初中数学九大几何模型解题思路

、手拉手模型----旋转型全等

【条件】：△ OAB^□A OCD均为等边三角形;

【条件】：△ OAB^□A OCD均为等腰直角三角

形;

九大几何模型

(1)等边三角形

D

AED

【结论】：①厶OAC^A OBD②∠ AEB=60 :③OE平分∠

【结论】：①厶OAC^A OBD②∠ AEB=90 :③OE平分∠AED

E

D

、模型二：手拉手模型----旋转型相似

(1) 一般情况 【条件】：CD// AB, 将厶OCD 旋转至右图的位置 O O

J D

E

A

【结论】：①右图中△ OC 3A OAB÷

→→A OAS A OBD ②延长 AC 交BD 于点E ,必有∠ BEC=∠ BOA (2)特殊情况 A 【条件】：CD// AB,∠ AOB=90 将厶OCD 旋转至右图的位置 A 【结论】：①右图中△ OC 3A OAB÷→→A OAS A OBD ②延长 AC 交BD 于点E ,必有∠ BEC=∠ BOA ③ACOD OB

tan

∠OCD ④BD 丄AC ⑤连接AD BC,必有AD 2 BC 2 AB 2 CD :⑥ S

A BCD

三、模型三、对角互补模型 (1)全等型-90 ° 【条件】：①∠ AOB ∠ DCE=90 :②OC 平分∠ AOB

【结论】：①CD=CE ②OD+OE= 2 OC ③S A DCE

证明提示: ①作垂直，如图 2,证明△ CDM ^△ CEN ②过点C 作CF ⊥ OC 如图3,证明△ OD BA FEC ※当∠ DCE 的一边交 Ao 的延长线于 D 时(如图4): S

A OCD

S

以上三个结论：① CD=CE ② OE-ODw 2 OC ③ S A OCE S

A OCD

(2) 全等型-120 °

【条件】：①∠ AOB=∠ DCE=120 :②OC平分∠ AoB

【结论】：① CD=CE ②OD+OE=OC③ S MC E S A OC D S^OCE— OC2

4

证明提示：①可参考“全等型-90 ° ”证法一；

②如右下图：在OB上取一点F,使OF=OC证明△ OCF为等边三角形。

(3)全等型-任意角α

【条件】：①∠ AOB=2ι,∕DCE=18O-2a;②CD=CE

【结论】：①OC平分∠ AOB②OD+OE=2OCcos a;

③

S

A DCE

S

A OCD

S

A OCE

O

C

Sin α COS α

※当∠ DCE的一边交AO的延长线于D时(如右下图)：

原结论变成：①___________________________________________________________

② ____________________________________________________________ ；

③ ____________________________________________________________ 。

可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。

A

D

(2) 角含半角模型 90° ---2

【条件】：①正方形ABCD ②∠ EAF=45° 【结论】：①EF=DF-BE 对角互补模型总结:

①常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线; ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别; ③注意OC 平分∠ AoB 寸,

∠ CDE=∠ CED ∠ COA ∠ COE 如何引导?

四、模型四：角含半角模型 90°

(1)角含半角模型 90° ---1

【条件】：①正方形ABCD ②∠ EAF=45°; 【结论】：①EF=DF+BE ②、CEF 的周长为正方形 ABCD 周长的一半;

也可以这样:

【条件】：①正方形 ABCD ②EF=DF+BE 【结论】：①∠ EAF=45 ;

（3）角含半角模型90° ---3

【条件】：①Rt △ ABC②∠ DAE=45 ;

2 2 2

【结论】：BD CE DE （如图1）

（4）角含半角模型90°变形

【条件】：①正方形ABCD②∠ EAF=45°

【结论】：△ AHE为等腰直角三角形；

证明：连接AC （方法不唯一）

τ∠ DAC=/ EAF=45,

∙∙∙∠DAH∠ CAE 又τ∠ ACB玄ADB=45 ;

• △ AHE^△ ADC •△ AHE为等腰直角三角形

模型五：倍长中线类模型

（1）倍长中线类模型---1

【条件】：①矩形ABCD②BD=BE

③DF=EF

【结论】：AF⊥ CF

模型提取：①有平行线AD// BE②平行线间线段有中点DF=EF

可以构造“ 8”字全等厶ADF^△ HEFO

DA

AH

AC

AE

2

DE仍然成立（如图2）

若∠ DAE旋转到△ ABC外部时，结论BD 2 CE2

A D

(2)倍长中线类模型---2

【条件】：①平行四边形 ABCD ②BC=2AB ③AM=DM ④CE ⊥ AB; 【结论】：∠ EMD=∠ MEA

辅助线：有平行 AB// CD 有中点 AM=DM 延长 EM 构造△ AME≤^ DMF 连接 CM 构造

模型六：相似三角形 360 °旋转模型

(1)相似三角形(等腰直角)

360 °旋转模型---倍长中线法

【条件】：①厶ADE △ ABC 均为等腰直角三角形；② EF=CF 【结论】：①DF=BF ②

DF

⊥ BF

等腰△ EMC 等腰△ MCF (通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化)

辅助线：延长 DF 到点G 使FG=DF 连接CG BG BD,证明△ BDG 为等腰直角三角形;