数是重要的概念,它们可以帮助我们了解输入变量和输出变量之间的关系,并确定哪些输入变量对输出变量有预测能力,但需要进一步证明因果关系。
另外，在使用多元回归模型时，还需要注意其他因素，如异常值和多重共线性等问题。
异常值可能会导致模型的结果不准确，因此需要对数据进行清洗。
多重共线性是指输入变量之间存在高度相关性的情况。
这种情况下，模型可能会过度拟合，因此需要使用一些技巧，如主成分分析等来处理。
多种因素回归公式
多种因素回归公式在实际数据分析中，我们经常需要基于已知因素来预测或解释一些因变量的变化。
这时候，多因素回归分析就是一种常用的统计方法。
多因素回归模型是一种通过数学方程将一个或多个自变量与因变量关联起来的方法。
这篇文章将介绍多种因素回归公式及其相关应用。
1.简单线性回归模型最简单的多因素回归模型是简单线性回归模型。
在简单线性回归模型中，因变量（称为Y）的变化被一个自变量（称为X）线性关系所解释。
回归公式：Y=β0+β1X+ε其中，Y是因变量，X是自变量，ε是误差项，β0和β1是回归系数。
简单线性回归模型通常用于探索两个变量之间的线性关系，例如身高与体重的关系、广告投入与销售额之间的关系等。
2.多元线性回归模型多元线性回归模型是简单线性回归模型的扩展，可以处理多个自变量。
回归公式：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，X1，X2，...，Xn是自变量，ε是误差项，β0、β1、β2、..、βn是回归系数。
多元线性回归模型可以用于解释因变量与多个自变量之间的关系，例如销售额和广告投入、人口增长和GDP等。
3.多项式回归模型多项式回归模型是一种非线性回归模型，可以在回归中引入多项式项，以更好地拟合数据。
回归公式：Y=β0+β1X+β2X^2+...+βnX^n+ε其中，Y是因变量，X是自变量，ε是误差项，β0、β1、β2、..、βn是回归系数，n为多项式的次数。
多项式回归模型通常用于解释因变量与自变量之间的非线性关系，例如时间序列中的趋势分析。
4.对数回归模型对数回归模型用于研究两个或多个变量之间的对数关系。
常见的对数回归模型包括对数线性回归模型和对数多项式回归模型。
回归公式：Y = β0 + β1ln(X1) + β2ln(X2) + ... + βnln(Xn) + ε其中，Y是因变量，X1，X2，...，Xn是自变量的对数变换，ε是误差项，β0、β1、β2、..、βn是回归系数。
多变量cox回归模型
多变量cox回归模型
多变量cox回归模型是一种常用的统计方法，用于评估多个因素对于事件发生的影响。
该模型可以用来预测某个事件的发生概率，并且可以帮助研究人员确定哪些因素对于事件的发生有着显著影响。
多变量cox回归模型的应用范围非常广泛，包括医学、环境科学、社会科学等领域。
在实际应用中，研究人员需要根据研究目的和数据特点选择合适的变量，并进行模型的拟合和验证。
同时，研究人员也需要注意避免多重比较和共线性等问题。
多变量cox回归模型的应用和发展，对于深入理解和解释事件发生机制具有重要意义。
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7种回归方法！请务必掌握！
7种回归⽅法！请务必掌握！7 种回归⽅法！请务必掌握！线性回归和逻辑回归通常是⼈们学习预测模型的第⼀个算法。
由于这⼆者的知名度很⼤，许多分析⼈员以为它们就是回归的唯⼀形式了。
⽽了解更多的学者会知道它们是所有回归模型的主要两种形式。
事实是有很多种回归形式，每种回归都有其特定的适⽤场合。
在这篇⽂章中，我将以简单的形式介绍 7 中最常见的回归模型。
通过这篇⽂章，我希望能够帮助⼤家对回归有更⼴泛和全⾯的认识，⽽不是仅仅知道使⽤线性回归和逻辑回归来解决实际问题。
本⽂将主要介绍以下⼏个⽅⾯：1. 什么是回归分析？2. 为什么使⽤回归分析？3. 有哪些回归类型？线性回归（Linear Regression）逻辑回归（Logistic Regression）多项式回归（Polynomial Regression）逐步回归（Stepwise Regression）岭回归（Ridge Regression）套索回归（Lasso Regression）弹性回归（ElasticNet Regression）4. 如何选择合适的回归模型？1什么是回归分析？回归分析是⼀种预测建模技术的⽅法，研究因变量（⽬标）和⾃变量（预测器）之前的关系。
这⼀技术被⽤在预测、时间序列模型和寻找变量之间因果关系。
例如研究驾驶员鲁莽驾驶与交通事故发⽣频率之间的关系，就可以通过回归分析来解决。
回归分析是进⾏数据建模、分析的重要⼯具。
下⾯这张图反映的是使⽤⼀条曲线来拟合离散数据点。
其中，所有离散数据点与拟合曲线对应位置的差值之和是被最⼩化了的，更多细节我们会慢慢介绍。
2为什么使⽤回归分析？如上⾯所说，回归分析能估计两个或者多个变量之间的关系。
下⾯我们通过⼀个简单的例⼦来理解：⽐如说，你想根据当前的经济状况来估计⼀家公司的销售额增长。
你有最近的公司数据，数据表明销售增长⼤约是经济增长的 2.5 倍。
利⽤这种洞察⼒，我们就可以根据当前和过去的信息预测公司未来的销售情况。
多元回归模型选择依据 概述及解释说明
多元回归模型选择依据概述及解释说明1. 引言1.1 概述在社会科学研究和数据分析中，多元回归模型是一种常用的统计工具。
它能够帮助我们理解自变量与因变量之间的关系，并进行预测和解释。
然而，在构建多元回归模型时，我们往往面临众多自变量选择的问题。
因此，选择适合的自变量是构建可靠模型的关键步骤。
本文旨在概述和解释多元回归模型选择的依据。
我们将介绍多元回归模型及其重要性，并阐述常用的模型选择准则。
此外，还将详细探讨正向选择法和反向选择法这两种常用的模型选择方法，以帮助读者理解如何根据不同情境选择合适的方法。
1.2 文章结构本文共包含五个部分：引言、多元回归模型选择依据、正向选择法、反向选择法以及结论和展望。
- 引言部分对文章进行了概述并提出了研究目的。
- 多元回归模型选择依据部分将介绍多元回归模型及其重要性，并介绍常用的模型选择准则。
- 正向选择法部分将详细讲解正向选择法的概述以及步骤一和步骤二的具体操作。
- 反向选择法部分将详细讲解反向选择法的概述以及步骤一和步骤二的具体操作。
- 结论和展望部分将对全文进行总结，并提出未来研究的发展方向。
1.3 目的本文的目的是为读者提供多元回归模型选择的依据。
通过对不同模型选择准则和方法的介绍，读者将能够了解如何在实际应用中选择合适的自变量。
同时，本文还将强调模型选择在构建可靠模型中的重要性，并展望未来可能出现的新方法和技术，以进一步提升多元回归模型的预测能力和解释力。
2. 多元回归模型选择依据2.1 多元回归模型简介多元回归模型是一种统计分析方法，用于探究因变量与多个自变量之间的关系。
它能够确定自变量对因变量的解释程度，并揭示它们之间的线性关系。
2.2 模型选择的重要性在实际应用中，我们通常希望找到一个最合适的多元回归模型来解释观测数据，并能够准确预测未来数据的结果。
因此，模型选择在多元回归分析中具有重要意义，它可以提高模型的可靠性和预测准确性。
2.3 常用的模型选择准则为了选择最佳的多元回归模型，研究者通常使用以下常见的模型选择准则：- AIC准则（Akaike's Information Criterion）: AIC是一种信息论准则，用于衡量拟合优度和参数数目之间的平衡。
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数学建模第二次作业例一：（线性模型）针叶松数据该数据包含70棵针叶松的测量数据，其中y 表示体积（单位立方英尺），x 1为树的直径（单位：英寸），x 2为树的高度（单位：英尺）。
x 1 4.6 4.4 5.0 5.1 5.1 … 19.4 23.4 x 2 33 38 40 49 37 … 94 104 解答：（1）问题分析：首先根据这组数据做自变量与因变量之间的关系图，如图1.1 。
由图可知y 随x 1、x 2的增加而增加，从而可大致判断y 与x 1，x 2呈线性关系。
判断是线性回归模型后进行细节的量纲分析，得出具体模型，从而利用已知的线性模型，借助R 软件求解出估计量0β，1β，β2的值得出最终结果。
图1.1（2）模型基础设变量Y 与变量X 1,X 2,…,XP 间有线性关系Y=εββββ+++++P P X X X (22110)其中N ~ε(0,2σ),P βββ,...,,10和2σ是未知参数，p ≥2，称上述模型为多元线性回归模型，则模型可以表示为：n i x x y i ip p i i ,...,2,1,...110=++++=εβββ其中()2,0σεN i ∈，且独立分布 即令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n y y y y 21，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=p ββββ 10，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=np n n p p x x x x x x x x x X ...1...1 (12)12222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n εεεε 21则多元线性回归模型可表示为εβ+=X Y ,其中Y 是由响应变量构成的n 维向量，X 是n ⨯（p+1）阶设计矩阵，β是p+1维向量，并且满足E （ε）=0，Var （ε）=2σI n与一元线性回归类似，求参数β的估计值βˆ，就是求最小二乘函数 Q （β）=()()ββX y X y T--达到最小的β的值。
β的最小二乘估计()y X X X T T 1ˆ-=β从而得到经验回归方程P P X X Y βββˆˆˆˆ11+++=（3）问题求解：由于体积与长度的量纲不一致，为了使等式两边量纲统一，首先利用excel 软件对数据进行预处理，即对y 进行三次开方的处理。
其中，选择线的性模型为：i i i i x x y εβββ+++=221103，i=1,…,703y 计算结果如下表1.10β=0.03291β=0.1745 2β=0.0142根据计算结果可以将x 1,x 2的值带入回归方程求解y 值，将所得y 值（实验值）与真实y 值（观测值）进行比较达到检验模型模拟优度的目的，得下图1.2图1.2由图1.2得，回归系数和回归方程检验都是显著的，模型模拟结果较好。
则该题结果为：ii i x x y 2130142.01745.000329.0++=（4）模型评价：①模型优点：选取线性回归模型有效反应了自变量与因变量之间的内在关系，在利用线性模型的基础上，注意到保持等式两边量纲的一致性，体现模型的严谨性。
②模型缺点：当x 值增大时，y 实验值增长速度加快，模拟出现偏差。
例二：（非线性模型）欧洲野兔No. 1 2 4 5 … 70 71 X 15 15 18 28 … 768 860 y 21.66 22.75 31.25 44.79 … 232.12 246.70这组数据包含71组观测值，其中y 为在澳大利亚的欧洲野兔干燥眼球重量（单位：毫克）的对数值，x 为野兔相应的年龄（单位：天）。
、解答：（1）问题分析：要求澳大利亚的欧洲野兔年龄与干燥眼球重量之间的关系，首先应该大致分析两者之间的线性关系。
确定其大致性关系后进一步具体化分析，得出澳大利亚的欧洲野兔年龄与干燥眼球重量之间的具体模型并建立函数模型，通过对未知参数的求解得出最终结果。
本题中，通过spss 模型进行初步估计后建模具体求解 （2）问题求解：利用spss 软件对野兔年龄(自变量x)与干燥眼球重量（因变量y ）进行画图初步分析，所得结果如图2.1图2.1由图2.1可知，x、y两者呈非线性关系，故需用非线性回归模型进行进一步估计。
（2）由（1）知x、y两者呈非线性关系，则用曲线估计中的线性、对数、逆模型、二次项、立方、幂次、复合、S、logistic、增长、指数分布等11种模型进行拟合，所得结果如表2.1，拟合效果图见图2.2.表2.1模型汇总和参数估计值因变量:重量模型汇总参数估计值方程R 方 F df1 df2 Sig. 常数b1 b2 b3 线性.762 217.236 1 68 .000 82.217 .264对数.970 2184.028 1 68 .000 -173.394 62.940倒数.636 118.830 1 68 .000 186.705 -3748.419二次.950 636.309 2 67 .000 37.172 .689 -.001三次.979 1016.731 3 66 .000 17.289 1.035 -.002 1.061E-6 复合.559 86.313 1 68 .000 76.813 1.002幂.936 999.744 1 68 .000 7.021 .571S .860 416.599 1 68 .000 5.279 -40.205增长.559 86.313 1 68 .000 4.341 .002指数.559 86.313 1 68 .000 76.813 .002Logistic .559 86.313 1 68 .000 .013 .998图2.2由表2.1知三次模拟的R方值0.979与其他10种模拟中相比最大，证明三次模型模拟的效果最好。
观察图2.2可进一步验证三次模型模拟所得曲线与观测值最接近，故用三次模型进行具体模拟。
（3）由（2）知x、y两者符合三次非线性模型，则设x、y之间的函数关系为y i=b1-b2(xi-b3)^(-1)+c过spss软件求解得相关参数b1、b2、b3、c如表2.2由表2.2知，b1=1.035、b2=-0.002、b3=1.0616⨯、c=17.289,则x、y之间函10-数关系为:y i=1.035–(-0.002)*(xi-1.0616⨯)+ 17.289。
其函数图象如图2.310-图2.3（3）模型评价：①模型优点：该模型充分考虑x、y变量之间的非线性关系，经过多种模拟模型的相互比较筛选，得出模拟效果最好的三次非线性模型模拟函数，结果比较可靠，从函数图象来看模拟值与真实值之间较为接近，模拟效果较好。
②模型缺点：从最终的模拟模式图中我们可以看到当自变量年龄较大时，重量的真实值与模拟值差异增大，模拟效果变差。
例三（分类数据模型）：降雨数据123,4示偏少，y=2表示正常，y=3表示偏多。
解答：（1）问题分析考虑多因素的影响时，对于反应变量为分类变量时（如本题的预报因子），用线性回归模型就不合适，因此可以采用logistic回归模型进行统计分析，由于题目中响应变量（降雨情况）是由3种不同的取值，于是便可以利用多分类的Logistic模型。
（2） 模型基础① 设y 是一个响应变量有c 个取值，从0到c -1，并且y=0是一个参照组，协变量x=（p x x x ,,,21 ），那么可以得到y 的条件概率：P （y=k|x ）=∑-=+11)()(1c jx g x g i k ee其中k=0,1,2,...,c -1.由此得到相应的logistic 回归模型：)(x g k e=()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==x y P x k y P 0ln =p kp k k x βββ+++ 10② 最小二乘估计对y 每一个取值进行n 次独立观测，可以得到如下矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1212222111211n n n p p y y y y y y y y y=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛npn p p x x x x x x 1221111111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---p c ppc c ,1211,121110,12010βββββββββ令 Y=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1212222111211n n n p p y y y y y yy y y， X=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛np n p p x x x x x x 1221111111 B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---p c ppc c ,1211,121110,12010βββββββββ记B=（121,...,,-c βββ），则有Y=XB 成立. 于是可以得到β的最小二乘估计:[]Y X XX T T1-=β③ 似然函数为构造似然函数，利用二进制编码表示观测值，规定如果y=0那么y 0=1,y 1=y 2=…=y c -1=0;如果y=1，那么y 0=0,y 1=1，y 2=…=y c -1=0；以此类推，可以得出无论y 取何值，总有∑-==101c j j y 成立，可得似然函数：l ])(...)()([)(110111ic iiy i c ni y i y i o x x x --=∏=πππβ=()[]∏∏=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧ni c j yi j jix 110π（*）其中()()i i j x j y P x ==π对（*）式两端取对数得似然函数：L （β）=()[]∑∑-==101ln c j ni i i ji x y π（3） 模型求解：本题中，c=3，可以取y=2作为参照组，通过Stata 软件中的mlogit 命令，建立多类结果的logistic 回归，如下图3.1图3.1从图中可以得出：logit （21y y →）=543.8623.50471.136.716.124321+-+-x x x x logit （23y y →）=18.9001.057.011.138.43321-+-+-x x x x（4）模型评价本题将二分类logistic 回归模型的知识推广到多分类logistic 回归模型，有效的解决了多种响应变量的分类数据问题。
例4.非参数模拟实验数据产生自()n i n i r Y i i ,,1,/ =+=σε，其中，n=1000，)1,0(~,1.0N i εσ=，估计函数表达式 解答：（1）问题分析：对于非参数回归主要有核回归，样条回归以及局部多项式回归，利用所给公式通过matlab 生成的1000个随机数据，考虑到核回归多用于密度估计的随机样本回归，便采用非参数回归中的核回归，通过最小均方误差比较，选取最优核Epanechnikov 核，然后通过缺一交叉验证选取带宽h=0.04 ，模拟出离散曲线图。
最后通过曲线图，估计出函数表达式。
（2）模型基础在非参数核函数估计领域里，有两个基本工具：核函数K （u ）和带宽（h ）,前者包含点x 区间中观测值的权重，而后者主要控制包含观测值的多少在核函数回归中，需要进行核函数和带宽的选择，其中和函数有4种不同的形式，依据最优均方误差可以发现Epanechnikov 核是最优的核函数，即()）u （）u 1（43u 2I K -=，其中I(⋅)为示性函数，满足I （u ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤1,01u ，1 u利用缺一交叉验证选择带宽： CV （h ）=[]211)n (2)(1)(ˆ1)(ˆn1∑∑==-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-ni ni ii i i i i iL x r Y nx r Y这里)(ˆi r -指未用数据点（x i ，Y i ）时所得到的估计，ii L 为光滑矩阵L 的第i 个对角元，其中L=（l （x 1），…，l （x n ））T（3）模型求解首先由原始数据画出相应散点图进行趋势预估，所得图形见下图4.1图4.1接着，用样条回归以及局部多项式回归进行拟合分析，Epanechnikov核函数进行平滑估计。